1、關(guān)于穩(wěn)定性判據(jù)第一張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 穩(wěn)定是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常運行的首要條件。控制系統(tǒng)在實際運行過程中，總會受到外界和內(nèi)部一些因素的擾動，例如負載和能源的波動、系統(tǒng)參數(shù)的變化、環(huán)境條件的改變等。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，就會在任何微小的擾動作用下偏離原來的平衡狀態(tài)，并隨時間的推移而發(fā)散。因此，如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是自動控制理論的基本任務(wù)之一。3.5.1 線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性第二張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例 如小球平衡位置b點,受外界擾動作用,從b點到 點，外力作用去掉后,小球圍繞b點作幾次反復(fù)振蕩,最后又回到b點,這時小

2、球的運動是穩(wěn)定的。 如果小球的位置在a或c點,在微小擾動下,一旦偏離平衡位置,則無論怎樣,小球再也回不到原來位置,則是不穩(wěn)定的。第三張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月定義一 如果線性系統(tǒng)受到擾動的作用而使被控量產(chǎn)生偏差，當擾動消失后，隨著時間的推移，該偏差逐漸減小并趨向于零，即被控量趨向于原來的工作狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)為漸進穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定。反之，若在初始擾動的影響下，系統(tǒng)的被控量隨時間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。 該定義說明，由于擾動的作用，使系統(tǒng)的工作狀態(tài)發(fā)生變化，如果系統(tǒng)的狀態(tài)能恢復(fù)到原來的工作狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義3.5.1 線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義第四張

3、，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月定義二在有界輸入有界輸出（Bouned-Input-Bounded-Output)意義下的穩(wěn)定性定義：若線性系統(tǒng)在有界的輸入量或干擾量的作用下，其輸出量的幅值也是有界的，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則如果系統(tǒng)在有界輸入作用下，產(chǎn)生無界輸出，則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 有界輸入有界輸出穩(wěn)定性的概念是考慮在輸入影響下系統(tǒng)的行為。 盡管在引出穩(wěn)定性的定義時提到了輸入作用和擾動作用，但對線性定常系統(tǒng)來說，系統(tǒng)穩(wěn)定與否完全取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的一種特性，而與輸入作用無關(guān)。輸入量不影響輸出量的瞬態(tài)項，只影響輸出量的穩(wěn)態(tài)項。 3.5.1 線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

4、-定義第五張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 兩種穩(wěn)定性定義雖然表述不同，但在本質(zhì)上是一致的。由于系統(tǒng)的穩(wěn)定性與外界條件無關(guān)，因此，可設(shè)線性系統(tǒng)的初始條件為零，輸入作用為單位脈沖信號 ，這時系統(tǒng)的輸出便是單位脈沖響應(yīng) 。這相當于在擾動信號作用下，輸出信號偏離原來工作狀態(tài)的情形。當時間趨于無窮大時，若脈沖響應(yīng)收斂于原來的工作狀態(tài)，即： 則線性控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。下面討論系統(tǒng)穩(wěn)定性與系統(tǒng)極點之間的關(guān)系: 由于系統(tǒng)的輸入為單位脈沖信號 ，則系統(tǒng)的輸出為 3.5.2 線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性-充分必要條件第六張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月部分分式展開得： 單位脈沖響應(yīng)為： 可見，若 ，則式

5、中 和 應(yīng)該為負數(shù)。而 和 分別為系統(tǒng)的實數(shù)極點和共軛復(fù)數(shù)極點的實部，表明若要使單位脈沖響應(yīng)收斂于零，系統(tǒng)的極點均應(yīng)有負的實部。則線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件可描述為：系統(tǒng)的所有極點必須位于 左半平面。第七張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第八張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第九張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 系統(tǒng)的特征根中只要有一個正實根或一對具有正實部的共軛復(fù)根，則其脈沖響應(yīng)函數(shù)就呈發(fā)散形式，系統(tǒng)不可能再回到原來的工作狀態(tài)，這樣的系統(tǒng)就是不穩(wěn)定系統(tǒng)。也就是說，對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，特征方程至少有一個根位于 右半平面，在這種情況下，系統(tǒng)的輸出對任何輸入都是不穩(wěn)定。如果特

