1、第二章 極限與連續(xù)1第二章 極限與連續(xù) 2.1 數(shù)列的極限 2.2 函數(shù)的極限 2.3 無窮小量與無窮大量 2.4 連續(xù)函數(shù)第二章 極限與連續(xù)1第二章 極限與連續(xù) 2.1 數(shù)列第二章 極限與連續(xù)2一、問題的提出二、數(shù)列極限的定義三、數(shù)列極限的運算法則四、收斂數(shù)列的性質(zhì)五、數(shù)列收斂的準(zhǔn)則2.1 數(shù)列的極限第二章 極限與連續(xù)2一、問題的提出2.1 數(shù)列的極限第二章 極限與連續(xù)3一、問題的提出定義按自然數(shù)順序排列的一列數(shù) y1, y2, ,yn, 稱為一個無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列，記作yn； yn 稱為數(shù)列的通項.1. 數(shù)列對應(yīng)于數(shù)軸上的點列(一動點在數(shù)軸上依次取值).注: 2. 數(shù)列可視作整標(biāo)函數(shù)：f:

2、 nyn . 例. 第二章 極限與連續(xù)3一、問題的提出定義按自然數(shù)順序排列的一列第二章 極限與連續(xù)4莊子言“一尺之棰，日取其半，萬世不竭也”問題一: 觀察 當(dāng)n不斷增大時的變化趨勢;觀察 當(dāng)n不斷增大時的變化趨勢文字描述：當(dāng) n 無限增大時, yn 無限接近 某定數(shù).NN第二章 極限與連續(xù)4莊子言“一尺之棰，日取其半，萬世不竭也”第二章 極限與連續(xù)5問題二: 能否用數(shù)學(xué)語言刻畫“當(dāng)n無限增大, yn無限接近A”?以 為例，用(0) 刻畫 yn 與 1 的接近程度，則對于 只要 有對于 只要 有對于 只要 有概括起來，第二章 極限與連續(xù)5問題二: 能否用數(shù)學(xué)語言刻畫“當(dāng)n無限增第二章 極限與連續(xù)

3、6二、數(shù)列極限的定義1. 刻畫yn與A的接近程度，N刻畫 n 充分大的程度；注: 具有任意性，N的存在常依賴于.定義對于數(shù)列yn, 若存在數(shù) A 使得則稱yn當(dāng)n收斂于A 或 以A為極限，若yn不收斂(無極限)，則稱其發(fā)散.記作2. 考察數(shù)列極限，只關(guān)心 n 充分大時數(shù)列的趨勢.了解第二章 極限與連續(xù)6二、數(shù)列極限的定義1. 刻畫yn與A的第二章 極限與連續(xù)72)1)注: 1. 用定義證明：設(shè) 從 解出 n 的范圍；2. 用定義只能驗證極限，不能求極限.4)證明3)證明按數(shù)列極限定義證明：例1第二章 極限與連續(xù)72)1)注: 1. 用定義證明：設(shè) 第二章 極限與連續(xù)8三、數(shù)列極限的運算法則 (

4、課本p.662.5 )設(shè)則特別地，證明定理會應(yīng)用第二章 極限與連續(xù)8三、數(shù)列極限的運算法則 (課本p.66第二章 極限與連續(xù)9例3設(shè)函數(shù) ，求極限 (考研題) (上下同除以n3)例2求極限： 注意: 極限四則運算只適用于有限項運算，且各項極限存在!(先求括號內(nèi)各項之和)第二章 極限與連續(xù)9例3設(shè)函數(shù) 第二章 極限與連續(xù)10性質(zhì)2（有界性）收斂的數(shù)列必定有界.性質(zhì)1（唯一性）收斂的數(shù)列只有一個極限.四、收斂數(shù)列的性質(zhì)(課本p.60-62 2.2,2.3 )性質(zhì)3（保號性）如果且了解性質(zhì)4（保序性）設(shè)使得 時，則 。第二章 極限與連續(xù)10性質(zhì)2（有界性）收斂的數(shù)列必定有界.性第二章 極限與連續(xù)11

