1、 19/19備戰(zhàn)2020年高考數學大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第四篇 概率與統(tǒng)計專題08 與函數相結合的概率綜合問題類型對應典例利用函數的單調性（求導工具）求解概率的最值問題典例1利用構造函數（數學歸納法）求解概率的最值問題典例2利用二項式定理的估算（放縮法）求解概率的最值問題典例3利用二次函數性質概率分布、數學期望的最值典例4利用作商法求解二項分布的概率的最值問題典例5函數建模與概率統(tǒng)計的綜合問題典例6概率統(tǒng)計與三角不等式證明的綜合問題典例7【典例1】【2020屆湖南省常德市高三上學期期末】一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓后要么出現一次音樂，要么不出現音樂；每盤

2、游戲擊鼓三次后，出現三次音樂獲得150分，出現兩次音樂獲得100分，出現一次音樂獲得50分，沒有出現音樂則獲得-300分.設每次擊鼓出現音樂的概率為，且各次擊鼓出現音樂相互獨立.（1）若一盤游戲中僅出現一次音樂的概率為，求的最大值點；（2）以（1）中確定的作為的值，玩3盤游戲，出現音樂的盤數為隨機變量，求每盤游戲出現音樂的概率，及隨機變量的期望；（3）玩過這款游戲的許多人都發(fā)現，若干盤游戲后，與最初的分數相比，分數沒有增加反而減少了.請運用概率統(tǒng)計的相關知識分析分數減少的原因.【思路引導】（1）根據獨立重復試驗中概率計算,可得僅出現一次音樂的概率.然后求得導函數,并令求得極值點.再根據的單調情

3、況,求得的最大值.（2）由（1）可知,.先求得不出現音樂的概率, 由對立事件概率性質即可求得出現音樂的概率.結合二項分布的期望求法,即可得隨機變量的期望;（3）求得每個得分的概率,根據公式即可求得得分的數學期望.構造函數,利用導函數即可證明數學期望為負數,即可說明分數變少.解：（1）由題可知,一盤游戲中僅出現一次音樂的概率為：,由得或（舍）當時,；當時,在上單調遞增,在上單調遞減,當時,有最大值,即的最大值點；（2）由（1）可知,則每盤游戲出現音樂的概率為由題可知；（3）由題可設每盤游戲的得分為隨機變量,則的可能值為-300,50,100,150；令,則；所以在單調遞增；即有；這說明每盤游戲平

4、均得分是負分,由概率統(tǒng)計的相關知識可知：經過若干盤游戲后,與最初的分數相比,分數沒有增加反而會減少. 【典例2】【2020屆湖南省汨羅市高三教學質量檢測試卷（一)】冠狀病毒是一個大型病毒家族，己知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（）和嚴重急性呼吸綜合征（）等較嚴重疾病.而今年出現在湖北武漢的新型冠狀病毒（）是以前從未在人體中發(fā)現的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴重病例中，感染可導致肺炎、嚴重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現有n（）份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：方式一：逐份檢驗，則需要

5、檢驗n次.方式二：混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數總共為.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為p（）.現取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為.（1）若，試求p關于k的函數關系式；（2）若p與干擾素計量相關，其中（）是不同的正實數，滿足且（）都有成立.（i

6、）求證：數列等比數列；（ii）當時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數的期望值比逐份檢驗的總次數的期望值更少，求k的最大值.【思路引導】（1）由題設可知，的所有可能取值為1，求，再根據,求；（2）（）當時，令，則，利用數學歸納法證明；（）由（）可知，由可知，再設函數（），利用函數的單調性求的最大值.解：（1）由已知，得，的所有可能取值為1，.若，則，.p關于k的函數關系式為，（，且）. （2）（i）證明：當時，令，則，下面證明對任意的正整數n，.當，2時，顯然成立；假設對任意的時，下面證明時，；由題意，得，.或（負值舍去）.成立.由可知，為等比數列，.（ii）解：由（i）知，得，.設

7、（），當時，即在上單調減.又，；，.k的最大值為4.【典例3】【2020屆廣東省韶關市高三上學期期末調研】某電子工廠生產一種電子元件，產品出廠前要檢出所有次品.已知這種電子元件次品率為0.01，且這種電子元件是否為次品相互獨立.現要檢測3000個這種電子元件，檢測的流程是：先將這3000個電子元件分成個數相等的若干組，設每組有個電子元件，將每組的個電子元件串聯起來，成組進行檢測，若檢測通過，則本組全部電子元件為正品，不需要再檢測；若檢測不通過，則本組至少有一個電子元件是次品，再對本組個電子元件逐一檢測.（1）當時，估算一組待檢測電子元件中有次品的概率；（2）設一組電子元件的檢測次數為，求的數學

