活躍在高考中的特殊函數(shù)

函數(shù)是中學數(shù)學的主軸內(nèi)容，也是歷年高考“經(jīng)久不衰”的重點、難點和熱點內(nèi)容?各級各類考試命題者為了命好函數(shù)題而絞盡腦汁，挖空心思，所編制的函數(shù)題超凡脫俗，新穎別致，頗具思考性和挑戰(zhàn)性?其中以特殊函數(shù)為背景的函數(shù)題更是頻頻“閃亮登場”，常處于壓軸題的地位，充當把關(guān)題的“角色”?下面將活躍在高考中的幾種特殊函數(shù)分類列舉，并結(jié)合典型例題予以剖析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法.

單位跳躍函數(shù)與符號函數(shù)

I0仗■<[!)

【例1】(2004年武漢市高考模擬題)已知H(x)=稱為單位跳躍函數(shù),

Xx>0)

<0(x=0)

-l(x<0)

Sgn(x)=稱為符號函數(shù).

畫出y=H(x-2)+1的圖像；

畫出y=H[Sgn(x2-x-2)]的圖像；

求證：Sgn(x)=H(x)-H(-x).

fl+l(x-2^=0)2(x^2)

廨麗|x+l(x-2<0)

I解切⑴y=H(x-2)+1=J'，即y=H(x-2)+1「

Ay=H(x-2)+1的圖像如下圖所示:

"1(瓦<_1或x>2)

<0(x==2")

(2)、:Sgn(x2-x-2)=

AH[Sgn(x2-x-2)]=

Ay=H[Sgn(x2-x-2)]的圖像如下圖所示:

y-

—*1-*—

d上J"

-10

(3)當x〉0時，Sgn(x)=H(x)=1，H(-x)=0；

當x=0時，Sgn(x)=0，H(x)=H(-x)=1；

當x<0時，Sgn(x)=T,H(x)=0,H(-x)=l.

綜上所述，Sgn(x)=H(x)-H(-x).

■=0(x=0>

TOC\o"1-5"\h\z

【例2】(2004年南昌市高考模擬題)定義符號函數(shù)Sgnx=則不等式x+2>(2x-1)sgnx的解集是.

x<Oj

fx=0?<i

廨嶄][x+2>2x-L\x+2>LX+-1

I解訓原不等式等價于①l或②l或③l

_3+733_3+755

由①得，0<x<3；由②得x=0；由③得<x<0.綜合①②③得，原不等式的解集為{x|<

x<3}.

凸函數(shù)

【例3】(2004年濟南市高考模擬題)若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x)對于D上的任意n個值x，x，…，x，總滿

TOC\o"1-5"\h\z

12n

瓦i+盜2+?■■+瓦II

足[f(x)+f(x)+???+f(x)]Wf()，則稱f(x)為D上的凸函數(shù).現(xiàn)已知f(x)=sinx在(0,n)上

12n

是凸函數(shù)，則在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是().

33^373

2—T

A.B.C.D.

在AABC中，A,B,Cw(0,n)，由凸函數(shù)的定義，知

1A+B+C

亍3

(sinA+sinB+sinC)Wsin，

7E_3^3?__2-

?：sinA+sinB+sinCW3sin.

3羽

2

即sinA+sinB+sinC的最大值為.故應選C.

凹函數(shù)

【例4】(2004年南京市高考模擬題)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：如果對任意x，xWR，都有

12

f〔翌尹_)壬[f(和+f①別

，則稱函數(shù)f(x)是R上的凹函數(shù).

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+x(aWR，aH0)，

求證：當a>0時，函數(shù)f(x)是凹函數(shù)；

如果xW[0,1],|f(x)|W1,試求實數(shù)a的取值范圍.

I解析I(1)對任意x,xWR,Ta〉0,

12

衍+乜

?[f(x)+f(x)]-2f(')=

12

22

22

10

-a(xi-x2)M0

瓦1+瓦21

22

???f()W[f(x)+f(x)].

12

???函數(shù)y=f(x)為凹函數(shù).

⑵由|f(x)|WlO-lWf(x)W1O-lWax2+xWl

當x=0時，aWR,

ax2-x-1

ax'W-x+1

當xW(0,1]時，恒成立.

]_

VxW(0,1],A21.

???當瓦=1時，取得最大值-2；

丄

4

取得最小值0.

.?.-2WaW0,注意到aH0,.°.-2Wa<0.

故所求實數(shù)a的取值范圍為［-2,0）.

取整函數(shù)

然后回答問題:

【例5】（2004年鄭州市高考模擬題）閱讀下列文字,

對于任意實數(shù)X,符號[x]表示X的整數(shù)部分，即[x]是不超過X的最大整數(shù)?在實數(shù)軸R(箭頭向右)上，[x]是在點X左側(cè)的第一個整數(shù)點，當x是整數(shù)時，[x]就是x.這個函數(shù)[x]叫做“取整函數(shù)”，也叫做高斯(Gauss)函數(shù)，它在數(shù)學本身和生產(chǎn)實踐中有廣泛的應用?例如當您在學習和使用計算器時，在用到的算法語言中，就有這種取整函數(shù)

從[x]的定義可得下列性質(zhì)：x-K[x]WxW[x+1].

與[x]有關(guān)的另一個函數(shù)是｛x｝，它的定義是｛x｝=x-[x]，｛x｝稱為x的“小數(shù)部分”，這也是一個很常用的函數(shù).

根據(jù)上文可知：｛x｝的取值范圍是；[-5.2]=?

求[loggll+IlcGZHIloggSH…+[log21024]的和.廨祠(1){x}的取值范圍是[0,1),[-5.2]=-6.

0(1^N<2)

1(2^N<22)

⑵???

[log2Ng

2(22^N<23)

9(29^N<210)

10(N=210)

原式=0+1?(22-2)+2?(23-22)+—+9?(2io-29)+1O=1X2+2X22+???+9X29+10.

令S=1X2+2X22+—+9X29，

則2S=1X22+2X23+—+9X2io.

i_9兩式相減得S=9X2io-(2+22+—+29)=9X2io-=8194.

