《微分方程數(shù)值解》課程實(shí)施大綱目錄1．教學(xué)理念 32．課程描述 52.1課程的性質(zhì)及在學(xué)科專業(yè)結(jié)構(gòu)中的地位和作用 52.3課程的前沿及發(fā)展趨勢(shì) 63．教師簡(jiǎn)介 64.先修課程 75．課程目標(biāo) 86．課程內(nèi)容 96.1知識(shí)模塊及對(duì)學(xué)生要求 96.2課程的重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決辦法 116.3、課程的難點(diǎn)及解決辦法 127.課程教學(xué)實(shí)施 128．學(xué)生課程要求 1708.1學(xué)生自學(xué)的要求 1708.2課外閱讀的要求 1708.3課堂討論的要求 1708.4課程實(shí)踐的要求 1709．課程考核方式及評(píng)分規(guī)程 1719.1出勤（遲到、早退等）、作業(yè)、報(bào)告等的要求 1719.2成績(jī)的構(gòu)成與評(píng)分規(guī)則說明 1719.3考試形式及說明（含補(bǔ)考） 17110．學(xué)術(shù)誠(chéng)信規(guī)定 17110.1考試違規(guī)與作弊 17210.2杜撰數(shù)據(jù)、信息等 17210.3學(xué)術(shù)剽竊等 17211．課堂規(guī)范 17311.1課堂紀(jì)律 17311.2課堂禮儀 17412．課程資源 17512.1教材與參考書 17512.2專業(yè)學(xué)術(shù)專著 17512.3專業(yè)刊物 17512.4網(wǎng)絡(luò)課程資源 17512.5課外閱讀資源 17513．其他必要說明（或建議） 17614．學(xué)術(shù)合作備忘錄（契約） 17714.1閱讀課程實(shí)施大綱，理解其內(nèi)容 17714.2同意遵守課程實(shí)施大綱中闡述的標(biāo)準(zhǔn)和期望 1771．教學(xué)理念從我國(guó)的社會(huì)主義教育的任務(wù)和教育方針出發(fā)。為我樹立正確的教育價(jià)值觀指明了方向：（1）要完成科學(xué)知識(shí)的講授和社會(huì)經(jīng)驗(yàn)的傳遞，發(fā)展學(xué)生智育。（2）要發(fā)展學(xué)生的智能，使學(xué)生形成能力，掌握個(gè)人生存和為社會(huì)服務(wù)的本領(lǐng)。（3）要重視學(xué)生操作能力、動(dòng)手能力、實(shí)踐能力的培養(yǎng)，在理論和實(shí)踐結(jié)合上掌握知識(shí)，學(xué)習(xí)技術(shù)，習(xí)得方法。（4）課堂中要適當(dāng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想教育，逐步使學(xué)生樹立正確的世界觀、科學(xué)的人生觀、形成良好道德品質(zhì)、行為習(xí)慣，樹立與市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)相適應(yīng)的思想和品格。上述四個(gè)方面的要求作為自己行為的教學(xué)的選取目標(biāo)和原則學(xué)生通過學(xué)習(xí)，掌握數(shù)值計(jì)算方法的基本理論與方法，學(xué)會(huì)通過一種計(jì)算機(jī)語言編程解決計(jì)算問題。通過教師的教學(xué)，學(xué)生要獲得的具體的進(jìn)步和發(fā)展，學(xué)生的進(jìn)步和發(fā)展是衡量課堂教學(xué)有效性的唯一尺度。每堂課上完，教師應(yīng)該布置作業(yè)，以檢查教學(xué)的有效性。教師應(yīng)該首先選取適當(dāng)?shù)慕滩?，結(jié)合我們學(xué)校學(xué)生實(shí)際情況，又和其它高校的教材有所區(qū)別。我認(rèn)為，對(duì)我們學(xué)校的學(xué)生，其學(xué)習(xí)重點(diǎn)不是理論的論證和推導(dǎo)，而是公式的應(yīng)用和實(shí)踐，應(yīng)選取則重點(diǎn)方法講解和例題演算的教材。選擇好了教材后，教學(xué)中相關(guān)內(nèi)容的講解還要取舍，還要參考別的教材，教學(xué)中突出層次性和實(shí)踐性。在保證課程內(nèi)容科學(xué)性的前提下安排由淺入深的內(nèi)容次序以及簡(jiǎn)捷直觀的理論體系．課程始終貫以連續(xù)問題離散化的基本思想注意與先行課程的銜接力求達(dá)到與相關(guān)學(xué)科的相互滲透與利用．第一章介紹常微分方程初值問題數(shù)值解法從簡(jiǎn)單到復(fù)雜先介紹較易掌握的單步法的構(gòu)造思想和基本概念由顯式的Ｅｕｌｅｒ法推進(jìn)到隱式的梯形法比較前兩種方法的共同點(diǎn)并加以改進(jìn)推導(dǎo)出Ｒｕｎｇｅ－Ｋuｔｔａ法然后進(jìn)一步介紹線性多步法的基本思想和基本理論最后討論高階常微分方程的數(shù)值解法．第二章至第四章介紹偏微分方程數(shù)值解法采用數(shù)值分析的基本技巧詳細(xì)分析微分方程的離散過程比如用差商代替微商Ｔａｙｌｏｒ展式等基本方法推導(dǎo)出各種差分格式使理論的敘述和推導(dǎo)過程清晰簡(jiǎn)捷．在分析差分格式穩(wěn)定性時(shí)分別用高等代數(shù)中的矩陣?yán)碚摵蛿?shù)學(xué)分析中的Ｆｏｕｒｉｅｒ級(jí)數(shù)來進(jìn)行討論．第五章介紹比較難掌握的有限元法．這樣由淺入深逐層推進(jìn)的課程內(nèi)容體系有助于學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)微分方程數(shù)值解的基本理論和基本方法．本課程的主要采取如下的教學(xué)手段：（1）電子教案：課堂教學(xué)以PPT為主，配以必要的課堂板書。

