第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-1最小勢能原理彈性力學(xué)主講鄒祖軍第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-2應(yīng)用最小勢能原理求近似解的方法§11-3應(yīng)用最小勢能原理求近似解的例子§11-4最小余能原理§11-5用最小余能原理求近似解第十一章彈性力學(xué)的變分原理

§11-1最小勢能原理§11-1最小勢能原理A、彈性體的形變勢能與應(yīng)力、形變、位移的關(guān)系。設(shè)彈性體只在某一個方向如x方向，受有均勻的正應(yīng)力，同樣，對于剪應(yīng)力與剪應(yīng)變，其比能為：相應(yīng)的正應(yīng)變，則其每單位體積中具有的形變勢能即形變勢能密度或比能為：

彈性力學(xué)問題的變分法，也稱能量法，是和彈性體的形變勢能密切相關(guān)的。兩個假定：受力過程中，彈性體始終保持平衡，因而無動能的改變；彈性體的非機(jī)械能也沒有變化。彈性力學(xué)問題的變分法，是有限元法等近似解法的理論基礎(chǔ)。彈性力學(xué)問題的變分法的本質(zhì)，是把彈性力學(xué)基本方程的定解問題，變?yōu)榍蠓汉臉O值（或駐值）問題。再變?yōu)楹瘮?shù)的極值（或駐值）問題，最后歸結(jié)為求解線性代數(shù)方程組。于是，外力勢能的減少完全轉(zhuǎn)化為形變勢能。W=V第十一章彈性力學(xué)的變分原理

§11-1最小勢能原理B、最小勢能原理在V內(nèi)(a)在Su上(b)虛位移在Su上(c)虛應(yīng)變(d)外力在虛位移上做功第十一章彈性力學(xué)的變分原理

§11-1最小勢能原理

即(11.1)上式為虛位移方程或位移變分方程,表示外力所做的虛功等于真實(shí)內(nèi)力所做的虛功又與外力無關(guān),且總勢能(11.2)則有第十一章彈性力學(xué)的變分原理

§11-1最小勢能原理(11.3)最小勢能原理:在所有幾何可能的位移中,真實(shí)位移且只有真實(shí)位移使總勢能取最小值(e)其中(f)(g)取極小值的充要條件(h)由應(yīng)變能的正定,(g)自然滿足第十一章彈性力學(xué)的變分原理

§11-1最小勢能原理(11.4)(11.4)成立的充要條件為在V內(nèi)在ST上求解彈性力學(xué)問題化為在所有幾何可能的位移中,尋找使總勢能取駐值(極小值)的位移,即求解(11.3),對圖11.1,根據(jù)平截面假定，任一截面的水平位移為由幾何方程，有T第十一章彈性力學(xué)的變分原理

§11-1最小勢能原理由梁的縱向纖維間無擠壓，可以認(rèn)為梁處于單向應(yīng)力狀態(tài)，則應(yīng)變能密度為：梁的總應(yīng)變能為：式中：總勢能為：第十一章彈性力學(xué)的變分原理

§11-1最小勢能原理取上式的變分為0(i)將上式代入(i),注意第十一章彈性力學(xué)的變分原理

§11-1最小勢能原理(j)因變分的任意性位移表示的平衡方程和邊界條件第十一章彈性力學(xué)的變分原理

§11-1最小勢能原理討論特殊情況：注意外荷載的方向。對軸向拉力N(x)，相當(dāng)于如下分布荷載對跨間集中力P1，相當(dāng)于如下分布荷載對跨間集中彎矩M，相當(dāng)于如下分布荷載圖11.1a中的分布荷載為第十一章彈性力學(xué)的變分原理

§11-1最小勢能原理C、等截面直桿的扭轉(zhuǎn)長度L,用位移解法.位移分量不為零的應(yīng)變分量應(yīng)變能為(k)總勢能為(11.5)令(11.5)變分為零,并利用格林公式得第十一章彈性力學(xué)的變分原理

