1、實(shí)驗(yàn)報(bào)告專(zhuān)業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué)年級(jí)：大三班級(jí)： ap08102學(xué)號(hào)： ap0810227姓名：龐錦芬一、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、 了解 lagrange插值法 的基本原理和方法；2、了解多項(xiàng)式擬合的基本原理和方法；3、 了解數(shù)值積分的基本原理和方法；二、 實(shí)驗(yàn)題目 :實(shí)驗(yàn)三插值法與擬合實(shí)驗(yàn)1、插值效果比較：將區(qū)間【 -5,5】 10 等分，對(duì)下列函數(shù)分別計(jì)算插值節(jié)點(diǎn)xk 的值，進(jìn)行不同類(lèi)型的插值，作出插值函數(shù)的圖形并與yf ( x) 的圖形進(jìn)行比較：1f ( x)a r c t axn；f ( x)x2f ( x)1 x2 ；1x4 .（ 1）做拉格朗日插值；2、擬合多項(xiàng)實(shí)驗(yàn)：給定數(shù)據(jù)如下表所示：分別對(duì)上

2、述數(shù)據(jù)作三次多項(xiàng)式和五次多項(xiàng)式擬合，并求平方誤差，作出離散函數(shù)（xi , yi ）和擬合函數(shù)的圖形。實(shí)驗(yàn)四數(shù)值微積分實(shí)驗(yàn)1、復(fù)化求積公式計(jì)算定積分:用復(fù)化梯形公式、復(fù)化辛普森公式、龍貝格公式求下列定積分，要求絕對(duì)誤差為0.5 10 8，并將計(jì)算結(jié)果與精確解進(jìn)行比較：（ 1） e42 2x3ex 2 dx ，（ 2） ln 632xdx1 32x23三、 實(shí)驗(yàn)原理(將實(shí)驗(yàn)所涉及的基礎(chǔ)理論、算法原理詳盡列出。)拉個(gè)朗日插值原理：,( xn , yn )經(jīng)過(guò)n 1(x0 , y0 ), (x1 , y1 )n 次多項(xiàng)式，形個(gè)點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)使得pn ( xk )yk (k0,1,2成立。, n)其中函數(shù)

3、。擬合多項(xiàng)式原理：npn (x)ykl k ( x)k0為插值基假設(shè)給定數(shù)據(jù)點(diǎn) (xi , yi ) (i=0,1, ,m) ，為所有次數(shù)不超過(guò) n(nm) 的多項(xiàng)式構(gòu)成的函數(shù)nak xk類(lèi)，現(xiàn)求一pn (x),使得k 0mmn2Ipn ( xi )yi2ak xikyimin(1)i0i 0k 0當(dāng)擬合函數(shù)為多項(xiàng)式時(shí)， 稱(chēng)為多項(xiàng)式擬合，滿足式（1）的 pn ( x) 稱(chēng)為最小二乘擬合多項(xiàng)式。特別地，當(dāng) n=1 時(shí)，稱(chēng)為線性擬合或直線擬合。顯然為 a0 , a1 ,an 的多元函數(shù)，因此上述問(wèn)題即為求II (a0 , a1 ,an ) 的極值 問(wèn)題。由多元函數(shù)求極值的必要條件，得Imnak x

4、ikyi ) xij2(0,j0,1, na ji 0k0(2)即nmm(xi j k)akxi j yi,j0,1,n(3)k 0i0i 0（3）是關(guān)于 a0 , a1 ,an 的線性方程組，用矩陣表示為mmmm1xixina0yimi0i 0i 0mma1mxixi2xin 1xi yii0i0i0i 0mmmanmxinxin 1xi2 nxin yii0i0i 0i 0(4)式（ 3）或式（ 4）稱(chēng)為正規(guī)方程組或法方程組。可以證明，方程組（4）的系數(shù)矩陣是一個(gè)對(duì)稱(chēng)正定矩陣，故存在唯一解。從式（4）中解出 ak(k=0,1, ， n) ，從而可得多項(xiàng)式nak x kpn (x)(5)k0

5、可以證明，式（ 5）中的 pn ( x) 滿足式（ 1），即 pn (x) 為所求的擬合多項(xiàng)式。我們把m2pn ( xi )yipn ( x) 的平方誤差，記作i 0稱(chēng)為最小二乘擬合多項(xiàng)式由式 (2) 可得mnm2yi2ak (xik yi )r 2i0k 0i 0(6)四、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容(列出實(shí)驗(yàn)的實(shí)施方案、步驟、數(shù)據(jù)準(zhǔn)備、 算法流程圖以及可能用到的實(shí)驗(yàn)設(shè)備（硬件和軟件） 。)實(shí)驗(yàn)步驟 ：1、 先編寫(xiě)好matlabM 文件，然后在命令窗口編輯程序并運(yùn)行；2、 運(yùn)行，觀察結(jié)果；3、 根據(jù)運(yùn)行結(jié)果進(jìn)行結(jié)果分析。實(shí)驗(yàn)三各個(gè)實(shí)驗(yàn)在matlab 窗口輸進(jìn)的主要程序如下：拉格朗日插值：x=-5:1:5;y1=

