1、n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪問題1請同學(xué)們閱讀教材第四章的章頭圖和章引言，并回答如下問題：整體感知（1）本章要學(xué)習(xí)的內(nèi)容是什么？涉及到哪些函數(shù)？（2）如何研究這些函數(shù)？研究這些函數(shù)的哪些方面？（3）這些函數(shù)可以解決哪些實際問題？問題1請同學(xué)們閱讀教材第四章的章頭圖和章引言，并回答如下問問題1請同學(xué)們閱讀教材第四章的章頭圖和章引言，并回答如下問題：整體感知（1）本章要學(xué)習(xí)的內(nèi)容是什么？涉及到哪些函數(shù)？指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，并學(xué)會利用它們解決實際問題問題1請同學(xué)們閱讀教材第四章的章頭圖和章引言，并回答如下問問題1請同學(xué)們閱讀教材第四章的章頭圖和章引言，并回答如下問題：整體感知（2）如何研

2、究這些函數(shù)？研究這些函數(shù)的哪些方面？類比冪函數(shù)的學(xué)習(xí)，根據(jù)研究一類函數(shù)的過程和方法，對指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)按照“背景概念圖象和性質(zhì)應(yīng)用”的路徑進(jìn)行研究需要研究它們的概念、圖象、性質(zhì)問題1請同學(xué)們閱讀教材第四章的章頭圖和章引言，并回答如下問問題1請同學(xué)們閱讀教材第四章的章頭圖和章引言，并回答如下問題：整體感知（3）這些函數(shù)可以解決哪些實際問題？比如細(xì)胞分裂的數(shù)量隨時間的變化的規(guī)律是成指數(shù)增長的；未受控制的傳染病在大量人群中傳播的初期都是成指數(shù)增長的；利用放射性物質(zhì)的衰減測定遺址及文物的年代；地震的強度單位震級是用對數(shù)進(jìn)行運算的問題1請同學(xué)們閱讀教材第四章的章頭圖和章引言，并回答如下問創(chuàng)設(shè)情境問題2

3、為了研究指數(shù)函數(shù)，我們需要把指數(shù)的范圍拓展到全體實數(shù)初中已經(jīng)學(xué)過整數(shù)指數(shù)冪，請回顧正整數(shù)指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義及其運算性質(zhì)根據(jù)整數(shù)指數(shù)冪的意義和運算性質(zhì)，你覺得指數(shù)的范圍還能進(jìn)一步拓展嗎？正整數(shù)指數(shù)冪來源于數(shù)的自乘運算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪來源于數(shù)的自乘運算的倒數(shù)，這種指數(shù)運算在表示方式上更加簡潔在冪函數(shù)的學(xué)習(xí)時，我們把正方形場地的邊長c關(guān)于面積S的函數(shù) 記作 ，因此猜測，指數(shù)的范圍還能進(jìn)一步拓展創(chuàng)設(shè)情境問題2為了研究指數(shù)函數(shù)，我們需要把指數(shù)的范圍拓展到新知探究問題3初中階段，我們由平方、立方的運算，引入了平方根、立方根類比平方根、立方根與平方、立方之間的關(guān)系，試著說說4次方根、5次方根由此可以得

4、出n次方根的概念嗎？解：(2)416，我們把2叫做16的4次方根；2532，我們把2叫做32的5次方根；(2)532，我們把2叫做32的5次方根；n次方根：一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*新知探究問題3初中階段，我們由平方、立方的運算，引入了平方追問1在實數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)有沒有偶次方根？為什么？在實數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)沒有偶次方根因為任何實數(shù)的偶數(shù)次方冪都是正數(shù)，從而負(fù)數(shù)的偶數(shù)次方根找不到對應(yīng)的實數(shù)如果要討論負(fù)數(shù)的偶次方根，就必須將數(shù)域從實數(shù)再進(jìn)行擴充，此時暫不做討論新知探究追問1在實數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)有沒有偶次方根？為什么？在實數(shù)范圍追問2觀察所舉的例子，當(dāng)n為偶數(shù)時，被開

5、方數(shù)的符號、n次方根分別是什么？當(dāng)n為奇數(shù)時呢？新知探究式子 叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)當(dāng)n為偶數(shù)時，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，正數(shù)的n次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)這時，正數(shù)a的正的n次方根用 表示，負(fù)的n次方根用 表示正的n次方根與負(fù)的n次方根可以合并寫成 當(dāng)n為奇數(shù)時，被開方數(shù)是實數(shù)，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個負(fù)數(shù)，這時a的n次方根用 表示追問2觀察所舉的例子，當(dāng)n為偶數(shù)時，被開方數(shù)的符號、n次方追問30的n次方根該如何定義？新知探究0的任何次方根都是0，記作 追問30的n次方根該如何定義？新知探究0的任何次方根都是0新知探究解：（1）由 ， ， ， 無意義

6、，可以抽象得到：只要 有意義，則 一定成立（2）由 ， ， ，可以抽象得到：當(dāng)n為奇數(shù)時， 一定成立問題4 一定成立嗎？ 表示an的n次方根， 一定成立嗎？如果不一定成立，那么 等于什么？新知探究解：（1）由 ， 新知探究解： （3）由 ， ， ，可以抽象得到：當(dāng)n為偶數(shù)時，問題4 一定成立嗎？ 表示an的n次方根， 一定成立嗎？如果不一定成立，那么 等于什么？新知探究解： （3）由 ， 新知探究例1求下列各式的值：（1） ； （2） ； （3） ； （4） 解：（1） ；（2） （3） （4）新知探究例1求下列各式的值：（1） 新知探究問題5負(fù)整數(shù)指數(shù)冪是用于表示分式的，例如 ，其本質(zhì)是把指