原式=8194+10=8204.

【例6】(2004年重慶市高考模擬題)給定實數(shù)x,定義[x]為不大于x的最大整數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是().

A.x-[x]20B.x-[x]<1C.x-[x]是周期函數(shù)D.x-[x]是偶函數(shù)

廨祠[x]叫做取整函數(shù)，例如[3]=3,[3.9]=3,[-3.1]=-4,顯然0Wx-[x]<1,且函數(shù)x-[x]是周期函數(shù)，其周期為1?故應選D.

【例7】(2004年南寧市高考模擬題)擬定從甲地到乙地通話mmin的電話費由f(m)=1.06(0.5X[m]+1)給出，其中m>0,[m]是大于或等于m的最小整數(shù)(如[3]=3,[3.4]=4,[3.1]=4),則從甲地到乙地通話時間為5.5min的話費為()?

A.3.71B.3.97C.4.24D.4.77

I解析Im=5.5時，[m]=6,故f(m)=1.06X(0.5X6+1)=4.24,故應選C.應注意這里給出的即時定義[m],與例6

中的取整函數(shù)的定義不吻合，該題根據(jù)實際意義，采用的是“進位”，而在取整函數(shù)[x]中采用的是“去尾”?

有界函數(shù)

【例8】(2004年安慶市高考模擬題)定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足：存在常數(shù)M>0,對任意xWD,都有|f(x)|

WM成立，則稱f(x)是D上的有界函數(shù).

71/V33

Tg(瓦)=瓦一一

試判斷函數(shù)f(x)=2sin(x+)+3在實數(shù)集R上，函數(shù)區(qū)在［1,3］上是不是有界函數(shù)？若是，請

給出證明；若不是，請說出理由.

=Jt'+1-at

若已知某質(zhì)點的運動方程為，要使在te［0,+-)上的每一時刻的瞬時速度的絕對值都不

大于1,求實數(shù)a的取值范圍.

717171

I解析I(1)V|f(x)|=|2sin(x+)+3|W|2sin(x+)|+3=2|sin(x+)|+3W2X1+3=5，對任意xWR都成立，

???f(x)是R上的有界函數(shù).

_2_

Vg‘(x)=3x2+，當x￡［1,3］時，g'(x)>0.

?g(x)在［1,3］上是增函數(shù).

.?.當x￡［1,3］時，g(1)<g(x)<g(3)，

即-2Wg(x)W26.

.?.存在常數(shù)M=26，使得對任意xW［1,3］,都有|g(x)|WM成立.

3

故函數(shù)g(x)=x3-是［1,3］上的有界函數(shù).

t

Jt2+1

(2)s'(t)=—a.

V|s'(t)$1,|-a|W1,

當tw)時，(

+1)=1,.°.aW1；

min

+1

當tf+8時，上恒成立的a的取值范圍是0WaW1.

1,

且連續(xù)遞增，所有值都小于1,所以a沐故使|s'(t)|W1在［0,+8)

閉函數(shù)

【例9】(2004年黃岡中學高考模擬題)已知函數(shù)f(x)的定義域為D,且f(x)同時滿足以下條件：

f(x)在D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；

存在區(qū)間［a,b］匸D,使得f(x)在［a,b］上的值域是［a,b］，那么我們把函數(shù)f(x)(x^D)叫做閉函數(shù).

求閉函數(shù)y=-x3符合條件②的區(qū)間［a,b］；

丄

V

判斷函數(shù)f(x)=x+(xWR+),y=2x-lgx是不是閉函數(shù)？若是，請說明理由，并找出區(qū)間［a,b］；若不是,

請說明理由；

若y=k+忘巨是閉函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍.

I解析I⑴因為y=-x3在R上單調(diào)遞減，

所以有-a3二b，-b3=a，二式相加得，

—(a+b)(a2—ab+b2)=a+ba+b=0或a2-ab+b2=-1(舍)，

即a=—b，代入-a3二b，得b3=bb=0或b=±1，

而當b=0時，a=0；當b=—1時，a=1，又a<b，

故bHO,bHT.

Ab=1，a=—1，故[a,b]=[—1,1].

776

1

而,x2=，則

⑵取x=1,x2=10,則f(x1)^<5=f(x2)，故f(x)不是(0,+s)上的減函數(shù).

丄

取x=10

1

3

40

3

f(X])=+10<4皿+100=f(^)，故f(x)不是(0,+s)上的增函數(shù).

.?.f(x)不是閉函數(shù).

!_lgelgelgelge

y'=2-瓦lge,令y=0=x='，當x〉'時，y'〉0,即它在(’,+-)上單調(diào)遞增；當0<x<'時,

lge

y'<0,即它在(0,)上單調(diào)遞減.

綜上可知y=2x-lgx不是單調(diào)函數(shù)，故它肯定不是閉函數(shù).

y'=>0,故y=k+忘巨在［-2,+^)上單調(diào)遞增，故

k+Va+2=afa2-(2k+l)a+k2-2=0

■=二:…=-_

k+Vb+2=bb2-(2k+l)b+k2-2=0

L(a2k,b2k),

「F(k)PD,

<A>0,l^>k.

l2

故a,b為方程F(x)=x2-(2k+l)x+k2-2=0的兩個大于或等于k的不同實根，則

￡￡

44

解得-<kW-2?所以實數(shù)k的取值范圍為(-,-2].

邊際函數(shù)

【例10】(2004年北京海淀區(qū)高考模擬題)在經(jīng)濟學中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x臺的收入函數(shù)為R(x)=3000x-20x2(單位：元)，其成本函數(shù)為C(x)=500x+4000(單位：元)，利潤是收入與成本之差.

(1)求利潤函數(shù)P(x)及邊際利潤函數(shù)MP(x)；

(2)利潤函數(shù)P(x)與邊際利潤函數(shù)MP(x)是否具有相等的最大值?

［WI

你認為本題中邊際利潤函數(shù)MP(x)取最大值的實際意義是什么？

(1)P(x)=R(x)-C(x)=3000x-20x2-(500x+4000)=-20x2+2500x-4000(xW［1,100］，x^N*).

MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-(-20x2+2500x-4000)=2480-40x(x丘［1,100］，x^N*).

125

(2)VP(x)=-20(x-)2+74125，

當x=62或x=63時，P(x)=74120(元).

max

VMP(x)=2480-40x是減函數(shù)，

???當x=1時，MP(x)==2440(元).

max

故利潤函數(shù)P(x)與邊際利潤函數(shù)MP(x)不具有相等的最大值.

(3)邊際利潤函數(shù)MP(x)，當x=1時取最大值，說明生產(chǎn)第2臺與生產(chǎn)第1臺的總利潤差最大，即第2臺報警系統(tǒng)的利潤最大，MP(x)=2480-40x是減函數(shù)，說明隨著產(chǎn)量的增加，每臺利潤與前一臺利潤相比在減少.

利普希茨I類函數(shù)

【例11】(2004年南通市高考模擬題)已知函數(shù)f(x)=x2-1(x±1)的圖像是C,函數(shù)y=g(x)的圖像C與C關(guān)于直

121

線y=x對稱.

(1)求函數(shù)y=g(x)的解析式及定義域M；

(2)對于函數(shù)y=h(x),如果存在一個正的常數(shù)a，使得定義域A內(nèi)的任意兩個不等的值x「篤，都有|hgAhd)Wa|X]-X21成立，則稱函數(shù)y=h(x)為A上的利普希茨I類函數(shù).試證明：y=g(x)是M上的利普希茨I類函數(shù).

⑶設(shè)A,B是C2上任意不同的兩點，證明直線AB與直線y=x必相交.廨擁(1)曲線q和C2關(guān)于直線y=x對稱，則g(x)為f(x)的反函數(shù).

由y=x2T,得x2=y+1，又x21,

??x

?曲線C2的方程為g(x)="瓦+',M=[0,+g).

⑵對任意帚%2刊，且厲，則有

x-x工0,x三0,x三0.

1212

x-x

12

且xHx，由(2)知

12

?|g(x1)-g(x2)|=|

￡

2故y=g(x)為M上的利普希茨I類函數(shù)，其中a二

⑶設(shè)A(x,y),B(x,y)是曲線C上任意不同的兩點，x,x<EM,

TOC\o"1-5"\h\z

yiLY2LI2g伐l)—g?2)lv1VI12

岡-瓦2丨3

直線AB的斜率kABH1,故直線AB與直線y=x必相交.

“淡泊"函數(shù)

【例12】(2004年合肥市高考模擬題)若函數(shù)f(x)對任意的x1，x^D，都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|成立，則稱f(x)為D上的“淡泊”函數(shù).121212

￡￡

42

(1)判斷f(x)=x2+x是否為［-1,1］上的“淡泊”函數(shù)，請說明理由；

(2)設(shè)f(x)為R上的“淡泊”函數(shù)，證明：F(x)=f(x+a)仍為R上的“淡泊”函數(shù);

jlpX+1

是否存在實數(shù)k,使f(x)=k為R上的“淡泊”函數(shù)，若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說

明理由.

￡］_

廨祠(1)f(x)=x2+x是［-1,1］上的“淡泊”函數(shù).

￡

4

因|f(x)-f(x)|=|(x-x)(x+x+2)|，對于任意的x,xe［-1,1］，都有0Wx+x+2W4,所以|f(x)-f(x)|W

12］］1212121212

42

|x1-x21,即f(x)=x2+x是［-1,1］上的"淡泊”函數(shù).

(2)證明：對于任意的x,xeR,

12

則|F(xi)-F(X2)|=|f(xi+a)-f(X2+a)|,

設(shè)x+a=t,x+a=t，于是t,tWR,

112212

???f(x)為R上的“淡泊”函數(shù)，

|f(ti)-f(t2)|w|tj,

即|f(ti)-f(t2)|=|F(xi)-F(X2)|,

x-x|

因此|F(x1)-F(x2)|W|

12

x1-x2|,F(x)=f(x+a)仍為R上的“淡泊”函數(shù).

(3)假設(shè)存在實數(shù)k,使f(x)=k

|f(x1)-f(x2)|=|k

xf+1

-k

+1

_為R上的“淡泊”函數(shù)?于是對于任意x?

x2WR，都有

|<|

x-x

12

當x1=±x2時，顯然成立;

當x1=±x2時,

W1成立,

+

22

1^11+1^2I

由于

21,

所以只要|k|W1即可，即存在實數(shù)k,使f(x)=k

為R上的“淡泊”函數(shù),

實數(shù)k的取值范圍是[-1,1].

"西湖"函數(shù)

【例13】(2004年杭州市高考模擬題)定義在定義域D內(nèi)的函數(shù)y=f(x)，若對任意xfD，都有|f(X])-f(X2)|<1,則稱函數(shù)y=f(x)為“西湖”函數(shù)，否則稱“非西湖”函數(shù)?函數(shù)f(x)=x3-x+a(xW[-1,12],aWR)是否為“西湖”函數(shù)？如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由.

TOC\o"1-5"\h\z

廨稠易知|f(x)-f(x)|W|f(x)-f(x)|.

12maxmin

函數(shù)f(x)=x3-x+a(xW[-1,1],aWR)的導數(shù)是f(x)=3x2T,令f'(x)=3x2T=0,解得

3

X=±?

732J3732J3

939

此時，f()=a-,f(-)=a+

99

又f(l)=f(T)=a，所以函數(shù)f(x)=x3-x+a(x丘,a^R)的最大值是a+，最小值是a-，所以

4^3

9

|f(x)-f(x)|W|f(x)-f(x)|=<1.

12maxmin

故函數(shù)f(x)=x3-x+a(xW[-1,1],aWR)是“西湖”函數(shù).