（2）動(dòng)畫演示：對(duì)于本課程中的有些內(nèi)容，例如重點(diǎn)例題講解等，用動(dòng)畫演示直觀、清晰，易于理解和接受。

（3）網(wǎng)絡(luò)資源：對(duì)于本課程中的有些內(nèi)容，例如國(guó)際上一些著名的超級(jí)計(jì)算中心概況、世界TOP500高性能計(jì)算機(jī)排名情況、某些基準(zhǔn)測(cè)試程序和一些著名的數(shù)值分析專家簡(jiǎn)介等均可以進(jìn)行網(wǎng)上登錄和課堂實(shí)時(shí)播放。

（4）原版教材：采用國(guó)際權(quán)威的微分方程數(shù)值解的教材，并雙語教學(xué)，使學(xué)生直接吸收國(guó)外最先進(jìn)的研究成果；

（5）現(xiàn)場(chǎng)模擬：充分使用數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院的“科學(xué)與工程計(jì)算實(shí)驗(yàn)室”，進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)數(shù)值模擬，補(bǔ)充了課堂教學(xué)所不能達(dá)到的良好效果；

（6）啟發(fā)式教學(xué)：以問題為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生的積極思維，增強(qiáng)學(xué)生的注意力和聽課興趣，從而達(dá)到高質(zhì)量的教學(xué)效果。2．課程描述2.1課程的性質(zhì)及在學(xué)科專業(yè)結(jié)構(gòu)中的地位和作用“微分方程數(shù)值解法”是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，也是信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)本科生的重要課程，與計(jì)算機(jī)應(yīng)用密切結(jié)合。本課程主要介紹如何將用連續(xù)數(shù)量關(guān)系建立起來的數(shù)學(xué)模型問題進(jìn)行離散化，從而可由計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理和實(shí)現(xiàn)。2.3課程的前沿及發(fā)展趨勢(shì) 微分方程數(shù)值解法在數(shù)值分析中占有重要的地位，它以逼近論、數(shù)值代數(shù)等學(xué)科為基礎(chǔ)，反過來又推動(dòng)這些學(xué)科向前發(fā)展。微分方程數(shù)值解法在科學(xué)計(jì)算、工程技術(shù)等領(lǐng)域有極其廣泛的應(yīng)用。自上世紀(jì)40年代，它已經(jīng)發(fā)展成一門龐大的計(jì)算技術(shù)學(xué)科，并早已列為原來計(jì)算數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課之一。1998年高校專業(yè)目錄有了調(diào)整，原計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)更名為信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)，教學(xué)計(jì)劃和內(nèi)容也有些改變。微分方程數(shù)值解法這門課程出現(xiàn)了新的進(jìn)展。2.4學(xué)習(xí)本課程的必要性實(shí)際工程問題中的大量數(shù)學(xué)模型都可以用微分方程來描述，很多近代自然科學(xué)的基本方程本身就是微分方程。例如，在流體力學(xué)中，邊界層和湍流等多種現(xiàn)象都可以通過統(tǒng)一的Navier-Stokes方程來描述。絕大多數(shù)微分方程（特別是偏微分方程）定解問題的解不能以實(shí)用的解析形式來表示，而必須通過近似方法求解，包括借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值求解。微分方程的數(shù)值解法是數(shù)值分析的重要組成部分，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展和計(jì)算機(jī)應(yīng)用的日益普及，它越來越受到人們的重視，已成為解決許多科學(xué)和工程問題的有效手段之一。微分方程數(shù)值解作為一門專業(yè)基礎(chǔ)課程，主要在大學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)及相關(guān)專業(yè)的高年級(jí)本科學(xué)員中開設(shè)，重點(diǎn)講授常微分方程的數(shù)值解法、偏微分方程的有限差分方法和有限元方法。旨在通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握微分方程數(shù)值解的基本理論和方法，了解如何使用計(jì)算機(jī)來解決一些微分方程的定解問題。 4.先修課程學(xué)習(xí)本課程的基礎(chǔ)是高等數(shù)學(xué)、高等代數(shù)、Matlab語言程序設(shè)計(jì)、常微分方程、數(shù)學(xué)物理方程、計(jì)算機(jī)基本操作、高級(jí)程序設(shè)計(jì)語言等5．課程目標(biāo)本課程在內(nèi)容體系上力求有所創(chuàng)新，在遵循課程自身學(xué)科性、系統(tǒng)性和完整性的同時(shí)，應(yīng)充分考慮學(xué)生的實(shí)際情況及應(yīng)用本課方法解決實(shí)際問題的需求，力求具有如下特點(diǎn)：(1)精講內(nèi)容。重點(diǎn)介紹有限差分方法，而對(duì)有限元方法作簡(jiǎn)單介紹。對(duì)于差分方法中的每一個(gè)差分格式，均按照“差分格式的建立→格式的先驗(yàn)估計(jì)→格式的可解性、穩(wěn)定性和收斂性分析→格式的求解→計(jì)算實(shí)例”等五個(gè)方面進(jìn)行講授。而差分格式的建立、格式的求解及計(jì)算實(shí)例是基本的，格式的先驗(yàn)估計(jì)是理論分析的重點(diǎn)。因?yàn)橛辛烁袷降南闰?yàn)估計(jì)，就很容易得到格式的可解性、穩(wěn)定性和收斂性。對(duì)于有限元方法，則按“變分原理→Ritz-Galerkin方法→區(qū)域剖分與形函數(shù)的構(gòu)造→有限元方程組的形成→有限元方程求解→計(jì)算實(shí)例”等六個(gè)方面進(jìn)行講授，重點(diǎn)放在有限元的方法及實(shí)現(xiàn)方面，而不過多的涉及有限元的理論。（2）難點(diǎn)分散。采用“多線條”方式講授，先簡(jiǎn)單，再逐步過渡到較復(fù)雜的問題上；對(duì)于差分方法，先引入一些基本概念及常用的分析技巧（最大值原理、Fourier級(jí)數(shù)和能量分析法），再將這些概念和方法應(yīng)用到橢圓方程邊值問題、拋物方程和雙曲方程初邊值問題的求解；對(duì)于有限元方法，先從兩點(diǎn)邊值問題出發(fā)，介紹有限元的基本思想，再將其應(yīng)用到二維橢圓邊值問題上，介紹有限元方法。（3）著重強(qiáng)調(diào)學(xué)生“會(huì)用”所學(xué)的各種方法，熟練地編程上機(jī)實(shí)現(xiàn)。先示范，再要求學(xué)生進(jìn)行模仿，最后到熟練掌握和靈活應(yīng)用。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠掌握偏微分方程數(shù)值方法的基本理論和分析問題、解決問題的基本方法與技巧，以及良好的編程和上機(jī)調(diào)試能力，為今后解決實(shí)際問題或從事專門信息處理奠定良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，以及應(yīng)用計(jì)算機(jī)去解決實(shí)際問題的能力.要求學(xué)生掌握偏微分方程差分方法的基本理論和基本技巧；掌握一些典型、常用、有效的數(shù)值格式的構(gòu)造方法，較熟練地編程在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn).6．課程內(nèi)容本課程的主要內(nèi)容包括：常微分方程數(shù)值解法，橢圓型邊值問題、拋物型和雙曲型初邊值問題的差分方法，以及橢圓邊值問題的有限元方法簡(jiǎn)介等等。6.1知識(shí)模塊及對(duì)學(xué)生要求（一）常微分方程初值問題的數(shù)值解法（10學(xué)時(shí)）1、歐拉法2、一般單步法、龍格-庫塔格式3、線性多步法要求學(xué)生初步認(rèn)識(shí)與掌握將常微分方程初值問題的自變量取值區(qū)間等分，在結(jié)點(diǎn)處求數(shù)值解的方法。重點(diǎn)掌握歐拉方法，改進(jìn)的歐拉方法以及龍格-庫塔方法。了解阿達(dá)姆斯內(nèi)插、外推方法，了解高階常微分方程組的數(shù)值解法。（二）拋物型方程的差分方法（10學(xué)時(shí)）1、

