1、3.4 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)定理二、柯西不等式三、劉維爾定理一、高階導(dǎo)數(shù)定理分析則由柯西積分公式有又如果函數(shù) 在區(qū)域 D 內(nèi)解析，在 上連續(xù)，一、高階導(dǎo)數(shù)定理定理如果函數(shù) 在區(qū)域 D 內(nèi)解析，在 上連續(xù)，則 的各階導(dǎo)數(shù)均在 D 上解析，證明(略)意義解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍解析。應(yīng)用 推出一些理論結(jié)果。 反過來計算積分且 P71定理 3.9 (進入證明?)解例計算解P73 例3.12 部分 (1) 令解 例計算則(復(fù)合閉路定理)C2C1C2 i- i如圖，作 C1 , C2兩個小圓，記為解 例計算C2C2- iC1 i(2)(高階導(dǎo)數(shù)公式)同樣可求得(3)二、柯西不等式定理設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)解析

2、，且 則(柯西不等式)證明函數(shù) 在 上解析，令 即得 P73定理 3.10 三、劉維爾定理定理設(shè)函數(shù) 在全平面上解析且有界，則 為一常數(shù)。設(shè) 為平面上任意一點，證明函數(shù) 在 上解析，且根據(jù)柯西不等式有令 即得由 的任意性，知在全平面上有則 為一常數(shù)。P74 定理3.11證(反證法) 則函數(shù) 在全平面上解析，設(shè)函數(shù)其中， n 為正整數(shù)，例(代數(shù)基本定理)證明方程 在全平面上至少有一個根。假設(shè) 在全平面上無根，即又故 在全平面上有界，根據(jù)劉維爾定理有(常數(shù))，(常數(shù))，與題設(shè)矛盾。證(1) 任取正數(shù)則函數(shù) 在 內(nèi)解析，由高階導(dǎo)數(shù)公式有(注意 在 上的性態(tài)不知道)證(1)(2) 由有證(2) (1)

3、(3) 令 得證(1) 由于 在 內(nèi)解析，根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)定理可得在 內(nèi)， 也解析；(2) 由 可得在 內(nèi)， ，在 內(nèi)解析；(3) 根據(jù)柯西積分公式有證(4) 由即得 休息一下附：高階導(dǎo)數(shù)定理的證明定理如果函數(shù) 在區(qū)域 D 內(nèi)解析，在 上連續(xù)，則 的各階導(dǎo)數(shù)均在 D 上解析，且證明由函數(shù) 在 上連續(xù)，有在 上有界，即設(shè)邊界 C 的長度為 L。(1) 先證 的情形，即證附：高階導(dǎo)數(shù)定理的證明證明(1) 先證 的情形，即證根據(jù)柯西積分公式有附：高階導(dǎo)數(shù)定理的證明證明(1) 先證 的情形，即證記為 下面需要證明：當(dāng) 時，附：高階導(dǎo)數(shù)定理的證明證明(1) 先證 的情形，即證dDCz0如圖，設(shè) d 為 z0 到 C 的最短距離，取 適當(dāng)小，使其滿足則即得即由于前面已經(jīng)證明了解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是解析函數(shù)，附：高階導(dǎo)數(shù)定理的證明證明(2