§11-1最小勢能原理由變分的任意性得在A中在C上(l)§11.2應(yīng)用最小勢能原理求近似解的方法基于最小勢能原理的兩種近似解法：A、瑞利-李茲法（Rayleigh-Ritz)選擇位移分量如下：(11.8)推導(dǎo)平衡微分方程和邊界條件求解近似解答最小勢能原理的主要作用:瑞利-李茲法（Rayleigh-Ritz)伽遼金法（Галёр?ин)第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-2應(yīng)用最小勢能原理求近似解的方法(11.9)在邊界Su上有：式中：均為坐標(biāo)x，y，z的已知函數(shù)，為待定的任意常數(shù)。將位移代入變分方程，使得求泛函的極值問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極值問題?？倓菽苋O值的條件為：第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-2應(yīng)用最小勢能原理求近似解的方法(11.2)方程組，解出代入（11.8）就得到位移的近似解答。這種方法稱為瑞利-李茲法。上式為一組以(m=1,2,3,…)為未知數(shù)的線性非齊次代數(shù)B、伽遼金法（Галёр?ин)(a)如果選擇的位移函數(shù)式（11.8）不僅滿足位移邊界條件，而且滿足應(yīng)力邊界條件，則位移變分方程可簡化為:則將上式代入(a),因變分的獨(dú)立性.則有第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-2應(yīng)用最小勢能原理求近似解的方法位移仍然假設(shè)為(11.8)(b)(11.10)如式(11.8)不僅滿足位移邊界條件,而且也滿足已知面力的邊界條件,則(11.10)變?yōu)榈谑徽聫椥粤W(xué)的變分原理§11-2應(yīng)用最小勢能原理求近似解的方法方程組，解出代入（11.8）就得到位移的近似解答。這種方法稱為伽遼金法。上式為一組以(m=1,2,3,…)為未知數(shù)的線性非齊次代數(shù)(11.10)(11.11)用位移表示則為(11.12)這種方法稱為簡化的伽遼金法。伽遼金法可求任意微分方程的近似解第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-2應(yīng)用最小勢能原理求近似解的方法(11.13)任意微分方程試函數(shù)(滿足邊界條件)伽遼金法為§11-3應(yīng)用最小勢能原理求近似解的例子例11-1兩端簡支的等截面梁，受均布荷載q作用（如圖），試求撓度w(x)。解：先用瑞利-李茲法求解，本問題的總勢能為：要求x=0，L處的w=0，可取(a)(b)代入式(a)得：q0Lzx由,有(m為奇數(shù))(m為偶數(shù))第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-3應(yīng)用最小勢能原理求近似解的例子解得：(m為奇數(shù))(m為偶數(shù))代入(b)得撓度函數(shù)為：(c)最大撓度發(fā)生在梁的中間，即x=L/2處，有該級數(shù)收斂很快，只取一項(xiàng)就與精確值十分接近。式(b)不僅滿足位移邊界條件，而且還滿足應(yīng)力邊界條件(應(yīng)力邊界條件是兩端彎矩為零）。因此也可用伽遼金法求解。第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-3應(yīng)用最小勢能原理求近似解的例子用瑞利-李茲法和伽遼金法求解平面問題則位移函數(shù)式(11.8)成為:(11-17)本題伽遼金法的公式為：將撓度式(b)代入上式并積分，解得Cm為(m為奇數(shù))(m為偶數(shù))與上面結(jié)果相同。第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-3應(yīng)用最小勢能原理求近似解的例子在Su上第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-3應(yīng)用最小勢能原理求近似解的例子總勢能(11-14)對于平面應(yīng)變問題,應(yīng)變能密度為:(見5.29)利用幾何方程,上式可化為(11-15)對于平面應(yīng)力問題則為(11-16)若用瑞利-李茲法求解,將W代入(11.14),令(11-18)第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-3應(yīng)用最小勢能原理求近似解的例子若式(11.17)滿足全部邊界條件,用伽遼金法求解,對平面應(yīng)變問題,與(11.12)對應(yīng)的方程為(11-19)對平面應(yīng)力問題,,對應(yīng)的方程為(11-20)第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-3應(yīng)用最小勢能原理求近似解的例子例11-2,如圖11.3,矩形薄板,上邊位移為不計(jì)體力,求板的位移.解:邊界位移取如下位移,滿足邊界位移為0的要求因?qū)ΨQ性,u應(yīng)該是x的奇函數(shù),v為x的偶函數(shù).