6、1./(1+x.2);y2=atan(x);y3=x.2./(1+x.4);L1=malagr(x,y1,x);L2=malagr(x,y2,x);L3=malagr(x,y3,x);plot(x,y1,r,x,y2,g,x,y3,b,x,L1,rp,x,L2,gd,x,L3,b*);xlabel(x);ylabel(y);legend(y1,y2,y3,L1,L2,L3)擬合多項(xiàng)式 ：作三次多項(xiàng)式擬合的程序：x=-1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5;y=-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55;y1=mafit(x,y,3)作五次次多項(xiàng)式

7、擬合的程序：x=-1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5;y=-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55;y2=mafit(x,y,5)求平方誤差，作出離散函數(shù)(xi , yi ) 和擬合函數(shù)的圖形，程序?yàn)椋簊an ci ni he duo xiang shi de xi shu x=-1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5;y2=-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55;y=mafit(x,y,3);san ci ni he duo xiang shi de xi shu x=-1.5 -1.0

8、 -0.5 0 0.5 1.0 1.5; y=-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55; y2=mafit(x,y,5);norm(p2-y)plot(x,y,s,x,p1,d,x,p2,p )xlabel(x);ylabel(y);legend(y,p1 ,p2)% s fangxing; d lingxing; p wujiaoxing實(shí)驗(yàn)四復(fù)化求積公式計(jì)算定積分用復(fù)化梯形公式相關(guān)的程序和相關(guān)的注釋如下：(1)% numericalintegrateformulation1(1) f2=diff(2/3*x3*exp(x2), x ,2) %求對(duì)變量 x

9、的二階偏導(dǎo)數(shù)%f2=4*x*exp(x2)+28/3*x3*exp(x2)+8/3*x5*exp(x2)=exp(x2)*8/3*x(2*x+1)(x+3)x=2;a=4*x*exp(x2)+28/3*x3*exp(x2)+8/3*x5*exp(x2)%求 2 的函數(shù)值f=inline(1/12*h2*(9.1725e+003)-0.5e-008, h ); %復(fù)化梯形余項(xiàng)減去誤差h=fzero(f,0)%求滿足精度的 h 值n=abs(1/h);%求滿足精度的 n 值fun=inline(2/3.*x.3*exp(x.2)T=matrap(fun,1,2,n)% T= 54.5979b=ex

10、p(4)% exp(4)= 54.5982（2 ）f2=diff(2*x/(x2-3), x,2)% f2 =-12/(x2-3)2*x+16*x3/(x2-3)3x=2;a=-12/(x2-3)2*x+16*x3/(x2-3)3f=inline(1/12*h2*104-0.5e-008h=fzero(f,0)%求滿足精度的h值n=abs(1/h);%求滿足精度的n 值fun=inline(2*x/(x2-3)T=matrap(fun,2,3,n)% T= 1.7918b=log(6)% log(6)= 1.7918% 求對(duì)變量 x 的二階偏導(dǎo)數(shù)%求 f2 的函數(shù)值, h);% 復(fù)化梯形余項(xiàng)減

11、去誤差用復(fù)化辛普公式相關(guān)的程序和相關(guān)的注釋如下：（1 ）用復(fù)化辛普公式f2=diff(2/3*x3*exp(x2), x,4)%求對(duì)變量 x 的 4 階偏導(dǎo)數(shù)%f2=80*x*exp(x2)+200*x3*exp(x2)+96*x5*exp(x2)+32/3*x7*exp(x2)x=4;a=80*x*exp(x2)+200*x3*exp(x2)+96*x5*exp(x2)+32/3*x7*exp(x2)%求 f2的函數(shù)值f=inline(1/2880*h4*(2.5431e+012)-0.5e-008, h);% 復(fù)化辛普余項(xiàng)減去誤差h=fzero(f,0)%求滿足精度的h值n=abs(1/h

