1、.8/8求函數(shù)定義域、值域方法和典型題歸納一、基礎(chǔ)知識整合1.函數(shù)的定義：設(shè)集合A和B是非空數(shù)集,按照某一確定的對應(yīng)關(guān)系f,使得集合A中任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f與之對應(yīng)。則稱f:為A到B的一個(gè)函數(shù)。2.由定義可知：確定一個(gè)函數(shù)的主要因素是確定的對應(yīng)關(guān)系f,集合A的取值范圍。由這兩個(gè)條件就決定了f的取值范圍y|y=f,xA。3.定義域：由于定義域是決定函數(shù)的重要因素,所以必須明白定義域指的是：1自變量放在一起構(gòu)成的集合,成為定義域。2數(shù)學(xué)表示：注意一定是用集合表示的范圍才能是定義域,特殊的一個(gè)個(gè)的數(shù)時(shí)用列舉法；一般表示范圍時(shí)用集合的描述法或區(qū)間來表示。4.值域：是由定義域和對應(yīng)

2、關(guān)系f共同作用的結(jié)果,是個(gè)被動變量,所以求值域時(shí)一定注意求的是定義域范圍內(nèi)的函數(shù)值的范圍。1明白值域是在定義域A內(nèi)求出函數(shù)值構(gòu)成的集合：y|y=f,xA。2明白定義中集合B是包括值域,但是值域不一定為集合B。二、求函數(shù)定義域一求函數(shù)定義域的情形和方法總結(jié)1已知函數(shù)解析式時(shí)：只需要使得函數(shù)表達(dá)式中的所有式子有意義。1常見情況簡總：表達(dá)式中出現(xiàn)分式時(shí)：分母一定滿足不為0；表達(dá)式中出現(xiàn)根號時(shí)：開奇次方時(shí),根號下可以為任意實(shí)數(shù)；開偶次方時(shí),根號下滿足大于或等于0非負(fù)數(shù)。表達(dá)式中出現(xiàn)指數(shù)時(shí)：當(dāng)指數(shù)為0時(shí),底數(shù)一定不能為0.根號與分式結(jié)合,根號開偶次方在分母上時(shí)：根號下大于0.表達(dá)式中出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)形式時(shí)：

3、底數(shù)和指數(shù)都含有x,必須滿足指數(shù)底數(shù)大于0且不等于1.0底數(shù)1表達(dá)式中出現(xiàn)對數(shù)函數(shù)形式時(shí)：自變量只出現(xiàn)在真數(shù)上時(shí),只需滿足真數(shù)上所有式子大于0,且式子本身有意義即可；自變量同時(shí)出現(xiàn)在底數(shù)和真數(shù)上時(shí),要同時(shí)滿足真數(shù)大于0,底數(shù)要大于0且不等于1.注：1出現(xiàn)任何情形都是要注意,讓所有的式子同時(shí)有意義,及最后求的是所有式子解集的交集。2求定義域時(shí),盡量不要對函數(shù)解析式進(jìn)行變形,以免發(fā)生變化。練習(xí)1、求下列函數(shù)的定義域：1、1232.抽象函數(shù)沒有解析式的函數(shù)解題的方法精髓是換元法,根據(jù)換元的思想,我們進(jìn)行將括號為整體的換元思路解題,所以關(guān)鍵在于求括號整體的取值范圍?？偨Y(jié)為：1給出了定義域就是給出了所給

4、式子中x的取值范圍；2在同一個(gè)題中x不是同一個(gè)x；3只要對應(yīng)關(guān)系f不變,括號的取值范圍不變。4求抽象函數(shù)的定義域個(gè)關(guān)鍵在于求f的取值范圍,及括號的取值范圍。例1：已知f的定義域?yàn)?1,1,求f2x-1的定義域。解：f的定義域?yàn)?1,1；及其中x的取值范圍是-1,1；x+1的取值范圍就是括號的取值范圍f的定義域?yàn)?,2；f不變,括號的取值范圍不變f中f的定義域?yàn)榫毩?xí)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?則函數(shù)的定義域?yàn)開、； _；函數(shù)的定義域?yàn)開； 3、若函數(shù)的定義域?yàn)?則函數(shù)的定義域是；函數(shù)的定義域?yàn)椤?.復(fù)合函數(shù)定義域復(fù)合函數(shù)形如：,理解復(fù)合函數(shù)就是可以看作由幾個(gè)我們熟悉的函數(shù)組成的函數(shù),或是可以看作幾個(gè)函數(shù)組

