1、第6章 相關分析 在體育科研中，經(jīng)常需要分析兩種現(xiàn)象或事物之間的關系。例如百米跑成績與跳遠成績間有無關系？如果有，其關系如何？百米跑成績提高0.01秒，跳遠成績將會受到何種影響呢？對于這類變量間關系的研究就屬于相關與回歸問題。第6章 相關分析 在體育科研中，經(jīng)常需要分析兩6.1線性相關分析一、變量間的兩種關系 在統(tǒng)計學中，事物或現(xiàn)象之間的關系是通過變量間的關系反映出來的。變量間的關系分為確定性關系和非確定性關系兩類。確定性關系即函數(shù)關系，非確定性關系即相關關系。函數(shù)關系 函數(shù)關系反映著現(xiàn)象之間存在著嚴格的依存關系，在這種關系中，對于變量X的每一個數(shù)值，都可以通過對應法則 使變量Y有一個確定的值

2、與相對應（反之亦然），此時稱變量X和Y有函數(shù)關系。例如，圓面積S對于圓半徑R的依存關系可用一個確定的對應法則（函數(shù)式） 反映出來。 兩個變量如果有函數(shù)關系，知道其中一個變量的值，另外一個變量的值就會被確定。相關關系 當研究的兩個事物或現(xiàn)象之間，既存在著相互影響、相互制約的數(shù)量關系，又不像函數(shù)關系那樣，能由一個變量的數(shù)值精確地求出另一個變量的數(shù)值來，這類變量間的關系稱為相關關系，簡稱相關。 在體育運動中，存在著許多相關關系，如身高與體重之間的關系、百米跑成績與跳遠成績之間的關系、現(xiàn)代五項運動中的游泳成績與越野跑成績之間的關系，等等。 在實際中，由于測量誤差的存在，變量間的函數(shù)關系往往以相關關系表

3、現(xiàn)出來，相關又可分為線性相關與非線性相關。6.1線性相關分析一、變量間的兩種關系二、線性相關系數(shù)的意義散點圖 為了考察兩個連續(xù)型隨機變量X和Y之間是否存在某種程度的線性關系，可以對同一觀察單位同時測量X和Y的數(shù)值，從而得到一對觀察值。從總體中隨機抽取n對觀察值，記為 ，這就是討論兩個連續(xù)型變量線性相關的樣本。圖6-1 散點圖 考察相關性最簡單而直觀的辦法是在XOY直角坐標系上畫出散點圖，通過散點圖可以看出兩個變量間是否存在線性關系。 這n對觀察值分別代表n個點，在直角坐標系XOY上將其點畫出，便構(gòu)成了一幅散點圖，如圖6-1所示。二、線性相關系數(shù)的意義線性相關系數(shù)的意義 對于兩個連續(xù)型變量來說，

4、描述兩個變量之間直線關系的密切程度和相關方向的統(tǒng)計指標叫相關系數(shù)。統(tǒng)計上也稱為Pearson 積矩相關系數(shù)。 樣本線性相關系數(shù)一般用表示、總體相關系數(shù)一般用 表示。 相關系數(shù)沒有單位，其取值范圍為 ，若變量間的直線關系越密切，則 越接近于1；當變量之間的直線關系越不密切， 越接近0。 1、正相關 若兩個變量同時趨于同一方向變化，即當X增加（或減少）時，Y也相應具有增加（或減少）的趨勢時，則稱為正相關，此時 ；若此時所有點都在同一條直線上， ，稱為完全正相關。如圖6-2所示。線性相關系數(shù)的意義1、負相關 若兩個變量間，當X增加（或減少）時，Y卻具有減少（或增加）的趨勢時，稱為負相關，此時， ；若

5、此時所有點都在同一條直線上， ，稱為完全負相關。如圖6-3所示。3、完全無關 當兩個變量X與Y之間，Y值的變化不受X值變化的影響時（反之亦然），我們稱X與Y完全無關，此時必有 。 但須注意的是X與Y完全無關（零相關）時，兩個變量無任何關系，必定有 但反過來 只表示與之間無直線相關關系，并不能保證兩變量間無其他非線性關系。如圖6-4所示。1、負相關三、線性相關系數(shù)的計算公式 在實際工作中，我們通常只計算樣本相關系數(shù)。其公式為： （6-1） 式6-1中： ，是變量的離均差平方和； ，是變量的離均差平方和； ，是變量X、Y的離均差積和。計算相關系數(shù)的實例 例6-1 為討論父子身高間線性相關程度，某教

6、師在大學一年級中隨機抽取了16名男生，分別調(diào)查了他們及他們父親的身高數(shù)據(jù)（cm），如表6-1所示，計算父子間身高的相關系數(shù)。 三、線性相關系數(shù)的計算解：用EXCEL軟件計算，如表6-2所示。解：用EXCEL軟件計算，如表6-2所示。例6-2 32名大學女生的身高（厘米）與體重（公斤）數(shù)據(jù)如表6-3所示，求身高與體重的相關系數(shù)。 解：用EXCEL軟件計算，如表6-3所示。 例6-2 32名大學女生的身高（厘米）與體重（公斤）數(shù)據(jù)四、線性相關系數(shù)的假設檢驗檢驗的基本原理 在實際工作中，不能簡單的由 的大小對兩個變量間的關系做出判斷。因為 存在著兩種可能：第一，樣本是由 （零相關）的總體抽出的， 是