12、);%求滿足精度的n 值fun=inline(2/3.*x.3*exp(x.2)T=masimp(fun,1,2,n)% T= 54.5864b=exp(4)% exp(4)= 54.5982)（2 ）%用復(fù)化辛普公式(2)f2=diff(2*x/(x2-3), x,4)%求對(duì)變量 x 的 4階偏導(dǎo)數(shù)% f2 =-960/(x2-3)4*x3+240/(x2-3)3*x+768*x5/(x2-3)5x=4;a=-960/(x2-3)4*x3+240/(x2-3)3*x+768*x5/(x2-3)5f=inline(1/12*h2* 0.4039-0.5e-008, h);% 復(fù)化辛普余項(xiàng)減去誤

13、差%求 f2的函數(shù)值h=fzero(f,0)%求滿足精度的h值n=abs(1/h);%求滿足精度的n 值fun=inline(2*x/(x2-3)T=matrap(fun,2,3,n)% T= 1.7915b=log(6)%log(6)= 1.7918用龍貝格公式相關(guān)的程序和相關(guān)的注釋如下：1 ）T1=maromb(inline(2./3*x.3.*exp(x.2),1,2,0.5e-008)b=exp(4)（2 ）T1=maromb(inline(2*x./(x.2-3),2,3,0.5e-008)b=log(6)五、實(shí)驗(yàn)結(jié)果(實(shí)驗(yàn)結(jié)果應(yīng)包括試驗(yàn)的原始數(shù)據(jù)、中間結(jié)果及最終結(jié)果，復(fù)雜的結(jié)果可以

14、用表格或圖形形式實(shí)現(xiàn)，較為簡(jiǎn)單的結(jié)果可以與實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析合并出現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)三)拉格朗日插值：作三次多項(xiàng)式擬合結(jié)果為：y1 =2.0000-0.0014-1.50070.0514因此三次擬合函數(shù)為：作五次多項(xiàng)式擬合結(jié)果為：y2 =0.01200.00481.9650-0.0130-1.48200.0545因此五次次擬合函數(shù)為：求平方誤差，作出離散函數(shù)(xi , yi ) 和擬合函數(shù)的圖形，結(jié)果如下：擬合函數(shù)圖形：相關(guān)數(shù)據(jù)輸出：p1 =-4.4507-0.44930.55140.0514-0.44930.54934.5472p2 =-4.4505-0.44870.54650.0545-0.44350.5

15、4134.5496ans =0.0136ans =0.0069由此可知道：三次擬合離散函數(shù)為：-1.5， -4.4507 ），（ -1.0 ， -0.4493 ），（ -0.5， 0.5514），（ 0.0， 0.0514 ），（ 0.5 ， -0.4493 ），1.0， 0.5493），（ 1.5 ， 4.5472 ）三次擬合離散函數(shù)為：（ -1.5， -4.4505 ），（ -1.0 ， -0.4487 ），（ -0.5， 0.5465），（ 0.0， 0.0545 ），（ 0.5 ， -0.4435 ），1.0， 0.5413），（ 1.5 ， 4.5496 ）實(shí)驗(yàn)四求積公式計(jì)算定積分相

16、關(guān)的結(jié)果：利用復(fù)化梯形公式：1）f2=4*x*exp(x2)+28/3*x3*exp(x2)+8/3*x5*exp(x2)a =9.1725e+003h =-2.5576e-006fun =Inline function:fun(x) = 2/3.*x.3*exp(x.2)T =54.5979b =54.5982(2)f2 =-12/(x2-3)2*x+16*x3/(x2-3)3a =104h =-2.4019e-005fun =Inline function:fun(x) = 2*x/(x2-3)T =1.6736b =1.7918用復(fù)化辛普公式相關(guān)的結(jié)果如下：1）f2 =80*x*exp(

17、x2)+200*x3*exp(x2)+96*x5*exp(x2)+32/3*x7*exp(x2)a =2.5431e+012h =-4.8781e-005fun =Inline function:fun(x) = 2/3.*x.3*exp(x.2)T =54.5864b =54.59822）f2 =-960/(x2-3)4*x3+240/(x2-3)3*x+768*x5/(x2-3)5a =0.4039h =-3.8542e-004fun =Inline function:fun(x) = 2*x/(x2-3)T =1.7915b =1.7918用龍貝格公式相關(guān)的結(jié)果如下：（ 1）T =146

18、.5012000000083.924363.065300000062.613255.509555.00580000056.653554.666954.610854.6045000055.115454.602754.598454.598254.598200054.727754.598454.598254.598254.598254.59820054.630554.598254.598254.598254.598254.598254.5982054.606254.598254.598254.598254.598254.598254.598254.5982T1 =54.5982b =54.5982（ 2）T =2.500000000002.01921.85900000001.85641.80221.7984000001.80881.79291.79221.792100001.79611.79181.79181.79181.79180001.79281.79181.79181.79181.79181.7918001.79201.79181.79181.79181.79181.79181.791801.79181.79181.79181.