..直線和圓的方程一、知識導學1．兩點間的距離公式:不論A<1,1>,B<2,2>在坐標平面上什么位置,都有d=|AB|=,特別地,與坐標軸平行的線段的長|AB|=|2－1|或|AB|=|2-1|.2．定比分點公式:定比分點公式是解決共線三點A<1,1>,B<2,2>,P<,>之間數(shù)量關(guān)系的一個公式,其中λ的值是起點到分點與分點到終點的有向線段的數(shù)量之比.這里起點、分點、終點的位置是可以任意選擇的,一旦選定后λ的值也就隨之確定了.若以A為起點,B為終點,P為分點,則定比分點公式是.當P點為AB的中點時,λ=1,此時中點坐標公式是.3．直線的傾斜角和斜率的關(guān)系〔1每一條直線都有傾斜角,但不一定有斜率.〔2斜率存在的直線,其斜率與傾斜角α之間的關(guān)系是=tanα.4．確定直線方程需要有兩個互相獨立的條件。直線方程的形式很多,但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍.名稱方程說明適用條件斜截式為直線的斜率b為直線的縱截距傾斜角為90°的直線不能用此式點斜式<>為直線上的已知點,為直線的斜率傾斜角為90°的直線不能用此式兩點式=<>,<>是直線上兩個已知點與兩坐標軸平行的直線不能用此式截距式+=1為直線的橫截距b為直線的縱截距過〔0,0及與兩坐標軸平行的直線不能用此式一般式,,分別為斜率、橫截距和縱截距A、B不全為零5．兩條直線的夾角。當兩直線的斜率,都存在且·≠-1時,tanθ=,當直線的斜率不存在時,可結(jié)合圖形判斷.另外還應注意到："到角"公式與"夾角"公式的區(qū)別.6．怎么判斷兩直線是否平行或垂直？判斷兩直線是否平行或垂直時,若兩直線的斜率都存在,可以用斜率的關(guān)系來判斷；若直線的斜率不存在,則必須用一般式的平行垂直條件來判斷.〔1斜率存在且不重合的兩條直線1∶,2∶,有以下結(jié)論：①1∥2=,且ｂ1＝ｂ2②1⊥2·=-1〔2對于直線1∶,2∶,當1,2,1,2都不為零時,有以下結(jié)論：①1∥2=≠②1⊥212+12=0③1與2相交≠④1與2重合==7．點到直線的距離公式.〔1已知一點P〔及一條直線：,則點P到直線的距離d=；〔2兩平行直線1:,2:之間的距離d=.8．確定圓方程需要有三個互相獨立的條件。圓的方程有兩種形式,要知道兩種形式之間的相互轉(zhuǎn)化及相互聯(lián)系〔1圓的標準方程：,其中〔,b是圓心坐標,是圓的半徑；〔2圓的一般方程：〔＞0,圓心坐標為〔-,-,半徑為=.二、疑難知識導析1．直線與圓的位置關(guān)系的判定方法.〔1方法一直線：；圓：.一元二次方程〔2方法二直線:；圓：,圓心〔,b到直線的距離為d=2．兩圓的位置關(guān)系的判定方法.設(shè)兩圓圓心分別為O1、O2,半徑分別為1,2,|O1O2|為圓心距,則兩圓位置關(guān)系如下：|O1O2|>1+2兩圓外離；|O1O2|=1+2兩圓外切；|1-2|<|O1O2|<1+2兩圓相交；|O1O2|=|1-2|兩圓內(nèi)切；0<|O1O2|<|1-2|兩圓內(nèi)含.三、經(jīng)典例題導講［例1］直線l經(jīng)過P〔2,3,且在x,y軸上的截距相等,試求該直線方程.錯解：設(shè)直線方程為:,又過P<2,3>,∴,求得a=5∴直線方程為x+y-5=0.錯因：直線方程的截距式:的條件是:≠0且b≠0,本題忽略了這一情形.正解：在原解的基礎(chǔ)上,再補充這樣的過程:當直線過<0,0>時,此時斜率為:,∴直線方程為y=x綜上可得:所求直線方程為x+y-5=0或y=x.［例2］已知動點P到y(tǒng)軸的距離的3倍等于它到點A<1,3>的距離的平方,求動點P的軌跡方程.錯解：設(shè)動點P坐標為<x,y>.由已知3化簡3=x2-2x+1+y2-6y+9.當x≥0時得x2-5x+y2-6y+10=0.①當x＜0時得x2+x+y2-6y+10=0.②錯因：上述過程清楚點到y(tǒng)軸距離的意義及兩點間距離公式,并且正確應用絕對值定義將方程分類化簡,但進一步研究化簡后的兩個方程,配方后得<x-eq\f<5,2>>2+<y-3>2=eq\f<21,4>①和<x+eq\f<1,2>>2+<y-3>2=-eq\f<3,4>②兩個平方數(shù)之和不可能為負數(shù),故方程②的情況不會出現(xiàn).正解：接前面的過程,∵方程①化為<x-eq\f<5,2>>2+<y-3>2=eq\f<21,4>,方程②化為<x+eq\f<1,2>>2+<y-3>2=-eq\f<3,4>,由于兩個平方數(shù)之和不可能為負數(shù),故所求動點P的軌跡方程為:<x-eq\f<5,2>>2+<y-3>2=eq\f<21,4><x≥0>［例3］m是什么數(shù)時,關(guān)于x,y的方程〔2m2+m-1x2+〔m2-m+2y2+m+2=0的圖象表示一個圓？