1、淺議梁的強(qiáng)度與剛度的關(guān)系1)摘要本文提出了梁的強(qiáng)剛比的定義，用無量綱的形式定量地表達(dá)了梁的強(qiáng)度與剛度之間的關(guān)系，以期充 分發(fā)揮材料的潛力并促進(jìn)材料力學(xué)的課堂教學(xué)。強(qiáng)剛比與載荷大小無關(guān)，其數(shù)值可以通過有限元方法或者通過 梁的載荷試驗(yàn)來獲得。結(jié)合工程實(shí)際，從設(shè)計(jì)和試驗(yàn)兩個方面對梁的強(qiáng)剛比及其影響因素進(jìn)行了簡要地探討和 分析。關(guān)鍵詞 梁，強(qiáng)度，剛度，強(qiáng)剛比，安全系數(shù)THE RELATION BETWEEN STRENGTH AND RIGIDITY OF BEAM1)Abstract In order to make a full use of the potential of materials

2、as well as to promote the classroom teaching for the course of mechanics of materials, the strength-stiffness ratio of beams is introduced in the paper. The ratio provides a quantitative relation between the strength and the stiffness of beams in the non-dimensional form. It is independent of the ma

3、gnitude of load, its value can be obtained through the finite element method or through the load test of beams. Combined with the engineering practice, the strength-stiffness ratio of beams are analyzed with its influence factors from the aspects of design and test.Key words beam, strength, stiffnes

4、s, strength-stiffness ratio, safety factor通常強(qiáng)度是指物體承受載荷而不破壞的能力，剛 度是指物體抵抗變形的能力。材料力學(xué)以桿、柱、軸、 梁等簡單構(gòu)件為研究對象，其幾何特征是一個方向的 尺度遠(yuǎn)大于另外兩個方向的尺度A2。學(xué)生通過桿柱 的拉壓、圓軸的扭轉(zhuǎn)、梁的彎曲的學(xué)習(xí)，逐步建立起 強(qiáng)度和剛度的概念。在學(xué)生時代曾經(jīng)問過老師這樣 的問題：“滿足了剛度指標(biāo)的構(gòu)件，其強(qiáng)度指標(biāo)一定 能夠滿足嗎？”作為教師，有時候也會被學(xué)生問到類 似的強(qiáng)度與剛度關(guān)系的問題。事實(shí)上，剛度指標(biāo)是 針對構(gòu)件使用性能的需要而提出的對變形的限制或 變形能力的要求。顯而易見，對構(gòu)件剛度的要求具

5、有 多樣性。例如在生活中，秤桿不允許產(chǎn)生明顯的變形 以保證其稱重的準(zhǔn)確性，而扁擔(dān)則需要較大的彎曲 變形能力才能在使用時省力。在工程上，對變形限制 比較嚴(yán)格如有機(jī)床主軸等，其中有些變形限制隱含 了對受力穩(wěn)定性的要求，特別是薄壁構(gòu)件，例如起重 機(jī)的箱型主梁Bl等。而板簧以及其他各類彈簧則要 求具有較大的變形能力來實(shí)現(xiàn)儲能或減振隔振的功能，盡管這些不同的物體變形的大小和形式多種多 樣，但顯然都必須以滿足強(qiáng)度的要求作為前提。另一方面，由于變形的測量比應(yīng)力測量來的方 便，在構(gòu)件生產(chǎn)制造中往往通過變形測量來檢驗(yàn)構(gòu) 件的合格性，或者通過變形測量來確定構(gòu)件的安全 工作載荷，作為設(shè)計(jì)計(jì)算的依據(jù)或?qū)ζ浼右则?yàn)證I4

6、。 毫無疑問，從正常服役的要求來說，構(gòu)件的強(qiáng)度和剛 度指標(biāo)都必須同時得到滿足。然而，強(qiáng)度和剛度顯然 是兩個完全不同的概念，不容混淆。強(qiáng)度和剛度之間 是否存在普遍的確定的關(guān)系，以及二者通過怎樣的 方式聯(lián)系起來，搞清楚這個問題，不僅有助于加深對 基本概念的正確理解，提高教學(xué)水平和學(xué)生的學(xué)習(xí) 興趣，也是工程實(shí)際中設(shè)計(jì)者和生產(chǎn)者所十分關(guān)心 的重要問題，具有普遍的意義3，嘰材料力學(xué)是本科生接觸到的第一門變形體力學(xué), 其理論性和實(shí)踐性都很強(qiáng)嘰教學(xué)的改革與創(chuàng)新，首 先應(yīng)當(dāng)在教學(xué)內(nèi)容上下功夫7，其次要緊密結(jié)合工 程實(shí)際，在理論教學(xué)中適當(dāng)?shù)匾雽?shí)踐性問題同。由 此出發(fā)，本著節(jié)材節(jié)能綠色制造的理念，本文通過彎 曲