8、期望；（3）估算當為何值時，每個電子元件的檢測次數最小，并估算此時檢測的總次數（提示：利用進行估算）.【思路引導】（1）事件：一組待檢測電子元件中由次品，由計算；（2）的可能取值為，表示k個元件一次檢測全通過由此可得概率分布列，從而可得期望（3）由（2）得平均次數為，由基本不等式求得最小值解：（1）設事件：一組待檢測電子元件中由次品，則事件表示一組待檢測電子元件中沒有次品；因為所以（2）依題意，的可能取值為分布列如下：1所以的數學期望為：（3）由（2）可得：每個元件的平均檢驗次數為：因為當且僅當時，檢驗次數最小此時總檢驗次數（次）【典例4】【廣東省佛山市2019-2020學年高三教學質量檢測（

9、一)】綠水青山就是金山銀山.近年來，祖國各地依托本地自然資源，打造旅游產業(yè)，旅游業(yè)正蓬勃發(fā)展.景區(qū)與游客都應樹立尊重自然、順應自然、保護自然的生態(tài)文明理念，合力使旅游市場走上規(guī)范有序且可持續(xù)的發(fā)展軌道.某景區(qū)有一個自愿消費的項目：在參觀某特色景點入口處會為每位游客拍一張與景點的合影，參觀后，在景點出口處會將剛拍下的照片打印出來，游客可自由選擇是否帶走照片，若帶走照片則需支付20元，沒有被帶走的照片會收集起來統(tǒng)一銷毀.該項目運營一段吋間后，統(tǒng)計出平均只有三成的游客會選擇帶走照片，為改善運營狀況，該項目組就照片收費與游客消費意愿關系作了市場調研，發(fā)現收費與消費意愿有較強的線性相關性，并統(tǒng)計出在原有

10、的基礎上，價格每下調1元，游客選擇帶走照片的可能性平均增加0.05，假設平均每天約有5000人參觀該特色景點，每張照片的綜合成本為5元，假設每個游客是否購買照片相互獨立.（1）若調整為支付10元就可帶走照片，該項目每天的平均利潤比調整前多還是少？（2）要使每天的平均利潤達到最大值，應如何定價？【思路引導】（1）先根據概率分布求數學期望，再比較兩個期望大小得結果；（2）先根據概率分布求數學期望函數關系式，再根據二次函數性質求最值.解：（1）當收費為20元時，照片被帶走的可能性為0.3，不被帶走的可能性為0.7，設每個游客的利潤為（元），則是隨機變量，其分布列為：1550.30.7元，則500個游

11、客的平均利潤為5000元；當收費為10元時，照片被帶走的可能性為，不被帶走的可能性為0.2，設每個游客的利潤為（元），則是隨機變量，其分布列為：550.80.2元，則500個游客的平均利潤為15000元；該項目每天的平均利潤比調整前多10000元.（2）設降價元，則，照片被帶走的可能性為，不被帶走的可能性為，設每個游客的利潤為（元），則是隨機變量，其分布列為：5，當時，有最大值3.45元，即當定價為13元時，日平均利潤為17250元.【典例5】【河南省天一大聯考2019-2020學年高三階段性測試（三)】某社區(qū)名居民參加年國慶活動，他們的年齡在歲至歲之間，將年齡按、分組，得到的頻率分布直方圖如

12、圖所示.（1）求的值，并求該社區(qū)參加年國慶活動的居民的平均年齡（每個分組取中間值作代表）；（2）現從年齡在、的人員中按分層抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機抽取人進行座談，用表示參與座談的居民的年齡在的人數，求的分布列和數學期望；（3）若用樣本的頻率代替概率，用隨機抽樣的方法從該地歲至歲之間的市民中抽取名進行調查，其中有名市民的年齡在的概率為，當最大時，求的值.【思路引導】（1）由頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為，求出的值，再將所有矩形底邊中點值乘以矩形面積，再將所得的數相加即可得出該社區(qū)年國慶活動的居民的平均年齡；（2）先根據分層抽樣得知，所抽取的人中，年齡在的抽取人、年齡在的抽取人，可得出

