1、高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)不等式第三節(jié)第1頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四三年13考 高考指數(shù):1.了解基本不等式的證明過程.2.會(huì)用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.第2頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四1.主要考查應(yīng)用不等式求最值和不等式的證明.2.對(duì)基本不等式的考查多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度為中低檔題，若出現(xiàn)證明題難度也不會(huì)太大.第3頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四1.基本不等式：(1)基本不等式公式成立的條件是_.(2)等號(hào)成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)_時(shí)取等號(hào).(3)其中 稱為正數(shù)a,b的_， 稱為正數(shù)a，b的_.a

2、0,b0a=b算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)第4頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四【即時(shí)應(yīng)用】判斷下列不等式是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填寫或)(1)a2+b22ab(a,bR) ( )(2)ab (a，bR) ( )(3) (a,bR) ( )(4) 2(a,b均不為零) ( )第5頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四【解析】(1)由(a-b)20得a2+b2-2ab0，即a2+b22ab，故(1)正確.(2)由(1)可知a2+b22ab，即a2+b2+2ab4ab,即(a+b)24ab,即ab ,故(2)正確.(3)由= 0,故(3)正確.(4)若a,b異號(hào)，

3、如a=-1,b=1,則 =-20，則x 的最小值為_解析：x0 x 2 ，當(dāng)且僅當(dāng)x x 時(shí)取等號(hào)答案：2第12頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四【即時(shí)應(yīng)用】(1)已知x+3y=2(x,y為正實(shí)數(shù))，則xy的最大值為_.(2)已知x,y0,且x+2y=1,則 的最小值為_.(3)函數(shù)f(x)= 的最大值為_.(4)已知m0,n0且mn81，則m+n的最小值為_.【解析】(1)由2=x+3y ,得 故xy ，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y= 時(shí)取得.(2)由x,y0，x+2y=1得第13頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四 等號(hào)成立的條件是：x= -1.(3

4、)x0，當(dāng)x=0時(shí)，f(0)=0；當(dāng)x0時(shí)，f(x)=當(dāng)且僅當(dāng) ，即x=1時(shí)取等號(hào).所以f(x)的最大值為 .(4)m0,n0,mn81, 9,m+n2 18，故m+n的最小值為18.答案：(1) (2) (3) (4)18第14頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四 利用基本不等式求最值【方法點(diǎn)睛】應(yīng)用基本不等式求最值應(yīng)注意的問題(1)若直接滿足基本不等式成立的條件，則直接應(yīng)用基本不等式.(2)若不直接滿足基本不等式成立的條件，則需要?jiǎng)?chuàng)造條件對(duì)式子進(jìn)行恒等變形，如構(gòu)造“1”的代換等.(3)若可用基本不等式，但等號(hào)不成立，則一般是利用函數(shù)單調(diào)性求解.第15頁，共72頁，20

5、22年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四【提醒】(1)應(yīng)用基本不等式注意不等式成立的條件.(2)若多次應(yīng)用基本不等式要注意等號(hào)需同時(shí)成立. 第16頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四【例1】(1)若x-3，則 的最小值為_.(2)已知a，b為正實(shí)數(shù)且a+b=1，則 的最小值為_.【解題指南】(1)將原式等價(jià)變形構(gòu)造出應(yīng)用基本不等式形式可解.(2)將 與 中的1用a+b代換整理后利用基本不等式可求.第17頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四【規(guī)范解答】(1)由x-3得x+30,又x+ =x+3+ -3 -3，等號(hào)成立的條件是x+3= ,即x= -3.(

6、2)a0,b0,a+b=1, ,同理 5+4=9,等號(hào)成立的條件為答案：(1) (2)9第18頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四【互動(dòng)探究】若將本例(1)中x-3去掉，而求 的取值范圍又將如何求解？【解析】分情況討論，由題意得x-3,(1)當(dāng)x-3時(shí)，由例題可知 .(2)當(dāng)x-3時(shí)，x+30,=-(x+3)+ -3-2 -3，第19頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四等號(hào)成立的條件是x故 的取值范圍是(-, ,+).第20頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四【反思感悟】1.利用基本不等式求最值的關(guān)鍵在于湊“和”與“積”的定值.

7、2.基本不等式求最值，常為有條件最值問題.如本例(2)，其關(guān)鍵是充分利用條件轉(zhuǎn)化為可利用基本不等式求最值，并要注意“一正、二定、三相等”.第21頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四【變式備選】若正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y+6=xy,則xy的最小值是_.【解析】xy=2x+y+6 令xy=t2(t0),可得t2- -60，注意到t0，解得t ,故xy的最小值為18.答案：18第22頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四4(2010年柳州一模)如果正數(shù)a、b滿足abab3，則ab的取值范圍是_答案：第23頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星

8、期四第24頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四第25頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四變式探究 1已知a0，b0，且ab，則 的大小關(guān)系是_答案：第26頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四設(shè)a0，b0，則下列不等式中不成立的是()第27頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四第28頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四第29頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四變式探究A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：a2b22ab中參數(shù)

