PAGEPAGEPAGE36第十四單元概率教材復(fù)習(xí)課“概率”相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)一課過(guò)互斥事件與對(duì)立事件[過(guò)雙基]事件定義性質(zhì)互斥事件在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，我們把一次試驗(yàn)下不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A與B稱作互斥事件P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，(事件A，B是互斥事件)；P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)(事件A1，A2，…，An任意兩個(gè)互斥)對(duì)立事件在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，兩個(gè)試驗(yàn)不會(huì)同時(shí)發(fā)生，并且一定有一個(gè)發(fā)生的事件A和eq\x\to(A)稱為對(duì)立事件P(eq\x\to(A))＝1－P(A)eq\a\vs4\al([小題速通])1．把紅、藍(lán)、黑、白4張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每個(gè)人分得一張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是()A．對(duì)立事件 B．互斥但不對(duì)立事件C．不可能事件 D．以上都不對(duì)解析：選B由于每人分得一張牌，故“甲分得紅牌”意味著“乙分得紅牌”是不可能的，故是互斥事件，但不是對(duì)立事件，故選B.2．甲、乙兩人下棋，兩人和棋的概率是eq\f(1,2)，乙獲勝的概率是eq\f(1,3)，則乙不輸?shù)母怕适?)A.eq\f(5,6) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)解析：選A乙不輸包含兩種情況：一是兩人和棋，二是乙獲勝，故所求概率為eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).3．某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級(jí)，其中乙、丙兩級(jí)均屬次品．在正常生產(chǎn)情況下，出現(xiàn)乙級(jí)品和丙級(jí)品的概率分別是5%和3%，則抽驗(yàn)一件是正品(甲級(jí)品)的概率為()A．0.92 B．0.95C．0.97 D．0.08解析：選A記事件A：“生產(chǎn)的產(chǎn)品為甲級(jí)品”，B：“生產(chǎn)的產(chǎn)品為乙級(jí)品”，C：“生產(chǎn)的產(chǎn)品為丙級(jí)品”，則P(B)＝0.05，P(C)＝0.03，且事件A，B，C兩兩互斥，P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，所以P(A)＝0.92.[清易錯(cuò)]易忽視互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系而致誤互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生，因此，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件．在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分別為0.2,0.2,0.3,0.3，則下列說(shuō)法正確的是()A．A∪B與C是互斥事件，也是對(duì)立事件B．B∪C與D是互斥事件，也是對(duì)立事件C．A∪C與B∪D是互斥事件，但不是對(duì)立事件D．A與B∪C∪D是互斥事件，也是對(duì)立事件解析：選D由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一個(gè)必然事件，故其事件的關(guān)系可由如圖所示的Venn圖表示，由圖可知，任何一個(gè)事件與其余3個(gè)事件的和事件必然是對(duì)立事件，任何兩個(gè)事件的和事件與其余兩個(gè)事件的和事件也是對(duì)立事件．古典概型[過(guò)雙基]1．特點(diǎn)：(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，即有限性．(2)每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等，即等可能性．2．古典概型概率公式：P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個(gè)數(shù),基本事件的總數(shù)).eq\a\vs4\al([小題速通])1．有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：選A甲、乙兩位同學(xué)參加3個(gè)小組的所有可能性有9種，其中，甲、乙參加同一小組的情況有3種．故甲、乙參加同一個(gè)興趣小組的概率P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).2．5張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5，從這5張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出2張卡片上數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為()A.eq\f(3,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)解析：選B從這5張卡片中隨機(jī)抽取2張的所有基本事件為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10個(gè)，其中取出2張卡片上數(shù)字之和為偶數(shù)的基本事件為(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，共4個(gè)，所以從這5張卡片中隨機(jī)抽取2張，取出2張卡片上數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).3．小明忘記了微信登陸密碼的后兩位，只記得最后一位是字母A，a，B，b中的一個(gè)，另一位是數(shù)字4,5,6中的一個(gè)，則小明輸入一次密碼能夠成功登陸的概率是________．解析：開機(jī)密碼有(4，A)，(4，a)，(4，B)，(4，b)，(5，A)，(5，a)，(5，B)，(5，b)，(6，A)，(6，a)，(6，B)，(6，b)，共12種可能，所以小明輸入一次密碼能夠成功登陸的概率是eq\f(1,12).答案：eq\f(1,12)[清易錯(cuò)]1．在計(jì)算古典概型中試驗(yàn)的所有結(jié)果數(shù)和事件發(fā)生結(jié)果時(shí)，易忽視他們是否是等可能的．2．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽視只有當(dāng)A∩B＝?，即A，B互斥時(shí)，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此時(shí)P(A∩B)＝0.1．一個(gè)袋子里裝有紅、黃、綠三種顏色的球各2個(gè)，這6個(gè)球除顏色外完全相同，從中摸出2個(gè)球，則這2個(gè)球中至少有1個(gè)是紅球的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,5)C.eq\f(8,15) D.eq\f(3,5)解析：選D由題意知，摸出2個(gè)球的事件數(shù)共15個(gè)，至少有1個(gè)是紅球的對(duì)立事件為兩個(gè)均不是紅球，事件個(gè)數(shù)為6個(gè)，設(shè)兩個(gè)均不是紅球?yàn)槭录嗀，則P(A)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)，所以其對(duì)立事件2個(gè)球中至少有1個(gè)是紅球的概率P＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).2．從一副混合后的撲克牌(除去大、小王52張)中，隨機(jī)抽取1張．事件A為“抽到紅桃K”，事件B為“抽到黑桃”，則P(A∪B)＝________(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)．解析：∵P(A)＝eq\f(1,52)，P(B)＝eq\f(13,52)，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,52)＋eq\f(13,52)＝eq\f(14,52)＝eq\f(7,26).答案：eq\f(7,26)幾何概型[過(guò)雙基]1．定義：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型．2．特點(diǎn)：(1)無(wú)限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能的．3．公式：P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積).eq\a\vs4\al([小題速通])1．在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)，\f(13,6)))上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事件“－1≤logeq\f(1,3)(x＋1)≤1”不發(fā)生的概率為()A.eq\f(8,9) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,9)解析：選D因?yàn)椋?≤logeq\f(1,3)(x＋1)≤1，所以－eq\f(2,3)≤x≤2，所以所求事件的概率為1－eq\f(2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))),\f(13,6)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6))))＝eq\f(1,9).2．