7、梁的強(qiáng)度與剛度之比的定義，簡要地探討梁的靜 載強(qiáng)度與剛度之間的關(guān)系，以期在確保安全的前提 下達(dá)到優(yōu)化設(shè)計(jì)的效果，同時在教學(xué)上加深學(xué)生對 基本概念的理解與掌握，提高學(xué)習(xí)積極性。1彎曲梁的強(qiáng)度與剛度之比工程上彎曲梁在服役狀態(tài)下必須同時滿足強(qiáng)度 和剛度的要求，梁的強(qiáng)度條件表達(dá)為【I-2Mh r 1 max = 1- 6 Eb。.2ns式中，bmax和M分別為彎曲梁的危險截面上的最 大應(yīng)力和彎矩，Iz為梁的軸慣性矩，h。為梁橫截面 的邊高，h為橫截面到中性軸的最大距離，如圖1所 示。通常h O.5ho (圖1(a)，僅當(dāng)橫截面幾何關(guān)于 中性軸對稱時h = O.5ho (圖Mh r 1 max = 1-

8、 6 Eb。.2nsyo 6 y(2)式中，yo為無量綱撓度，定義為梁的最大撓度與跨 距Z的比值。在本文中，懸臂梁的無量綱撓度在梁的 自由端處定義，簡支梁在跨距的中點(diǎn)處定義。梁的許圖1梁的橫截面與中性軸用無量綱撓度y則是結(jié)合了服役的經(jīng)驗(yàn)，綜合考慮 了梁變形的限制以及防止失穩(wěn)的要求，并考慮了剛 度條件的安全系數(shù)nr后所給出的控制參數(shù)。一般來 說，強(qiáng)度條件與剛度條件的安全系數(shù)未必相等。顯 然，滿足強(qiáng)度條件(1)和剛度條件(2)圖1梁的橫截面與中性軸處于彈性狀態(tài)的物體，其受力和變形存在確定 的對應(yīng)關(guān)系，材料服從虎克定律，由此可定義材料的 許用應(yīng)變回和條件屈服應(yīng)變力.2,分別為1bo.2洶=E(4)式

9、中，E為材料的彈性模量。許用應(yīng)變回與許用應(yīng) 力b可以看作是考慮了安全系數(shù)后的材料參數(shù)，二 者通過虎克定律相聯(lián)系。分別將梁的強(qiáng)度條件(1)和 剛度條件(2)(4)MhIz byo_(5)(6)不失一般性，假定彎曲梁的強(qiáng)度條件和剛度條件取 相同的安全系數(shù)，即n = ns = nro安全系數(shù)在本質(zhì) 上反映了主觀與客觀之間的某種聯(lián)系，要考慮的因 素很多，本文不作討論。利用材料力學(xué)1-2中梁的彎 矩和撓度的表達(dá)式，將不等式(5)和不等式(6)的左 邊相除，定義梁的強(qiáng)度與剛度比(5)(6)h y1 司式中,h=為梁的高跨比，C為梁的特性系數(shù)，其定 義為y l2C =外(8)ymax其中，；max和Viax

10、分別為梁的撓度及其二階導(dǎo)數(shù)的 最大值，注意梁的最大撓度和最大二階導(dǎo)數(shù)的位置 不一定重合。式還可以寫成&=gmax y(9)yo E事實(shí)上，式與式給出的強(qiáng)剛比定義是完全相 同的，式(7)適合于理論分析，而式(9)便于在工程 上利用數(shù)值計(jì)算或者試驗(yàn)來得到梁的強(qiáng)剛比。需要 指出的是，強(qiáng)剛比是利用強(qiáng)度條件和剛度條件來定 義的，強(qiáng)剛比用無量綱的形式表達(dá)了梁的強(qiáng)度與剛 度之間的定量關(guān)系，但與載荷的大小并無關(guān)系。在理 想的工作狀態(tài)下，有& = 1，梁的強(qiáng)度條件(1)和剛 度條件(2)同時得到滿足。表1列出了一部分梁的 特性系數(shù)，并按其大小順序進(jìn)行了排列。表1某些常見梁的特性系數(shù)C的數(shù)值序號梁的支撐與載荷梁的