王勇

來自《高考》(數(shù)語外)

2004年第9期

2006年全國各地高考數(shù)學試題涌現(xiàn)岀兩類設(shè)計極具創(chuàng)意，有強烈時代氣息的創(chuàng)新型高考試題。即新資訊遷移題和研究性、探索性試題構(gòu)思新穎巧妙、內(nèi)容豐富充實、形式生動活潑，是高考試題中難得的亮點.

亮點1新資訊遷移題“新資訊遷移題”主要通過學生觀察、閱讀理解所定義的新概念、新運算，從中獲得解題所需知識、資訊，并立即將其綜合應用到現(xiàn)實解題

過程中，考查其閱讀理解、知識遷移能力和后續(xù)學習的潛能.2006年的新資訊遷移題在全國各地高考試卷中頻繁岀現(xiàn)，據(jù)不完全統(tǒng)計僅在10個省(市)理科卷中就岀現(xiàn)10多道新資訊遷移題，呈現(xiàn)內(nèi)容十分廣博(其中不乏背景新穎、語言情境陌生且具有一定高等數(shù)學背景的創(chuàng)新試題)，思維具有豐富、多變、多維、開放的格局和態(tài)勢，如四川卷理科第16題定義了“融洽集”概念，湖北卷第15題的對所定義的“萊布尼茨三角形”問題，福建理科卷第12題“距離”，北京理科卷第20題“絕對差數(shù)列”，上海理科卷第16題“距離坐標”，都是不可多得的好題新題。

亮點2——研究性、探索性試題

“數(shù)學探究”是新課程改革竭力倡導的一種研究性學習方法，近年來，高考明顯加大了對學生直覺猜想、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比等重要的科學發(fā)現(xiàn)和科學研究辦法的考查力度，由歸納得到猜想，由類比發(fā)現(xiàn)新知等試題都有較高的能力規(guī)定，具有一定的難度.如2006年，北京卷理科第20題。本題自始至終沒有“研究”二字.但實質(zhì)是在考查學生的學習能力和研究能力.首先給岀了一個學生陌生的問題環(huán)境——一“絕對差數(shù)列”，接下來的三問都是在研究“絕對差數(shù)列”的性質(zhì).又如，廣東卷第20題屬于抽象函數(shù)且具有明顯的高等數(shù)學背景的問題，類似這樣的高觀點試題還有湖北第15題的“面積函數(shù)”，福建第22題“級數(shù)”的上界估計，四川第22題“凸函數(shù)”性質(zhì)及“中值定理”等，對閱瀆理解能力、抽象思維能力和代數(shù)推理能力及歸納猜想、類比發(fā)現(xiàn)等創(chuàng)新意識均有較高規(guī)定，旨在進一步考查學生后續(xù)學習的潛能，提高試題的區(qū)分度.作為壓軸題具有非常的難度也在情理中.對于尚未接觸高等數(shù)學知識的中學生而言，要具備在短時間內(nèi)從相對陌生甚至從未謀面的數(shù)學語言、符號中.通過閱讀獲取解題所需知識、資訊.并立即將其綜合應用到現(xiàn)實解題過程中去的“現(xiàn)炒熱賣”的高效學習效率，不僅對學生，同時也對中學數(shù)學教學提岀了嚴峻的挑戰(zhàn)——僅依靠“題海戰(zhàn)術(shù)”的機械訓練，沒有經(jīng)過長期科學訓練形成的良好的自學能力，沒有對數(shù)學語言、符號敏銳的感悟等深厚的閱讀理解能力，欲在短時間內(nèi)獨立地正確地解決這類背景新穎、語言陌生的試題基本上是不可能的。

要特別注重細節(jié)

不少同學宏觀上學習目標、態(tài)度、用功程度，以及理解、感悟、認識解決問題的能力水平不亞于別人甚至還強于別人，但學習效果、考試分數(shù)總是不如人意，好多問題癥結(jié)就在細節(jié)上。一定程度上可以說，細節(jié)決定效果、細節(jié)決定成功失敗，請同學們平時學習中千萬不能忽視了細節(jié)。

①學習習慣的細節(jié)。一要善于把握解決問題的時機。優(yōu)秀的同學學后能及時復習鞏固，遇到疑難立即請教弄懂，做到問題每天不過夜，使疑難一一化解在平時，學得扎實、縝密，遇到實戰(zhàn)自然會游刃有余；而有的同學總愛把復習鞏固、疑難解決往后推，問題累積多了使成了"攔路虎"，解決也就力不從心了。二要及時反思、總結(jié)，平時練習或月考岀錯不可怕，可怕的是不能反思暴露的問題、尋求解決辦法。有的同學總是老在同樣的問題上屢摔跟頭，每次考后怨天尤人、徒落后悔；而優(yōu)秀的同學考后是不會因分數(shù)的高低而情緒波動的，既不會因成績高或題目做對了而沾沾自喜，也不會因成績低或題目做錯了而唉聲嘆氣，他們總是及時總結(jié)，緊盯薄弱環(huán)節(jié)或?qū)珏e的問題不放，冷靜分析岀錯緣故，對老師的評析尤為重視，錯題筆記木不是形式而是當成頑敵突破，其結(jié)果自然是岀錯越來越少。三要會聽課、會看書，同樣是聽課、看書，效果卻大相徑庭。有的同學聽課善于在老師講授分析中捕捉重要資訊、重點內(nèi)容，習題課、試卷評析課或平時課堂上總能把重要內(nèi)容及相關(guān)的縱橫交叉的知識點擇要記錄，并立即鞏固，課堂獲取的知識內(nèi)容豐富且清晰、效果突出；看書善于抓重點、難點，重點作注眉批，前后聯(lián)系、梳理歸類，這樣的聽課、看書能達到聚沙成塔、集腋成裘、觸類旁通、牢固掌握的效果。相反有的同學聽課、看書不愛動筆，聽后或看后書上、試卷上幾為空白或了了幾筆，無論多少次重復仍難有效果。四要養(yǎng)成既能靜心獨立思考，又善于發(fā)問善于討論的習慣，思考問題能把心真正沉下去聚精會神、心靜如水、旁若無人；問題、討論能有的放矢、切中關(guān)鍵。五要善于擠時間，把小的或記憶性的東西分散在時時刻刻的零散時間里。