已知點(diǎn)P，Q為圓C：x2＋y2＝25上的任意兩點(diǎn)，且|PQ|＜6，若PQ中點(diǎn)組成的區(qū)域?yàn)镸，在圓C內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在區(qū)域M上的概率為()A.eq\f(3,5) B.eq\f(9,25)C.eq\f(16,25) D.eq\f(2,5)解析：選BPQ中點(diǎn)組成的區(qū)域M如圖陰影部分所示，那么在C內(nèi)部任取一點(diǎn)落在M內(nèi)的概率為eq\f(25π－16π,25π)＝eq\f(9,25).3．(西寧復(fù)習(xí)檢測(cè))已知球O內(nèi)切于棱長(zhǎng)為2的正方體，若在正方體內(nèi)任取一點(diǎn)，則這一點(diǎn)不在球內(nèi)的概率為________．解析：由題意知球的半徑為1，其體積為V球＝eq\f(4π,3)，正方體的體積為V正方體＝23＝8，則這一點(diǎn)不在球內(nèi)的概率P＝1－eq\f(\f(4π,3),8)＝1－eq\f(π,6).答案：1－eq\f(π,6)4．?dāng)?shù)軸上有四個(gè)間隔為1的點(diǎn)依次為A，B，C，D，在線段AD上隨機(jī)取一點(diǎn)E，則E點(diǎn)到B，C兩點(diǎn)的距離之和小于2的概率為________．解析：如圖，數(shù)軸上AD＝3，而到B，C兩點(diǎn)的距離之和小于2的點(diǎn)E在線段MN內(nèi)，且MN＝eq\f(5,2)－eq\f(1,2)＝2，所以E點(diǎn)到B，C兩點(diǎn)的距離之和小于2的概率P＝eq\f(MN,AD)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)一、選擇題1．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是()A．至少有1個(gè)白球，都是紅球B．至少有1個(gè)白球，至多有1個(gè)紅球C．恰有1個(gè)白球，恰有2個(gè)白球D．至多有1個(gè)白球，都是紅球解析：選C從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球共有三種可能：兩個(gè)白球、兩個(gè)紅球、一個(gè)白球和一個(gè)紅球，三者互斥，“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”是對(duì)立事件，“至少有1個(gè)白球”和“至多有1個(gè)紅球”不互斥，“恰有1個(gè)白球”和“恰有2個(gè)白球”互斥不對(duì)立，故選C.2．一批產(chǎn)品次品率為4%，正品中一等品率為75%.現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一件，恰好取到一等品的概率為()A．0.75 B．0.71C．0.72 D．0.3解析：選C由題意可知，正品率為96%，因?yàn)檎分幸坏绕仿蕿?5%，所以一等品率為96%×75%＝72%，所以任取一件產(chǎn)品，恰好是一等品的概率為0.72.3．如圖，在一不規(guī)則區(qū)域內(nèi)，有一邊長(zhǎng)為1m的正方形，向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地撒1000顆黃豆，數(shù)得落在正方形區(qū)域內(nèi)(含邊界)的黃豆數(shù)為375，以此試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計(jì)出該不規(guī)則圖形的面積為()A.eq\f(8,3)m2 B．2m2C.eq\f(16,3)m2 D．3m2解析：選A由幾何概型的概率計(jì)算公式及題意可近似得到eq\f(S正方形,S不規(guī)則圖形)＝eq\f(375,1000)，所以該不規(guī)則圖形的面積大約為eq\f(1000,375)＝eq\f(8,3)(m2)．4．拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，則向上的點(diǎn)數(shù)之積為6的概率等于()A.eq\f(1,18) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,6) D.eq\f(5,36)解析：選B由題意拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)所有可能情況為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，…，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36種情況，其中點(diǎn)數(shù)之積為6的情況為(1,6)，(2,3)，(3,2)，(6,1)，共4種情況，故所求概率為P＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).5．一只小蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過(guò)程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為()A.eq\f(8,27) B.eq\f(1,27)C.eq\f(26,27) D.eq\f(15,27)解析：選B依題意，小蜜蜂的安全飛行范圍為以這個(gè)正方體的中心為中心且棱長(zhǎng)為1的小正方體內(nèi)，這個(gè)小正方體的體積為1，大正方體的體積為33＝27，故根據(jù)幾何概型得安全飛行的概率為P＝eq\f(1,27).6．已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品．現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為()A．0.4 B．0.8C．0.6 D．1解析：選C標(biāo)記5件產(chǎn)品中的次品為1,2，合格品為3,4,5.從這5件產(chǎn)品中任取2件，不同的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，即基本事件的總數(shù)為10.“從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品”的取法有：(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，共6種取法，所以恰有一件次品的概率P＝eq\f(6,10)＝0.6.7．將一枚骰子連續(xù)拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為b，c，則方程x2＋bx＋c＝0有實(shí)根的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(19,36) D.eq\f(2,5)解析：選C將一枚骰子連續(xù)拋擲兩次共有36種結(jié)果．方程x2＋bx＋c＝0有實(shí)根，則Δ＝b2－4c≥0，即b≥2eq\r(c)，其包含的結(jié)果有：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(5,6)，(6,6)，共19種，由古典概型的概率計(jì)算公式可得P＝eq\f(19,36).8．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋(y－1)2≤1，則x－y＋2≤0的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π－2,4π) D.eq\f(4π－2,4π)解析：選C如圖，x2＋(y－1)2≤1表示圓心為(0,1)，半徑為1的圓面，面積為π；同時(shí)，x－y＋2≤0表示圓面內(nèi)在x－y＋2＝0左上方的點(diǎn)構(gòu)成的平面區(qū)域，連接CB，則CA⊥CB，陰影部分的面積為eq\f(π,4)－eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(π,4)－eq\f(1,2)，由幾何概型的概率公式得P＝eq\f(π－2,4π).二、填空題9．點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧eq\x\to(AB)的長(zhǎng)度小于1的概率為________．解析：如圖，可設(shè)eq\x\to(AB)與eq\x\to(AB′)的長(zhǎng)度等于1，則由幾何概型可知其整體事件是其周長(zhǎng)3，則其概率是eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)10．在圓x2＋y2＝4所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)P(x，y)，則|x|＋|y|≤2的概率為________．解析：不等式|x|＋|y|≤2表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示，則|x|＋|y|≤2的概率為P＝eq\f(2\r(2)2,π×22)＝eq\f(2,π).答案：eq\f(2,π)11．在一個(gè)不透明的空袋子里，放入僅顏色不同的2個(gè)紅球和1個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出1個(gè)球后不放回，再?gòu)闹须S機(jī)摸出1個(gè)球，兩次都摸到紅球的概率為________．解析：畫樹狀圖為：紅紅白紅白紅白紅紅共有6種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次都摸到紅球的結(jié)果數(shù)為2，則隨機(jī)摸出1個(gè)球，兩次都摸到紅球的概率為eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)12．高一年級(jí)某班有63名學(xué)生，現(xiàn)要選一名學(xué)生標(biāo)兵，每名學(xué)生被選中是等可能的，若“選出的標(biāo)兵是女生”的概率是“選出的標(biāo)兵是男生”的概率的eq\f(10,11)，則這個(gè)班的男生人數(shù)為________．