取最低價(jià)則(g)第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-3應(yīng)用最小勢能原理求近似解的例子(h)(h)表示的位移滿足全部邊界條件,可用伽遼金法求解.本題為平面應(yīng)力問題,將位移(h)代入(11.20),可解出A1和B1如下將上式代入(h)即得位移近似解例11-3如圖，一邊固定，另三邊自由的薄板，三自由邊受均布剪應(yīng)力作用。不計(jì)體力，試用瑞利-李茲法求撓度。解：(1)按（11-17)取位移分量為：0ττxyabτ(11-17)因各邊界沒有不等于零的已知位移，則為滿足固定邊的位移邊界條件：(g)第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-3應(yīng)用最小勢能原理求近似解的例子則可設(shè):則:則位移分量為:(h)(2)求出彈性體的應(yīng)變能W，將位移分量式(h)代入式(11-16)（平面應(yīng)力問題），只取式(h)中前三項(xiàng),則:(11-16)第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-3應(yīng)用最小勢能原理求近似解的例子則有第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-3應(yīng)用最小勢能原理求近似解的例子第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-3應(yīng)用最小勢能原理求近似解的例子板的上下邊及右邊為應(yīng)力邊界條件：按(11-18)，則有(i)（3）、得到求Am，Bm的線性方程組(11-18)第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-3應(yīng)用最小勢能原理求近似解的例子則有六個聯(lián)立方程:第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-3應(yīng)用最小勢能原理求近似解的例子即可解出六個待定常數(shù)（4）、由式(h)得位移分量為：對于薄板彎曲問題，按照計(jì)算假設(shè)，有則薄板彎曲問題的應(yīng)變能為：第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-3應(yīng)用最小勢能原理求近似解的例子(i)將下面兩式代入上式（8-2）（8-3）經(jīng)整理后可將應(yīng)變能用撓度w表示為：第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-3應(yīng)用最小勢能原理求近似解的例子因撓度w僅為x，y的函數(shù)，與z無關(guān)，對上式積分，則對于等厚薄板應(yīng)變能為：對于四條邊上w=0的矩形板，上式還可簡化。由格林公式：(5-23)則：(j)第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-3應(yīng)用最小勢能原理求近似解的例子對于四條邊上w=0的矩形板，有：則式（j）等于零，式（6-23）簡化為：(5-24)若只考慮板受橫向的外荷載q作用，則總外力功為(5-25)若板面受集中力或板邊受邊界力，則還應(yīng)計(jì)入相應(yīng)的外力功。設(shè)撓度函數(shù)為：(5-26)第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-3應(yīng)用最小勢能原理求近似解的例子式中：w(x，y)為滿足位移邊界條件的設(shè)定函數(shù)，Am為待定常數(shù)。按照瑞利-李茲法，總勢能取極值的條件為：(5-27)m個方程可以確定m個待定常數(shù)。如應(yīng)用伽遼金法計(jì)算薄板彎曲問題，由最小勢能原理也可導(dǎo)出相應(yīng)的伽遼金變分方程為：(5-28)如所設(shè)位移分量滿足應(yīng)力和位移的全部邊界條件，取撓度函數(shù)式(5-26)的變分代入上式得：由于δAm任意且互不相干，必須使(5-29)第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-3應(yīng)用最小勢能原理求近似解的例子例5-4如圖，邊長分別為a和b的矩形薄板，前后兩對邊為簡支，左邊固定，右邊自由，受均布荷載q作用，選擇如圖坐標(biāo)。求板的撓度。解：本題的位移邊界條件為：za0ybx(k)若撓度函數(shù)取為(l)上式滿足全部位移邊界條件，代入(5-23)得第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-3應(yīng)用最小勢能原理求近似解的例子外力功為：(n)(m)總勢能為：(o)第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-3應(yīng)用最小勢能原理求近似解的例子由，求得A1后，得(p)當(dāng)a=b,μ=0.3時，自由邊中點(diǎn)（x=a，y=b/2)處的撓度為與精確解相比，只有1%的誤差。第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-3應(yīng)用最小勢能原理求近似解的例子§11-4最小余能原理PR0S位移變分方程及最小勢能原理：比較彈性體的穩(wěn)定平衡狀態(tài)與它經(jīng)過虛位移到達(dá)的鄰近狀態(tài)。