9、的取值不只是僅可以取正數(shù)均值不等式 才需應(yīng)滿足a0，b0.答案：A第30頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四變式探究3若實(shí)數(shù)a、b滿足ab2，則3a3b的最小值是()第31頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四1在應(yīng)用均值定理求最值時(shí)，要把握定理成立的三個(gè)條件，就是“一正各項(xiàng)均為正；二定積或和為定值；三相等等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.第32頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四第33頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四3利用均值不等式求函數(shù)最值時(shí)，你是否注意到：“一正、二定、三相等，和定積最

10、大，積定和最小”這17字方針常用的方法為：拆、湊、平方第34頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四第35頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四A8 B4 C1第36頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用【方法點(diǎn)睛】基本不等式實(shí)際應(yīng)用題的特點(diǎn)(1)問題的背景是人們關(guān)心的社會(huì)熱點(diǎn)問題，如“物價(jià)、銷售、稅收、原材料”等，題目往往較長，解題時(shí)需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解.(2)當(dāng)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，若等號(hào)成立的自變量不在定義域內(nèi)時(shí)，就不能使用基本不等式求解，此時(shí)可根據(jù)變量的范圍用對(duì)

11、應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解.第37頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四【例2】某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級(jí)污水處理池，池的深度一定(平面圖如圖所示)，如果池四周圍墻建造單價(jià)為400元/米，中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/米，池底建造單價(jià)為80元/米2，水池所有墻的厚度忽略不計(jì).(1)試設(shè)計(jì)污水處理池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)；(2)若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16米，試設(shè)計(jì)污水池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià).第38頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四【解題指南】(1)由題意設(shè)出未知量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)

12、系式，變形轉(zhuǎn)化利用基本不等式求得最值，得出結(jié)論；(2)先由限制條件確定自變量的范圍，然后判斷(1)中函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求最值，得出結(jié)論.【規(guī)范解答】(1)設(shè)污水處理池的寬為x米，則長為 米.則總造價(jià)f(x)=400( )+2482x+80162第39頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四=1 296x+ +12 960=1 296( )+12 9601 296 +12 960=38 880(元)，當(dāng)且僅當(dāng)x= (x0),即x=10時(shí)取等號(hào).當(dāng)長為16.2米，寬為10米時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為38 880元.第40頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星

13、期四(2)由限制條件知10 x16.設(shè)g(x)=x+ (10 x16),由函數(shù)性質(zhì)易知g(x)在10 ，16上是增函數(shù)，當(dāng)x=10 時(shí)(此時(shí) =16),g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296(10 + )+12 960=38 882(元).當(dāng)長為16米，寬為10 米時(shí)，總造價(jià)最低，為38 882元.第41頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四【反思感悟】1.應(yīng)用基本不等式解實(shí)際應(yīng)用題時(shí)定義域是關(guān)鍵，因而在實(shí)際解題時(shí)要密切注意定義域的取值范圍，它可直接決定最值能否取到.2.本例(2)中由于條件限制應(yīng)用基本不等式結(jié)果不成立，從而轉(zhuǎn)化為應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求解，這也是此部分內(nèi)

14、容的常規(guī)解法.第42頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四【變式訓(xùn)練】某種汽車，購車費(fèi)用為10萬元，每年的保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)、汽油費(fèi)約為0.9萬元，年維修費(fèi)第一年是0.2萬元，以后逐年遞增0.2萬元.這種汽車使用多少年時(shí)，它的年平均費(fèi)用最少？【解析】由于“年維修費(fèi)第一年是0.2萬元，以后逐年遞增0.2萬元”，可知汽車每年維修費(fèi)構(gòu)成以0.2萬元為首項(xiàng)，0.2萬元為公差的等差數(shù)列，因此，汽車使用x年時(shí)總的維修費(fèi)用為 萬元.第43頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四設(shè)汽車的年平均費(fèi)用為y萬元，則有y=1+ =3,當(dāng)且僅當(dāng) ，即x=10時(shí)，y取得最小值.答：汽車使

15、用10年時(shí)，它的年平均費(fèi)用最少.第44頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四 基本不等式與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用【方法點(diǎn)睛】基本不等式應(yīng)用的廣泛性 以函數(shù)、方程、立體幾何、解析幾何、數(shù)列等知識(shí)為載體提供條件而后轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值，是本部分中常見題型，且在高考中也時(shí)常出現(xiàn)，其解題的關(guān)鍵是正確利用條件轉(zhuǎn)換成能利用基本不等式求解的形式，同時(shí)要注意范圍的變化影響. 第45頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四【例3】(1)(2012揭陽模擬)已知函數(shù)f(x)=log2x(x0)的反函數(shù)為g(x),且有g(shù)(a)g(b)=8，若a0,b0，則 的最小值為_.(2)已

