1、 第1章 函數(shù)1.1 函數(shù)概概念1.1.1 函函數(shù)的定義同學(xué)們從入小學(xué)學(xué)到高中畢業(yè)業(yè)一直要學(xué)習(xí)習(xí)數(shù)學(xué)，在這這一階段所面面對(duì)的數(shù)學(xué)對(duì)對(duì)象的特點(diǎn)是是：所討論的的量在研究問(wèn)問(wèn)題的過(guò)程中中保持不變只是從未知知到已知例例如解方程或或方程組，求求得的解都是是固定不變的的又如討論論三角形，它它的邊長(zhǎng)也是是固定不變的的量這些量量叫做常量常量只取固固定值的量這門(mén)課程中討論論的量在研究究問(wèn)題的過(guò)程程中不是保持持不變的如如圓的面積與與半徑的關(guān)系系：S =r 22考慮半徑r可以以變化的過(guò)程程面積和半半徑叫做變量量變量可取不不同值的量變域變量的的取值范圍我們考慮問(wèn)題的的過(guò)程中，不不僅是一個(gè)變變量，可能有有幾個(gè)變量比如兩

2、個(gè)變變量，要研究究的是兩個(gè)變變量之間有什什么關(guān)系，什什么性質(zhì)函函數(shù)就是變量量之間確定的的對(duì)應(yīng)關(guān)系比如股市中中的股指曲線線，就是時(shí)間間與股票指數(shù)數(shù)之間的對(duì)應(yīng)應(yīng)關(guān)系又如如銀行中的利利率表存期六個(gè)月一年二年三年五年年利率(%)5.407.477.928.289.00它反映的是存款款存期與存款款利率之間的的對(duì)應(yīng)關(guān)系這幾個(gè)例子反映映的都是兩個(gè)個(gè)變量之間的的確定的對(duì)應(yīng)應(yīng)關(guān)系函數(shù)數(shù)的定義是：定義1.1 設(shè)設(shè)x, y是兩個(gè)變量量，x的變域?yàn)镈，如果存在在一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)規(guī)則f，使得對(duì)D內(nèi)的每一個(gè)個(gè)值x都有唯一的的y值與x對(duì)應(yīng)，則這個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則ff 稱(chēng)為定義在在集合D上的一個(gè)函數(shù)數(shù)，并將由對(duì)對(duì)應(yīng)規(guī)則f 所確定的x與y之

3、間的對(duì)應(yīng)應(yīng)關(guān)系，記為為：，稱(chēng)x為自變量，yy為因變量或或函數(shù)值，DD為定義域集合稱(chēng)為函數(shù)的的值域我們要研究的是是如何發(fā)現(xiàn)和和確定變量之之間的對(duì)應(yīng)關(guān)關(guān)系例1求函數(shù)的的定義域 解：，求函函數(shù)的定義域域就是使表達(dá)達(dá)式有意義的的由對(duì)數(shù)函函數(shù)的性質(zhì)得得到，即由分式式的性質(zhì)得到到，即，即 綜合合起來(lái)得出所所求函數(shù)的定定義域?yàn)槔?設(shè)國(guó)際航航空信件的郵郵資與重量的關(guān)系系是求解：用3替代，由第第一個(gè)關(guān)系式式表示，得到到，同樣可以以得到用20替代，由由第二個(gè)關(guān)系系式表示，得得到1.1.2 有有關(guān)函數(shù)的幾幾點(diǎn)解釋1.函數(shù)的表示示法如何表示函數(shù)關(guān)關(guān)系是需要我我們不斷研究究和發(fā)現(xiàn)的常用的方法法有三種：一一種是用一個(gè)個(gè)數(shù)

4、學(xué)公式來(lái)來(lái)表示，叫做做解析法；一種種是用坐標(biāo)系系中的曲線反反映兩個(gè)變量量之間的函數(shù)數(shù)關(guān)系，叫做做圖示法；還有有一種方法是是用一個(gè)表格格反映兩個(gè)變變量之間的函函數(shù)關(guān)系，叫叫做表格法一般般經(jīng)常使用的的就是這三種種方法2.函數(shù)的記號(hào)號(hào)在考慮一個(gè)問(wèn)題題的過(guò)程中，f 表示一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在之后考慮這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，f 自始至終表示同樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系比如，它反映的就是這樣一種對(duì)應(yīng)關(guān)系：，等式左端的函數(shù)括號(hào)中帶入一個(gè)量，表示要對(duì)其進(jìn)行等式右端的運(yùn)算如：，又如：無(wú)論左端帶入什什么，都對(duì)它它進(jìn)行同樣的的運(yùn)算.1.1.3 函函數(shù)的基本性性質(zhì)下面把在中學(xué)里里大家已經(jīng)知知道的函數(shù)的的基本屬性復(fù)復(fù)習(xí)一下，也也就是：函數(shù)

5、數(shù)的單調(diào)性、奇奇偶性、有界界性、周期性性當(dāng)一個(gè)變量增加加時(shí)另一個(gè)變變量也跟著增增加， 這樣樣的函數(shù)就叫叫做單調(diào)增加加的函數(shù)從從圖形上看這這條曲線，曲曲線上的點(diǎn)xx在增加的時(shí)時(shí)候，它所對(duì)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)標(biāo)y也在增加，這這樣的函數(shù)是是單調(diào)增加的的 單調(diào)減減少是相反的的，隨著x的增加相對(duì)對(duì)應(yīng)的y在減少，這這樣的函數(shù)是是單調(diào)減少的的，正如圖形形中演示的這這樣如果函函數(shù)當(dāng)x在增加的時(shí)時(shí)候，它所對(duì)對(duì)應(yīng)的y不是增加，也也不是減少，這這樣的函數(shù)就就不具有單調(diào)調(diào)性例1 判斷函數(shù)數(shù)f(x)x2當(dāng)x 0時(shí)的單調(diào)調(diào)性 分析：可以利用用單調(diào)性的定定義，證明對(duì)對(duì)任意的x1 x2，有f(x1) f(x2)解：當(dāng)x 00時(shí)，對(duì)任