5、成一個(gè)新的函數(shù)形式。例2：分析：由題目可以看出g是由y=x+1、y=x-2和y=f三個(gè)函數(shù)復(fù)合起來的新函數(shù)。此時(shí)做加運(yùn)算,所以只要求出f和f的定義域,再根據(jù)求函數(shù)定義域要所有式子同時(shí)滿足,即只要求出f和f的定義域的交集即可。解：由f的定義域?yàn)?2,3,則 f的定義域?yàn)?3,2,f的定義域?yàn)?,4；,解得0 x2所以,g的定義域?yàn)?,2.一求函數(shù)值域方法和情形總結(jié)1.直接觀察法利用函數(shù)圖象一般用于給出圖象或是常見的函數(shù)的情形,根據(jù)圖象來看出y值的取值范圍。練習(xí) 求值域。 2.配方法適用于二次函數(shù)型或是可以化解成二次函數(shù)型的函數(shù),此時(shí)注意對稱軸的位置,在定義域范圍內(nèi)以a0為例,此時(shí)對稱軸的地方為最

6、大值,定義域?yàn)閮?nèi)端點(diǎn)離對稱軸最遠(yuǎn)的端點(diǎn)處有最小值；對稱軸在定義域的兩邊則根據(jù)單調(diào)性來求值域。總結(jié)為三個(gè)要點(diǎn)：1含參數(shù)的二次型函數(shù),首先判斷是否為二次型,即討論a；2a不為0時(shí),討論開口方向；3注意區(qū)間,即討論對稱軸。例1：求解：配方： f的對稱軸為x=2在1,5中間端點(diǎn)5離x=2距離較遠(yuǎn),此時(shí)為最大值所以,f的值域?yàn)?,11.練習(xí) 求值域。3.分式型1分離常量法：應(yīng)用于分式型的函數(shù),并且是自變量x的次數(shù)為1,或是可以看作整體為1的函數(shù)。具體操作：先將分母搬到分子的位子上去,觀察與原分子的區(qū)別,不夠什么就給什么,化為。例2：解：由于分母不可能為0,則意思就是函數(shù)值不可能取到,即：函數(shù)f的值域?yàn)?

7、練習(xí) 求值域 32利用來求函數(shù)值域：適用于函數(shù)表達(dá)式為分式形式,并且只出現(xiàn)形式,此時(shí)由于為平方形式大多時(shí)候x可以取到任意實(shí)數(shù),顯然用分離常量法是行不通,只有另想它法有界變量法。例3：求函數(shù)的值域.解：由于不等于0,可將原式化為即由于只需,則有所以,函數(shù)值域.練習(xí)4 求值域3方程根的判別式法：適用于分式形式,其中既出現(xiàn)變量x又出現(xiàn)混合,此時(shí)不能化為分離常量,也不能利用上述方法。對于其中定義域?yàn)镽的情形,可以使用根的判別式法。例4：求函數(shù)的值域解：由于函數(shù)的定義域?yàn)镽,即原式可化為由于x可以取到任意的實(shí)數(shù),那么也就說總有一個(gè)x會使得上述方程有實(shí)數(shù)根,即方程有根那么判別式大于或等于0,注：這里只考慮

8、有無根,并不考慮根為多少所以,所以,函數(shù)值域?yàn)榫毩?xí)：求值域54.換元法通過換元將一個(gè)復(fù)雜的問題簡單化更便于求函數(shù)值域,一般函數(shù)特征是函數(shù)解析式中含有根號形式,以及可將問題轉(zhuǎn)換為我們熟悉的函數(shù)形式等問題。而換元法其主要是讓我們明白一種動態(tài)的方法來學(xué)習(xí)的一種思路,注重?fù)Q元思維的培養(yǎng),并不是專一的去解答某類問題,應(yīng)該多加平時(shí)練習(xí)。注：換元的時(shí)候應(yīng)及時(shí)確定換元后的元的取值范圍。例5：求函數(shù)的值域解：令,帶入原函數(shù)解析式中得因?yàn)?所以,函數(shù)的值域?yàn)?練習(xí)：求值域6一選擇題共10小題12007河?xùn)|區(qū)一模若函數(shù)fx=的定義域?yàn)锳,函數(shù)gx=的定義域?yàn)锽,則使AB=的實(shí)數(shù)a的取值范圍是A1,3B1,3C2,4D2,42若函數(shù)fx的定義域是1,1,則函數(shù)fx+1的定義域是A1,1B0,2C2,0D0,132010XX函數(shù)的值域是A0,+B0,4C0,4D0,442009河?xùn)|區(qū)二模函數(shù)的值域是A0,+BC0,2D0,5已知函數(shù)y=x2+4x+5,x3,3時(shí)的值域?yàn)锳2,26B1,26C1,26D1,266函數(shù)y=在區(qū)間3,4上的值域是A1,2B3,4C2,3D1,67函數(shù)fx=2+3x2x3在區(qū)間2,2上的值域?yàn)锳2,22B6,22C0,20D6,248函數(shù)的值域是Ay|yR且y1By|4y1Cy|y4且y1DR