11、簡圖1懸臂梁受集中力偶2懸臂梁受均布力3懸臂梁受集中力4簡支梁受均布力5簡支梁受集中力6兩端固支梁受均布力9.69.612322關(guān)于強(qiáng)剛比的討論2.1影響強(qiáng)剛比的因素由式可知，梁的強(qiáng)剛比與材料的許用應(yīng)變 司、梁的許用無量綱撓度y、高跨比h/l以及特性 系數(shù)C的數(shù)值大小等因素有關(guān)，其中司代表了材 料的影響。當(dāng)安全系數(shù)一定時，由式(3)可知，許用 應(yīng)變司是允許的材料彈性應(yīng)變最大值。高跨比h/l 屬于幾何參數(shù)，是設(shè)計(jì)時能夠直接調(diào)節(jié)的參數(shù)之一。 許用無量綱撓度y的取值則與梁的用途的多樣性 有關(guān)，從機(jī)床主軸【1的IO-4到箱型起重機(jī)梁罔的 10-3,從電纜橋架4的0.005到板簧的0.1左右。對 于不同

12、用途的梁，其許用撓度的取值顯然存在著數(shù) 量級的差異。關(guān)于梁的特性系數(shù)，由式(8)的定義可知，C 由ymax和ymax，即梁的撓度及其二階導(dǎo)數(shù)的最大值 來決定。眾所周知，根據(jù)材料力學(xué)的梁理論1-2，y 是曲率的近似值，對應(yīng)于梁的局部變形。由于曲率與 該處梁截面的彎矩相對應(yīng)，而彎矩的分布規(guī)律取決 于梁的加載方式和支撐形式。撓度y則是通過對y 進(jìn)行二次積分并結(jié)合邊界條件得到的，因此反 映了梁的載荷與支撐的影響。從數(shù)學(xué)的角度來看，對 y與y加以比較并考慮到二者之間的積分(或微分) 關(guān)系，如果說y在一定程度上反映了梁的局部變形 特性，y則更多地反映了梁的整體變形特性，在這個 意義上，C也是梁的局部變形與

13、整體變形關(guān)系的某 種反映。由表1可知，C的數(shù)值變化范圍是相當(dāng)大的。 對于相同的支撐形式，集中載荷的C數(shù)值大于均布 載荷的，說明在集中載荷作用下，梁的局部變形的不 均勻性相對較大，均布載荷的相對較小；對于不同的 支撐形式，簡支梁的C數(shù)值大于懸臂梁的，固支梁 的C數(shù)值又大于簡支梁的，反映了約束的強(qiáng)弱對梁 的整體變形的影響。比較而言，懸臂梁的約束相對較 弱，簡支梁居中，固支梁最強(qiáng)?？梢哉f，Cp數(shù)值變 化的范圍反映了梁的結(jié)構(gòu)形式和加載方式的多樣性 對強(qiáng)剛比的影響。通過前面的討論，梁的強(qiáng)剛比受到材料性能、幾 何特點(diǎn)、加載方式、支撐條件、許用撓度等多種因素 的影響，因此從理論上看，強(qiáng)剛比的數(shù)值可以在很大

14、的范圍內(nèi)變化。2.2關(guān)于強(qiáng)剛比的取值范圍本文前面提出的問題，即“滿足了剛度指標(biāo)的構(gòu) 件，其強(qiáng)度指標(biāo)一定能夠滿足嗎？”可通過對強(qiáng)剛比 的分析來回答。根據(jù)強(qiáng)剛比的定義可知，強(qiáng)剛比等于 梁的最大無量綱撓度達(dá)到許用撓度的時刻，梁的危 險截面上最大應(yīng)力與許用應(yīng)力的比值。在理想的工 作狀態(tài)下月=1，梁的強(qiáng)度條件和剛度條件能夠同時 獲得滿足，材料的利用率最為合理。由于影響強(qiáng)剛比 的因素較多，其數(shù)值變化的范圍很大，要求彎曲梁恰 好工作在理想的狀態(tài)之下，在設(shè)計(jì)上未必容易實(shí)現(xiàn)。 但另一方面，多種影響因素的存在也為設(shè)計(jì)者提供 了便利，即通過參數(shù)的調(diào)整，使得彎曲梁工作在接近 理想的狀態(tài)之下，即月值接近于1。如果梁的強(qiáng)