差分格式建立的基礎(chǔ)2、

顯式差分格式3、

隱式差分格式4、

解三對(duì)角型方程組的追趕法5、

差分格式的穩(wěn)定性和收斂性要求學(xué)生深刻理解：差商、差分格式穩(wěn)定性、收斂性、相容性等基本概念。掌握差商代替微商的思想方法。重點(diǎn)掌握求解一維常系數(shù)熱傳導(dǎo)方程的古典顯式格式，古典隱式格式，Crank-Nicolson隱式格式，加權(quán)六點(diǎn)隱式格式等方法。了解求三對(duì)角方程組的追趕法。掌握判斷差分格式穩(wěn)定性的矩陣方法、圓盤定理以及Fourier級(jí)數(shù)法。（三）橢圓型方程的差分方法（12學(xué)時(shí)）1、

正方形域中的Laplace方程Dirichlet邊值問題的差分模擬2、

Neumann邊值問題的差分模擬3、

混合邊值條件4、

非矩形區(qū)域5、

矩形區(qū)域上的Poisson方程的五點(diǎn)差分逼近的斂速分析6、

一般二階線性橢圓型方程差分逼近及其性質(zhì)研究7、

橢圓型差分方程的迭代解法要求學(xué)生掌重點(diǎn)握矩形域中的Laplace方程、Poisson方程Dirichlet邊值問題的五點(diǎn)差分格式，了解Neumann邊值問題的差分思想，理解一般二階線性橢圓型方程的Jacobi迭代、Cass-Seidel迭代和超松弛迭代等方法。會(huì)求收斂速度，會(huì)判斷超松弛迭代法的收斂性。（四）雙曲型方程的差分方法（10學(xué)時(shí)）1、

一階線性雙曲型方程的特征線法2、

一階擬線性雙曲型方程的特征線法3、

一階雙曲型方程的差分方法4、

二階線性雙曲型方程的差分方法要求學(xué)生重點(diǎn)掌握一階線性雙曲型方程Cauchy問題的特征線法和差分方法。理解特征方向、特征關(guān)系等基本概念。掌握一階擬線性雙曲型方程Cauchy問題的特征線法，特征差分格式等方法。了解一階擬線性雙曲型方程組的特征線法。重點(diǎn)掌握二階線性雙曲型方程的顯式差分格式。（5）邊值問題的變分形式了解有限元方法，初步會(huì)用MATLAB工具箱求解偏微分方程。內(nèi)容學(xué)時(shí)歐拉法、梯形法、Runge-Kutta法4線性多步法4誤差的事后估計(jì)法、步長(zhǎng)的自動(dòng)選擇2高階常微分方程（組）的數(shù)值方法2差分格式建立的基礎(chǔ)；顯式差分格式2隱式差分格、解三對(duì)角型方程式組的追趕法2ε-圖方法、穩(wěn)定性分析的矩陣方法2圓盤定理、穩(wěn)定性分析的Fourier級(jí)數(shù)方法2低階項(xiàng)對(duì)穩(wěn)定性的影響、收斂性、相容性2橢圓型方程差分的差分模擬8橢圓型差分方程的迭代解法4一階線性、擬線性雙曲型方程的特征線法4一階雙曲型方程（組）的差分格式4二階線性雙曲型方程的差分方法2邊值問題的變分形式16.2課程的重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決辦法1、常微分方程數(shù)值解介紹常微分方程的應(yīng)用背景，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)常微分方程重要性的認(rèn)識(shí)；重點(diǎn)講授構(gòu)造初值問題的數(shù)值方法，單步法的穩(wěn)定性及收斂階，局部截?cái)嗾`差、整體截?cái)嗾`差的估計(jì)等。利用習(xí)題課分析總結(jié)構(gòu)造常微分方程初值問題數(shù)值格式的思想和方法。2、拋物型微分方程數(shù)值解法介紹拋物型微分方程的實(shí)際背景，主要講授用差商代替微商，將連續(xù)問題離散化，使拋物型初邊值問題轉(zhuǎn)化為線性方程組的求解問題的基本方法。重點(diǎn)討論古典顯式格式、古典隱式格式和Crank-Nicolson格式的構(gòu)造及其穩(wěn)定性、收斂性，詳細(xì)介紹穩(wěn)定性分析的矩陣方法和Fourier級(jí)數(shù)法。演示計(jì)算機(jī)生成解曲面的過程，利用直觀教學(xué)提高教學(xué)效果。3、橢圓型微分方程數(shù)值解法介紹橢圓型微分方程的實(shí)際背景，主要討論五點(diǎn)差分格式的構(gòu)造。用多媒體演示三類邊值條件，利用圖形總結(jié)邊值格式，直觀體現(xiàn)出三類邊值問題的處理方法。利用計(jì)算機(jī)演示三種迭代法實(shí)現(xiàn)數(shù)值模擬、誤差分析以及圖形繪制的基本方法。4、雙曲型微分方程數(shù)值解法介紹雙曲型微分方程的實(shí)際背景，主要討論特征線法和有限差分法的數(shù)值格式，利用多媒體演示特征線法的定解區(qū)域，使抽象復(fù)雜的問題直觀、明了，重點(diǎn)討論差分格式的穩(wěn)定性和收斂性。利用計(jì)算機(jī)演示雙曲型微分方程數(shù)值解的實(shí)現(xiàn)過程。6.3、課程的難點(diǎn)及解決辦法