13、隨機變量的可能取值為、，并利用古典概型的概率公式計算出隨機變量分別取、時的概率，列出隨機變量的分布列，并利用數學期望公式計算出隨機變量的數學期望；（3）設年齡在的人數為，可知，利用獨立重復試驗的概率公式得出，分析出數列的單調性，可求出的最大值及對應的的值.解：（1）由頻率分布直方圖知，解得，所以該社區(qū)參加年國慶活動的居民的平均年齡為；（2）年齡在的人數為，年齡在的人數為.根據分層抽樣，可知年齡在的抽取人、年齡在的抽取人.所以的可能取值為0，1，2，且，所以的分布列為所以；（3）由題可知年齡在內的頻率為.設年齡在的人數為，所以.設，由得，此時；由得，此時.所以當時，最大.【典例6】【山東省日照市

14、2019-2020學年高三下學期1月校際聯考】某公司準備投產一種新產品，經測算，已知每年生產萬件的該種產品所需要的總成本（萬元），依據產品尺寸，產品的品質可能出現優(yōu)、中、差三種情況，隨機抽取了1000件產品測量尺寸，尺寸分別在，（單位：）中，經統(tǒng)計得到的頻率分布直方圖如圖所示.產品的品質情況和相應的價格（元/件）與年產量之間的函數關系如下表所示.產品品質立品尺寸的范圍價格與產量的函數關系式優(yōu)中差以頻率作為概率解決如下問題：（1）求實數的值；（2）當產量確定時，設不同品質的產品價格為隨機變量，求隨機變量的分布列；（3）估計當年產量為何值時，該公司年利潤最大，并求出最大值.【思路引導】（1）根據在

15、頻率分布直方圖中所有小矩形的面積和為1，可以求出實數的值；（2）分別求出當產品品質為優(yōu)、為中、為差時的頻率，然后列了分布列，（3）根據題意，得到該公司年利潤的函數關系式，然后利用導數求出公司年利潤最大值.解：（1）由題意得，解得；（2）當產品品質為優(yōu)時頻率為，此時價格為；當產品品質為中時頻率為，此時價格為；當產品品質為差時頻率為，此時價格為；以頻率作為概率，可得隨機變量的分布列為：0.50.20.3（3）設公司年利潤為，則整理得，顯然當時，時，當年產量時，取得最大值.估計當年產量時，該公司年利潤取得最大值，最大利潤為138萬.【典例7】【廣東省潮州市2019-2020學年高三上學期期末】心理學

16、研究表明，人極易受情緒的影響，某選手參加7局4勝制的兵乒球比賽.（1）在不受情緒的影響下，該選手每局獲勝的概率為；但實際上，如果前一句獲勝的話，此選手該局獲勝的概率可提升到；而如果前一局失利的話，此選手該局獲勝的概率則降為，求該選手在前3局獲勝局數的分布列及數學期望；（2）假設選手的三局比賽結果互不影響，且三局比賽獲勝的概率為，記為銳角的內角，求證：【思路引導】（1）依題意前3局獲勝局數可取，分別計算概率，列出分布列，即可求出期望.（2）根據相互獨立事件的概率計算公式可得選手至少勝一局的概率為：且概率要小于，即可得證.解：（1）依題意，可知可?。?隨機變量的分布列為：0123. （2）是銳角三

17、角形，則三局比賽中，該選手至少勝一局的概率為：由概率的定義可知：，故有：【針對訓練】1. 【湖南省邵陽市2019-2020學年高三第一次聯考】某地政府為了幫助當地農民脫貧致富,開發(fā)了一種新型水果類食品,該食品生產成本為每件8元.當天生產當天銷售時,銷售價為每件12元,當天未賣出的則只能賣給水果罐頭廠,每件只能賣5元.每天的銷售量與當天的氣溫有關,根據市場調查,若氣溫不低于,則銷售5000件;若氣溫位于,則銷售3500件;若氣溫低于,則銷售2000件.為制定今年8月份的生產計劃,統(tǒng)計了前三年8月份的氣溫范圍數據,得到下面的頻數分布表:氣溫范圍(單位:)天數414362115以氣溫范圍位于各區(qū)間的

18、頻率代替氣溫范圍位于該區(qū)間的概率.(1)求今年8月份這種食品一天銷售量(單位:件)的分布列和數學期望值;(2)設8月份一天銷售這種食品的利潤為(單位:元),當8月份這種食品一天生產量(單位:件)為多少時,的數學期望值最大,最大值為多少【思路引導】(1)今年8月份這種食品一天的銷量的可能取值為2000、3500、5000件,求出,和,即可求得隨機變量的分布列和數學期望.(2)由題意知,這種食品一天的需求量至多為5000件,至少為2000件,所以只需要考慮.分別討論,和,即可求得的數學期望最大值.解：(1)今年8月份這種食品一天的銷量的可能取值為2000、3500、5000件,于是的分布列為:20