解析：根據(jù)題意，設(shè)該班的男生人數(shù)為x，則女生人數(shù)為63－x，因?yàn)槊棵麑W(xué)生被選中是等可能的，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式知，“選出的標(biāo)兵是女生”的概率是eq\f(63－x,63)，“選出的標(biāo)兵是男生”的概率是eq\f(x,63)，故eq\f(63－x,63)＝eq\f(10,11)×eq\f(x,63)，解得x＝33，故這個(gè)班的男生人數(shù)為33.答案：33三、解答題13．如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：所用時(shí)間(分鐘)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；(2)分別求通過(guò)路徑L1和L2所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率；(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑．解：(1)由題意知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率約為0.44.(2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，由調(diào)查結(jié)果得：所用時(shí)間(分鐘)10～2020～3030～4040～5050～60L1的頻率0.10.20.30.20.2L2的頻率00.10.40.40.1(3)A1，A2分別表示甲選擇L1，L2時(shí)，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1，L2時(shí)，在50分鐘內(nèi)趕到火車站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)>P(A2)，∴甲應(yīng)選擇L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B2)>P(B1)，∴乙應(yīng)選擇L2. 14．在某高校自主招生考試中，所有選報(bào)Ⅱ類志向的考生全部參加了“數(shù)學(xué)與邏輯”和“閱讀與表達(dá)”兩個(gè)科目的考試，成績(jī)分為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí)．某考場(chǎng)考生的兩科考試成績(jī)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖所示，其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績(jī)?yōu)锽的考生有10人．(1)求該考場(chǎng)考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)?yōu)锳的人數(shù)；(2)若等級(jí)A，B，C，D，E分別對(duì)應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分，求該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分；(3)已知參加本考場(chǎng)測(cè)試的考生中，恰有兩人的兩科成績(jī)均為A.在至少一科成績(jī)?yōu)锳的考生中，隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行訪談，求這兩人的兩科成績(jī)均為A的概率．解：(1)因?yàn)椤皵?shù)學(xué)與邏輯”科目中成績(jī)等級(jí)為B的考生有10人，所以該考場(chǎng)有eq\f(10,0.25)＝40(人)，所以該考場(chǎng)考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)等級(jí)為A的人數(shù)為40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3.(2)由圖知，“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績(jī)?yōu)镈的頻率為1－0.2－0.375－0.25－0.075＝0.1，故該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分為1×0.2＋2×0.1＋3×0.375＋4×0.25＋5×0.075＝2.9.(3)因?yàn)閮煽瓶荚囍校灿?個(gè)得分等級(jí)為A，又恰有兩人的兩科成績(jī)等級(jí)均為A，所以還有2人只有一個(gè)科目得分為A，設(shè)這四人為甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是兩科成績(jī)都是A的同學(xué)，則在至少一科成績(jī)等級(jí)為A的考生中，隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行訪談，基本事件空間為Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}，有6個(gè)基本事件．設(shè)“隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行訪談，這兩人的兩科成績(jī)等級(jí)均為A的為事件B，所以事件B中包含的基本事件有1個(gè)，則P(B)＝eq\f(1,6).高考研究課(一)古典概型命題2類型——簡(jiǎn)單問(wèn)題、交匯問(wèn)題[全國(guó)卷5年命題分析]考點(diǎn)考查頻度考查角度古典概型5年8考求古典概型的概率古典概型的簡(jiǎn)單問(wèn)題[典例](1)有五條長(zhǎng)度分別為1,3,5,7,9的線段，若從這五條線段中任取三條，則所取三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為()A.eq\f(1,10)B.eq\f(3,10)C.eq\f(1,2) D.eq\f(7,10)(2)(山東高考)某旅游愛好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國(guó)家A1，A2，A3和3個(gè)歐洲國(guó)家B1，B2，B3中選擇2個(gè)國(guó)家去旅游．①若從這6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的概率；②若從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家包括A1但不包括B1的概率．[解](1)由題意，從這五條線段中任取三條，有10種不同的取法，其中所取三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的取法有：(3,5,7)，(3,7,9)，(5,7,9)，共有3種不同的取法，所以所取三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為eq\f(3,10).答案：B(2)①由題意知，從6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè)國(guó)家，其所有可能的結(jié)果組成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15個(gè)．所選兩個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3個(gè)．則所求事件的概率為P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).②從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè)，其所有可能的結(jié)果組成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9個(gè)．包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2個(gè)，則所求事件的概率為P＝eq\f(2,9).[方法技巧]計(jì)算古典概型的概率可分三步：(1)算出基本事件的總個(gè)數(shù)n；(2)求出事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；(3)代入公式求出概率P.解題時(shí)可根據(jù)需要靈活選擇列舉法、列表法或樹狀圖法．[即時(shí)演練]1．袋中裝有大小、形狀完全相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為________．解析：從袋中一次摸出兩個(gè)球，總的事件個(gè)數(shù)為6.摸出兩個(gè)相同顏色球只有兩個(gè)黃球，所以2只球顏色相同的概率為eq\f(1,6)，所以這2只球顏色不同的概率為1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)2．一所學(xué)校計(jì)劃舉辦“國(guó)學(xué)”系列講座．由于條件限制，按男、女生比例采取分層抽樣的方法，從某班選出10人參加活動(dòng)，在活動(dòng)前，對(duì)所選的10名同學(xué)進(jìn)行了國(guó)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試，這10名同學(xué)的性別和測(cè)試成績(jī)(百分制)的莖葉圖如圖所示.(1)根據(jù)這10名同學(xué)的測(cè)試成績(jī)，分別估計(jì)該班男、女生國(guó)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試的平均成績(jī)；(2)這10名同學(xué)中男生和女生的國(guó)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試成績(jī)的方差分別為seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，試比較seq\o\al(2,1)與seq\o\al(2,2)的大小(只需直接寫出結(jié)果)；(3)若從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取一男一女兩名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的國(guó)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試成績(jī)均為優(yōu)良的概率．(注：成績(jī)大于等于75分為優(yōu)良)．