②解題習慣的細節(jié)。有的同學題目都能理解，都會做，但就是做不完整、不準確、難得滿分，這也往往與平時做題習慣有關(guān)。怎樣做題？首先必須認真審題、明確規(guī)定，對題目從頭至尾認真審讀，審題干、審材料、審條件、審答項、審說明和規(guī)定，關(guān)鍵性宇句要宇斟句酌，切不可草率行事，否則會差之毫厘、謬以千里。越是似曾相識的所謂"熟題"越要謹慎縝密地審題，不少同學特別愛犯這地方細節(jié)性錯誤，實在可惜。其次做題步驟要力求準確、規(guī)范、完整、清晰，平時做題時就應該按規(guī)定該寫的寫上、該劃的劃上，不少題目一看就會，一做就錯，結(jié)果都對但難拿滿分，玄機往往在解題過程中，所以平時做任何題目都要盡量做下去，力求完整、精確，眼高手低的例子數(shù)不勝數(shù)，如果什么題目都一看差不多就放過去，不可能奢望考試時就能做完滿、規(guī)范。再次要養(yǎng)成卷面整潔、條理清晰的習慣，考試(包括閱卷，特別忌諱卷面上箭頭指來指去，答題東一句西一句，作答混亂、卷面不整?？傊疅o論審題、做題，規(guī)范、認真、縝密的好習慣反映在考時卻養(yǎng)成在平時，實戰(zhàn)取決于平時的訓練，平時馬虎考時就難免會出差錯，相反，平時規(guī)范，考時也沒有不規(guī)范的道理。

指導思想與命題原則不會變

2007年安徽省高考數(shù)學命題仍然會堅持“試卷立足于平穩(wěn)過渡，局部創(chuàng)新"的命題原則.平穩(wěn)過渡主要表現(xiàn)在：(1)穩(wěn)在試卷結(jié)構(gòu)、題型題量上、穩(wěn)在各部分內(nèi)容及新增內(nèi)容的分值比例上，穩(wěn)在難易程度上。(2)考查基礎(chǔ)知識的同時，注重考查能力，考查數(shù)學思想，突出理性思維，倡導通性通法的基本指導思想不會變；(3)加大新增知識考查力度，運用新觀點、新方法來解決傳統(tǒng)問題，注重新舊知識綜合的基本精神不會變；(4)在知識網(wǎng)絡的交匯點處設(shè)計試題，加強綜合能力考查的基本做法不會變；(5)考查學生實踐能力，堅持“貼近生活、背景公平、控制難度”的原則.創(chuàng)設(shè)新穎問題情景，命制有一定深度和廣度的數(shù)學問題，考查數(shù)學素質(zhì)的方向不會變；(6)選用高等數(shù)學基本思想、基本問題，居高臨下，以緊密聯(lián)系中學數(shù)學的素材為背景，設(shè)計試題，來考查學生潛能的命題基本思路不會變.

在穩(wěn)定中創(chuàng)新主要表現(xiàn)在：“加大對基礎(chǔ)知識的考查，注重回歸教材，體現(xiàn)以學生為本的人文精神與新課程理念；推出創(chuàng)新性題日.考查學生的潛能的發(fā)展力”.

2.22007年高考數(shù)學試題內(nèi)容趨勢分析

綜觀2006年各地高考試題，不難發(fā)現(xiàn)，支撐整個高中數(shù)學的主體知識是函數(shù)與導數(shù)，三角與向量，數(shù)列與不等式，解幾與立幾，概率與統(tǒng)計等.在每年高考中這些主干知識都保持著較高的考查比例，而且是?？汲Ｐ?，其命題趨勢可歸納為：在知識中考能力，在方法中考思想，在情境中考創(chuàng)新的特點.

集合與簡易邏輯

集合的考查重點是抽象思維能力，主要考查集合與集合的關(guān)系，將加強對集合的計算與化簡的考查，并有可能從有限集合向無限集合發(fā)展.簡易邏輯多為考查“充分與必要條件”及命題真?zhèn)蔚呐袆e.

函數(shù)與導數(shù)

從2006年安徽省自主命題的內(nèi)容看，函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性有向抽象函數(shù)發(fā)展的趨勢.函數(shù)的圖像應注意平移、伸縮變換與對稱變換的利用，注意函數(shù)的對稱性與函數(shù)值的變化趨勢.要重視函數(shù)的最值與反函數(shù)的新題型.函數(shù)的導數(shù)作為研究函數(shù)性質(zhì)的一種新工具，在研究函數(shù)的單調(diào)性和最值等方面有著傳統(tǒng)工具無法比擬的優(yōu)越性，函數(shù)與導數(shù)的結(jié)合是高考的熱點題型，如江蘇卷以立體幾何為背景設(shè)置了以函數(shù)為主體，與導數(shù)綜合的應用題，福建也設(shè)置了函數(shù)應用題。2006年導數(shù)應用型試題的出現(xiàn)是一個值得關(guān)注的方向.因為三次函數(shù)的導數(shù)是二次函數(shù)，所以對三次函數(shù)的命題也是有可能的.導數(shù)與數(shù)列、不等式、解析幾何綜合，可以命出有特色的試題，也應加以重視.

(3)不等式

不等式作為一種工具廣泛地應用在涉及函數(shù)、數(shù)列、解幾等知識的考查中，歷年各地高考卷多次考查不等式，2005年安徽使用的全國卷I的理科壓軸題的不等式證明題，還難到了不少考生?但2006年安徽卷不等式受冷遇?未見單獨不等式試題，如此大的反差，也提醒我們不能隨意猜題押題，要按照考綱要求進行系統(tǒng)復習并在今年復習中對不等式引起重視.不等式重點考五種題型：解不等式(組)；證明不等式；比較大??；不等式的應用；不等式的綜合性問題.選擇題和填空題主要考查不等式性質(zhì)、解法及均值不等式.解答題一般都是在與其它知識的交匯中考查含參量不等式的解法或與數(shù)列、函數(shù)綜合的不等式證明.

