1、3 8題，每題 10分，合計(jì) 80分）十二個(gè)互不 相同的 正整 數(shù)之和為 ，則這些 正整 數(shù)的最大公 約數(shù)的 最大 值15dS1215，且dax22(nnk2an2,4,7,8,13,15M= MAx x答案，12個(gè)數(shù)分別為ai 201078，因 S15 (a ,a ,2 a. 2)1 21k(kn 1.如果非空集合1113 8題，每題 10分，合計(jì) 80分）十二個(gè)互不 相同的 正整 數(shù)之和為 ，則這些 正整 數(shù)的最大公 約數(shù)的 最大 值15dS1215，且dax22(nnk2an2,4,7,8,13,15M= MAx x答案，12個(gè)數(shù)分別為ai 201078，因 S15 (a ,a ,2 a

2、. 2)1 21k(kn 1.如果非空集合111a 4,aad,a d,，則2010，但 2010 2 3 5 67 67的最小正因數(shù)是可以取到，只需令（22 31) kM 滿足 M 的各元素加 4后成為 A 的一個(gè)子集，x xA1 2Sd，欲使 d S取最小，由于，其大于1 20），若 f22n (n12a 4,a6,10,11,12,17,19,a12d (a ,a ,最大，當(dāng)使,a11,a( f( 2)221)n，所以k 1A，其中a a ,12)2 a2 annnkk 12,0,3,4,9,111 21, 2(1,2,，則，即an，,a12),a12互異，則,11,68)2a(k1，2

3、1 (n2) 20，所以 a，即221)ann(n22)，一、填空題（共1、 2010是 答案：解：設(shè)最大公約數(shù)為12記i 1S 1 22 67 134，所以 d即可2、函數(shù) f (x)答案：2解：由 a a3、設(shè) a答案：解：因所以n4、設(shè) AM 的各元素減 4后也成為 A 的一個(gè)子集，則答案：解：取A2A10,1,txR，且滿足對任意的f (2xy2xx,y得f (x)y)(3x,y皆成立 aan a104. aan1, an5769個(gè)；首位數(shù)A2) ，則函數(shù) y2 12sinx54x,y3) 3f (x36x2xa)3，則 f x滿足：nn22即有的四個(gè)數(shù)位中至多含有兩個(gè)不同的數(shù)碼，則稱

4、a11 Msinxcosx1 sinx cosxcosx，則4Ry) 3f (x)3f(y)a，由 (2xa2( )1ann215n1,2,，因 M 非空，的值域是sin xcosx，則, 6x.則 f x6y，故 f()a)(2y aa2x1,A10,1,txR，且滿足對任意的f (2xy2xx,y得f (x)y)(3x,y皆成立 aan a104. aan1, an5769個(gè)；首位數(shù)A2) ，則函數(shù) y2 12sinx54x,y3) 3f (x36x2xa)3，則 f x滿足：nn22即有的四個(gè)數(shù)位中至多含有兩個(gè)不同的數(shù)碼，則稱a11 Msinxcosx1 sinx cosxcosx，則4

5、Ry) 3f (x)3f(y)a，由 (2xa2( )1ann215n1,2,，因 M 非空，的值域是sin xcosx，則, 6x.則 f x6y，故 f()a)(2y aa2x1, a1,則1為“簡單四位數(shù)” ；例如,9 9種取法， a11t22sin(x( )2x為常數(shù) . )63. nn2 (anb1152有 當(dāng)首位數(shù) 填好后，. 14_. 2(2xy(aan可改寫為1,且b1522，于是 y)3)3)(a1n22n 1104t2(a 3(2 x2) (an2，則 an2bn b1222 y，即15),所以，又t,1 t2a)3)(x(2k2sin( x，即3(2 xy 1) 0，上式

6、對任何an14( 1, 2 ya) 6 xa2(11,b2k) ，因，因此，n 1)221, k( 1,n 121,2,2),于是10,若令5、若 x答案：解：令46、設(shè)函數(shù) f (x):Rf (x) f (y)答案： f (x)解：交換 3f (x)設(shè)得2(x實(shí)數(shù) .故7、數(shù)列答案：解:條件bnb158、如果四位數(shù)5555和3313等等，那么，簡單四位數(shù)的個(gè)數(shù)是答案：解：如果四位數(shù)的四個(gè)數(shù)碼都相同，則這種四位數(shù)有如果四位數(shù)的四個(gè)數(shù)碼有兩個(gè)值，ba b9 567 576個(gè)3題，合計(jì) 44分）是正三角形 的中心， 是其所在平面上的任意一點(diǎn)，以MAi B i21A3B3M,B ,B ,N,B 五點(diǎn)