1、微分方程數(shù)值解內(nèi)容抽象，學(xué)生難于理解在保證教材內(nèi)容科學(xué)性的前提下，安排由淺入深的內(nèi)容次序以及簡(jiǎn)捷、直觀的理論體系。課程始終貫以連續(xù)問題離散化的基本思想，采用數(shù)值分析的基本技巧詳細(xì)分析微分方程的離散過程，比如用差商代替微商、數(shù)值積分、數(shù)值微分、Taylor展式等推導(dǎo)各種差分格式，使理論的敘述和推導(dǎo)過程簡(jiǎn)化。其次，在分析差分格式穩(wěn)定性時(shí)，分別用高等代數(shù)中的矩陣?yán)碚摵蛿?shù)學(xué)分析中的Fourier級(jí)數(shù)來進(jìn)行討論。根據(jù)一般本科院校教學(xué)的實(shí)際需要，我們適當(dāng)?shù)卣{(diào)整了理論部分的敘述過程（特別是一些重要定理的證明過程），結(jié)合各章節(jié)內(nèi)容增設(shè)部分例題，利用計(jì)算機(jī)演示計(jì)算過程并繪制出解的圖形，使學(xué)生更直觀地理解教材內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效果。2、計(jì)算問題復(fù)雜，學(xué)生難于掌握連續(xù)的微分方程離散后轉(zhuǎn)化為求解離散的高階線性方程組的計(jì)算問題。此類計(jì)算問題，一般很難用筆來實(shí)現(xiàn)，或者需要耗費(fèi)大量的時(shí)間才能完成。為解決此問題，我們加強(qiáng)了編程能力的訓(xùn)練，通過算法分析，編制程序，由計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)問題的求解。同時(shí)，用多種計(jì)算方法來解決同一種計(jì)算問題，研究其共性和差異，有利于學(xué)生靈活掌握各種算法。7.課程教學(xué)實(shí)施章節(jié)名稱第一章常微分方程初值問題的數(shù)值解法1.1引論1.2歐拉法（1）第1周第1次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求了解微分方程數(shù)值解的重要性歐拉法格式教學(xué)內(nèi)容提要備注()和偏微分方程(在科學(xué)、技術(shù)和工程中的大量數(shù)學(xué)模型都可以用微分方程來描述很多近代自然科學(xué)的基本方程本身是微分方程.人們一直用微分方程來解釋、預(yù)見各種自然現(xiàn)象，不斷取得了顯著成績(jī)。遺憾的是，絕大多數(shù)微分方程定解問題的解不能以實(shí)用的解析形式來表示。這就產(chǎn)生了理論和應(yīng)用的矛盾：一方面，人們列出了反應(yīng)客觀現(xiàn)象的各類微分方程，建立了大量實(shí)用的數(shù)學(xué)模型；一方面，人們又無法得到這些方程的準(zhǔn)確解以定量的描述客觀過程。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的出現(xiàn)和發(fā)展，解決上述矛盾的一門科學(xué)—微分方程的數(shù)值解法，得到了前所未有的發(fā)展和應(yīng)用。所微分方程數(shù)值解，就是研究利用計(jì)算機(jī)微分方程數(shù)值解法是“”專數(shù)值代、計(jì)算幾主要內(nèi)容包括：?jiǎn)尾椒?，線性多步法有限差分法，有限元法：一、通過對(duì)典型、常用的數(shù)值方法的研究，進(jìn)一步了解構(gòu)造數(shù)值方法的基本思想、技巧；二、通過掌握數(shù)值方法所涉及的基本概念和基本理論（如穩(wěn)定性、收斂性、誤差估計(jì)等），使我們具有一定的理論分析三、通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)，運(yùn)用所學(xué)的數(shù)值方法求出數(shù)值結(jié)果，培養(yǎng)實(shí)際解題能力。2常微分方程的數(shù)值解法或與其等價(jià)的積分方程若(,u)關(guān)于u滿足Lipschit數(shù)L，對(duì)任意和均成立著則（1.1）的解存在且唯一。u()的。近似解析方法和數(shù)值解法什么是數(shù)值解法？[a,]中的離散點(diǎn)（稱為節(jié)點(diǎn)）,如其hu()之值的近似值。而通常稱為數(shù)值解。求的方法通常稱為數(shù)值解法。2.1Euler法考慮初值問題(1.1)，首先將區(qū)間[t0,T為個(gè)).已知，則可計(jì)算，利用Taylor公式，在處將展開（1.3）其中h這u1是u(t1)的近似值，利用u1又可以算出u2，如此下去u()在所有節(jié)點(diǎn)上的近似值。這就是求解初值問題的Euler公式。的解在處的數(shù)值解。（取步長(zhǎng)h=0.小數(shù)點(diǎn)后保留4位）解：相應(yīng)的公式：由初值計(jì)算得利用Taylor公式，在處將展開成：舍去二次項(xiàng)，用近似代替得：這就是求解初值問題的隱式Euler公式。將也可用數(shù)值積分法推將(1.1)寫成等價(jià)的積分形式。若用左矩形數(shù)值積分公式近似右端積分：則用代替得：若用梯形數(shù)值積分公式近似右端積分：則用代替得：右端積分項(xiàng)使用右矩形求積公式，則得則用替代得:隱公教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)歐拉公式的構(gòu)造討論、練習(xí)、作業(yè)P101章節(jié)名稱1.2歐拉法（2）第1周第2次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求歐拉法的穩(wěn)定性和截?cái)嗾`差教學(xué)內(nèi)容提要備注但是梯形公式的計(jì)u+1,方程一般的迭代公式表示為：，如此迭代下去得到迭代序列：若序列收斂于，當(dāng)時(shí)，得到：則取為第個(gè)近似值。在實(shí)際計(jì)算中，通常要求滿足如下不等式：做為終止條件，此時(shí)取作為的近似值。為了避免求解非線性代數(shù)方程，可以用Euler法將它顯化，建立預(yù)測(cè)-校正系統(tǒng)：（1.7）求解公式（1.7）稱為改進(jìn)的Euler法，其中稱為預(yù)測(cè)值，稱為校正值。其求解順序?yàn)椋焊倪M(jìn)的法還可寫成如下形式：（1.8）如果關(guān)于u是線性函數(shù)，則隱式公式可以顯示化。例，若方程為：隱式Euler公式：梯形公式：現(xiàn)在分析EuLer法和梯形公式的誤差在用任何數(shù)值法（離散變量法）近似求解初值問題時(shí)，有兩個(gè)誤差源：截?cái)嗾`差（離散或方法誤差）和舍入誤差。由（1.3）或更一般的遞推式（1.9）精確成立，其中由（1.4）到（1.9）的差別是舍去，由代替。因此是衡量Euler法精度的主要標(biāo)志。