1、第四章 力學(xué)量隨時(shí)間的演化與對(duì)稱性 力學(xué)量隨時(shí)間的演化1守恒量有兩個(gè)特點(diǎn)：(1) 在任何態(tài)(t)之下的平均值都不隨時(shí)間改變； (2) 在任意態(tài)(t)下A的概率分布不隨時(shí)間改變。, =0力學(xué)量 為守恒量！第四章 力學(xué)量隨時(shí)間的演化與對(duì)稱性 力學(xué)量隨時(shí)間的演化1守恒能級(jí)簡并與守恒量的關(guān)系定理：設(shè)體系有兩個(gè)彼此不對(duì)易的守恒量F和G，則：體系能級(jí)一般是簡并的。2能級(jí)簡并與守恒量的關(guān)系定理：設(shè)體系有兩個(gè)彼此不對(duì)易的守恒量F證明：3證明：3推論：如果體系有一個(gè)守恒量F，而體系的某條能級(jí) 不簡并（即對(duì)應(yīng)于某能量本征值E只有一個(gè)本 征態(tài)），則 必為F的本征態(tài)。證明：4推論：如果體系有一個(gè)守恒量F，而體系的某條

2、能級(jí)證明：4 即空間反演算符，它的作用是把波函數(shù)中的 它是厄米算符，它的本征值只有 ， 即四、宇稱守恒宇稱算符 態(tài)函數(shù)的宇稱: 5 即空間反演算符，它的作用是把波函數(shù)中的四、宇稱守宇稱守恒要求：狀態(tài)波函數(shù)的奇偶性不隨時(shí)間變化。61956年以前，人們一直認(rèn)為自然界的各種基本相互作用過程都遵從宇稱守恒，但是，后來?xiàng)钫駥?、李政道和吳健雄證實(shí)了在弱相互作用過程中宇稱不守恒，從而使人類對(duì)自然界的對(duì)稱性有了新的認(rèn)識(shí)。 宇稱守恒要求：狀態(tài)波函數(shù)的奇偶性不隨時(shí)間變化。61956年判斷下列提法的正誤94頁。對(duì)于自由粒子， ，證明動(dòng)量 是守恒量。 例題1：例題2：7判斷下列提法的正誤94頁。對(duì)于自由粒子， ，證明

3、動(dòng)量 是守恒教材96頁 4.4 。8教材96頁 4.4 。84.4守恒量與對(duì)稱性德國數(shù)學(xué)家魏爾（H.Weyl,1885-1955）用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母拍蠲枋鰧?duì)稱性. 他對(duì)上述現(xiàn)象作了如下表述：若某圖形通過鏡面反射又回到自己，則該圖形對(duì)該鏡面是反射對(duì)稱或雙向?qū)ΨQ的.若某一圖形圍繞軸作任何轉(zhuǎn)動(dòng)均能回到自身，則該圖形具有對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)的對(duì)稱性.（一）關(guān)于對(duì)稱性無論對(duì)藝術(shù)還是自然科學(xué)，對(duì)稱性都是重要的研究對(duì)象.94.4守恒量與對(duì)稱性（一）關(guān)于對(duì)稱性無論對(duì)藝術(shù)還是自然科學(xué)20世紀(jì)初，人們認(rèn)識(shí)了守恒定律和對(duì)稱性的關(guān)系. 愛因斯坦在狹義相對(duì)論將反映時(shí)空對(duì)稱性的相對(duì)性原理從力學(xué)推廣于全部物理學(xué)，愛因斯坦用對(duì)稱性研究引力.2