5、五、數(shù)列收斂的準(zhǔn)則 (課本p.712.6 )夾逼準(zhǔn)則若數(shù)列 xn, yn, zn 滿足：則數(shù)列xn收斂，且(可放寬至“nN”)例4 求下列極限：會應(yīng)用第二章 極限與連續(xù)11五、數(shù)列收斂的準(zhǔn)則 (課本p.712第二章 極限與連續(xù)12單調(diào)有界準(zhǔn)則 單調(diào)有界數(shù)列必收斂.2)* 證明數(shù)列收斂.（課本p.75-76）1. 單調(diào)、有界，兩條件缺一不可；注: 2. 反過來，收斂數(shù)列必有界，但未必單調(diào)!例51)* 設(shè), 證明xn收斂并求極限.了解第二章 極限與連續(xù)12單調(diào)有界準(zhǔn)則 單調(diào)有界數(shù)列必收斂.2第二章 極限與連續(xù)132.2 函數(shù)的極限一、x 型的函數(shù)極限二、xx0 型的函數(shù)極限三、函數(shù)極限的運算法則四

6、、函數(shù)收斂的性質(zhì)與準(zhǔn)則五、兩個重要的函數(shù)極限第二章 極限與連續(xù)132.2 函數(shù)的極限一、x 定義對于U(+)上的函數(shù) f(x), 若存在數(shù) A 使得則稱f(x)當(dāng)x+時收斂于A 或 以A為極限，1) 證明例1 第二章 極限與連續(xù)14一、x 型的函數(shù)極限 記作了解1. 數(shù)列極限是其特殊情形.注: 幾何意義：2. 觀察函數(shù)圖象特征可以確定某些極限. 如定義對于U(+)上的函數(shù) f(x), 若存在數(shù) A 使得1第二章 極限與連續(xù)15類似可定義:定理 例1 2) 記住結(jié)論了解第二章 極限與連續(xù)15類似可定義:定理 例1 2) 記住結(jié)論第二章 極限與連續(xù)16幾何意義：二、xx0 型的函數(shù)極限定義對于Uo

7、(x0)上的函數(shù) f(x), 若存在數(shù) A 使得則稱f(x)當(dāng)xx0時收斂于A 或 以A為極限，記作 注意: 與f(x0)無關(guān)！1)例2 2) 證明了解第二章 極限與連續(xù)16幾何意義：二、xx0 型的函數(shù)極限定第二章 極限與連續(xù)17類似可定義: xx0的左、右極限定理 例3討論下列函數(shù)當(dāng)x0時有無極限：記住結(jié)論了解第二章 極限與連續(xù)17類似可定義: xx0的左、右極限定理定理(四則運算)設(shè)則第二章 極限與連續(xù)18三、函數(shù)極限的運算法則（xX: 任意一類函數(shù)極限）會應(yīng)用特別地，定理(四則運算)設(shè)則第二章 極限與連續(xù)18三、函數(shù)極限的運算第二章 極限與連續(xù)多項式函數(shù)求單點極限, 只需計算函數(shù)值；有

8、理分式函數(shù)(分母極限不為0)求單點極限, 只需計算函數(shù)值；有理分式函數(shù)(分母0)求單點極限, 約分去零因子有理分式函數(shù)求極限，必要時除以最大方冪例4 計算下列極限:19有理化去零因子第二章 極限與連續(xù)多項式函數(shù)求單點極限, 只需計算函數(shù)值；有第二章 極限與連續(xù)20性質(zhì)1（唯一性） 略四、函數(shù)收斂的性質(zhì)與準(zhǔn)則性質(zhì)4（局部保序性）性質(zhì)3（局部保號性）性質(zhì)2（局部有界性）則(以 xx0 型函數(shù)極限為例)了解第二章 極限與連續(xù)20性質(zhì)1（唯一性） 略四、函數(shù)收斂的性第二章 極限與連續(xù)21夾逼準(zhǔn)則若函數(shù) f(x), g(x), h(x) 滿足：則(可放寬至“xU(X)”)例5 證明：會應(yīng)用第二章 極限與