記，算子則稱為Euler法的局部截?cái)嗾`差，它是在單步過程到之間產(chǎn)生的誤差，也即當(dāng)為精確時(shí)，由（1.4）計(jì)算出所產(chǎn)生的誤差。顯然Euler法的局部截?cái)嗾`差的階為。若每一步的誤差唯一，則進(jìn)行了N步之后，在區(qū)間[t0,T]的末端積累誤差為：我們可以認(rèn)為這就是Euler法的整體截?cái)嗾`差。局部截?cái)嗾`差和差、整體截?cái)嗾`差的幾何解釋。下面利用Taylor展開，求Euler法的局部截?cái)嗾`差現(xiàn)在我們用數(shù)值積分公式來推導(dǎo)梯形公式的局部截?cái)嗾`差，注意到：則有現(xiàn)在估計(jì)，將表成，，由帶余項(xiàng)的Lagrange線性插值多項(xiàng)式，可知于是則故足見梯形法的局部截?cái)嗾`差階要比Euler法高一階，即為O(h3).定義設(shè)為數(shù)值數(shù)值解的集合，而為初值問題的精確解，則記整體截?cái)嗾`差為：，即以點(diǎn)處的初值為出發(fā)點(diǎn)，用某種數(shù)值方法推進(jìn)到點(diǎn)所得到的近似值與精確解的偏差?，F(xiàn)考察Euler法的整體截?cái)嗾`差，將（1.4）與（1.9），即相減，得誤差方程：由于關(guān)于滿足Lipschitz條件，則其中。由此遞推性質(zhì)，得注意，進(jìn)一步有而則不等式的右端依賴于初始誤差和局部截?cái)嗾`差。在Euler法中，，若，則有故Euler法的整體截?cái)嗾`差階比其局部截?cái)嗾`差階低一階。同樣我們可以證得梯形公式的整體截?cái)嗾`差階為在實(shí)際計(jì)算時(shí)，我們還要求所用算法是穩(wěn)定的，即傳遞誤差連續(xù)依賴初始誤差，否則就是不穩(wěn)定。不穩(wěn)定的算法不能用Euler法的穩(wěn)定性（帶舍入誤差）設(shè)有初值與算出的近似值分別為和，即有和兩式相減，并記，得則這說明連續(xù)依賴于初值誤差。即Euler法是穩(wěn)定的。同樣可以證明梯形法和改進(jìn)的Euler法是穩(wěn)定的。Milne公式若在區(qū)間上，對(duì)右端的積分使用求積公式，得令進(jìn)一步可寫成為此二步方法，需要已知和，才能由上式計(jì)算出的值。二步以上的方法也稱為多步法。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)截?cái)嗾`差分析討論、練習(xí)、作業(yè)無章節(jié)名稱1.3線性差分方程第2周第1次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求掌握線性差分方程的疊加原理，非齊次方程的通解、齊次方程的通解。教學(xué)內(nèi)容提要備注設(shè)和已知。且稱序列滿足的方程為階線性差分方程，序列式線性差分方程的解。當(dāng)右端時(shí)，稱為齊方程。為確定上述差分方程的解，需要給定個(gè)初值。例如，當(dāng)n=0時(shí)，要求線性差分方程解為，則此差分方程為當(dāng)時(shí)，有差分方程要求的線性差分方程解為，(逐次算出，Euler法為的一階常系數(shù)線性差分方程：此時(shí)，初值為。若記為向前差分，則即可用和的一階差分表示；又從而，即可用和的一階、二階差分表示，以此類推，可知可用以及的一階、二階直到階的差分方程表示為：所以（1.15）為最高階為的差分方程。k階線性差分方程是k階線性常微分方程的離散模擬，二者之間的許多基本性質(zhì)是平行的。(1)疊加原理若，是齊差分方程的解，則它們的線性組合也是此方程的解，其中任一常數(shù)。（2)k階齊差分方程存在k個(gè)線性無關(guān)解，且方程的任意解可表示為，其中常數(shù)由初值唯一確定。當(dāng)任意常數(shù)時(shí)，稱之為齊方程的通解。解組是線性無關(guān)的充要條件是初始向量線性無關(guān)，即行列式也稱為齊方程的基本解組。3）非齊方程（1.15）的通解可以表示成它的一個(gè)特解與齊方程的通解之和?，F(xiàn)在考察常系數(shù)k階線性差分方程的基本解組對(duì)于變系數(shù)k階線性差分方程（1.15）的基本解組一般很難求。出，但當(dāng)與無關(guān)，即為常系數(shù)差分方程時(shí)，其基本解組可用代數(shù)方法求出，設(shè)相應(yīng)齊方程為考慮齊次方程形如的解，已知代到（1.17）可知應(yīng)滿足代數(shù)多項(xiàng)式方程即應(yīng)是代數(shù)方程的根。反之，若x是（1.18）的任一根，則必為（1.17）的解。下面分幾種情況：方程（1.18）有k個(gè)互異實(shí)根，則，…,,是方程（1.17）k個(gè)線性無關(guān)解（基本解組）。因?yàn)閯t（1.17）的通解為方程（1.18）有實(shí)的重根。比如是重根，則是方程（1.17）r個(gè)線性無關(guān)解，其基本解組為，，因此通解形如（1.19）m是方程（1.18）互異根的個(gè)數(shù)（ⅲ）若方程（1.18）有復(fù)根,則其共扼也是根。由Euler公式：則由齊方程的解的疊加原理知也是齊方程的解，但和已是實(shí)函數(shù)，且線性無關(guān)。此時(shí)可用和替換。求下列二階常系數(shù)線性差分方程的通解此為二階微分方程的查分近似，其解為微分方程解的近似。解：此時(shí)有相應(yīng)的特征方程為：其根為：當(dāng)時(shí)，有（二重根）。此時(shí)二階差分方程的通解為（：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)互異根：此時(shí)二階差分方程的通解為(當(dāng)充分小時(shí)；當(dāng)時(shí)，有一對(duì)共扼復(fù)根，（當(dāng)充分小時(shí)：此時(shí)二階差分方程的通解為：試求差分方程初值問題的通解。解：由于方程的右端為常數(shù)，當(dāng)1不是特征方程根時(shí)，可試出它的一個(gè)常數(shù)解。令，以之代入方程，得到即為一個(gè)特解，對(duì)應(yīng)齊方程的特征方程為它的根分別是：2（二重）和，，故通解為：在由初始條件，可以定出常數(shù)：所以，此問題的定解為：現(xiàn)在給出非齊方程（1.16）的通解表達(dá)式。引進(jìn)k維向量：和階矩陣將（1.16）改寫成進(jìn)一步寫成向量形式：，逐次遞推，得其中，且第一項(xiàng)是相應(yīng)的齊次方程的通解，第二項(xiàng)是非齊次方程的特解（初值引理1.1矩陣有界的充要條件是：方程（1.18）的所有根在單位圓內(nèi)，而位于單位圓周上的都是單根。證明。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)線性多步法矩陣有界的充要條件。討論、練習(xí)、作業(yè)P101