7、由抽樣誤差所致，此時，即使 值較大，也不能認為兩變量是相關的；第二，樣本是由 （線性相關）的總體中抽出的， 是由條件誤差所致，此時，即使 較小，也應認為兩變量存在線性相關關系。 因此，由樣本數(shù)據(jù)計算得到的樣本相關系數(shù) 只能作為總體相關系數(shù) 的一個估計值，從同一總體中抽出不同的樣本會得到不同的樣本相關系數(shù)。為弄清樣本信息所反映的相關是抽樣誤差所致還是兩總體確有相關（條件誤差所致），必須對樣本相關系數(shù)進行顯著性檢驗。 檢驗的無效假設 （即兩總體不存在線性相關關系）； （兩總體存在線性相關關系）。若檢驗結(jié)果得到 （即 成立條件下的概率大于選定的顯著性水平 ），認為 與 的差別無顯著性意義，兩變量間不

8、存在線性相關關系；若檢驗結(jié)果得到 （即 成立條件下的概率小于等于選定的顯著性水平 ），認為與 的差別有顯著性意義，兩變量間存在線性相關關系。 四、線性相關系數(shù)的假設檢驗檢驗方法 相關系數(shù)的顯著性檢驗有t-檢驗和查r界值表兩種方法。 1、t-檢驗法 在 成立條件下，檢驗統(tǒng)計量tt(n-2)，其中： 選定顯著性水平 ，查書后附表2的值表得到雙側(cè)臨界值 ，若 ，則拒絕 ，表明兩變量間存在線性相關關系；若 ，則接受 ，表明兩變量間不存在線性相關關系。 例6-3 試對例6-1計算得到的相關系數(shù) 進行顯著性檢驗（ ）。檢驗方法例6-4 試對例6-2計算得到的相關系數(shù)進行顯著性檢驗（ ）。2、查表法 為了給

9、使用者提供方便，統(tǒng)計學家根據(jù)t分布表求出 的不同顯著性水平下的臨界值，列成相關系數(shù)界值表（附表7），使用者對相關系數(shù)進行顯著性檢驗時，只須根據(jù)選定的顯著性水平，在相應自由度下直接查表獲得臨界值 ，通過 與 的比較獲得檢驗結(jié)果。判斷方法如下： 若 ， ，表明兩變量間不存在線性相關關系； 若 ， ，表明兩變量間存在線性相關關系。 例6-3用查表法對相關系數(shù) 進行檢驗時，自由度 ，查附表7得 ，兩變量不存在線性相關關系。 例6-4用查表法對相關系數(shù) 進行檢驗時，自由度 ，查附7表得 ，兩變量存在線性相關關系。例6-4 試對例6-2計算得到的相關系數(shù)進行顯著性檢 6.2等級相關分析一、公式 設X和Y至

10、少是兩個用定序尺度度量的變量，要研究它們所代表的二元變量X和Y是否存在關聯(lián)關系，從總體中隨機抽取n對觀察值，記為 。將n對觀察值中所有 在X樣本中由小到大編秩（首先將n對觀察值由小到大排序，每一序號即為相應的的秩次），所有 在Y樣本中由小到大編秩；如果數(shù)值相同時取平均秩次。記 的秩為 、 的秩為 則Spearman等級相關系數(shù)定義為： 如果在沒有打結(jié)時（ 或 中出現(xiàn)秩次相同時叫打結(jié)）， 也可用下面公式計算： 注意： Spearman秩相關系數(shù)的基本思想是利用兩變量秩次排列的一致性來描述其關聯(lián)程度，如果 表示兩變量秩次排列完全一致，即完全正關聯(lián)（正相關）；如果 表示兩變量的秩次排列完全相反，即完

11、全負關聯(lián)（負相關）。 6.2等級相關分析二、Spearman等級相關系數(shù)的檢驗 在抽樣過程中由于抽樣誤差的存在，計算出的Spearman秩相關系數(shù)也需要進行檢驗，其原理同Pearson積矩相關系數(shù)。 :X和Y不存在關聯(lián)關系； :X和Y存在關聯(lián)關系。 對于 ，在 成立條件下可查書后附表8的等級相關系數(shù)界值表（Spearman秩相關系數(shù)界值表）進行判斷。 若 ，則拒絕 ，認為兩個等級變量存在關聯(lián)關系；若 ，則接受 ，認為兩個等級變量不存在關聯(lián)關系。 注意：查表時，n為樣本量。 當 時，可利用 的極限分布進行檢驗， 進行判斷。三、Spearman秩相關系數(shù)的實例例6-5 表6-5列出了某次男子藍球比

12、賽前10名的名次和平均投藍命中率，試檢驗它們之間的關聯(lián)關系（ ）。二、Spearman等級相關系數(shù)的檢驗體育統(tǒng)計學-第6章-相關分析課件解：分別將名次與平均投藍命中率列出秩次，并計算，見表6-6所示。 , ,查書后附表8的Spearman等級相關系數(shù)界值表得 ，則 拒絕 ，表明名次與投藍命中率之間存在秩關聯(lián)（等級相關）關系。解：分別將名次與平均投藍命中率列出秩次，并計算，見表6-6所 6.3 多個連續(xù)型變量間的相關分析 一、復相關系數(shù) 復相關系數(shù)是用來表示因變量與自變量 之間線性關系密切程度的指標，用R表示， ， 也稱為判定系數(shù)或決定系數(shù)，在下一章加以詳述。 二、偏相關系數(shù) 在多變量的情況下，變量間的相關關系是很復雜的，這是因為任意兩個變量之間都可能存在著相關關系。這時，用Pearson簡單相關系數(shù)往往不能正確地說明兩個變量之間的真正關系。如果需要真正表示兩個變量之間的相關關系，那么必須在消除其它變量影響的情況下，計算這兩個變量間的