解：(1)設(shè)這10名同學(xué)中男、女生的平均成績(jī)分別為eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2.則eq\x\to(x)1＝eq\f(64＋76＋77＋78,4)＝73.75，eq\x\to(x)2＝eq\f(56＋79＋76＋70＋88＋87,6)＝76，故該班男、女生國(guó)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試的平均成績(jī)分別為73.75,76.(2)seq\o\al(2,1)<seq\o\al(2,2).(3)設(shè)“兩名同學(xué)的成績(jī)均為優(yōu)良”為事件A，男生按成績(jī)由低到高依次編號(hào)為a1，a2，a3，a4，女生按成績(jī)由低到高依次編號(hào)為b1，b2，b3，b4，b5，b6，則從10名學(xué)生中隨機(jī)選取一男一女兩名同學(xué)的取法有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a1，b5)，(a1，b6)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(a2，b5)，(a2，b6)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(a3，b4)，(a3，b5)，(a3，b6)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a4，b3)，(a4，b4)，(a4，b5)，(a4，b6)，共24種．其中兩名同學(xué)均為優(yōu)良的取法有：(a2，b3)，(a2，b4)，(a2，b5)，(a2，b6)，(a3，b3)，(a3，b4)，(a3，b5)，(a3，b6)，(a4，b3)，(a4，b4)，(a4，b5)，(a4，b6)，共12種，所以P(A)＝eq\f(12,24)＝eq\f(1,2)，即兩名同學(xué)成績(jī)均為優(yōu)良的概率為eq\f(1,2).古典概型的交匯命題問(wèn)題古典概型在高考中常與平面向量、集合、函數(shù)、解析幾何、統(tǒng)計(jì)等知識(shí)交匯命題，命題的角度新穎，考查知識(shí)全面，能力要求較高.常見的命題角度有：1古典概型與平面向量相結(jié)合；2古典概型與直線、圓相結(jié)合；3古典概型與函數(shù)相結(jié)合；4古典概型與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合.角度一：古典概型與平面向量相結(jié)合1．(威海調(diào)研)從集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，3，4，5))中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，3，5))中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(1，－1)垂直的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析：選A由題意可知m＝(a，b)有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12種情況．因?yàn)閙⊥n，即m·n＝0，所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，滿足條件的有(3,3)，(5,5)，共2種情況，故所求的概率為eq\f(1,6).角度二：古典概型與直線、圓相結(jié)合2．某同學(xué)先后投擲一枚骰子兩次，第一次向上的點(diǎn)數(shù)記為x，第二次向上的點(diǎn)數(shù)記為y，在直角坐標(biāo)系xOy中，以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在直線2x－y＝1上的概率為________．解析：∵試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是先后擲兩次骰子，共有6×6＝36種結(jié)果，滿足條件的事件是以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在直線2x－y＝1上，則(x，y)為(1,1)，(2,3)，(3,5)，共有3種結(jié)果，∴根據(jù)古典概型的概率公式得以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在直線2x－y＝1上的概率P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).答案：eq\f(1,12)角度三：古典概型與函數(shù)相結(jié)合3．已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)設(shè)集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率；(2)設(shè)點(diǎn)(a，b)是區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－8≤0，,x>0，,y>0))內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率．解：(1)由題意知，總的基本事件的個(gè)數(shù)是3×5＝15.∵函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1的圖象的對(duì)稱軸為x＝eq\f(2b,a)，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a>0且eq\f(2b,a)≤1，即2b≤a時(shí)．若a＝1，則b＝－1；若a＝2，則b＝－1,1；若a＝3，則b＝－1,1.∴事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是1＋2＋2＝5，∴所求事件的概率P＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).(2)由(1)知當(dāng)且僅當(dāng)2b≤a且a>0時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－8≤0，,a>0，,b>0))))))，即△OAB部分；構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)椤鱋AC部分．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－8＝0，,a－2b＝0.))得交點(diǎn)坐標(biāo)Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)，\f(8,3)))，∴由幾何概型概率公式得所求事件的概率P＝eq\f(\f(1,2)×8×\f(8,3),\f(1,2)×8×8)＝eq\f(1,3).角度四：古典概型與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合4．某企業(yè)為了解下屬某部門對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問(wèn)50名職工．根據(jù)這50名職工對(duì)該部門的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：[40,50)，[50,60)，…，[80，90)，[90,100]．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率；(3)從評(píng)分在[40,60)的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人的評(píng)分都在[40,50)的概率．解：(1)因?yàn)?0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.(2)由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評(píng)分不低于80的頻率為(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以該企業(yè)職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為0.4.(3)受訪職工中評(píng)分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，記為A1，A2，A3；受訪職工中評(píng)分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，記為B1，B2.從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因?yàn)樗槿?人的評(píng)分都在[40,50)的結(jié)果有1種，即{B1，B2}，故所求的概率為eq\f(1,10).[方法技巧]解決與古典概型交匯命題的問(wèn)題時(shí)，把相關(guān)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件，列舉基本事件，求出基本事件和隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)，然后利用古典概型的概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算．1．(全國(guó)卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)解析：選D記兩次取得卡片上的數(shù)字依次為a，b，則一共有25個(gè)不同的數(shù)組(a，b)，其中滿足a＞b的數(shù)組共有10個(gè)，分別為(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).2．(全國(guó)卷Ⅲ)小敏打開計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是()A.eq\f(8,15) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,15) D.eq\f(1,30)解析：選C∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件總數(shù)有15種．