章節(jié)名稱1.4Grown不等式2.1數(shù)值積分法第2周第2次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求了解Grown不等式掌握數(shù)值積分法構(gòu)造線性K步伐教學(xué)內(nèi)容提要備注GrownWall不等式作解的先驗(yàn)性估計(jì)時(shí)經(jīng)常要用到GrownWall不等式。下面先介紹連續(xù)形式的GrownWall不等式（也稱Bellmann）不等式。引理2.1設(shè)連續(xù)函數(shù)滿足其中為非負(fù)常數(shù)，則（（1.23）證明略離散形式的Gronwall不等式引理3.1設(shè)為非負(fù)常數(shù)，序列滿足（1.24）其中是步長(zhǎng)，則其中前節(jié)所討論的方法如Euler方法、改進(jìn)Euler方法都稱為單步法§2線性多步法（單步長(zhǎng)法）。因?yàn)樗鼈冎焕们耙粋€(gè)點(diǎn)的信息來計(jì)算下一個(gè)點(diǎn)，即，只用初始點(diǎn)u0計(jì)算u1;一般說來，只用un來計(jì)算un+1。單步法一般說來，精度是較低的。為提高精度，我們考慮構(gòu)造多步法。所謂“多步法”，即當(dāng)計(jì)算出若干個(gè)點(diǎn)之后，用幾在計(jì)算公式中的一個(gè)主要特征個(gè)已計(jì)算出的點(diǎn)來計(jì)算下一個(gè)點(diǎn)。就是，un+1不僅依賴于un，而且也直接依賴于un-1,un-2,…等已經(jīng)算出的值。它可以大大提高截?cái)嗾`差的階。線性多步法，它的一般公式為：（2.1）其中常數(shù)，和不同時(shí)為零，按（2.1）計(jì)算時(shí)要用到前面k個(gè)結(jié)點(diǎn)因此稱因此稱（2.1）為多步法或k-步法。又因?yàn)椋?.1）關(guān)于是線性的，所以稱為線性多步法為使多步法的計(jì)算能夠進(jìn)行，除給定的初值u0外，還要知道附加初值，這可用其它方法計(jì)算。若≠0,則方法（2.1）是隱式的。若=0,則稱（2.1）是顯式的；例如，對(duì)于線性二步法：當(dāng)取時(shí)，就是Miline法。構(gòu)造線性多步法有許多不同方式，我們?cè)谶@里主要介紹兩類方法：積分插值法和待定函數(shù)法（基于Taylor展開）。2.1積分插值法仍將（1.1）寫成積分形式（2.2）我們用k次Lagrange插值多項(xiàng)式近似替代(2.2)中的被積函數(shù)，這里{ti}為等距的插值節(jié)點(diǎn)列，，而插值基函數(shù)為插值節(jié)點(diǎn)的不同取法就導(dǎo)致不同的多步法。Adams外插法（顯式多步法）取個(gè)節(jié)點(diǎn)，…,,及函數(shù)值構(gòu)造區(qū)間上逼近的k次Lagrange插值多項(xiàng)式，（2.3）其中為插值余項(xiàng)，代到（2，2）式中得，舍去余項(xiàng)并用代替即得其中且。注：注意，被插值點(diǎn)不包含在插值節(jié)點(diǎn)的決定區(qū)間故此多步法稱為Adams外插法。Adams外插公式的系數(shù)表i01