(4)向量

2006年安徽卷對向量考查力度不夠.向量是新增的重點內(nèi)容，它融代數(shù)特征和幾何特征于一體，能與三角函數(shù)、函數(shù)、解析幾何、立體幾何自然交匯、親密接觸.在處理位置關(guān)系、長度、夾角計算上都有優(yōu)勢，向量作為代數(shù)與幾何的紐帶，理應發(fā)揮其坐標運算與動點軌跡、曲線方程等綜合方面的工具性功能.2006年，不少省、市有這方面的匠心獨運的試題，而我省的高考卷中，僅有第6題和第14題兩個基本題.第19題立體幾何雖可以運用向量解法，但傳統(tǒng)方法也較簡單，無法凸現(xiàn)向量的價值，沒有出現(xiàn)向量與解析幾何的綜合題，向量運用沒有新動作.因此加大對向量的考查力度，充分體現(xiàn)向量的工具價值和思維價值，應該是今后高考命題的發(fā)展趨勢.向量和平面幾何的結(jié)合是高考選擇、填空題的命題亮點，向量不再停留在問題的直接表達水平上，而與解幾、函數(shù)、三角等知識有機結(jié)合將成為一種趨勢，會逐漸增加其綜合程度.

(5)三角

2006年安徽卷三角函數(shù)約占27分，屬考查的主干內(nèi)容之一.2006年各自主命題省市的三角函數(shù)考題大致可分為以下幾類：與三角函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題；與三角函數(shù)圖像有關(guān)的問題；應用同角變換和誘導公式，求三角函數(shù)值及化簡、證明等問題；與周期性和對稱性有關(guān)的問題；三角形中的問題.三角函數(shù)突出三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的考查，三角變換的難度有所降低，同時，以三角形為載體，以三角函數(shù)為核心，以正余弦公式為主體，考查三角變換及其應用的能力，已成為考試熱點.

(6)數(shù)列與極限

等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式Sn和an之間的關(guān)系等都是經(jīng)?？疾榈闹攸c，需要靈活掌握、應用.數(shù)列是特殊的函數(shù)，而不等式是深刻認識函數(shù)與數(shù)列的工具，三者綜合的求解題與求證題是對基礎(chǔ)知識和基礎(chǔ)能力的雙重檢驗，是近年來高考命題的新熱點.遞推數(shù)列的考查也有加大的趨勢，試題往往以比較抽象的數(shù)列入手，給出數(shù)列一些性質(zhì)，要求考生進行嚴格的邏輯論證.找出數(shù)列的通項公式或證明數(shù)列的其他一些性質(zhì)，考查學生思維能力與綜合應用知識的能力.

(7)立體幾何

空間線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，諸如空問線面平行、垂直的判定與證明，線面之間角與距離的計算，尤其是以多面體和球體為載體的線面位置關(guān)系的論證與計算，仍然是立幾考查的重點.由于空間量的引入，更為傳統(tǒng)的立體幾何內(nèi)容注入了新的活力，為幾何推理運算化開辟了新的途徑，空間向量的坐標運算，更使繁雜的立體幾何問題的解決變得思路流暢，從而形成了數(shù)形結(jié)合的又一大亮點.立體幾何試題往往有傳統(tǒng)解法和向量解法兩種，高考命題時一般偏向于向量解法.2006年的各地高考的立體幾何試題幾乎均能用向量解決.

(8)解析幾何

解析幾何的重點仍然是圓錐曲線的性質(zhì)，包括：直線的傾斜角、斜率、距離、平行垂直、點對稱、直線對稱、線性規(guī)劃有關(guān)問題等等.直線和圓錐曲線的位置關(guān)系以及軌跡問題，仍然以考查方程思想及用韋達定理處理弦長和弦中點為重點，常考常新.坐標法使平面向量與平面解析幾何自然地聯(lián)系并有機結(jié)合起來。相關(guān)交匯試題應運而生，涉及圓錐曲線參數(shù)的取值范圍問題也是命題亮點.

(9)概率統(tǒng)計

排列組合與概率統(tǒng)計是近代數(shù)學的重要分支，在現(xiàn)實生活中應用十分廣泛，是數(shù)學應用考查的主流題型，且對隨機變量考查的深度與難度有明顯加強的態(tài)勢，分值超過其所占課時的比重.這部分考查內(nèi)容包括：二項式定理的運用；排列與組合；概率與統(tǒng)計.在選擇題填空題中，抽樣的方法是重點，在解答題中，排列、組合與概率是重點.其考查方式往往以排列組合為基礎(chǔ)，著重考查學生應用概率知識解決實際問題的能力.理科考查重點為隨機變量的分布列及數(shù)學期望；文科以等可能事件、互斥事件、相互獨立事件的概率求法為主.特別要引起注意是湖北理科卷以“正態(tài)分布”相關(guān)內(nèi)容為題材，文科卷以“抽樣”相關(guān)內(nèi)容為題材設(shè)計試題，正是我們極易忽視的考點，所以要考綱要求復習，不能猜題，押題。

(10)創(chuàng)新題型

新課程的實施特別強調(diào)創(chuàng)新意識的培養(yǎng)和研究性學習的理念，在高考中如何體現(xiàn)和考查，是擺在命題者和高中數(shù)學教學過程中的新問題.

