高考數(shù)學(xué)中內(nèi)切球與外接球的解題策略一．高考命題類型構(gòu)造長(zhǎng)方體、正方體（長(zhǎng)方體、正方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑）幾何體放進(jìn)球中求解內(nèi)切球的切割法與三視圖有關(guān)的球的問題折展轉(zhuǎn)問題中的球數(shù)學(xué)文化中的球的問題二．高考命題陷阱解讀和訓(xùn)練1.構(gòu)造長(zhǎng)方體、正方體（長(zhǎng)方體、正方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑）例1.已知三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，BAC90，BC3，PA23，PA平面ABC，則此三棱錐外接球的表面積為（）A.16B.4C.15D.163【答案】C【方法規(guī)律總結(jié)】本題主要考查三棱錐外接球表面積的求法，屬于難題.要求外接球的表面積和體積，關(guān)鍵是求出求的半徑，求外接球半徑的常見方法有：①若三條棱兩垂直則用4R2a2b2C2（a,b,c為三棱的長(zhǎng)）；①若SA面ABC（SAa），則4R24r2a2（r為ABC外接圓半徑）；①可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球；①特殊幾何體可以直接找出球心和半徑.練習(xí)1.已知在三棱錐SABC中，SA平面ABC，ABAC，SA3，ABAC2，則此三棱錐外接球的表面積為（）A.35B.4A.35B.4C.9D.17答案】D,則長(zhǎng)方體練習(xí)2.,則長(zhǎng)方體外接球的表面積為A.B.C.D.【答案】C【解析】①長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD4，AA15，①長(zhǎng)方體的對(duì)角線AC1AB2AD2AA1232425252，①長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，①球的一條直徑為AC152，522522可得半徑R，因此，該球的表面積為S4R4（）5022故選C.練習(xí)3?已知三棱錐PABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且AB5,BC7,AC2,則此三棱錐的外接球的體積為（）8821632A.兀B.兀C.兀D.兀3333【答案】B【解析】由題意可知：可將三棱錐放入長(zhǎng)方體中考慮，則長(zhǎng)方體的外接球即三棱錐的外接球，故球的半徑為長(zhǎng)方體體對(duì)角線的一半，設(shè)PAx，則PB2PC2BC275x24x27x1，故PA1,PB2,PC3r〕r〕豊2，故選B.2.幾何體放進(jìn)球中求解例2.已知某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖是斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，側(cè)視圖是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為（A.18B.6C.5D.4答案】C解析】故選解析】故選C.【方法規(guī)律總結(jié)】求多面體的外接球的面積和體積問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對(duì)稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn)5所以點(diǎn)O即為該幾何體的外接球的球心，球半徑為2，所以表面積為S45，2再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果設(shè)計(jì)幾何體有兩個(gè)面相交，可過兩個(gè)面的外心分別作兩個(gè)面的垂線，垂線的交點(diǎn)為幾何體的球心.練習(xí)1?已知SC是球0的直徑，A,B是球0球面上的兩點(diǎn)，且CACB1,AB3,若三棱錐SABC的體積為1，則球O的表面積為（）33A.4B.13C.16D.52答案】D乂&即'丄沁心Ed=>&=誦23222練習(xí)2?已知SC是球0的直徑,A,B是球0球面上的兩點(diǎn)，AABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形若三棱錐S-ABC的體積為3，則球0的表面積為A.16兀B.18兀C.20兀D.24兀【答案】C33【解析】由題意可知，AABC的面積為4又①三棱錐S-ABC的體積為3①由三棱錐的體積公式可得點(diǎn)S到平面ABC的距離為4①AABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，①AABC的外接圓的半徑r=1根據(jù)三角形中位線定理可知，球心到平面ABC的距離是點(diǎn)S到平面ABC的距離的一半，即為2設(shè)球的半徑為R則R2=r2+22=5，①球的表面積S=20兀?故選C點(diǎn)睛：求多面體的外接球的面積或體積問題是高考常見問題，屬于高頻考點(diǎn)，有一定的難度.求多面體的外接球的半徑的基本方法有三種，第一種：當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直時(shí)，可還原為長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是外接圓的直徑；第二種：“套球”當(dāng)棱錐或棱柱是較特殊的形體時(shí)，在球內(nèi)畫出棱錐或棱柱，利用底面的外接圓為球小圓，借助底面三角形或四邊形求出小圓的半徑，再利用勾股定理求出球的半徑，第三種：過兩個(gè)多面體的外心作兩個(gè)面的垂線，交點(diǎn)即為外接球的球心，再通過關(guān)系求半徑.4練習(xí)3?