34b0i12b1i3-112b2i23-16524b3i55-5937-9720b4i1901-27742616-127

251Adams外插公式中，幾種常用的差分格式：他們分別為1階，2階，3階，4階差分法（格式）Adams外插公式的余項(xiàng)為：Adams內(nèi)插法（隱式多步法）取個(gè)節(jié)點(diǎn)及函數(shù)值，構(gòu)造區(qū)間上逼近的k+1次-插值多項(xiàng)式其中為插值余項(xiàng)。同理即得其中且注：注意，被插值點(diǎn)t∈[tn,tn+1]包含在插值節(jié)點(diǎn)的決定區(qū)間故此多步法稱為內(nèi)插法。Adams內(nèi)插公式的系數(shù)表Bk+1,ii01234b0i12b1i1112b2i58-12

b3i

19-51720b4i251646-264106-19Adams內(nèi)插公式中，幾種常用的差分格式：它們分別為1階，2階，3階，4階差分格式Adams外插公式的余項(xiàng)為Adams外插法和Adams內(nèi)插法的幾點(diǎn)區(qū)別：系數(shù)小，從而計(jì)算中內(nèi)插法的舍入誤差的影響比外插法要?。辉谕粋€(gè)誤差精度下，內(nèi)插法比外插法可少算一個(gè)已知量值，這是由于在計(jì)算時(shí)，內(nèi)插法和外插法所用的已知量值相同k+1：但是內(nèi)插法的局部截?cái)嗾`差為，，外插法的局部截?cái)嗾`差為內(nèi)插法是隱式格式（穩(wěn)定性好），外插法是顯式格式。用數(shù)值積分法，也可對(duì)初值問題（1.1）于上化成等價(jià)的積分方程：用Simpson求積公式近似積分：則可得到二步隱式方法（Milne法）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)Adams內(nèi)插公式討論、練習(xí)、作業(yè)無章節(jié)名稱2.2待定系數(shù)法第3周第1次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求掌握待定系數(shù)法求線性K步法P階精度教學(xué)內(nèi)容提要備注2.2待定系數(shù)法（基于Taylor展開式的求解公式用數(shù)值積分法只能構(gòu)造一類特殊的多步法，其系數(shù)一般只滿足或。,當(dāng)或時(shí)。本節(jié)我們將基于Taylor展開式來構(gòu)造更一般的求解公式。定義算子設(shè)是初值問題（1.1）的解，將和在點(diǎn)T處進(jìn)行Taylor展開，將上式代入（2.32）并按h的同次冪合并同類項(xiàng)，得即其中定理（多步法性質(zhì)定理）多步法（2.1）的下列三個(gè)性質(zhì)等價(jià)：1.2.對(duì)每個(gè)次數(shù)≤p的多項(xiàng)式，L[fp(t);h]=0.3、對(duì)一切u(t)∈Cp+1,L[u(t);h]=O(hp+1)證明：若性質(zhì)1成立，則式具有形式若對(duì)u是次數(shù)P的多項(xiàng)式，則一切j＞p,u(j)(t)=0,因此，有上式L[u(t);h]=O。故性質(zhì)1推出性質(zhì)2。若性質(zhì)2成立，若u(t)∈Cp+1,則由Taylor定理，我們可記u(t)=fp+r,其中f是次數(shù)≤p的多項(xiàng)式，r是一函數(shù)。因?yàn)長(zhǎng)[fp(t);h]=0，所以故性質(zhì)2推出性質(zhì)3。最后，若性質(zhì)3成立。則由（2.33）式可知必有因此，性質(zhì)3推出性質(zhì)1。此時(shí)，而則去余項(xiàng)Rn，并代替，用發(fā)記，就得到線性多步法（2.32），其局部截?cái)嗾`差稱為局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)；稱為局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)系數(shù)?？梢宰C明其整體截?cái)嗾`差，故稱為階k步法。因?yàn)椋?.32）可以相差一個(gè)非零常數(shù)，所以不妨設(shè)。當(dāng)時(shí)，可用直接表示，故稱為顯示法。反之，當(dāng)時(shí)，求需解一個(gè)方程。稱為隱式法。用待定函數(shù)法構(gòu)造多步法的一個(gè)基本要求是選取使局部截?cái)嗾`差的階盡可能高。下面我們討論構(gòu)造一般線性二步法公式的待定系數(shù)法。此時(shí)記其余四個(gè)系數(shù)由確定，即滿足方程：解之得所以一般二步法為由（7-9）知道當(dāng)a≠1時(shí)c4≠0，方法（7-10）是三階二步法當(dāng)a=-1時(shí)c4=0，但c5≠0，方法（7-10）化為這是四階二步法，是具有最高階的二步法，稱為Miline方法。此外，若取則（7-10）為：此為二步隱式Adams方法，若取a=-5，則（7-10）為是顯式方法用類似的計(jì)算過程可獲得一些常用的線性多步法的局部截?cái)嗾`差。當(dāng)k=1時(shí)，梯形法（二階隱式方法）其中從而有，其局部截?cái)嗾`差為向后Euler法（一階隱式方法）其中a1=1,a0=-1,b1=1,b0=0,從而有，其局部截?cái)嗾`差為：當(dāng)時(shí)，三步三階顯示Adams方法：其中從而有其局部截?cái)嗾`差為：三步四階隱式Adams方法：其局部截?cái)嗾`差為：三步四階Hamming方法：其局部截?cái)嗾`差為：四步四階顯式Adams方法：其局部截?cái)嗾`差為：四步四階顯示MIline方法：其局部截?cái)嗾`差為：教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)線性K步法P階的構(gòu)造討論、練習(xí)、作業(yè)P211