16、知函數(shù)f(x)=log2k(x+4)+2+1恒過一定點(diǎn)P，且點(diǎn)P在直線 =2(a,bR+)上，則3a+2b的最小值為_.【解題指南】(1)求出a+b后，再利用基本不等式可求.(2)求得P點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程，再用“1”的代換轉(zhuǎn)化為基本不等式求解.第46頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四【規(guī)范解答】(1)g(x)=2x,g(a)g(b)=8,2a2b=2a+b=8=23,a+b=3,a0,b0,= =3(當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“=”).答案:3第47頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四(2)由函數(shù)f(x)=log2k(x+4)+2+1可知，當(dāng)x=-4時(shí)，f(x

17、)=2,即P點(diǎn)坐標(biāo)為(-4，2)，又P在直線 =2(a,bR+)上，故 =2，即 =1,3a+2b=(3a+2b)( )=8+等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)3a2=4b2，即a= b= +1時(shí)取得.答案：8+4 第48頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四【互動(dòng)探究】若本例(2)中函數(shù)改為f(x)=2k(x+1)+1,其余條件不變，又將如何求解?【解析】由f(x)=2k(x+1)+1可知圖象恒過定點(diǎn)P(-1，2)，依題意，P在直線上，故 即 =1,3a+2b=(3a+2b)( )= 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a= +1時(shí)取得.所以3a+2b的最小值為第49頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分

18、，星期四【反思感悟】解決與其他章節(jié)知識(shí)綜合的基本不等式題目，其難點(diǎn)在于如何從已知條件中尋找基本關(guān)系，本例(1)中其關(guān)鍵是求出a,b的關(guān)系，再利用基本不等式求解，而對(duì)本例(2)中其關(guān)鍵點(diǎn)是確定圖象過的定點(diǎn)，確定了這一定點(diǎn)后問題便會(huì)迎刃而解.第50頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四【變式備選】設(shè)x,y滿足約束條件 若目標(biāo)函數(shù)z=abx+y(a0,b0)的最大值為8，則a+b的最小值為_.【解析】已知x,y滿足約束條件 其可行域是一個(gè)四邊形，四個(gè)頂點(diǎn)是(0,0)，(0，2)，( ，0)，(1，4)，易見目標(biāo)函數(shù)z=abx+y(a0,b0)在(1，4)取最大值8，所以8=ab+

19、4，即ab=4，a+b2 =4,第51頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，等號(hào)成立.所以a+b的最小值為4.答案：4第52頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四1(2010年成都新都一中測(cè)試)若a0，b0且ab4，則下列不等式恒成立的是()D2(2010年廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)若直線2axby20(ab0)，始終平分圓x2y22x4y10的周長，則 的最小值是_4第53頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四【易錯(cuò)誤區(qū)】忽視題目的基本含義導(dǎo)致誤解【典例】(2011江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直

20、線與函數(shù)f(x)= 的圖象交于P、Q兩點(diǎn)，則線段PQ長的最小值是_.【解題指南】由題目已知條件可知兩交點(diǎn)必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而設(shè)出交點(diǎn)代入兩點(diǎn)間距離公式，整理后應(yīng)用基本不等式可解.第54頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四【規(guī)范解答】由題意可知f(x)= 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而與過原點(diǎn)的直線相交，則兩交點(diǎn)必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故可設(shè)兩交點(diǎn)分別為P(x, )與Q(-x,- )，由兩點(diǎn)間距離公式可得|PQ|= 4等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x2=2時(shí)取得.答案：4第55頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四【閱卷人點(diǎn)撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下誤區(qū)警示和備

21、考建議：誤區(qū)警示在解答本題時(shí)主要有兩點(diǎn)誤區(qū)：(1)對(duì)于題目自身的含義理解不透，無法掌握交點(diǎn)關(guān)系，造成不會(huì)解.(2)有些同學(xué)設(shè)出直線方程與之聯(lián)立得出兩交點(diǎn)關(guān)系，再應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式求解時(shí)出現(xiàn)運(yùn)算繁瑣情況，導(dǎo)致錯(cuò)解.第56頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四備考建議解決此類問題時(shí)還有以下幾點(diǎn)在備考時(shí)要高度關(guān)注(1)理解函數(shù)的圖象性質(zhì)，明確其表達(dá)的含義.(2)熟記要掌握的公式，如本例中的兩點(diǎn)間距離公式.(3)思考要周密，運(yùn)算要準(zhǔn)確、快速.另外，由于此類題目往往以小題形式出現(xiàn)，因而能用簡便方法的盡量使用簡便方法.第57頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四1.(2011重慶高考)已知a0,b0,a+b=2,則y= 的最小值是( )(A) (B)4 (C) (D)5【解析】選C.由a+b=2,得 =1, (等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)取得).第58頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四2.(2011陜西高考)設(shè)0ab，則下列不等式中正確的是( )(A)ab (B)a b(C)a (D) b【解析】選B.方法一,已知ab和 比較a與 ，因?yàn)閍2- =a(a-b)0,所以a0得 0，所以 b,綜上可得a b;故選B.第59頁，共72頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)23分，星期四方法二,本題還可用特值法求解.取a=2,b=8,則 =4,