9、連續(xù)21夾逼準(zhǔn)則若函數(shù) f(x), g(x),設(shè)則， 且令u = g(x)補充(變量替換) *會應(yīng)用令 u = 1/ x例:令 u = x2設(shè)則， 且令u = g(x)補充(第二章 極限與連續(xù)23五、兩個重要的函數(shù)極限1.證:同除以 sin x 得即而由夾逼準(zhǔn)則知先證令 u = -x，則(如圖記結(jié)論,會用第二章 極限與連續(xù)23五、兩個重要的函數(shù)極限1.證:同除以 第二章 極限與連續(xù)24例6 求下列極限：1)2)3)利用 求極限: step 1. 找 sin ， step 2. 湊 sin/.第二章 極限與連續(xù)24例6 求下列極限：1)2)3)利用 第二章 極限與連續(xù)252.證明概要: 設(shè) n

10、x n+1, 則再由變量替換法則，可證得根據(jù)夾逼準(zhǔn)則，有記結(jié)論,會用第二章 極限與連續(xù)252.證明概要: 設(shè) n x n第二章 極限與連續(xù)263)2)利用 求極限: step 1. 判斷是否(1+0)型極限, step 2. 湊 (1+1/).例7 求下列極限：1)第二章 極限與連續(xù)263)2)利用 2.3 無窮小量與無窮大量一、無窮小量二、無窮大量三、無窮小量的階四、無窮小量等價代換2.3 無窮小量與無窮大量一、無窮小量一、無窮小量定義若 ，則稱 f(x) 為當(dāng)xX 時的無窮小量.注: 1. 無窮小量與其極限過程有關(guān)；2. 無窮小量是函數(shù)，不同于很小的數(shù)；4. 無窮小量乘以有界量仍為無窮小量

11、.3. 為xX 時的無窮小量；例: x2, sinx, 0 是 x0 時的無窮小量； 若 f(x) 在 X 某鄰域內(nèi)有界，則稱 f(x) 為xX 時的有界量.cos x, sin x / x 是 x0 時的有界量. 一、無窮小量定義若 定義二、無窮大量注: 若 ，則稱 f(x) 為當(dāng)x時的無窮大量.1. 無窮大量與其極限過程有關(guān)；2. 無窮大量是函數(shù)，不同于很大的數(shù)；4. 無窮小(非零)的倒數(shù)是無窮大, 無窮大的倒數(shù)是無窮小.例: 1/x 是 x0 時無窮大量； tan x 是 x/ 2 時無窮大量. 3. 無窮大量是函數(shù)發(fā)散的一種情況；了解定義二、無窮大量注: 若 例1 利用無窮小量、無窮大

12、量的性質(zhì)計算下列極限：例1 利用無窮小量、無窮大量的性質(zhì)計算下列極限：若則稱 f 是比 g 高階的無窮小量，定義設(shè)且若則稱 f 與 g 同階的無窮小量，記作三、無窮小量的階特別地若 C = 1，則稱 f 與 g 是等價的無窮小量，記作記作若則稱 f 是比 g 高階的無窮小量，定義設(shè)且若則稱 f 與例2 比較 x0 時下列各無窮小量的階： 1) sin x 與 x, tan x 與 x；2) 與 x；4) 1-cos x 與 x2/2；3) 與 x (x0+) ； arcsin x arctan x ln(1+x) e x -1x sin x tan x 1-cos x x2/2； x0 時常用

13、等價無窮小量等價同階等價要記例2 比較 x0 時下列各無窮小量的階： 1) sin x四、無窮小量等價代換注: 1. 極限式的分子/分母如果為若干因子的乘積, 則對任意一個或幾個無窮小因子做等價無窮小代換, 不改變極限值1) 若 存在，則定理設(shè) f(x), g(x) 是 xX 時的等價無窮小量，2) 若 存在，則2. 等價無窮小量代換 應(yīng)用于加減運算 有 條件限制.四、無窮小量等價代換注: 1. 極限式的分子/分母如果為若干例3 用等價無窮小量代換完成下列各題：1)4)2)3) 求(注意: 分子不可換為x-x)例3 用等價無窮小量代換完成下列各題：1)4)2)3) 求2.4 連續(xù)函數(shù)一、連續(xù)函

