1、山西省陽泉市外國語學(xué)校2022年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1. 設(shè)集合，則實(shí)數(shù)a，b必滿足 A B C D參考答案：D2. 設(shè)函數(shù)f（x）=x32ex2+mxlnx，記g（x）=，若函數(shù)g（x）至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A（，e2+B（0，e2+C（e2+，+D（e2，e2+參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【專題】計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【分析】由題意先求函數(shù)的定義域，再化簡為方程x32ex2+mxlnx=0有解，則m=x2+2ex+，求導(dǎo)求函數(shù)m=x2+2ex+

2、的值域，從而得m的取值范圍【解答】解：f（x）=x32ex2+mxlnx的定義域?yàn)椋?，+），又g（x）=，函數(shù)g（x）至少存在一個(gè)零點(diǎn)可化為函數(shù)f（x）=x32ex2+mxlnx至少有一個(gè)零點(diǎn)；即方程x32ex2+mxlnx=0有解，則m=x2+2ex+，m=2x+2e+=2（xe）+；故當(dāng)x（0，e）時(shí)，m0，當(dāng)x（e，+）時(shí)，m0；則m=x2+2ex+在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+）上單調(diào)遞減，故me2+2?e?e+=e2+；又當(dāng)x+0時(shí)，m=x2+2ex+，故me2+；故選A【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)與方程的關(guān)系，屬于中檔題3. 閱讀右面的程序框圖，輸出結(jié)果s的值

3、為ABCD參考答案：C略4. 已知i是虛數(shù)單位，則=( )A12iB2iC2+iD1+2i參考答案：D考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)分析：由題意，可對(duì)復(fù)數(shù)代數(shù)式分子與分母都乘以1+i，再由進(jìn)行計(jì)算即可得到答案解答：解：故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是分子分母都乘以分母的共軛，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算是復(fù)數(shù)考查的重要內(nèi)容，要熟練掌握5. 已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足，若存在兩項(xiàng)，使得，則的最小值為（ ）ABCD參考答案：B設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，且，由，得，化簡得，解得或（舍去），因?yàn)?，所以，則，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，解得，因?yàn)?，取整?shù)，所以均值不等

4、式等號(hào)條件取不到，則，驗(yàn)證可得，當(dāng)，時(shí)，取最小值為，故選B6. 已知向量=（2，3），=（1，2），若2與非零向量m+n共線，則等于（）A2B2CD參考答案：C【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用【分析】先求出2和m+n，再由向量共線的性質(zhì)求解【解答】解：向量=（2，3），=（1，2），2=（2，3）（2，4）=（4，1），m+n=（2mn，3m+2n），2與非零向量m+n共線，解得14m=7n， =故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩實(shí)數(shù)比值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量共線的性質(zhì)的合理運(yùn)用7. 已知函數(shù)f（x）=ax33x2+1，若f（

5、x）存在唯一的零點(diǎn)x0，且x00，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A（1，+）B（2，+）C（，1）D（，2）參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系【分析】由題意可得f（x）=3ax26x=3x（ax2），f（0）=1；分類討論確定函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及位置即可【解答】解：f（x）=ax33x2+1，f（x）=3ax26x=3x（ax2），f（0）=1；當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=3x2+1有兩個(gè)零點(diǎn)，不成立；當(dāng)a0時(shí)，f（x）=ax33x2+1在（，0）上有零點(diǎn)，故不成立；當(dāng)a0時(shí)，f（x）=ax33x2+1在（0，+）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；故f（x）=ax33x2+1在（，0）上沒有零點(diǎn)；而當(dāng)x=時(shí)，f

6、（x）=ax33x2+1在（，0）上取得最小值；故f（）=3?+10；故a2；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（，2）；故選：D8. 如果若干個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，則稱這些函數(shù)為“同簇函數(shù)”給出下列函數(shù)： ； ； 其中“同簇函數(shù)”的是 A. B. C. D. 參考答案：D略9. 若，則的值為 （） A B C D參考答案：C10. 下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是增函數(shù)又是奇函數(shù)的是（ ）（A） （B） （C） （ D）參考答案：A 二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 已知整數(shù)對(duì)排列如下，則第60個(gè)整數(shù)對(duì)是_.參考答案：12. 一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)直徑為2cm

