11/11空間直線、平面的垂直[考試要求]從定義和基本事實出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系．1．異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)異面直線所成的角θ的取值范圍：0°<θ≤90°.(3)當θ＝90°時，a與b互相垂直，記作a⊥b.2．直線與平面垂直(1)定義：一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．(2)直線與平面垂直的判定定理與性質定理：文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a，b?α))?l⊥α性質定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b(3)直線和平面所成的角①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角．②范圍：[0°，90°].3．二面角(1)從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．(2)二面角的平面角的范圍：[0°，180°]．4．平面與平面垂直(1)定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．(2)平面與平面垂直的判定定理與性質定理：文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質定理兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α提醒：兩平面垂直的性質定理是把面面垂直轉化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的直線”這一條件．eq\o([常用結論])直線與平面垂直的五個結論(1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意直線.(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行．(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直．(5)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．一、易錯易誤辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)垂直于同一個平面的兩平面平行． ()(2)若α⊥β，a⊥β?a∥α. ()(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面． ()(4)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β. ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材習題衍生1．(多選)若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，則下列命題中正確的是()A．平面α內(nèi)的直線必垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線B．平面α內(nèi)的已知直線必垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線C．平面α內(nèi)的任一條直線必垂直于平面βD．過平面α內(nèi)任意一點作交線l的垂線，則此垂線必垂直于平面βBD[對于A，如圖①，a?α，b?β，且a，b與l都不垂直，則a，b不一定垂直，故A錯誤；對于B，如圖②，a?α，作b⊥l，則b⊥α，則β內(nèi)所有與b平行的直線都與a垂直，故B正確；圖①圖②對于C，如圖③，a?α，但a與l不垂直，則a與β不垂直，故C錯誤；對于D，如圖④由兩平面垂直的性質定理可知D正確，故選BD．]圖③圖④2．如圖，正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3的中點，D是EF的中點，現(xiàn)在沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G1，G2，G3三點重合，重合后的點記為GA．SG⊥△EFG所在平面 B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面A[四面體S-EFG如圖所示：由SG⊥GE，SG⊥GF，且GE∩GF＝G得，SG⊥△EFG所在的平面．故選A．]3．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1與平面A1B1C1Deq\f(1,3)[∠AC1A1為AC1與平面A1B1C1D1所成的角．因為AB＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝2eq\r(2)，又AA1＝1，所以AC1＝3，所以sin∠AC1A1＝eq\f(AA1,AC1)＝eq\f(1,3).]4．在三棱錐P-ABC中，點P在平面ABC上的射影為點O.(1)若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的________心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的________心．(1)外(2)垂[(1)如圖①，連接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O為△ABC的外心．圖①圖②(2)如圖②，延長AO，BO，CO分別交BC，AC，AB于點H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB，∴PC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，∴PC⊥AB．∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC?平面PGC，∴AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC，∴AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB上的高．同理可證BD，AH分別為△ABC邊AC，BC上的高，即O為△ABC的垂心．]考點一直線與平面垂直的判定與性質 eq[典例1]如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．證明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[證明](1)在四棱錐P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．又AE?平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．∵E是PC的中點，∴AE⊥PC．由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD．又PD?平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB．又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.判定線面垂直的四種方法eq\o([跟進訓練])1．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，F(xiàn)在BB1(1)求證：C1D⊥平面AA1B1B；(2)在下列給出的三個條件中選取哪兩個條件可使AB1⊥平面C1DF？并證明你的結論．①F為BB1的中點；②AB1＝eq\r(3)；③AA1＝eq\r(2).[解](1)證明：∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90又D是A1B1的中點，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D?平面A1B1C∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，∴C1D⊥平面AA1B1B．(2)選①③能證明AB1⊥平面C1DF.如圖，連接DF，A1B，∴DF∥A1B，在△ABC中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，則AB＝eq\r(2)，又AA1＝eq\r(2)，則A1B⊥AB1，∴DF⊥AB1.∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1?平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.∵DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.考點二平面與平面垂直的判定與性質 [典例2]在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是AB的中點，沿DE將△ADE折起，得到如圖所示的四棱錐P-BCDE.(1)若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱錐P-BCDE的體積；(2)若PB＝PC，求證：平面PDE⊥平面BCDE.[解](1)如圖所示，取DE的中點M，連接PM，由題意知，PD＝PE，∴PM⊥DE，又平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，PM?平面PDE，∴PM⊥平面BCDE，即PM為四棱錐P-BCDE的高．在等腰直角三角形PDE中，PE＝PD＝AD＝2，∴PM＝eq\f(1,2)DE＝eq\r(2)，而梯形BCDE的面積S＝eq\f(1,2)(BE＋CD)·BC＝eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝6，∴四棱錐P-BCDE的體積V＝eq\f(1,3)PM·S＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×6＝2eq\r(2).(2)證明：取BC的中點N，連接PN，MN，則BC⊥MN，∵PB＝PC，∴BC⊥PN，∵MN∩PN＝N，MN，PN?平面PMN，∴BC⊥平面PMN，∵PM?平面PMN，∴BC⊥PM，由(1)知，PM⊥DE，又BC，DE?平面BCDE，且BC與DE是相交的，∴PM⊥平面BCDE，∵PM?平面PDE，∴平面PDE⊥平面BCDE.證明面面垂直的兩種方法eq\o([跟進訓練])2.如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝eq\r(2)，O，M分別為AB，VA的中點．(1)求證：平面MOC⊥平面VAB；(2)求三棱錐B-VAC的高．[解](1)證明：因為AC＝BC，O為AB的中點，所以OC⊥AB．因為平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，OC?平面ABC，所以OC⊥平面VAB．因為OC?平面MOC,所以平面MOC⊥平面VAB．(2)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝eq\r(2)，所以AB＝2，OC＝1，所以等邊三角形VAB的面積為S△VAB＝eq\f(1,2)×22×sin60°＝eq\r(3)，又因為OC⊥平面VAB，所以OC⊥OM.在△AMC中，AM＝1，AC＝eq\r(2)，MC＝eq\r(2)，所以S△AMC＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(7),2)＝eq\f(\r(7),4)，所以S△VAC＝2S△MAC＝eq\f(\r(7),2).由三棱錐B-VAC的體積與三棱錐C-VAB的體積相等，即eq\f(1,3)S△VAC·h＝eq\f(1,3)S△VAB·OC,所以h＝eq\f(\r(3)×1,\f(\r(7),2))＝eq\f(2\r(21),7)，即三棱錐B-VAC的高為eq\f(2\r(21),7).考點三平行與垂直的綜合問題 eq[典例3]如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點．求證：(1)PE⊥BC；(2)平面PAB⊥平面PCD；(3)EF∥平面PCD．[證明](1)因為PA＝PD，E為AD的中點，所以PE⊥AD．因為底面ABCD為矩形，所以BC∥AD．所以PE⊥BC．(2)因為底面ABCD為矩形，所以AB⊥AD．又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD．又PD?平面PAD，所以AB⊥PD．又因為PA⊥PD，且PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB．又PD?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD．(3)如圖，取PC中點G，連接FG，DG.因為F，G分別為PB，PC的中點，所以FG∥BC，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)BC．因為ABCD為矩形，且E為AD的中點，所以DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC．所以DE∥FG，DE＝FG.所以四邊形DEFG為平行四邊形．所以EF∥DG.又因為EF?平面PCD，DG?平面PCD，所以EF∥平面PCD．垂直與平行的結合問題，求解時應注意平行、垂直的性質及判定的綜合應用．如果有平面垂直時，一般要用性質定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直．eq\o([跟進訓練])3.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C求證：(