19、00350050000.20.40.4的數學期望為.(2)由題意知,這種食品一天的需求量至多為5000件,至少為2000件, 只需要考慮,當時,若氣溫不低于30度,則;若氣溫位于,則;若氣溫低于25度,則;此時,當時,若氣溫不低于25度,則;若氣溫低于25度,則;此時; 時,的數學期望達到最大值,最大值為.2. 【廣東省廣州市番禺區(qū)廣東仲元中學2019-2020年高三上學期11月月考】2019年3月5日，國務院總理李克強作出的政府工作報告中，提到要“懲戒學術不端，力戒學術不端，力戒浮躁之風”教育部2014年印發(fā)的學術論文抽檢辦法通知中規(guī)定：每篇抽檢的學術論文送3位同行專家進行評議，3位專家中有

20、2位以上（含3位）專家評議意見為“不合格”的學術論文，將認定為“存在問題學術論文”有且只有1位專家評議意見為“不合格”的學術論文，將再送另外2位同行專家（不同于前3位專家）進行復評，2位復評專家中有1位以上（含1位）專家評議意見為“不合格”的學術論文，將認定為“存在問題學術論文”設每篇學術論文被每位專家評議為“不合格”的概率均為，且各篇學術論文是否被評議為“不合格”相互獨立（1）若，求抽檢一篇學術論文，被認定為“存在問題學術論文”的概率；（2）現擬定每篇抽檢論文不需要復評的評審費用為900元，需要復評的總評審費用1500元；若某次評審抽檢論文總數為3000篇，求該次評審費用期望的最大值及對應的

21、值【思路引導】（1）根據題意得到，代入數據計算得到答案.（2）設每篇學術論文的評審費為元，則的可能取值為900，1500，計算得到，求導得到單調性計算最大值得到答案.解：（1）因為一篇學術論文初評被認定為“存在問題學術論文”的概率為，一篇學術論文復評被認定為“存在問題學術論文”的概率為，所以一篇學術論文被認定為“存在 問題學術論文”的概率為時，所以抽檢一篇的學術論文被認定為“存在問題學術論文”的概率為（2）設每篇學術論文的評審費為元，則的可能取值為900，1500，所以令，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減所以的最大值為所以評審最高費用為（萬元）對應3. 某家畜研究機構發(fā)現每頭成年牛感染H

22、型疾病的概率是，且每頭成年牛是否感染H型疾病相互獨立（1）記頭成年牛中恰有頭感染H型疾病的概率是，求當概率取何值時，有最大值？（2）若以（1）中確定的值作為感染H型疾病的概率，設頭成年牛中恰有頭感染H型疾病的概率是，求當為何值時，有最大值？【思路引導】（1）由題意得，且，然后利用導數判斷出函數的單調性，進而可得函數的最大值（2）頭成年牛中恰有頭感染H型疾病的概率是（），其中，作商可得，通過討論可得的單調性，并進一步得到所求最值解：（1）依題意，頭成年牛中恰有頭感染H型疾病的概率是，且則有 ，令，結合，解得則當時，；當時，即函數在上單調遞增，在上單調遞減，故當概率時，有最大值（2）頭成年牛中恰有

23、頭感染H型疾病的概率是（），由（1）知，所以 ，所以當，即時，當，即（，且）時，于是，所以當時，有最大值4. 【2012年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數學】某花店每天以每枝元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝元的價格出售，如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.（1）若花店一天購進枝玫瑰花，求當天的利潤(單位：元)關于當天需求量（單位：枝，）的函數解析式.（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.（i）若花店一天購進枝玫瑰花，表示當天的利潤（單位：元），求的分布列，數學期望及方差；（ii）若花店計劃一天購進

24、16枝或17枝玫瑰花，你認為應購進16枝還是17枝？請說明理由.解：（1）當時，當時，得：（2）（i）可取，的分布列為（ii）購進17枝時，當天的利潤為得：應購進17枝5. 【2018年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科】某工廠的某種產品成箱包裝，每箱件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品檢驗時，先從這箱產品中任取件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為，且各件產品是否為不合格品相互獨立（1）記件產品中恰有件不合格品的概率為,求的最大值點；（2）現對一箱產品檢驗了件，結果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值已知每件產品的檢驗費用為元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付元的賠償費用（i）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求;（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值