6、意意的x2 0，有有（當(dāng)x1 x2 0時(shí)，在在不等式x1 x2兩端同乘以以x1或x2，顯然有，由不等式的的傳遞性就得得到）由定義可知f(x)x2當(dāng)x 0時(shí)是單調(diào)調(diào)增加的一個(gè)函數(shù)的圖形形如果關(guān)于yy軸對(duì)稱(chēng)，這這樣的函數(shù)就就稱(chēng)為偶函數(shù)數(shù)從圖形上上來(lái)分析，曲曲線上任一點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)也在曲線上上面，這條曲曲線所描繪的的函數(shù)就是偶偶函數(shù)從解解析式上看，如如果有f(x)f(x)，f(x)就叫做偶偶函數(shù)一個(gè)函數(shù)的圖形形如果關(guān)于原原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，這這樣的函數(shù)就就稱(chēng)為奇函數(shù)數(shù)曲線上任任一點(diǎn)關(guān)于原原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)也在曲線上上面，這條曲曲線所描繪的的函數(shù)就是奇奇函數(shù)從解解析式上看，如如果有f(x)f(x)，f(x)

7、就叫做奇奇函數(shù)例2 判斷下列列函數(shù)的奇偶偶性： （1）yx31（2）yxcos x解：（1）取 x1，11，f (1)0，f (1)2，顯顯然f (1) f (1)，由此可知yxx31 不是是奇函數(shù)又又顯然f (1) f (1)，由此可知yx31 不是是偶函數(shù)（2）因?yàn)閥x是奇函數(shù)， ycossx 是偶函數(shù)數(shù)，而奇函數(shù)數(shù)和偶函數(shù)的的乘積是奇函函數(shù)所以yxsiin x 是奇函函數(shù)如果自變量在定定義域中變化化時(shí)，函數(shù)值值始終在一個(gè)個(gè)有限的區(qū)間間內(nèi)變化，如如圖形中演示示的，無(wú)論怎怎樣變化，都都有M f(x) M，這條曲線所所反映的函數(shù)數(shù)就是有界函函數(shù)如果存在一個(gè)正正數(shù)T，對(duì)任意的的自變量x，有f(x

8、 + T )f(x)，這樣的函數(shù)數(shù)就叫做周期期函數(shù) 從從圖形上反映映，這個(gè)函數(shù)數(shù)在相隔為T(mén)T的任意兩點(diǎn)點(diǎn)上函數(shù)值都都是一樣的也可以這樣樣來(lái)看，從任任意一點(diǎn)出發(fā)發(fā)，以長(zhǎng)度TT為間隔劃分分區(qū)間，在每每個(gè)區(qū)間上的的函數(shù)圖形都都是可以完全全重合的1.2 幾類(lèi)基基本初等函數(shù)數(shù)我們?cè)谥袑W(xué)的學(xué)學(xué)習(xí)中已經(jīng)認(rèn)認(rèn)識(shí)了一些函函數(shù)， 這些些函數(shù)是非常常基本的，有有這樣幾類(lèi)：1. 常數(shù)函數(shù)數(shù)：y = c這個(gè)函數(shù)數(shù)在它的定義義域中的取值值始終是一個(gè)個(gè)常數(shù)，它在在直角坐標(biāo)系系中的圖形就就是一條水平平線2. 冪函數(shù)：y = x，(R )以x為底，指數(shù)數(shù)是一個(gè)常數(shù)數(shù)當(dāng) = 1時(shí)時(shí)就是y = x，它的圖形形是過(guò)原點(diǎn)且且平分一、三

9、三象限的直線；當(dāng)=2時(shí)時(shí)就是y = x2，它的圖形形是過(guò)原點(diǎn)且且開(kāi)口向上的的拋物線；當(dāng)=3時(shí)時(shí)就是y = x3，它的圖形形是過(guò)原點(diǎn)的的立方曲線3. 指數(shù)函數(shù)數(shù)：y = ax，( a 0，a1)底底數(shù)是常數(shù)，指指數(shù)是變量例如y = ex，y = 2 x，y = () x 所有指數(shù)數(shù)函數(shù)的圖形形都過(guò)(0,1)點(diǎn)，當(dāng)當(dāng)a1時(shí)，函函數(shù)單調(diào)增加加，當(dāng)a0，a1)以以a為底的x的對(duì)數(shù)例如 y = lnxx，y = loog 2x，y =所有對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖圖形都過(guò)(11,0)點(diǎn)，當(dāng)當(dāng)a1時(shí)，函函數(shù)單調(diào)增加加；當(dāng)a 00 盈利（22） L(q) 00 虧損（33） L(q) = 00 盈虧平衡滿足L(q) = 0的q0稱(chēng)為盈虧平衡衡點(diǎn)（又稱(chēng)保本點(diǎn)點(diǎn)）在假設(shè)成本函數(shù)數(shù)和收入函數(shù)數(shù)都是線性函函數(shù)的情況下下來(lái)做一些分分析： qOC = c0 + cq，R = qO它們的圖形是兩條直線的交點(diǎn)點(diǎn)表示收入與與成本相等，q0就是盈虧平衡點(diǎn)如果兩條直線出出現(xiàn)了下面這這種情況 qO qO此時(shí)兩條直線沒(méi)沒(méi)有交點(diǎn)，也也就是沒(méi)有盈盈虧平衡點(diǎn)為了找到盈盈虧平衡點(diǎn)，我我們可以采取取兩種手段，一