4、0世紀(jì)中，人們還看到規(guī)范對(duì)稱性決定著各種相互作用的特征.如粒子物理弱相互作用下由左右不對(duì)稱，這意味著有對(duì)稱又有不對(duì)稱.從上述中已能看到對(duì)稱性在現(xiàn)代物理學(xué)中的重要作用同時(shí)也看到物理學(xué)中的對(duì)稱性已被研究得何等深入，包含了多么博大深邃的人類的智慧，科學(xué)美與藝術(shù)美也統(tǒng)一起來了. 1020世紀(jì)初，人們認(rèn)識(shí)了守恒定律和對(duì)稱性的關(guān)系. 愛因斯坦在狹一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性就是它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的不變性。在量子力學(xué)中，運(yùn)動(dòng)規(guī)律是薛定諤方程，它決定于系統(tǒng)的哈密頓算符 ，因此，量子力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性表現(xiàn)為哈密頓算符 的不變性。 在量子力學(xué)中，我們將看到：能量、動(dòng)量、角動(dòng)量的守恒與時(shí)空對(duì)稱性有密切關(guān)系。空間旋轉(zhuǎn)不變性 角動(dòng)量守

5、恒空間反演對(duì)稱性 宇稱守恒空間平移不變性 動(dòng)量守恒11守恒量與對(duì)稱性一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性就是它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的不變性。在量子力學(xué)中，即：12守恒量與對(duì)稱性考慮某種線性變換Q(存在逆變換Q-1, 但和時(shí)間無關(guān))，在Q變換下，體系對(duì)變換的不變性體現(xiàn)為因?yàn)?Q-1, 但和時(shí)間無關(guān)即：12守恒量與對(duì)稱性考慮某種線性變換Q(存在逆變換Q-這就是體系 （Hamilton量）在變換Q下的不變性的數(shù)學(xué)表達(dá)。表明和變換 相聯(lián)系，必有一個(gè)守恒量。Q注意： 一般不是厄米算符，所以它本身不是守恒量算符，但它可以決定一個(gè)守恒量算符。凡滿足該式的變換稱為體系的對(duì)稱性變換13守恒量與對(duì)稱性這就是體系 （Hamilton量）在變

6、換Q下的不變性的數(shù)學(xué)表考慮到概率守恒，要求則Q應(yīng)為幺正變換（算符），即對(duì)于連續(xù)變換，可考慮無窮小變換，令即要求14守恒量與對(duì)稱性考慮到概率守恒，要求則Q應(yīng)為幺正變換（算符），即對(duì)于連續(xù)變換F為厄密算符，稱為變換Q的無窮小算符。由于其厄密性，可用它來定義一個(gè)與Q變換相聯(lián)系的可觀測(cè)量將體系在Q變換下的不變性 ,應(yīng)用到無窮小變換可導(dǎo)致F就是體系的一個(gè)守恒量一個(gè)體系若存在一個(gè)守恒量，則反映體系有某種對(duì)稱性，反之，不一定成立。對(duì)于幺正變換對(duì)稱性，的確存在相應(yīng)的守恒量15守恒量與對(duì)稱性F為厄密算符，稱為變換Q的無窮小算符。由于其厄密性，可用它來例1. 空間平移不變性與動(dòng)量守恒考慮沿 方向的無窮小平移 ，則

7、波函數(shù)的變化為 于是平移變換算符為： 其中：為相應(yīng)的無窮小算符16守恒量與對(duì)稱性例1. 空間平移不變性與動(dòng)量守恒考慮沿 方向的無窮小對(duì)于三維空間的無窮小平移 ，則有 其中： 即動(dòng)量算符。如果體系對(duì)于平移具有不變性，即 則有 根據(jù)力學(xué)量守恒條件可知：動(dòng)量算符守恒。17守恒量與對(duì)稱性對(duì)于三維空間的無窮小平移 ，則有其中： 即動(dòng)量算符例2.空間旋轉(zhuǎn)不變性與角動(dòng)量守恒。則波函數(shù)的變化為 于是繞z軸旋轉(zhuǎn)的變換算符為： 其中： 是大家熟知的角動(dòng)量的z分量算符 18守恒量與對(duì)稱性例2.空間旋轉(zhuǎn)不變性與角動(dòng)量守恒。則波函數(shù)的變化為 于是繞 軸旋轉(zhuǎn)的變換算符為:現(xiàn)在來考慮三維空間中的繞某方向 （單位矢）的無窮小旋轉(zhuǎn) 則波函數(shù)的變化為 19守恒量與對(duì)稱性于是繞 軸旋轉(zhuǎn)