∵正確的開機(jī)密碼只有1種，∴P＝eq\f(1,15).3．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,10) D.eq\f(1,20)解析：選C從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有如下10個(gè)不同的結(jié)果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5)，所以概率為eq\f(1,10).4．(2014·全國(guó)卷Ⅱ)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為________．解析：甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種的所有可能情況為(紅，白)，(白，紅)，(紅，藍(lán))，(藍(lán)，紅)，(白，藍(lán))，(藍(lán)，白)，(紅，紅)，(白，白)，(藍(lán)，藍(lán))，共9種，他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的所有可能情況為(紅，紅)，(白，白)，(藍(lán)，藍(lán))，共3種．故所求概率為P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)5．(全國(guó)卷Ⅲ)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率．解：(1)這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率的估計(jì)值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900；若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.所以Y的所有可能值為900,300，－100.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8.一、選擇題1．(天津高考)有5支彩筆(除顏色外無(wú)差別)，顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)解析：選C從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，有10種不同取法：(紅，黃)，(紅，藍(lán))，(紅，綠)，(紅，紫)，(黃，藍(lán))，(黃，綠)，(黃，紫)，(藍(lán)，綠)，(藍(lán)，紫)，(綠，紫)．而取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有(紅，黃)，(紅，藍(lán))，(紅，綠)，(紅，紫)，共4種，故所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).2．先后拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，則兩次朝上的點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)的概率為()A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,3)解析：選C骰子的點(diǎn)數(shù)為1,2,3,4,5,6，先后拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)基本事件為(x，y)，共有6×6＝36個(gè)，記兩次點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)的事件為A，有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9個(gè)，所以兩次朝上的點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)的概率為P(A)＝eq\f(9,36)＝eq\f(1,4).3．(豫東名校聯(lián)考)在集合A＝{2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素m，在集合B＝{1,2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素n，得到點(diǎn)P(m，n)，則點(diǎn)P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,5)解析：選B點(diǎn)P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6種情況，只有(2,1)，(2,2)這2個(gè)點(diǎn)在圓x2＋y2＝9的內(nèi)部，所求概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).4．(泉州質(zhì)檢)一個(gè)三位自然數(shù)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)a＞b，b＜c時(shí)，稱該三位自然數(shù)為“凹數(shù)”(如213,312等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，則這個(gè)三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(5,24)C.eq\f(1,3) D.eq\f(7,24)解析：選C由1,2,3組成的三位自然數(shù)為123,132,213,231,312,321，共6個(gè)；同理由1,2,4組成的三位自然數(shù)共6個(gè)；由1,3,4組成的三位自然數(shù)也是6個(gè)；由2,3,4組成的三位自然數(shù)也是6個(gè)．所以共有4×6＝24個(gè)．當(dāng)b＝1時(shí)，有214,213,312,314,412,413，共6個(gè)“凹數(shù)”；當(dāng)b＝2時(shí)，有324,423，共2個(gè)“凹數(shù)”．所以這個(gè)三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率P＝eq\f(6＋2,24)＝eq\f(1,3).5．從2名男生和2名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動(dòng)，每天一人，則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,2) D.eq\f(7,12)解析：選A設(shè)2名男生記為A1，A2,2名女生記為B1，B2，任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動(dòng)，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B112種情況，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B24種情況，則發(fā)生的概率為P＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).6．甲盒子裝有分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的4張卡片，乙盒子裝有分別標(biāo)有數(shù)字2,5的2張卡片，若從兩個(gè)盒子中各隨機(jī)地取出1張卡片，則2張卡片上的數(shù)字為相鄰數(shù)字的概率為()A.eq\f(7,8) B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)解析：選B從兩個(gè)盒子中各隨機(jī)地取出1張卡片，有(1,2)，(1,5)，(2,2)，(2,5)，(3,2)，(3,5)，(4,2)，(4,5)，共8種不同的取法，其中數(shù)字為相鄰數(shù)字的取法有(1,2)，(3,2)，(4,5)，共3種不同的取法，所以所求概率P＝eq\f(3,8).7．拋擲質(zhì)地均勻的甲、乙兩顆骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為a，b，則eq\f(a,2)<|b－a2|<6－a成立的概率為()A.eq\f(13,36) B.eq\f(5,18)C.eq\f(7,36) D.eq\f(5,36)解析：選C由題意知(a，b)的所有可能情況為(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36種，設(shè)“eq\f(a,2)<|b－a2|<6－a成立”為事件A，則事件A包括(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,6)，共7種，故P(A)＝eq\f(7,36).8．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為()A.eq\f(7,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,9) D.eq\f(2,3)解析：選D對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要滿足題意需x2＋2ax＋b2＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b.又(a，b)的取法共有9種，其中滿足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6種，故所求的概率P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).二、填空題9．先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子落地后面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，則log2xy＝1的概率為________．解析：根據(jù)題意，每枚骰子朝上的點(diǎn)數(shù)都有6種情況，則(x，y)的情況有6×6＝36(種)．若log2xy＝1，則y＝2x，其情況有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3種，所以log2xy＝1的概率P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).