6、征方程有一對共軛根在虛軸 上，而其它根均位于 左半平面，這樣的系統(tǒng)稱為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)，臨界穩(wěn)定系統(tǒng)的輸出根據(jù)輸入的不同，或等幅振蕩或發(fā)散，因此，在工程實際上視臨界穩(wěn)定系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。第十張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件： 系統(tǒng)特征方程的根（即傳遞函數(shù)的極點）全為負實數(shù)或具有負實部的共軛復(fù)根。或者說，特征方程的根應(yīng)全部位于s平面的左半部。 如果特征方程中有一個正實根，它所對應(yīng)的指數(shù)項將隨時間單調(diào)增長； 如果特征方程中有一對實部為正的共軛復(fù)根，它的對應(yīng)項是發(fā)散的周期振蕩。上述兩種情況下系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。3.5.2 線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性-充分必要條件說明第十一張，PPT共

7、五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 如果特征方程中有一個零根，它所對應(yīng)于一個常數(shù)項，系統(tǒng)可在任何狀態(tài)下平衡，稱為隨遇平衡狀態(tài)； 如果特征方程中有一對共軛虛根，它的單位階躍響應(yīng)對應(yīng)于等幅的周期振蕩，稱為臨界平衡狀態(tài)（或臨界穩(wěn)定狀態(tài)）。 從控制工程的角度認為臨界穩(wěn)定狀態(tài)和隨遇平衡狀態(tài)屬于不穩(wěn)定。穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定S平面第十二張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例子：系統(tǒng)是穩(wěn)定的，因為該系統(tǒng)的閉環(huán)極點 都在s左半平面。 閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，因為 為正實數(shù)極點，位于 右半平面，與此相對應(yīng)的時間響應(yīng)分量按 的規(guī)律隨時間無限增大。 閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定系統(tǒng)，它有一對虛軸上的閉環(huán)

8、極點 ，其單位階躍響應(yīng)為頻率 的等幅振蕩，因此在工程上認為該系統(tǒng)不穩(wěn)定。 閉環(huán)傳遞函數(shù)為：第十三張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月注意：穩(wěn)定性是線性定常系統(tǒng)的一個屬性，只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，與輸入輸出信號無關(guān)；只與極點有關(guān)，與零點無關(guān)。第十四張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月: 由于線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是其特征根（極點）為負實根或具有負實部的共軛復(fù)根，因而對系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別就轉(zhuǎn)化為求解系統(tǒng)特征方程的根，并檢驗所求的根是否都具有負實部的問題。 問題? 能否不用直接求解特征根，而根據(jù)系統(tǒng)特征方程的根與其系數(shù)間的關(guān)系來判別特征根實部的符號呢？ 線性控制系統(tǒng)的特征方程為 ：

9、3.5.3 代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)第十五張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月如果系統(tǒng)的特征根都是負實根，或具有負實部的共軛復(fù)數(shù)根，則其特征方程的各個系數(shù)均為正值，且特征方程無缺項。若特征方程如有一個實部為正的根，則特征方程中各項系數(shù)不會全為正值，即特征方程一定會有負系數(shù)或缺項出現(xiàn)。這個條件是線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件而非充分條件，換句話說，當這個條件不滿足時，可立即判斷出系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。而當這個條件滿足時，也不能保證系統(tǒng)是穩(wěn)定的，還需要進一步的判斷。第十六張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 對于一階系統(tǒng)， 只要 都大于零，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 對于二階系統(tǒng)，只有 都大于零，系統(tǒng)才穩(wěn)定。（負實根

10、或?qū)嵅繛樨摚?某三階系統(tǒng)的特征方程為： 其系數(shù)都大于零。該系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？ 該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，因為特征方程具有一對位于s右半平面的共軛復(fù)數(shù)根。 第十七張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月（一）胡爾維茨判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為：則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： ，且由特征方程系數(shù)構(gòu)成的胡爾維茨行列式的主子行列式全部為正。胡爾維茨行列式的構(gòu)造：主對角線上的各項為特征方程的第二項系數(shù) 至最后一項系數(shù) ，在主對角線以下各行中各項系數(shù)下標逐次增加，在主對角線以上各行中各項系數(shù)下標逐次減小。當下標大于n或小于0時，行列式中的項取0。 胡爾維茨行列式： 3.5.3 代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)第十八張，PP

11、T共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月以4階系統(tǒng)為例使用胡爾維茨判據(jù)：胡爾維茨行列式為：穩(wěn)定的充要條件是：第十九張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例1： 設(shè)線性系統(tǒng)特征方程式為： 試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解： 系統(tǒng)不穩(wěn)定。 第二十張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為： 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：1）方程式所有系數(shù)為正；2）所有奇數(shù)階或偶數(shù)階胡爾維茨行列式為正，即：奇0或偶0。根據(jù)李納德-戚帕特判據(jù)，若系統(tǒng)特征方程式的各項系數(shù)中有負或零（缺項），則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對于n4的線性系統(tǒng),其穩(wěn)定的充要條件還可以表示為如下簡單形式:n=2時:特征方程的各項系數(shù)嚴格為正.