得到真正的位移使總勢能取最小值的結(jié)論。下面對在平衡狀態(tài)下，不對位移而是對應(yīng)力采取類似的方法得到另外一個結(jié)論。余能的概念：對于單向拉伸，如圖應(yīng)變能密度為單位體積的余能即應(yīng)變余能密度為顯然有：(a)(b)(c)第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-4最小余能原理在線彈性下，應(yīng)變余能與應(yīng)變能是相等的。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)變余能密度可表示為：(5-4)(應(yīng)力表示的應(yīng)變能密度)(5-30)整個彈性體的應(yīng)變余能為(5-31)虛應(yīng)力的概念：在不破壞平衡的前提下給應(yīng)力分量一個微小的改變。則有：(d)第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-4最小余能原理式中如虛應(yīng)力雖然不一定滿足應(yīng)力協(xié)調(diào)方程，但仍然滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件，是靜力上可能的應(yīng)力。與真正應(yīng)力相比較，虛應(yīng)力應(yīng)該滿足體力為零的平衡微分方程和在Sσ上面力為零的應(yīng)力邊界條件，即(e)(在V內(nèi))和是真正的應(yīng)力分量，為虛應(yīng)力或應(yīng)力的變分。第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-4最小余能原理(f)(在Sσ上)在給定位移的邊界Su上，面力沒給定，必須滿足下式：(g)(在Su上)由于應(yīng)力的變分，彈性體應(yīng)變余能的變分為(h)第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-4最小余能原理與格林公式相應(yīng)的，也可導(dǎo)出下列關(guān)系式(5-32)上式稱為卡斯蒂利亞諾（Castigliao,A)公式，將上式代入式(h)中，可得：(i)將幾何方程代入上式，應(yīng)用高斯公式，采用與位移變分類似的方法，可得第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-4最小余能原理(j)在Su上有由(e)，(f)，(g)上式可簡化為：(5-33)上式為應(yīng)力變分方程，又稱虛應(yīng)力方程。它表示在已知位移的邊界上，虛面力在真實(shí)位移上作的功等于整個彈性體的虛應(yīng)力在真實(shí)變形中所作的功。若全部邊界上面力已知，則上式還可簡化為：第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-4最小余能原理(5-36)上式為最小功原理，是虛應(yīng)力方程的特殊情況。式（6-33)又可寫成：令(5-34)稱為總余能，則有：上式表示，總余能的一階變分為零，表明真正的應(yīng)力使總余能取駐值。對于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，真正的應(yīng)力使總余能取最小值，稱作最小余能原理。即在所有靜力可能的應(yīng)力中，實(shí)際的應(yīng)力使總余能取最小。第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-4最小余能原理§11-5用最小余能原理求近似解是設(shè)定的已知函數(shù)，滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件；是滿足無體力的平衡微分方程和無面力的應(yīng)力邊界條件的設(shè)定函數(shù)；是互不依賴的m個待定常數(shù)。不論它取何值，上式所示應(yīng)力是可能的。根據(jù)應(yīng)力變分方程，可設(shè)第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-5用最小余能原理求近似解因Am是互不依賴的，δAm是任意的，可得(5-38)上式為Am的線性方程，解出Am便得到問題的解。對于平面應(yīng)力問題，則應(yīng)變余能表達(dá)式為：(5-39)應(yīng)力的變分是通過待定常數(shù)Am取變分來實(shí)現(xiàn)的，而各設(shè)定函數(shù),僅是位置坐標(biāo)的函數(shù)，與應(yīng)力變分無關(guān)，則將應(yīng)力分量式(5-37)代入總余能表達(dá)式，則有:利用應(yīng)力變分原理的近似解法，所選擇的應(yīng)力分量必須是靜力可能的，即必須同時滿足平衡微分方程和靜力邊界條件，比較困難。對于平面問題和扭轉(zhuǎn)問題，通過引入應(yīng)力函數(shù)，讓應(yīng)力函數(shù)確定的應(yīng)力分量來滿足這些條件相對容易。第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-5用最小余能原理求近似解對于平面應(yīng)變問題，只需進(jìn)行下面的參數(shù)變換，就可得到相應(yīng)的余能表達(dá)式。