14、數(shù)的概念二、函數(shù)的間斷點三、連續(xù)函數(shù)的運算法則四、利用函數(shù)連續(xù)性求函數(shù)極限五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2.4 連續(xù)函數(shù)一、連續(xù)函數(shù)的概念一、連續(xù)函數(shù)的概念定義設(shè)函數(shù) f 在某U(x0)內(nèi)有定義. 則稱 f 在點 x0 連續(xù) .若注：2. 連續(xù)意味著 “極限運算與f 可換”.1. 連續(xù)的幾何意義. 例：x 在 R 上處處連續(xù) ; 在 x = 0連續(xù)其中x = x-x0與y = f(x)-f(x0) 為自變量/函數(shù)的增量. f 在 x0 連續(xù)3. 等價定義：一、連續(xù)函數(shù)的概念定義設(shè)函數(shù) f 在某U(x0)內(nèi)有定義. 定義設(shè)函數(shù) f 在某U(x0) 內(nèi)有定義. 則稱 f 在點 x0 右 連續(xù) .若(U

15、-(x0) )(左) f 在點x0 連續(xù) f 在點 x0 左連續(xù)且右連續(xù).定理討論函數(shù) 在點 x = 0 的連續(xù)性. 例1.定義設(shè)函數(shù) f 在某U(x0) 若稱 f 在 a, b) 上連續(xù)，則端點 a 處實際只要求右連續(xù)，定義若 f 在 I 上的每一點都連續(xù), 則稱 f 為 I 上的連續(xù)函數(shù).注:對于區(qū)間 a, b 或 (a, b, 情況類似. y = sin x 在 R 上連續(xù).例： 在 0, +) 上連續(xù)；若稱 f 在 a, b) 上連續(xù)，則端點 a 處實際只要求二、函數(shù)的間斷點間斷點分類定義設(shè)函數(shù) f 在某Uo(x0)內(nèi)有定義. 則稱點 x0 為 f 的間斷點或不連續(xù)點.若 f 在點 x

16、0 不連續(xù)，可去型跳躍型無窮型振蕩型第一類(左右極限均存在)第二類(其他情況)會分類二、函數(shù)的間斷點間定義設(shè)函數(shù) f 在某Uo(x0)內(nèi)有定義.例2 求下列函數(shù)的間斷點，并判斷其類型： 例2 求下列函數(shù)的間斷點，并判斷其類型： 三、連續(xù)函數(shù)的運算法則若函數(shù) f 和 g 在點x0連續(xù)，則 fg，fg， f/g四則運算(對除法要求g(x0)0)也都在x0連續(xù).復(fù)合運算*若 y=f(u), u=g(x) 都連續(xù), 則 y = fg(x) 亦連續(xù). 一切基本初等函數(shù)都是其定義域上的連續(xù)函數(shù). 定理任何初等函數(shù)都是其定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù). 強調(diào)“區(qū)間 ”旨在排除定義域中可能有的孤立點，注:例如， 是初等

17、函數(shù)，但在其定義域為單點 0 .了解三、連續(xù)函數(shù)的運算法則若函數(shù) f 和 g 在點x0連續(xù)，則 四、利用函數(shù)連續(xù)性求函數(shù)極限例3 求下列極限： 法一: 若 f 在 x0 連續(xù), 則 法二: 復(fù)合函數(shù)求極限，外層極限符號可依次與連續(xù)函數(shù)則交換次序.四、利用函數(shù)連續(xù)性求函數(shù)極限例3 求下列極限： 法一: 若五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最值定理*若 f 在a, b上連續(xù), 則 f 在a, b上有最大、最小值.有界性定理若 f 在a, b上連續(xù), 則 f 在a, b上有界.介值定理最小值之間的任何實數(shù)，則至少存在一點 x0(a, b)，使得f(x0) = .若 f 在a, b上連續(xù)，若 是介于f 在a, b上最大、Mmy = f(x)了解五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最值定理*若 f 在a, b上例4 證明方程 x3 - 4x2 + 1=0 在 (0,1) 內(nèi)至少有一個根. 根的存在定理若 f 在a, b上連續(xù)，且f(a), f(b)異號，則至少存在f(x0) = 0 .一點 x0(a, b), 使得例4 證明方程 x3 - 4x2 + 1=0 在 (0,1. 圖像觀察函數(shù)極限的計算方法2. 按定義驗證3. 四