12、n=3時:特征方程的各項系數(shù)嚴格為正,且2 0n=4時:特征方程的各項系數(shù)嚴格為正,且2 0以及2an-1 2an-4/an-3 3.5.3 代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的另一種形式李納德-戚帕特判據(jù) 第二十一張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例2 設(shè)線性系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定時K,T應(yīng)滿足的條件。 根據(jù)李納德-戚帕特判據(jù)，K0,T0且 解： 系統(tǒng)特征方程式為 1+G(s)H(s)=0 系統(tǒng)穩(wěn)定時，要求： 第二十二張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月（二）、勞斯判據(jù) 設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為勞斯陣列的前兩行元素由特征方程的系數(shù)組成，第一行由特征方程的第一、三、

13、五、項系數(shù)組成，第二行由特征方程的第二、四、六、項系數(shù)組成。若特征方程有缺項，則該項系數(shù)以零計。 勞斯陣如下： 3.5.3 代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-勞斯穩(wěn)定性判據(jù)第二十三張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月以后各項的計算式為： 第二十四張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月依次類推?？汕蟮玫诙鍙垼琍PT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月勞斯判據(jù)：系統(tǒng)特征方程具有正實部根的數(shù)目與勞斯陣列第一列元素中符號變化的次數(shù)相等。 根據(jù)這個判據(jù)可以得出線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：由系統(tǒng)特征方程系數(shù)組成的勞斯陣列的第一列元素沒有符號變化。 若勞斯陣列第一列元素的符號有變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程的根

14、在s右半平面的個數(shù)，表明相應(yīng)的線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。 第二十六張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例3特征方程為： ,試判斷穩(wěn)定性。解：勞斯陣為：穩(wěn)定的充要條件為： 均大于零且第二十七張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例4： 設(shè)線性系統(tǒng)特征方程式為： 試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解： 建立勞斯表： 勞斯表中第一列系數(shù)符號改變2次，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 第二十八張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月特殊情況下勞斯陣列的列寫及結(jié)論： 用一個正數(shù)去乘或除某整行，不會改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性結(jié)論；勞斯陣第一列所有系數(shù)均不為零，但也不全為正數(shù)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。表示s右半平面上有極點，右極點個數(shù)等于勞斯陣列第一列

15、系數(shù)符號改變的次數(shù)。例：系統(tǒng)的特征方程為：-1 3 0（ 2）1 0 0（ ） 勞斯陣第一列有負數(shù)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。其符號變化兩次，表示有兩個極點在s的右半平面。第二十九張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月一. 勞思陣某一行第一項系數(shù)為零，而其余系數(shù)不全為零。導(dǎo)致勞思陣下一列無法計算。 處理辦法：用很小的正數(shù) 代替零的那一項，然后據(jù)此計算出勞斯陣列中的其他項。若第一次零（即 ）與其上項或下項的符號相反，計作一次符號變化。例：令 則 故第一列不全為正，系統(tǒng)不穩(wěn)定，s右半平面有兩個極點。3.5.3 代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-勞斯穩(wěn)定性判據(jù)的特殊情況第三十張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例5：

16、 設(shè)線性系統(tǒng)特征方程式為： 試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解： 建立勞斯表： 若勞斯表某行第一列系數(shù)為零，則勞斯表無法計算下去，可以用無窮小的正數(shù)代替0，接著進行計算，勞斯判據(jù)結(jié)論不變。 第三十一張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月由于勞斯表中第一列系數(shù)有負，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 第三十二張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月二.勞斯陣某行系數(shù)全為零的情況。表明特征方程具有大小相等而位置徑向相反的根。至少有下述幾種情況之一出現(xiàn)，如：大小相等，符號相反的一對實根，或一對共軛虛根，或?qū)ΨQ于虛軸的兩對共軛復(fù)根。處理辦法：可將不為零的最后一行的系數(shù)組成輔助方程，對此輔助方程式對s求導(dǎo)所得方程的系數(shù)代替全

17、零的行。大小相等，位置徑向相反的根可以通過求解輔助方程得到。輔助方程應(yīng)為偶次數(shù)的。第三十三張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例6： 從第一列都大于零可見，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。但要注意此時還要計算大小相等位置徑向相反的根再來判穩(wěn)。由輔助方程求得：輔助方程為： ，求導(dǎo)得： ，或 ，用1，3，0代替全零行即可。 此時系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的?？刂乒こ躺险J為是不穩(wěn)定的。1 3 0第三十四張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例7： 設(shè)線性系統(tǒng)特征方程式為： 試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解： 建立勞斯表： 系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。特征方程共有6個根： 第三十五張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月（三）勞斯-胡爾維