7、共圓，3 2PPB2ABC PAyy221i1(xkx11)2k0,1,2,a1 2 3于 ，MB21 2 3B1MBABCPC2的邊長為 ，z，因此z2MB0,ix21)2ix2(sin2,9 b，有MNi2B1MB2外接圓上的任一點(diǎn)，則為定值. a(y221,2,k 1(0,k 1xkk 1，且21,2,3MB3A1MBx,PBz)2MB,n xnxki1，a，選取 b 9種；后三個(gè)數(shù)位中，每一位置都可3；231200，可知2y,PCy223，約定11,2,1)2ba b9 567 576個(gè)3題，合計(jì) 44分）是正三角形 的中心， 是其所在平面上的任意一點(diǎn)，以MAi B i21A3B3M,

8、B ,B ,N,B 五點(diǎn)共圓，3 2PPB2ABC PAyy221i1(xkx11)2k0,1,2,a1 2 3于 ，MB21 2 3B1MBABCPC2的邊長為 ，z，因此z2MB0,ix21)2ix2(sin2,9 b，有MNi2B1MB2外接圓上的任一點(diǎn)，則為定值. a(y221,2,k 1(0,k 1xkk 1，且21,2,3MB3A1MBx,PBz)2MB,n xnxki1，a，選取 b 9種；后三個(gè)數(shù)位中，每一位置都可3；231200，可知2y,PCy223，約定11,2,1)2的方法有1A1NB2B1B B600，所以z，則有z22a2n 11)2,ncos4712 3B1B B

9、 為正三角形；設(shè)其邊長為B2(NB2x12，令k種填法，即四個(gè)數(shù)碼有兩個(gè)值的情況有NB26002 3Cy21，證明：xsin42，az2NB2k(cos2kNB2，yz)2tan2k132NB2ksin22BC23,kB12a2. k1，故引理成立 . 0, ),k)221,2,n,約定n 11，填 或 ，但是不能后三位全填9 9 7 567種；因此簡單四位數(shù)共有二、解答題（共9、（20分） M A A A N為直徑的圓分別交直線B2證明： MBNMA2證：由B1B B先證引理： 是正三角形APA2事實(shí)上，設(shè)Pxx2由引理立得， MB10、（25分）設(shè) xnk 1證：因則(xkcos221(x

10、kn2(m1,m ,使得 (mm A i10）、如果 AAm22 A ,AA1 A A m A AA1 AmA1A A A AA A A A且是一個(gè)有效安排 而第一個(gè)不與 A10），x21)2支球隊(duì)參加，每支球隊(duì)預(yù)定的比賽場數(shù)分別是,m ，如果任兩支球隊(duì)之間至多安排了一場比賽，則稱22i111,0比賽的隊(duì)是 ，由于 要賽 場，那么在比賽，設(shè)為jAj1,1,1nk 1(n,m )是一個(gè)有效安排，且1,場的隊(duì)為 ，的 場比賽，其對手恰好就是所參與的所有比賽也就被取消了）m3）、如果球隊(duì)jkmkA1kj比cos2xk(m1,m ,nm3i1，則剩下的隊(duì)1,21,，故必有一個(gè)隊(duì)Aj兩隊(duì)間、 兩隊(duì)間的比

11、賽，兩隊(duì)間， 兩隊(duì)間進(jìn)行比賽，k12m11,1,2,A2,AA A,3,1(m11(xkn2(m1,m ,使得 (mm A i10）、如果 AAm22 A ,AA1 A A m A AA1 AmA1A A A AA A A A且是一個(gè)有效安排 而第一個(gè)不與 A10），x21)2支球隊(duì)參加，每支球隊(duì)預(yù)定的比賽場數(shù)分別是,m ，如果任兩支球隊(duì)之間至多安排了一場比賽，則稱22i111,0比賽的隊(duì)是 ，由于 要賽 場，那么在比賽，設(shè)為jAj1,1,1nk 1(n,m )是一個(gè)有效安排，且1,場的隊(duì)為 ，的 場比賽，其對手恰好就是所參與的所有比賽也就被取消了）m3）、如果球隊(duì)jkmkA1kj比cos2xk(m1,m ,nm3i1，則剩下的隊(duì)1,21,，故必有一個(gè)隊(duì)Aj兩隊(duì)間、 兩隊(duì)間的比賽，兩隊(duì)間， 兩隊(duì)間進(jìn)行比賽，k12m11,1,2,A2,AA A,3,1(m1 1 kAs，它被安排了與js,sin21)2,m 是一個(gè)有m2,n；3,2,mm,A2n)Aj,kk 1k 1n)mnmm,3,1n,，比賽而未安排與sAsn2，則可取掉一1Am,A1中，有些隊(duì)并未安排與3,AkAk211n1,A1 A A,比賽，如圖所示As1,1 1之間的比賽，以mm ,比賽，設(shè)在AmAkmm，那么，直接去掉12,11A2312,（當(dāng),m ),1,m )n,n為有效安排Am也1中，所以k 1