答案：eq\f(1,12)10．從－1,0,1,3,4這五個(gè)數(shù)中任選一個(gè)數(shù)記為a，則使曲線y＝eq\f(7－3a,x)的圖象在第一、三象限，且滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3>9，,x－a<0))無(wú)解的概率為________．解析：曲線y＝eq\f(7－3a,x)的圖象在第一、三象限，且滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3>9，,x－a<0))無(wú)解，即7－3a>0且a≤3，所以a<eq\f(7,3)，所以a可?。?,0,1，由古典概型的概率公式，得P＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)11．從eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(其中m，n∈{－1,2,3})所表示的圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)方程中任取一個(gè)，則此方程是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程的概率為________．解析：當(dāng)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1表示橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線時(shí)，不能有m＜0，n＞0，所以方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1表示橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線的(m，n)有(2，－1)，(3，－1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(－1，－1)，共7種，其中表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線時(shí)，m＞0，n＞0，有(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，共4種，所以所求概率P＝eq\f(4,7).答案：eq\f(4,7)12．設(shè)集合A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2}，分別從集合A和B中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a和b，確定平面上一個(gè)點(diǎn)P(a，b)，設(shè)“點(diǎn)P(a，b)落在直線x＋y＝n上”為事件Cn(0≤n≤4，n∈N)，若事件Cn的概率最大，則n的值為________．解析：由題意知，點(diǎn)P的坐標(biāo)的所有情況為(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共9種．當(dāng)n＝0時(shí)，落在直線x＋y＝0上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0)，共1種；當(dāng)n＝1時(shí)，落在直線x＋y＝1上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1)和(1,0)，共2種；當(dāng)n＝2時(shí)，落在直線x＋y＝2上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1)，(2,0)，(0,2)，共3種；當(dāng)n＝3時(shí)，落在直線x＋y＝3上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2)，(2,1)，共2種；當(dāng)n＝4時(shí)，落在直線x＋y＝4上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2)，共1種．因此，當(dāng)Cn的概率最大時(shí)，n＝2.答案：2三、解答題13．有一枚正方體骰子，六個(gè)面分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5,6，規(guī)定拋擲該枚骰子得到的數(shù)字是拋擲后面向上的那一個(gè)數(shù)字．已知b和c是先后拋擲該枚骰子得到的數(shù)字，函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)．(1)若先拋擲骰子得到的數(shù)字是3，求再次拋擲骰子時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)的概率；(2)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－3，＋∞)上是增函數(shù)的概率．解：(1)記“函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零點(diǎn)”為事件A，由題意知，b＝3，c＝1,2,3,4,5,6，∴所有的基本事件為(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共6個(gè)．當(dāng)函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零點(diǎn)時(shí)，方程x2＋bx＋c＝0有實(shí)數(shù)根，即Δ＝b2－4c≥0，∴c≤eq\f(9,4)，∴c＝1或2，即事件A包含2個(gè)基本事件，∴函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零點(diǎn)的概率P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)由題意可知，所有的基本事件為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36個(gè)．記“函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－3，＋∞)上是增函數(shù)”為事件B.∵y＝f(x)的圖象開口向上，∴要想使函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－3，＋∞)上是增函數(shù)，只需－eq\f(b,2)≤－3即可，解得b≥6，∴b＝6.∴事件B包含的基本事件有6個(gè)．∴函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－3，＋∞)上是增函數(shù)的概率P(B)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).14．學(xué)校組織學(xué)生參加某項(xiàng)比賽，參賽選手必須有很好的語(yǔ)言表達(dá)能力和文字組織能力．學(xué)校對(duì)10位已入圍的學(xué)生進(jìn)行語(yǔ)言表達(dá)能力和文字組織能力的測(cè)試，測(cè)試成績(jī)分為A，B，C三個(gè)等級(jí)，其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：語(yǔ)言表達(dá)能力文字組織能力ABCA220B1a1C01b由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這10位參加測(cè)試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到語(yǔ)言表達(dá)能力或文字組織能力為C的學(xué)生的概率為eq\f(3,10).(1)求a，b的值；(2)從測(cè)試成績(jī)均為A或B的學(xué)生中任意抽取2位，求其中至少有一位語(yǔ)言表達(dá)能力或文字組織能力為A的學(xué)生的概率．解：(1)依題意可知，語(yǔ)言表達(dá)能力或文字組織能力為C的學(xué)生共有(b＋2)人，所以eq\f(b＋2,10)＝eq\f(3,10)，a＋b＝3，解得b＝1，a＝2.(2)測(cè)試成績(jī)均為A或B的學(xué)生共有7人，其中語(yǔ)言表達(dá)能力和文字組織能力均為B的有2人，設(shè)為b1，b2，其余5人設(shè)為a1，a2，a3，a4，a5.則基本事件空間Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，a5)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(b1，b2)}．所以基本事件空間總數(shù)為21.選出的2人語(yǔ)言表達(dá)能力和文字組織能力均為B的有(b1，b2)．所以至少有一位語(yǔ)言表達(dá)能力或文字組織能力為A的學(xué)生的概率P＝1－eq\f(1,21)＝eq\f(20,21).1．若x∈A的同時(shí)，還有eq\f(1,x)∈A，則稱A是“好搭檔集合”，在集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3))的所有非空子集中任選一集合，則該集合是“好搭檔集合”的概率為()A.eq\f(7,31) B.eq\f(7,32)C.eq\f(1,4) D.eq\f(8,31)解析：選A由題意可得，集合B的非空子集有25－1＝31個(gè)，其中是“好搭檔集合”的有：{1}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1，3))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，2))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)，2，3))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3))，共7個(gè)，所以該集合是“好搭檔集合”的概率為P＝eq\f(7,31).2．某企業(yè)員工500人參加“學(xué)雷鋒”活動(dòng)，按年齡分組所得頻率分布直方圖如圖所示．