對于彈性單連體，且僅是應(yīng)力邊界條件，體力為常量，則平面問題中的應(yīng)力分量與彈性常數(shù)無關(guān)，簡化的應(yīng)變余能表達(dá)式為：(5-41)將用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力分量代入上式得：(a)(5-40)如全部為面力是已知的，則用最小功原理，由式（5-34）,有(5-42)第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-5用最小余能原理求近似解不難證明，此方程等價(jià)于雙調(diào)和方程在求近似解時，取應(yīng)力函數(shù)為(5-43)式中，給出的應(yīng)力分量滿足應(yīng)力邊界條件，給定的應(yīng)力分量滿足面力為零的應(yīng)力邊界條件。將上式代入(5-42)，求出Am，即得問題的近似解。例5-6設(shè)有一矩形平板，不計(jì)體力，在x=±a的邊界面上受拋物線分布的拉力作用，其最大集度為q(如圖)。試用應(yīng)力變分法求其應(yīng)力分量。解：由題意，應(yīng)力邊界條件為：0xyqaabbq(b)第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-5用最小余能原理求近似解如設(shè)(c)則它給出的應(yīng)力分量能滿足面力為零的邊界條件。則(d)由于對稱性，級數(shù)中只取x,y的偶次冪，如上式只取一個系數(shù)A1，則代入式(5-42)，整理后得：則上式給出的應(yīng)力分量滿足應(yīng)力邊界條件(b)，設(shè)具有下面因子的函數(shù)。第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-5用最小余能原理求近似解對于正方形板(a=b)，得：相應(yīng)的應(yīng)力分量為在板的中心，即x=y=0處有如取三個系數(shù)A1，A2，A3，經(jīng)同樣計(jì)算，對于正方形板，有在板的中心，即x=y=0處有第十一章彈性力學(xué)的變分原理§11-5用最小余能原理求近似解A、瑞利-李茲法解題步驟:（平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題）一、位移變分法（1）、選取位移函數(shù)式且是坐標(biāo)x，y的已知函數(shù)，在位移邊界上滿足：且是坐標(biāo)x，y的已知函數(shù)，在位移邊界上滿足：是待定的任意常數(shù)。（2）、求出彈性體的應(yīng)變能W(11-17)變分法解題步驟第十一章彈性力學(xué)的變分原理(11.16)將位移函數(shù)式(11-17)代入下式求出應(yīng)變能：（平面應(yīng)力問題）(11.15)（平面應(yīng)變問題）（3）、得到求Am，Bm的線性方程組(11.18)第十一章彈性力學(xué)的變分原理（4）、將得到Am，Bm代入位移函數(shù)式(11.17)求出位移分量。將位移分量代入幾何方程求出應(yīng)變分量，將應(yīng)變分量代入物理方程求出應(yīng)力分量。(a)（2-9）(平面應(yīng)力)(平面應(yīng)變)第十一章彈性力學(xué)的變分原理B、伽遼金法解題步驟:（平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題）（1）、選取位移函數(shù)式且是坐標(biāo)x，y的已知函數(shù)，在位移邊界上滿足：且是坐標(biāo)x，y的已知函數(shù)，在位移邊界上滿足：是待定的任意常數(shù)。（2）、將位移函數(shù)式代入式(11.19)或式(11.20),建立Am,Bm的線性代數(shù)方程組(11.17)上述位移函數(shù)式還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件.第十一章彈性力學(xué)的變分原理(11-20)(平面應(yīng)力)或(11.19)式中(平面應(yīng)變)第十一章彈性力學(xué)的變分原理（3）、將得到Am，Bm代入位移函數(shù)式(5-17)求出位移分量。將位移分量代入幾何方程求出應(yīng)變分量，將應(yīng)變分量代入物理方程求出應(yīng)力分量。(a)（2-9）(平面應(yīng)力)(平面應(yīng)變)第十一章彈性力學(xué)的變分原理C、瑞利-李茲法解題步驟:（薄板彎曲問題）（1）、選取撓度函數(shù)式且為滿足位移邊界條件的設(shè)定函數(shù)。是待定的任意常數(shù)。（2）、求出彈性體的應(yīng)變能V和總外力功W(5-26)(變厚度板)(5-23)(等厚度板)(5-24)(四條邊上w=0的等厚度矩形板)第十一章彈性力學(xué)的變分原理若只考慮板受橫向的外荷載q作用，總外力功W(5-25)若板面受集中力或板邊受邊界力，則還應(yīng)計(jì)入相應(yīng)的外力功。如在x=ξ,y=η處作用集中力P，則外力功為：（3）、得到求Am的線性方程組總勢能為則：（4）、將求得的Am代入式(5-26)得到撓度函數(shù)，再求出相應(yīng)的應(yīng)力分量、內(nèi)力等第十一章