在知識的交匯點處設(shè)計試題是2006年各地高考題的一大亮點.兩個不同的數(shù)學知識點如何交匯，為什么可以交匯？引起交匯的原因是什么？這些都值得我們?nèi)パ芯?，下面僅從引起數(shù)學知識交匯的幾個“關(guān)鍵詞”來探究一下，以引起注意。①“周期”——引起三角與數(shù)列交匯

周期是三角函數(shù)的一個重要性質(zhì)，而在數(shù)列中有一種特殊的數(shù)列叫周期數(shù)列，把兩者交織在一起，使考查的問題新穎別致，有效地反映出學生應用數(shù)學知識的能力。

“角”——引起向量與三角交匯

平面向量中的夾角是引起向量與三角交匯的主要因素，它把向量與三角函數(shù)有機地綜合在一起，使三角問題得以充實與加強，有效地考查學生解決問題能力。

“幾何”——引起向量與解析幾何的交匯向量具有“數(shù)”與“形”的雙重功能，而解析幾何的本質(zhì)是利用“數(shù)”去研究幾何問題，“幾何”是把兩者有機地結(jié)合在

一起，能有效地考查學生運用數(shù)學知識的能力。

“坐標”——引起向量與數(shù)列交匯

向量中引進坐標形式，其目的是顯示其運算功能，若把坐標點列化，則易與數(shù)列交匯，由向量與數(shù)列交匯而出現(xiàn)的問題形式新穎，極易體現(xiàn)學生創(chuàng)新解決問題的能力。

“試驗次數(shù)”——引起概率與數(shù)列交匯

概率是某一件事發(fā)生的頻率的極限值，它是基于大量實試的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的結(jié)果，“試驗次數(shù)”是概率的基本特征，它可按次數(shù)的順序把試驗結(jié)果排列成一列數(shù)來反映事件發(fā)生的規(guī)律，正由于這方面的原因，把概率與數(shù)列交匯于一起是順理成章的事。

“函數(shù)”——引起數(shù)列與導數(shù)交匯

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列中好多問題都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決，而導數(shù)是處理函數(shù)問題的重要工具，所以數(shù)列很容易與導數(shù)交匯。

“點列”——引起數(shù)列與解析幾何交匯

數(shù)列與圓錐曲線的交匯是近年高考試題中的熱點，引起交匯的主要因素是“點列”，點列具有雙重功能，一方面“點”是解析幾何的基本元素，另一方面“列”是數(shù)列的基本特征，把兩者結(jié)合起來，能多角度考查學生駕馭數(shù)學知識的能力。

“切線”——引起導數(shù)與函數(shù)、解析幾何交匯

導數(shù)的引入對研究函數(shù)和幾何中的切線帶來便利，從而使切線為導數(shù)、函數(shù)、解幾的整合提供了方向，通過切線把這三者完美地交匯在一起，出現(xiàn)了大量充滿活力與生機的試題，體現(xiàn)出現(xiàn)行高考穩(wěn)中求新的特點。

“新信息遷移題”閃亮登場，要求考生通過閱讀理解所定義的新概念、新運算，從中獲得解題所需知識、信息，并立即將其綜合應用于實際解題的過程中.這類題能較好地考查閱讀理解、知識遷移能力和后續(xù)學習的潛能.

“數(shù)學探究”是新課程改革倡導的一種研究性學習方式.近幾年來，高考明顯加大了對學生直覺猜想、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比等重要的科學發(fā)現(xiàn)和科學研究方法的考查力度.2006年廣東卷第20題、安徽卷第20題對抽象思維能力、代數(shù)推理能力、歸納意識、類比發(fā)現(xiàn)等創(chuàng)新意識均有較高的要求.

為了有效地檢測考生的能力，高考試題的命題者廣泛地獵取各種素材，并對其巧妙地加以利用或改造，這里的素材既包括高等數(shù)學的背景.也包括競賽背景或競賽題改編，還包括有的陳題、已考過的高考題等.如安徽卷第18題的“牙膏芳香度”，福建卷第19題的“燃油漲價”，還有如“關(guān)于污染處理與節(jié)約用水，等問題，可謂別具匠心，引導數(shù)學理論聯(lián)系實際，服務社會.服務人類，對中學數(shù)學教學有良好的導向作用.加強數(shù)學應用意識的滲透和培養(yǎng)等基本理念，已十分鮮明而強烈地凸現(xiàn)在高考數(shù)學試題之中，需引起我們的極大關(guān)注.

人生的道路往往是由關(guān)鍵的幾步所決定的，高考可謂是極為關(guān)鍵的一步。高考是什么?它是實力、是體力、是心理、是毅力，是綜合素質(zhì)與能力的較量，更是一個人精神風貌的展示。怎樣把握好每個今天，決戰(zhàn)最后的兩個月，贏得喜悅的明天?在這考前兩個多月，如何高效地學習，如何調(diào)整好狀態(tài)，最大限度地發(fā)揮這85天的效用?科學的方法是點金術(shù)，刻苦的態(tài)度是通向成功的橋梁。借此機會，圍繞上述問題，談談自已的體會和想法。

要訂好復習計劃，周密做好學習安排

制訂適合于自己的切實可行的復習計劃是成功的前提，訂計劃的原則第一是適合自己，不跟別人攀比第二要與老師的復習計劃一致。每個同學在制訂計劃時一般要把握好以下幾個方面:

重視基礎(chǔ)，循序漸進。高考內(nèi)容多以基礎(chǔ)知識和基本技能為主(約占70-80%)，所以每個同學從計劃制訂到實施過程都要特別注重基礎(chǔ)。

計劃既要周密、細致，也要有整體性。把一百天分成合乎自己實際情況的段落，要訂出具體時間表和每個時間段要達到的目標，當然還要符合自己的特點。在計劃中要規(guī)定好自己在某一時間段里干什么(如早自習、晚自習、課下機動時間)、必須達到什么目標，尤其要明確晚自習每個時間段的目標、任務。

落實計劃，講究策略，高效復習

(1)要認真聽課，及時復習。這時候老師的授課大多是學科的精華和重要內(nèi)容，認真聽課是進行有成效復習的重要方面。聽復習課要認真做到下面三點:一是查漏補缺、一絲不茍，對過去學習中不懂或不十分懂的內(nèi)容徹底弄懂，做到"單元過關(guān)"、"專題過關(guān)"，不再"欠帳"，不能再留知識的"死角"和"盲點"。二是把知識串成"串"，使知識系統(tǒng)化形成整體，便于記憶和運用。三是通過復習搞清知識前后縱向聯(lián)系及與其他學科的橫向聯(lián)系，掌握它的規(guī)律，使認識上產(chǎn)生新的飛躍。課堂上要緊緊跟上老師的節(jié)奏、思路，積極思維，在老師講課時，如果還出現(xiàn)自己弄不明白的問題，暫且要放在一邊不宜糾纏，必須跟上老師的節(jié)奏，以免影響后面的學習造成更多的問題。因為這時的課堂容量很大，稍不留神就難以再彌補。當然，課堂遺留的問題課后必須立即進行思考、討論或請教，當天的問題要當天清；對于當天所學的內(nèi)容也必須及時鞏固，防止遺忘。知識鞏固的最佳時機、最有效辦法是選在遺忘之前。