(1)下表是年齡的頻數(shù)分布表，求出表中a，b的值；組別[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50]人數(shù)5050a150b(2)現(xiàn)在要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取6人，則年齡在第1,2,3組的各抽取多少人？(3)在第(2)問(wèn)的前提下，從這6人中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)活動(dòng)，求至少有1人年齡在第3組的概率．解：(1)由圖可知，年齡在[35,40)間的頻率為0.08×5＝0.4，年齡在[45,50)間的頻率為0.02×5＝0.1，故a＝0.4×500＝200，b＝0.1×500＝50.(2)由(1)及表中數(shù)據(jù)知抽取的1,2,3組的人數(shù)比為1∶1∶4，故1,2,3組抽取的人數(shù)分別為1,1,4.(3)設(shè)第1組的人為A，第2組的人為B，第3組的人為c，d，e，f.現(xiàn)在隨機(jī)抽取6人，則所有的抽取方法為AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，cd，ce，cf，de，df，ef共15種．記事件E為“至少有1人來(lái)自第3組”，則P(E)＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).高考研究課(二)幾何概型命題3角度——長(zhǎng)度(角度)、面積、體積[全國(guó)卷5年命題分析]考點(diǎn)考查頻度考查角度長(zhǎng)度型5年1考求概率面積型5年1考隨機(jī)模擬求近似值體積型未考查與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型[典例](1)在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則直線y＝k(x＋2)與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn)的概率為________．(2)如圖，在等腰直角△ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C作射線CM交AB于M，則使得AM小于AC的概率為________．[解析](1)因?yàn)橹本€y＝k(x＋2)與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離d＝eq\f(2|k|,\r(1＋k2))≤1，則－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3)，區(qū)間長(zhǎng)度為eq\f(2\r(3),3)，所以所求事件的概率P＝eq\f(\f(2\r(3),3),2)＝eq\f(\r(3),3).(2)當(dāng)AM＝AC時(shí)，△ACM為以A為頂點(diǎn)的等腰三角形，∠ACM＝eq\f(180°－45°,2)＝67.5°.當(dāng)∠ACM＜67.5°時(shí)，AM＜AC，所以AM小于AC的概率P＝eq\f(67.5,90)＝eq\f(3,4).[答案](1)eq\f(\r(3),3)(2)eq\f(3,4)[方法技巧]1．與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長(zhǎng)度表示，可直接用概率的計(jì)算公式求解．2．與角度有關(guān)的幾何概型當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問(wèn)題時(shí)，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來(lái)計(jì)算概率，且不可用線段的長(zhǎng)度代替，這是兩種不同的度量手段．[即時(shí)演練]1．(江蘇高考)記函數(shù)f(x)＝eq\r(6＋x－x2)的定義域?yàn)镈.在區(qū)間[－4,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈D的概率是________．解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，則D＝[－2,3]，則所求概率P＝eq\f(3－－2,5－－4)＝eq\f(5,9).答案：eq\f(5,9)2.如圖所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在30°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為________．解析：因?yàn)樯渚€OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的，所以O(shè)A落在∠yOT內(nèi)的概率為eq\f(60,360)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)與體積有關(guān)的幾何概型[典例](煙臺(tái)模擬)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________．[解析]由題意，在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)任取一點(diǎn)，滿足幾何概型，記“點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1”為事件A，則事件A發(fā)生時(shí)，點(diǎn)P位于以O(shè)為球心，以1為半徑的半球外．又V正方體ABCD-A1B1C1D1＝23＝8，V半球＝eq\f(1,2)·eq\f(4,3)π·13＝eq\f(2,3)π，∴所求事件概率P(A)＝eq\f(8－\f(2,3)π,8)＝1－eq\f(π,12).[答案]1－eq\f(π,12)[方法技巧]與體積有關(guān)的幾何概型求法的關(guān)鍵點(diǎn)對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件去求．[即時(shí)演練]1．在400毫升自來(lái)水中有一個(gè)大腸桿菌，今從中隨機(jī)取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率為()A．0.008 B．0.004C．0.002 D．0.005解析：選D大腸桿菌在400毫升自來(lái)水中的位置是任意的，且結(jié)果有無(wú)限個(gè)，屬于幾何概型．設(shè)取出2毫升水樣有大腸桿菌為事件A，則事件A構(gòu)成的區(qū)域體積是2毫升，全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積是400毫升，則P(A)＝eq\f(2,400)＝0.005.2．已知在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，在該四棱錐內(nèi)部或表面任取一點(diǎn)O，則三棱錐O-PAB的體積不小于eq\f(2,3)的概率為________．解析：如圖，取AD，BC，PC，PD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，當(dāng)點(diǎn)O在幾何體CDEFGH內(nèi)部或表面上時(shí)，VO-PAB≥eq\f(2,3).在幾何體CDEFGH中，連接GD，GE，則VCDEFGH＝VG-CDEF＋VG-DEH＝eq\f(5,6)，又VP-ABCD＝eq\f(8,3)，則所求概率為eq\f(\f(5,6),\f(8,3))＝eq\f(5,16).答案：eq\f(5,16)與面積有關(guān)的幾何概型與面積有關(guān)的幾何概型是近幾年高考的熱點(diǎn)之一.,常見的命題角度有：1與平面圖形面積有關(guān)的問(wèn)題；2與線性規(guī)劃交匯的問(wèn)題；3與函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題；角度一：與平面圖形面積有關(guān)的問(wèn)題1．隨機(jī)向邊長(zhǎng)為5,5,6的三角形中投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都不小于2的概率是________．解析：若點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都不小于2，則點(diǎn)P位于圖中陰影部分，三角形在三個(gè)圓的面積之和為eq\f(1,2)×π×22＝2π，△ABC的面積S＝eq\f(1,2)×6×4＝12，所以陰影部分的面積S＝12－2π，故對(duì)應(yīng)的概率P＝eq\f(12－2π,12)＝1－eq\f(π,6).答案：1－eq\f(π,6)角度二：與線性規(guī)劃交匯的問(wèn)題2．把長(zhǎng)為80cm的鐵絲隨機(jī)截成三段，則每段鐵絲長(zhǎng)度都不小于20cm的概率為()A.eq\f(1,16) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(3,16)解析：選A設(shè)把長(zhǎng)為80cm的鐵絲隨機(jī)截成三段的長(zhǎng)度分別為x，y，80－x－y，則構(gòu)成實(shí)驗(yàn)的全部區(qū)域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<80，,0<y<80，,0<80－x－y<80，))作出示意圖如圖所示，此區(qū)域?yàn)檠L(zhǎng)80cm的等腰直角三角形OAB，則面積為eq\f(1,2)×80×80＝3200cm2，記“這三段長(zhǎng)度均不小于20cm”為事件M，則構(gòu)成M的區(qū)域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(20≤x<80，,20≤y<80，,20≤80－x－y<80，))此區(qū)域?yàn)檠L(zhǎng)20cm的等腰直角三角形CDE，則面積為eq\f(1,2)×20×20＝200cm2，所以每段鐵絲長(zhǎng)度不小于20cm的概率P(M)＝eq\f(200,3200)＝eq\f(1,16).角度三：與函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題3．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，0≤x<1，,lnx＋e，1≤x≤e，))在區(qū)間[0，e]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則f(x)的值不小于常數(shù)e的概率為()A.eq\f(1,e) B．