1、(a-b)+2c(a-22222(4)=(aab)+(ab-b)2 575 27=a(a-b)+b(a-b)552222225=(a+b)(ab)(a+b)(aab+ab-ab+b)4 3 2 2 3 4例 2 a+b+c3abc333本題實(shí)際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6)分析 我們已經(jīng)知道公式222(a+b)=a+3ab+3ab+b33223322(4)ab=(a-b)(a+ab+b)2332下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式：333(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；2這個(gè) 式也是一個(gè)常用的公式，本題就借助于它來推導(dǎo)222解 =(a+b)3ab(a+b)+c-3

2、abc3333223nnnn2=(a+b+c)(a+b+cabbcca)2 2 2nn說明 公式(6)是一個(gè)應(yīng)用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結(jié)論，例如：我們將公式(6)變形為a+b+c3abc333(1)-2x y+4x y -2x y ； 3322顯然，當(dāng)a+b+c=0時(shí)，則a+b+c=3abc；當(dāng)a+b+c0時(shí)，則3773342433333222 n2333 nn22(2)=x+(-2y)+(z)-3x(2y)(Z)333等號(hào)成立的充要條件是 x=y=z這也是一個(gè)常用的結(jié)論例 3 x +x+x+x+x+1=(x-2y-z)(x+4y+z+2xy+xz2yz)222222n=x(x1)

3、+(x-8)(x-1)2x 1=(x1)(x+x+x+x+x+1)，2說明 拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種96(2)(m-1)(n1)+4mn；22(3)(x+1)+(x-1)+(x-1)；2424(4)ab-ab+a+b+12332解 (1)將-3拆成1-11原式=x+x+x-11-1963=(x-1)+(x1)+(x1)396=(x-1)(x+x+1)+(x1)(x+1)+(x1)336333=(x-1)(x6+2x3+3)3=(x1)(x+x+1)(x+2x+3)326(2)將 4mn拆成2mn

4、+2mn原式=(m-1)(n-1)+2mn+2mn22=mn-m-n+1+2mn+2mn22=(mn+2mn+1)-(m2mn+n)22=(x1)(x+x+1)9(x-1)2(3)(x-1)拆成 2(x-1)(x1)222222原式=(x+1)+2(x1)-(x-1)+(x1)44222242242=(x+1)+(x-1)-(x-1)222=(2x+2)-(x1)=(3x+1)(x+3)222222=(x1)(x+x-8)2原式=ab-ab+a+b+1+ab-ab233233原式=9x-8x9x+833323=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b+1)2=(9x9x)+(-8x+

5、8)33=a(a-b)b(a+b)+1+(ab+b+1)2=9x(x+1)(x-1)-1)(x+x+1)2=a(ab)+1(ab+b+1)222說明 都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變?cè)托伦冊(cè)梢砸黄鹱冃?，換元法的本質(zhì)是簡化多項(xiàng)式例 9 分解因式：6x+7x-36x-7x+643242=6(x2x+1)+2x+7x(x1)-36x4 2 2 2 2=6(x-1)2+2x+7x(x1)36x2 2 2 2=6(x1)+7x(x-1)24x2222=2(x-1)-3x3(x-1)+8x22=(2x3x2)(3x+8x-3)2 22=(2x+1)(x2)(3x1)(x+3)說明

6、 本解法實(shí)際上是將x-12元來代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設(shè)置新元來代替整體=(y2)(y+5)=(x+x-2)(x+x+5)22=(x1)(x+2)(x+x+5)22原式=x6(t+2)+7t3622=x(6t+7t24)=x(2t3)(3t+8)2222=x2(x1/x)33(x1/x)+82=(2x3x2)(3x+8x-3)22=(2x+1)(x2)(3x-1)(x+3)=(2x+5x+3)(2x+5x+2)9022222分析 項(xiàng)式保持不變，這樣的多項(xiàng)式叫作二元對(duì)稱式對(duì)于較難分解的二元對(duì)稱式，經(jīng)常令 u=x+y，v=xy，用換元法分解因式解 =(x+y)-xy-4xy(x+y)2xy x+y=u令 y=2x+5x+2，則22222原式=(u-v)4v(u2v)2=(2x+5x+12)(2x+7)(x-1)222422=(u-3v)2=(x+2xy+y-3xy)2222222=(x+6x+8)(x+5x+8)