在體積為的三棱錐S-ABC中，AB=BC=2，①ABC=90°,SA=SC,且平面SAC①平面ABC,若該三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積是（）82927A.B.C.D.12n322【答案】B【解析】QABBC2,ABC90，VABC外接圓半徑iAC2,QSVABC1222，224三棱錐SABC的體積為，S到底面ABC的距離h2，①球心0到平面ABC的3距離為2R，由平面SAC①平面ABC，利用勾股定理可得球的半徑為：R2（2R）2（2）2，R32439球的體積：R．故選B．32練習(xí)4.在四棱錐PABCD中，PC底面ABCD，底面為正方形，QA//PC，PBCAQB60。，記四棱錐PABCD的外接球與三棱錐BACQ的外接球的表面積分別為S15S2,則S2___．15【答案】157【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，設(shè)O2為CQ的中點(diǎn)，因?yàn)镻C平面ABCD，而CD,CB平面ABCD，所以PCCD,PCCB，又AQ//PC，故AQCD,AQCB,又CDCBC,故AQ平面ABCD，AC平面ABCD，所以AQAC，故QAC為直角三角形，CQ為斜邊，所以QO2CQ2AQ2?同理QAC也為直角三角形，結(jié)合AQB60，所以AQ3，又BA，AQABA，所以CB平面AQB，QB平面AQB，所以CBQB，QBC為直角三角形，所以BO2QO2，O2為三R11AP1R11AP1122::23a25a，所以S1：S2542115?填.367棱錐BAQC外接球的球心，且半徑R2iQC2—32a21點(diǎn)睛：球的半徑的計(jì)算，關(guān)鍵在球心位置的確定，三2V2BAQC中QAC,QB同均^01為AP的中點(diǎn)，則O1為四棱錐PABCD外接球的球心，且半徑因?yàn)樗剿膫€(gè)頂點(diǎn)的距離是相等因?yàn)樗剿膫€(gè)頂點(diǎn)的距離是相等棱錐直角三角形，因此外接球的球心就是QC的中點(diǎn)，的．同理四棱錐PABCD外接球的球心就是AP的中點(diǎn)練習(xí)5.在四面體SABC中，ABBC,ABBC2,SASC2，二面角SACB的余弦值是3，則該四面體的外接球的表面積是3

練習(xí)6?如圖，在四面體ABCD中，AB平面BCD,VBCD是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，若AB4，則四面體ABCD外接球的表面積為【答案】64兀【解析】設(shè)VBCD的中心為G，作OGPAB交AB的中垂線H0于0，0為外接球的中心,BA422BA4222四面體ABCD外接球的表面積為：4nR264兀.點(diǎn)睛:空間幾何體與球接、切問題的求解方法求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時(shí)，一般過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．若球面上四點(diǎn)P,A,B,C構(gòu)成的三條線段PA,PB,PC兩兩互相垂直，且PAa,PBb,PCc，-般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，利用4R2a2b2c2求解．3.內(nèi)切球的切割法例3.正方體內(nèi)切球與外接球體積之比為()

D.1①9A.1①3B.1①3C.1①D.1①9答案】C故答案為C。點(diǎn)睛：幾何體的內(nèi)切球和外接球問題是高考的熱點(diǎn)也是難點(diǎn)；內(nèi)切球常見的解決方法是等體積法求球的半徑；外接球也是找球的半徑，常見方法有，提圓心，建系，直角三角形共斜邊，如果三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等則，頂點(diǎn)在底面的投影一定落在底面的外心上，而球心就在三棱錐的高線上。練習(xí)1.如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)．我們來(lái)重溫這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)．圓柱的體積與球的體積之比和圓柱的表面積與球的表面積之比分別為()A?A?‘21B?,1C.22D.3233【解設(shè)球的半徑為R，則員柱的底面半徑R,高為2R析】為①V圓柱r22R【解設(shè)球的半徑為R，則員柱的底面半徑R,高為2R析】為①V圓柱r22R2R3,V球R33①V圓柱2R33。3。V球42R3J答案】C3S6R2①s圓柱2R2R2R26R,S球4R22圓柱。①S球4R22練習(xí)2.一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為2，現(xiàn)有三個(gè)球，球A切于正方體的各面，球B切于正方體的各2）求該幾何體內(nèi)切球的半徑棱，球C過正方體的各頂點(diǎn)，則這個(gè)三個(gè)球的表面積之和為【答案】24兀解析】①由題可知球A,B,C的半徑分別為1,2,3①三個(gè)球的表面積之和為4424324故答案為24練習(xí)3.如圖是某幾何體的三視圖（1）求該兒何休外接球的休積;94答案】(1)9；(2)425試題解析：（1）由三視圖可知，幾何體是三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，如圖，設(shè)為三棱錐ABCD.■以DB,DC,DA為長(zhǎng)、寬、高構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，則該長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于其外接球的直徑，設(shè)該外接球半徑為R.①4R2AD2BD2CD29,①R3.9①外接球的體積為VR39①外接球的體積為V2）設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，球心為O，連接OA,OB,OC,OD，把三棱錐ABCD分成四個(gè)小三棱錐，四個(gè)小三棱錐的體積和等于三棱錐ABCD的體積.11111①22