1－eq\f(1,e)C.eq\f(e,1＋e) D.eq\f(1,1＋e)解析：選B由題可得，因?yàn)閒(x)≥e，且f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，0≤x<1，,lnx＋e，1≤x≤e，))所以有1≤x≤e，所以由幾何概型可得，f(x)的值不小于常數(shù)e的概率P＝1－eq\f(1,e).[方法技巧]與面積有關(guān)的平面圖形的幾何概型，解題的關(guān)鍵是對(duì)所求的事件A構(gòu)成的平面區(qū)域形狀的判斷及面積的計(jì)算，基本方法是數(shù)形結(jié)合．1.(全國(guó)卷Ⅰ)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(π,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(π,4)解析：選B不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則正方形的面積為4，正方形的內(nèi)切圓的半徑為1，面積為π.由題意，得S黑＝eq\f(1,2)S圓＝eq\f(π,2)，故此點(diǎn)取自黑色部分的概率P＝eq\f(\f(π,2),4)＝eq\f(π,8).2．(全國(guó)卷Ⅱ)從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為()A.eq\f(4n,m) B.eq\f(2n,m)C.eq\f(4m,n) D.eq\f(2m,n)解析：選C因?yàn)閤1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在區(qū)間[0,1]內(nèi)隨機(jī)抽取，所以構(gòu)成的n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，如圖所示．若兩數(shù)的平方和小于1，則對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì)在扇形OAC內(nèi)(不包括扇形圓弧上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì))，故在扇形OAC內(nèi)的數(shù)對(duì)有m個(gè)．用隨機(jī)模擬的方法可得eq\f(S扇形,S正方形)＝eq\f(m,n)，即eq\f(π,4)＝eq\f(m,n)，所以π＝eq\f(4m,n).3．(全國(guó)卷Ⅰ)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：選B如圖，7：50至8：30之間的時(shí)間長(zhǎng)度為40分鐘，而小明等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘是指小明在7：50至8：00之間或8：20至8：30之間到達(dá)發(fā)車站，此兩種情況下的時(shí)間長(zhǎng)度之和為20分鐘，由幾何概型概率公式知所求概率為P＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2).故選B.4．(2015·湖北高考)在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≥eq\f(1,2)”的概率，p2為事件“|x－y|≤eq\f(1,2)”的概率，p3為事件“xy≤eq\f(1,2)”的概率，則()A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p3＜p1C．p3＜p1＜p2 D．p3＜p2＜p1解析：選B滿足條件的x，y構(gòu)成的點(diǎn)(x，y)在正方形OBCA及其邊界上．事件“x＋y≥eq\f(1,2)”對(duì)應(yīng)的圖形為圖①所示的陰影部分；事件“|x－y|≤eq\f(1,2)”對(duì)應(yīng)的圖形為圖②所示的陰影部分；事件“xy≤eq\f(1,2)”對(duì)應(yīng)的圖形為圖③所示的陰影部分．對(duì)三者的面積進(jìn)行比較，可得p2＜p3＜p1.一、選擇題1.如圖所示，A是圓上一定點(diǎn)，在圓上其他位置任取一點(diǎn)A′，連接AA′，得到一條弦，則此弦的長(zhǎng)度小于或等于半徑長(zhǎng)度的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：選C當(dāng)AA′的長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)度時(shí)，∠AOA′＝eq\f(π,3)，A′點(diǎn)在A點(diǎn)左右都可取得，故由幾何概型的概率計(jì)算公式得P＝eq\f(\f(2π,3),2π)＝eq\f(1,3).2．隨機(jī)地向半圓0<y<eq\r(2ax－x2)(a為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn)，若點(diǎn)落在圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于eq\f(π,4)的概率為()A.eq\f(1,2)＋eq\f(1,π) B.eq\f(1,2)－eq\f(1,π)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,π)解析：選A由題意可知半圓0<y<eq\r(2ax－x2)是以(a,0)為圓心、以a為半徑的x軸上方的半圓，要使原點(diǎn)與半圓內(nèi)一點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于eq\f(π,4)，則該點(diǎn)應(yīng)該落在直線y＝x與x軸之間的區(qū)域，所以所求事件的概率為P＝eq\f(\f(1,4)×π×a2＋\f(1,2)×a2,\f(1,2)×π×a2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,π).3.“勾股定理”在西方被稱為“華達(dá)哥拉斯定理”，三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細(xì)證明．如圖所示的“勾股圓方圖”中，四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為2的大正方形，若直角三角形中較小的銳角α＝eq\f(π,6)，現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一枚飛鏢，飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率為()A．1－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(4－\r(3),4) D.eq\f(\r(3),4)解析：選A由題知，直角三角形中較短的直角邊長(zhǎng)為1，較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為eq\r(3)，所以中間小正方形的邊長(zhǎng)為eq\r(3)－1，其面積為(eq\r(3)－1)2＝4－2eq\r(3)，則飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率為eq\f(4－2\r(3),4)＝1－eq\f(\r(3),2).4．已知圓C：x2＋y2－2x－1＝0，直線3x－4y＋12＝0，圓C上任意一點(diǎn)P到直線的距離小于2的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：選D因?yàn)閳AC：(x－1)2＋y2＝2，圓心C(1,0)，半徑r＝eq\r(2)，所以圓心C到直線3x－4y＋12＝0的距離d＝eq\f(15,\r(32＋－42))＝3.若圓心C到直線3x－4y＋m＝0的距離d＝eq\f(|3＋m|,\r(32＋－42))＝1，則m＝2或m＝－8(舍去)，此時(shí)直線AB的方程為3x－4y＋2＝0，如圖所示，在△ABC中，CD＝1，CB＝eq\r(2)，則△ABC為等腰直角三角形，即∠ACB＝eq\f(π,2)，故所求概率P＝eq\f(\f(π,2),2π)＝eq\f(1,4).5．已知直線y＝3－x與兩坐標(biāo)軸所圍成的區(qū)域?yàn)棣?，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤3－x，,x≥0，,y≥2x))所圍成的區(qū)域?yàn)棣?，現(xiàn)在區(qū)域Ω1中隨機(jī)放置一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在區(qū)域Ω2的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：選B在平面直角坐標(biāo)系中，作出區(qū)域Ω1，如圖中△OAB所示，其面積為eq\f(1,2)×3×3＝eq\f(9,2).作出區(qū)域Ω2，如圖中△OBC所示，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3－x，,y＝2x，))得C(1,2)，所以區(qū)域Ω2的面積為eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2)，故所求概率P＝eq\f(\f(3,2),\f(9,2))＝eq\f(1,3).6．已知函數(shù)f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx，當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，f(x)≥1的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,2)解析：選Df(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，∵x∈[0，π]，∴x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))，由f(x)≥1，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))≥eq\f(1,2)，∴eq\f(π,3)≤x＋eq\f(π,3)≤eq\f(5π,6)，∴0≤x≤eq\f(π,2)，∴所求的概率為P＝eq\f(\f(π,2),π