18、茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用 判定控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性例 系統(tǒng)的特征方程為： ，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：排列勞斯陣如下：因為， ，且勞斯陣第一列不全為正，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。由于勞斯陣第一列有兩次符號變化，所以系統(tǒng)在s右半平面有兩個極點。 第三十六張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例8：系統(tǒng)的特征方程為： 試用胡爾維茨定理判穩(wěn)。 解：系統(tǒng)的特征方程為： 列胡爾維茨行列式如下：所以，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。注意：由于 所以根據(jù)Lienard-Chipard定理，只要計算 這樣可以減小一半的計算量。第三十七張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例9系統(tǒng)的特征方程為： 該系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？求出每一個極點并畫出極點分布圖。

19、解：勞斯陣如下 行全為零。由前一行系數(shù)構(gòu)成輔助方程得：其導(dǎo)數(shù)為： 將4，48或1，12代替 行，可繼續(xù)排列勞斯陣如下： 勞斯陣第一列系數(shù)全為正，所以系統(tǒng)穩(wěn)定因為 行全為零，所以特征方程可能有特殊的根。求解如下： 第三十八張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè)剩余的一個根為-p。則： ，整理得：比較系數(shù)得：-p= -2極點分布如下：注意：勞斯判據(jù)實際上只能判斷代數(shù)方程的根是在s平面左半閉平面還是在右半開平面。對于虛軸上的根要用輔助方程求出。若代數(shù)方程有對稱于虛軸的實根或共軛復(fù)根，則一定在勞斯表的第一列有變號，并可由輔助方程求出。第三十九張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 分析系統(tǒng)參

20、數(shù)變化對穩(wěn)定性的影響 利用勞斯和胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)還可以討論個別參數(shù)對穩(wěn)定性的影響，從而求得這些參數(shù)的取值范圍。若討論的參數(shù)為開環(huán)放大系數(shù)K，則使系統(tǒng)穩(wěn)定的最大K稱為臨界放大系數(shù) 。例10： 考慮如下圖所示的導(dǎo)彈航向控制系統(tǒng)。圖中，Tm0,Tf0，試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時放大系數(shù)K的取值范圍。 解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：特征方程為：第四十張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月勞斯陣：列出對應(yīng)的勞斯陣列如下：整理后可得開環(huán)放大系數(shù)K的取值范圍是： 要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須：及3.5.3 代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用第四十一張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性（穩(wěn)定裕

21、度） 利用勞斯和胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)確定的是系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定，即絕對穩(wěn)定性。在實際系統(tǒng)中，往往需要知道系統(tǒng)離臨界穩(wěn)定有多少裕量，這就是相對穩(wěn)定性或穩(wěn)定裕量問題。 利用實部最大的特征方程的根 p（若穩(wěn)定的話，它離虛軸最近）和虛軸的距離 表示系統(tǒng)穩(wěn)定裕量。若p處于虛軸上，則 ，表示穩(wěn)定裕量為0。 作 的垂線，若系統(tǒng)的極點都在該線的左邊，則稱該系統(tǒng)具有 的穩(wěn)定裕度。一般說， 越大，穩(wěn)定程度越高?？捎?代入特征方程，得以z為變量的新的特征方程，用勞斯-胡爾維茨判據(jù)進行判穩(wěn)。若穩(wěn)定，則稱原系統(tǒng)具有 的穩(wěn)定裕度。第四十二張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例11已知系統(tǒng)的方塊圖，為使系統(tǒng)特征方程的根都位于s=-1的左邊，試確定k值的取值范圍。解：閉環(huán)特征方程為： 現(xiàn)以 s=x-1代入上式，得勞斯陣：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須系數(shù)皆大于0，勞斯陣第一列皆大于0所以，此時k的取值范圍為第四十三張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 討論相對穩(wěn)定性除了考慮極點離虛軸遠近外，還要考慮共軛極點的振蕩情況。對于共軛極點，其實部反映響應(yīng)的衰減快慢，虛部反映響應(yīng)的振蕩情況。對于極點 ，對應(yīng)的時域響應(yīng)為 。所以， 越小，衰減越慢， 越大，振蕩越激烈。如下圖示意：可用共軛極點對負實軸的張角 來表示系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性.當 時，表示極點在虛軸上，系統(tǒng)為臨界