7、的球面上，如果正四棱柱的底面邊長為1cm，那么該棱柱的表面積為 。參考答案： 13. 若，其中是虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)a的值為 參考答案：214. 已知平面向量與的夾角為，則_參考答案：3【分析】直接利用數(shù)量積的運(yùn)算法則求解.【詳解】由題得故答案為：3【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)量積的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.15. 已知集合，記和中所有不同值的個(gè)數(shù)為如當(dāng)時(shí)，由，得對(duì)于集合，若實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，則= 參考答案：16. 若cos（75a）=，則cos（30+2a）= 參考答案：【考點(diǎn)】兩角和與差的余弦函數(shù)；三角函數(shù)的化簡求值【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式，求出sin（15）的值，再利

8、用二倍角的余弦公式求得cos（302）的值【解答】解：cos（75）=sin（15+）=，則cos（30+2）=12sin2（15+）=12=故答案為：17. 已知雙曲線C：（）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若，且為等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為 參考答案：因?yàn)椋詾榈闹悬c(diǎn)， 又為的中點(diǎn)，所以，所以也是等腰三角形，則，則，所以，所以所求雙曲線的離心率為.三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. 如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點(diǎn)（1）求直線AC與PB所成角的余弦值；

9、（2）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE平面PAC參考答案：【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角；直線與平面垂直的判定【分析】（1）設(shè)ACBD=O，連OE、AE，將PB平移到OE，根據(jù)異面直線所成角的定義可知EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角，在AOE中利用余弦定理，即可求出AC與PB所成角的余弦值；（2）分別以AD、AB、AP為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，求出A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)，設(shè)N（0，y，z），利用空間互相垂直的向量數(shù)量積為零，建立關(guān)于x、y的方程組，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，1），即可得到N到AB、AP的距離分別為1和【解答】解：（1）設(shè)ACBD=O，連OE、AE，則OEPB

10、，EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角在AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，cosEOA=即AC與PB所成角的余弦值為（2）分別以AD、AB、AP為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則可得A（0，0，0）、B（0，0）、C（1，0）、D（1，0，0）、P（0，0，2）、E（，0，1），依題設(shè)N（0，y，z），則=（，y，1z），由于NE平面PAC，化簡得，可得y=，z=1因此，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，1），從而側(cè)面PAB內(nèi)存在一點(diǎn)N，當(dāng)N到AB、AP的距離分別為1和時(shí)，NE平面PAC19. （本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，且；數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且。（I）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

11、（II）若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求。參考答案：20. (本題滿分13分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，且.（）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列的前項(xiàng)的和；（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和參考答案：解：（）當(dāng)，； 1分當(dāng)時(shí)， ， ， 2分 是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)， 3分 由，得是等差數(shù)列，公差為2. 4分又首項(xiàng)， 5分 2得 6分得：7分 8分， 9分 10分（） 11分 12分 13分21. 某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本是20000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要另外投入100元，市場(chǎng)銷售部進(jìn)行調(diào)查后得知，市場(chǎng)對(duì)這種產(chǎn)品的年需求量為1000件，且銷售收入函數(shù)，其中t是產(chǎn)品售出的數(shù)量，且0t1000（利潤=銷售

12、收入成本）（1）若x為年產(chǎn)量，y表示利潤，求y=f（x）的解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，工廠的利潤最大，最大值為多少？參考答案：考點(diǎn)： 函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用專題： 綜合題分析： （1）根據(jù)利潤=銷售收入成本，結(jié)合銷售收入函數(shù)，可得分段函數(shù)；（2）分段求出函數(shù)的最值，從而可得工廠的利潤最大值解答： 解：（1）根據(jù)利潤=銷售收入成本，當(dāng)0 x1000時(shí)，t=x，可得y=x2+1000 x20000100 x=x2+900 x20000當(dāng)x1000時(shí)，t=1000，y=10002+1000220000100 x=480000100 x（4分）f（x）= （ 6分）（2）當(dāng)0 x1000時(shí)，f（x）=x2+900 x20000=（x900）2+38500 x=900時(shí)，f（x）max=38500，當(dāng)x1000時(shí)，f（x）=480000100 x為減函數(shù)f（x）48000010000=380000（11分）當(dāng)年產(chǎn)量為900件時(shí)，工廠的利潤最大，最大值為385000元（12分