(2)要以課本為依據(jù)，以"考綱"為準繩。國家招生考試只能依據(jù)教育部編定的教材和"考綱"命題，決不會以哪一種復習資料或復習提綱為依據(jù)。

要想復習針對性強，首先必須學好"考綱"規(guī)定的課本上相關(guān)內(nèi)容，有的同學成績好，其實就是因為基礎(chǔ)扎實。2006年數(shù)學高考題有很多是課本例題、習題的改編，給人似曾相識的感覺，這些題也特別要把握好。學貴在"精"而非"多"，學好一套課本，精選l一2本復習資料作為參考、檢測，已經(jīng)足夠了。怎樣用好課本，一要"準”，對每一"知識點"都力求準確，不可似懂非懂，模棱兩可。因此看書不能走馬觀花，務求透徹理解。二要"熟"，對學過的內(nèi)容要記準并練熟，用起來就得心應手了，只看不練是不行的，認真做好每一道值得你做的習題，是學習方法的重要組成部分。有些題目看著會，真叫你做不一定就能做的規(guī)范準確。三要"靈"，即對基礎(chǔ)掌握得能靈活運用，不是生吞活剝，要熟悉定理、公式、法則、原理的各種變形和應用，反復思考它的實質(zhì)及與其它知識的內(nèi)在聯(lián)系，要練習"一題多解"、"舉一反三"，這樣才能越學越靈活。正因為課本及基礎(chǔ)重要，所以我們在復習中必須緊摳課本，認真復習課堂筆記，每一單元結(jié)束后都要認真梳理:有哪些知識點、哪些題型、用到了哪些方法、存在哪些問題需鞏固和加強。在鞏固己做過的試卷、習題的基礎(chǔ)上，通過歸納、梳理后，再去做新的題目，具備堅實的基礎(chǔ)，才能從容應對考試。而我們有的同學不重視基礎(chǔ)，不認真聽課、不認真看課本、不認真消化筆記(甚至沒有筆記)，簡單題不愿做、難題不會做，你想考好可能嗎?如果我們每個同學把基礎(chǔ)打牢，把高考試卷中占70--80%比重的較易和中等難度試題的分數(shù)全部拿下，別說上大學，就是上重點大學、名牌大學也不成問題。我這里強調(diào)的目的就是希望同學們千萬重視基礎(chǔ)，不能再出現(xiàn)基礎(chǔ)尚未打好就成天去摳幾道難題的傻事，一晚上就摳出兩道難題，得能償失嗎?

3.3、以良好的心態(tài)、充沛的精力應對考驗

良好的心態(tài)和充沛的精力是決戰(zhàn)成功的保證。

(1)調(diào)整心態(tài)，控制情緒。

不少高三學生隨著高考臨近，總感覺心情煩燥、心里沒底、信心不足也有的感覺沒動力、學無熱情，整天顧慮重重、注意力難集中、上課分神，厭煩學習、害怕考試、復習打不起精神，對父母、老師的關(guān)心反感；還有的感到千頭萬緒無從抓起，等等。

產(chǎn)生上述心理的原因，有些是單一的，但更多的是綜合的。其原因主要是①不切實際的目標達不到。這樣就要調(diào)整目標，讓自己”跳一跳，能夠到”；這樣就能增強自信，穩(wěn)定心理。②計劃性、目標性不強或盲目無計劃。那就要訂出明確、科學的，符合自己、切實可行的計劃；③學習方法不當。那就要嘗試改變方法，交叉學習，適當休息、活動,勞逸結(jié)合；④不注重知識結(jié)構(gòu)的梳理，很少或完全沒有把握知識結(jié)構(gòu)。那就要靜下心來，理出知識結(jié)構(gòu)；⑤經(jīng)常盲目攀比，自尋煩惱。那就要學會了解自己，正視現(xiàn)實，激勵自己，告誡自己"我的目標重在超越自我"。超過了昨天的自我就是成功。⑤自身或外部壓力過分。對此，一要學會體諒父母，換位思考，不要與父母頂嘴、吵鬧，盡量與父母和平相處，創(chuàng)造寬松環(huán)境，以免使自己情緒受更大影響；另外，要客觀評價自己，對自己期望值要實事求是，要高目標嚴要求、施壓力，但不能過于苛刻。⑥缺少自信、過于自卑，對此就要始終充滿信心，相信通過努力能夠獲得成功，這樣學習時能全力以赴，竭盡所能，較少懷疑、彷惶和胡思亂想；相反自信心不足，總在懷疑自己，就便學習很被動、感覺很累，注意力難集中。充滿信心，保持昂揚的斗志，是輕松學習，取得成功的一劑良藥。

另外，出現(xiàn)不良心態(tài)和情緒時，要學會坦率交談，把喜怒哀樂向所信任的人、親近的人和頭腦冷靜的人傾吐；學會暫時逃避和轉(zhuǎn)移，即遇到挫折或緊張的刺激沖擊，要暫時離開或不去想不愉快的事情，轉(zhuǎn)移注意力，想想愉快的事；學會對人謙讓、對人寬宏大量，可以減少與父母、與同學等的碰撞；學會平心靜氣、沉下心來去學習，要學會大事化小，小事化了，不要因為一點點小矛盾就耿耿于懷，"善于把大事化小的人是智者，喜歡把小事弄大的人是蠢蛋。"當學習達到忘我境界，一切不利于學習的干擾無隙可人了。

保持充沛的精力

精力充沛、精神振奮，遇到問題就能駕輕就熟、游刃有余，無往而不勝。為此:

迎考復習期間注意