15、剛 比大于1，梁在剛度方面的安全性將高于強(qiáng)度方面的 安全性。具體而言，當(dāng)強(qiáng)度條件(5)取等號時，剛好 滿足了梁的強(qiáng)度條件，剛度條件(6)的左邊必然小 于1。這時，可將強(qiáng)度條件(5)取等號時梁所承受的 載荷作為許用載荷，即安全工作載荷。強(qiáng)剛比大于1 的情況表明，只要滿足了梁的強(qiáng)度條件，梁的剛度條 件總是能夠得到滿足的。反之，如果梁的強(qiáng)剛比小于1，梁在強(qiáng)度方面的 安全性將高于剛度方面的安全性，或者說強(qiáng)剛比小 于1是前述問題“滿足了剛度指標(biāo)的構(gòu)件，其強(qiáng)度 指標(biāo)一定能夠滿足”的適用條件。事實(shí)上，無論從理 論還是從實(shí)踐來說，人們對強(qiáng)度安全性的考慮總是 優(yōu)先于剛度安全性的考慮的。由于梁的撓度測量簡 便易行

16、，工程上常常需要通過撓度試驗(yàn)來獲取梁的 安全工作載荷囹，即許用載荷。當(dāng)強(qiáng)剛比小于1時, 以許用撓度為臨界的控制參數(shù)，加載時通過實(shí)時的 撓度測量值來控制加載的過程，即可獲得偏于安全 的許用載荷。綜上所述，從充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度潛力 和撓度試驗(yàn)的可行性兩方面考慮，在設(shè)計(jì)上使得強(qiáng) 剛比在小于1且接近1的范圍內(nèi)取值更為合理，也 有利于工程上順利地開展梁的撓度試驗(yàn)。2.3強(qiáng)剛比的數(shù)值計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測定隨著數(shù)值分析技術(shù)的發(fā)展和有限元軟件的普及, 有限元計(jì)算已經(jīng)成為構(gòu)件設(shè)計(jì)與優(yōu)化的重要手段。對 于復(fù)雜截面的梁結(jié)構(gòu)，簡單地采用梁理論進(jìn)行構(gòu)件 設(shè)計(jì)并不足以滿足實(shí)際的需要。利用式(9)可以方 便地從有限元計(jì)算的結(jié)果得到

17、梁的強(qiáng)剛比。在式(9) 中，同和y為已知參數(shù)，y和CTmax分別為計(jì)算得 到的最大無量綱撓度和最大應(yīng)力。這里需要注意的 幾點(diǎn)是，第一，計(jì)算對象在整體上處于彈性階段；第 二，bmax應(yīng)當(dāng)取自最大彎矩所在截面并位于距離中 性軸為h的表面處，參見圖1，而不是取自構(gòu)件上 的某個應(yīng)力集中處；第三，bmax可以取作最大等效 應(yīng)力。輔之以應(yīng)力測試技術(shù)回，同樣可以利用載荷試 驗(yàn)的結(jié)果得到梁的強(qiáng)剛比，這時y和bmax應(yīng)分別為 試驗(yàn)得到的最大無量綱撓度和最大應(yīng)力。一旦獲得 了梁的強(qiáng)剛比，無論來自計(jì)算還是試驗(yàn)，都可以用作 構(gòu)件優(yōu)化設(shè)計(jì)的參考，以期最大限度地發(fā)揮材料的 潛力。需要指出的是，強(qiáng)度和剛度這些基本概念最初 是通過材料力學(xué)的學(xué)習(xí)而建立起來的，理論上的分 析與思考正是通過基本概念進(jìn)行的。無論計(jì)算軟件 發(fā)展的多么強(qiáng)大，數(shù)值計(jì)算并不能代替理論上的分 析與思考。而理論指導(dǎo)下的實(shí)驗(yàn)是對理論分析與計(jì)算結(jié)果的最終檢驗(yàn)，理論、計(jì)算與實(shí)驗(yàn)三者相輔 相成。3結(jié)束語本文提出了梁的強(qiáng)