7、數(shù)的范圍從正整數(shù)拓展到全體整數(shù)得到的如果把指數(shù)的范圍從整數(shù)拓展到分?jǐn)?shù)，那么分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義又是什么呢？它與根式又什么關(guān)系？嘗試給出一個合理的規(guī)定，在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間建立起聯(lián)系，并談?wù)勀銓@樣規(guī)定的合理性新知探究問題5負(fù)整數(shù)指數(shù)冪是用于表示分式的，例如 追問1根據(jù)n次方根的定義和數(shù)的運算，我們知道新知探究這就是說，當(dāng)根式的被開方數(shù)（看成冪的形式）的指數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式那么當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時，比如 ，這樣的根式是否也可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式？如何表示？追問1根據(jù)n次方根的定義和數(shù)的運算，我們知道新知探究這就是新知探究我們規(guī)定，正數(shù)的正分?jǐn)?shù)

8、指數(shù)冪的意義是于是，在條件a0，m，nN*，n1下，根式都可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式新知探究我們規(guī)定，正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是于是，在條件a追問2閱讀教科書，并結(jié)合正數(shù)的負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，你能說出正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義嗎？新知探究因為正數(shù)的負(fù)整數(shù)指數(shù)冪是在正整數(shù)指數(shù)冪的基礎(chǔ)上取倒數(shù)，所以正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪也是在正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的基礎(chǔ)上取倒數(shù)我們規(guī)定例如，追問2閱讀教科書，并結(jié)合正數(shù)的負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指追問30與負(fù)數(shù)有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪嗎？為什么？新知探究與0的整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定，0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0而因為0不能做分母，所以0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義對于負(fù)數(shù)，根

9、據(jù)前面的討論已知，在實數(shù)范圍內(nèi)負(fù)數(shù)沒有偶次方根，所以對于負(fù)數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，此時暫不做討論追問30與負(fù)數(shù)有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪嗎？為什么？新知探究與0的整數(shù)指新知探究問題6規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以后，指數(shù)冪ax中指數(shù)x的取值范圍就從整數(shù)拓展到了有理數(shù)那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)冪是否還適用？為什么？整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用，即對于任意有理數(shù)r，s，均有下面的運算性質(zhì)（1）（2） （3）新知探究問題6規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以后，指數(shù)冪ax中指數(shù)新知探究問題6規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以后，指數(shù)冪ax中指數(shù)x的取值范圍就從整數(shù)拓展到了有理數(shù)那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)冪是

10、否還適用？為什么？可以通過n次方根與有理數(shù)指數(shù)冪的關(guān)系，對上述三個性質(zhì)進(jìn)行證明下面以性質(zhì)（1）為例首先考慮r0，s0的情況由于r，s是有理數(shù)，所以可設(shè) ，其中m，n，p，q都是正整數(shù)，且m與n互質(zhì)，p與q互質(zhì)，所以新知探究問題6規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以后，指數(shù)冪ax中指數(shù)新知探究問題6規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以后，指數(shù)冪ax中指數(shù)x的取值范圍就從整數(shù)拓展到了有理數(shù)那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)冪是否還適用？為什么？對于r0，s0的情形，可以轉(zhuǎn)化為正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的情形進(jìn)行證明新知探究問題6規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以后，指數(shù)冪ax中指數(shù)新知探究例2求值：（1） ； （2） 解：（1） ；（2）

11、新知探究例2求值：（1） ； （2） 新知探究例3用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式（其中a0）：（1） ； （2） 解：（1）（2） 新知探究例3用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式（其中a0）：新知探究例4計算下列各式（式中字母均是正數(shù)）：（1） ；（2） ；（3）（2） 解：（1）新知探究例4計算下列各式（式中字母均是正數(shù)）：（1）新知探究例4計算下列各式（式中字母均是正數(shù)）：（1） ；（2） ；（3）解：（3）新知探究例4計算下列各式（式中字母均是正數(shù)）：（1）歸納小結(jié)問題7本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？怎樣研究的？有理數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì)有什么特點？研究內(nèi)容和路徑可以用下圖表示：歸納小結(jié)問題7本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？怎樣研究的？有理數(shù)指數(shù)歸納小結(jié)問題7本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？怎樣研究的？有理數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì)有什么特點？分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，與整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是一致的，也就是說將指數(shù)的范圍從整數(shù)拓展到有理數(shù)后，其運算性質(zhì)保持不變其形式上就是冪之間的運算轉(zhuǎn)化為指數(shù)間的運算，這一轉(zhuǎn)化是以降低一個運算級來實現(xiàn)的歸納小結(jié)問題7本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？怎樣研究的？有理數(shù)指數(shù)目標(biāo)檢測用根式的形式表示下列各式（a0）：1（1） ；（2） ；（3） ；（4） 答案：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 目標(biāo)檢測用根式的形式表示下列各式（a0）：1（1） 目標(biāo)檢測用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示