錯解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一個圓,只要A=C≠0,得2m2+m-1=m2-m+2,即m2+2m-3=0,解得m1=1,m2=-3,∴當m=1或m=-3時,x2和y2項的系數(shù)相等,這時,原方程的圖象表示一個圓錯因：A=C,是Ax2+Cy2+F=0表示圓的必要條件,而非充要條件,其充要條件是：A=C≠0且eq\f<F,A>＜0.正解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一個圓,只要A=C≠0,得2m2+m-1=m2-m+2,即m2+2m-3=0,解得m1=1,m2=-3,當m=1時,方程為2x2+2y2=-3不合題意,舍去.當m=-3時,方程為14x2+14y2=1,即x2+y2=eq\f<1,14>,原方程的圖形表示圓.［例4］自點A<-3,3>發(fā)出的光線L射到x軸上,被x軸反射,其反射光線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+7＝0相切,求光線L所在的直線方程.錯解：設(shè)反射光線為L′,由于L和L′關(guān)于x軸對稱,L過點A<-3,3>,點A關(guān)于x軸的對稱點A′<-3,-3>,于是L′過A<-3,-3>.設(shè)L′的斜率為k,則L′的方程為y-<-3>＝k［x-<-3>］,即kx-y+3k-3＝0,已知圓方程即<x-2>2+<y-2>2＝1,圓心O的坐標為<2,2>,半徑r＝1因L′和已知圓相切,則O到L′的距離等于半徑r＝1即整理得12k2-25k+12＝0解得k＝L′的方程為y+3＝<x+3>即4x-3y+3＝0因L和L′關(guān)于x軸對稱故L的方程為4x+3y+3＝0.錯因：漏解正解：設(shè)反射光線為L′,由于L和L′關(guān)于x軸對稱,L過點A<-3,3>,點A關(guān)于x軸的對稱點A′<-3,-3>,于是L′過A<-3,-3>.設(shè)L′的斜率為k,則L′的方程為y-<-3>＝k［x-<-3>］,即kx-y+3k-3＝0,已知圓方程即<x-2>2+<y-2>2＝1,圓心O的坐標為<2,2>,半徑r＝1因L′和已知圓相切,則O到L′的距離等于半徑r＝1即整理得12k2-25k+12＝0解得k＝或k＝L′的方程為y+3＝<x+3>;或y+3＝<x+3>。即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0因L和L′關(guān)于x軸對稱故L的方程為4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0.［例5］求過直線和圓的交點,且滿足下列條件之一的圓的方程：過原點；〔2有最小面積.解：設(shè)所求圓的方程是：即：〔1因為圓過原點,所以,即故所求圓的方程為：.將圓系方程化為標準式,有：當其半徑最小時,圓的面積最小,此時為所求.故滿足條件的圓的方程是.點評：〔1直線和圓相交問題,這里應用了曲線系方程,這種解法比較方便；當然也可以待定系數(shù)法。〔2面積最小時即圓半徑最小。也可用幾何意義,即直線與相交弦為直徑時圓面積最小.［例6］〔06年XX理科已知點A<>,B<>〔≠0是拋物線上的兩個動點,O是坐標原點,向量滿足｜｜＝｜｜.設(shè)圓C的方程為〔1證明線段AB是圓C的直徑；〔2當圓C的圓心到直線的距離的最小值為時,求的值.解：〔1證明∵｜｜＝｜｜,∴〔2＝〔2,整理得：＝0∴＋＝0設(shè)M〔是以線段AB為直徑的圓上的任意一點,則＝0即＋＝0整理得：故線段AB是圓C的直徑.〔2設(shè)圓C的圓心為C〔,則∵,∴又∵＋＝0,＝－∴－∵≠0,∴≠0∴＝－4＝所以圓心的軌跡方程為設(shè)圓心C到直線的距離為ｄ,則＝當＝時,ｄ有最小值,由題設(shè)得＝∴＝2.四、典型習題導練1．直線截圓得的劣弧所對的圓心角為〔 A.eq\f<π,6>B.eq\f<π,4>C.eq\f<π,3>D.eq\f<π,2>2.已知直線x=a<a＞0>和圓<x-1>2+y2=4相切,那么a的值是<>A.5B.4C.3D.23.如果實數(shù)x、y滿足等式<x-2>2+y2＝３,則的最大值為：.4.設(shè)正方形ABCD〔A、B、C、D順時針排列的外接圓方程為x2+y2-6x+a=0〔a<9,C、D點所在直線l的斜率為.〔1求外接圓圓心M點的坐標及正方形對角線AC、BD的斜率；〔2如果在x軸上方的A、B兩點在一條以原點為頂點,以x軸為對稱軸的拋物線上,求此拋物線的方程及直線l的方程；〔3如果ABCD的外接圓半徑為2,在x軸上方的A、B兩