章節(jié)名稱3.3穩(wěn)定性和誤差估計(jì)第3周第2次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求線性多步法相容性、穩(wěn)定性、收斂性和誤差估計(jì)教學(xué)內(nèi)容提要備注考慮初值問題3.1a 以及逼近的線性p階k步法，，要想un→u(tn)，必須在某種條件下（3.2）逼近(3.1)a。引入差分算子當(dāng)u(t)有p+2次連續(xù)微商為（3.1）的解時(shí)，則由（2.36）和 （2.37），我們有或——局部截?cái)嗾`差；--局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)-局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)系數(shù)我們關(guān)心的是整體截?cái)嗾`差。由于。故用線性P階K步法建立起了起了的差分方程（3.2）是微分方程(3.1)a的逼近（即（3.5）中舍去，用代替就得到（3.2）。特別，如若下局部化假設(shè)成立：用多步法（3.2）計(jì)算時(shí)，精確。即由（3.5）式減（3.2）式得由微分中值定理其中介于與之間。從而若多步法是顯格式：并且，則若多步法是隱格式：并且與成比例。總而言之現(xiàn)在考慮一般k步法（3.2）（不必要求是p階的方法），對(duì)任光滑解u(t)，為使（3.2）的解un收斂到u(tn)，最基本（低的保證是要求滿足：當(dāng)h→0時(shí)，差分算子（3.2）逼近微分算子（3.1)a，即成立，也就是而令，則只需使當(dāng)時(shí)（3.10）成立即可。定義3.1如果解初值問題（3.1）的多步法（3.2）至少是一階的，則稱多步法（3.2）是相容的。引進(jìn)多步法（3.2）的第一和第二特征多項(xiàng)式：為使多步法（3.2）是相容，必須且只需（3.13）實(shí)上，從(3.12)和(3.13)的定義，由（2.34）可推出，若為一階的方法，應(yīng)有步法（3.2）可以借助于第一和第二特征多項(xiàng)式來研究。定理線性k步法（3.2）是p(p≥1）階的當(dāng)且僅當(dāng)存在系數(shù)c≠0，使得當(dāng)時(shí)證明：由于方法為p階的，則應(yīng)有階條件：另一方面，取，則→1對(duì)應(yīng)于z→0,再利用Taylor展開，得那么，對(duì)于某一個(gè)成立等價(jià)于有階條件成立。代回變換即證得定理成立。為應(yīng)用上述定理，利用來表達(dá)是方便的。例設(shè)已給定顯式方法:試求它的階p及誤差主項(xiàng)系數(shù)。解：由則故上述二步法是二階的，誤差主項(xiàng)系數(shù)同樣地，對(duì)于多步法由展開式故上述三步顯示方法是三階的，誤差主項(xiàng)系數(shù)附注：G.Dahlquist研究了線性多步法的階與根條件的關(guān)系，并指出，當(dāng)方法滿足根條件的時(shí)，其階因此，在構(gòu)造線性多步法時(shí)，要兼顧根條件與精度階兩方面。利用關(guān)系式確定r(l)和s(l)線性多步法是由其特征多項(xiàng)式r(l)和s(l)所確定的,而這兩個(gè)多項(xiàng)式又有其內(nèi)在聯(lián)系，即它們滿足一定的關(guān)系式。如果給定r(l)和s(l)兩個(gè)多項(xiàng)式之一，利用上述關(guān)系式，另一個(gè)多項(xiàng)式就可以唯一確定。具體地說，如果給定s(l),利用上述關(guān)系式可以唯一確定r(l)，使方法（3.2）的p≥k階；如果給定利用上述關(guān)系式可以唯一確定s(l),使方法（3.2）的p≥k+1階。然，要確定k步Gear方法，最方便的作法是令再令，則可寫成把和展成的冪級(jí)數(shù)，然后整理成（1+z）的冪級(jí)數(shù)即可得到的表達(dá)式，從而得到k步k階Gear方法。例1給定試確定相應(yīng)的。解：我們有舍去得，對(duì)應(yīng)的一步一階公式為：隱式的Euler方法。例2給定試確定相應(yīng)的。解：我們有舍去，得對(duì)應(yīng)的2步2階Gear公式為：或者3．2（零）穩(wěn)定定義3.2如果存在常數(shù)C（不依賴h和多步法（3.2）的解）和h0＞0，使和多步法（3.2）的任意解{un}和{vn}（初值不同）恒有（3.14）則稱多步法（3.2）是穩(wěn)定（stable）這說明，對(duì)一切充分小的h,多步法（3.2）的解連續(xù)地依賴于初值。定理3.1設(shè)r(l）是形如（3.11）的第一特征多項(xiàng)式，則多步法(3.2)穩(wěn)定的充分必要條件是r(l)滿足根條件。單位圓內(nèi)(︱l︱≤1)，且位于單位圓上的都是即r(l)的所有特征值在單根。證明：必要性，將多步法（3.2）用于方程。此時(shí)（3.2）簡(jiǎn)化為：其解形如，又是上述k階齊次差分方程的平凡解，此時(shí)不等式為：即關(guān)于和一致有界。而當(dāng)時(shí)，，因此滿足根條件。充分性，{un}和{vn}是（3.2）任意兩個(gè)解，則令則滿足（3.15）其中（3.16）設(shè)，關(guān)于滿足Lipschitz條件：則引進(jìn)K維列向量和以及階矩陣將（3.15）寫成向量形式：逐次遞推，得（3.18）今設(shè)r(l)滿足根條件，則由引理1.1，矩陣{Cn}一致有界。以表示向量的歐氏范數(shù)，‖C‖表示與向量的歐氏范數(shù)相容的矩陣范數(shù)，則存在常數(shù)M，使得（3.19）又（3.20）于是有（3.18）-（3.20）得從而從而其中進(jìn)一步取最后利用（1.25式—Gronwall不等式（離散型）就得到這就證明了多步法（3.2）穩(wěn)定。對(duì)Adams外插法和Adams內(nèi)插法，相應(yīng)的第一特征多項(xiàng)式為：除單根l=1在單位圓周上外，其余的重根l=0都在單位圓周內(nèi)部,所以Adams法穩(wěn)定。型如稱為Nystr?m法，相應(yīng)的隱式方法稱為廣義Milne法，其相應(yīng)的第一特征多項(xiàng)式則有（重根），滿足根條件，所以穩(wěn)定。特別地，Milne法（2.39）穩(wěn)定。例2初值問題精確解為。考慮線性二步法：取步長(zhǎng)h=0.1，初值u0=1，附加值：當(dāng)a≠-5時(shí)是二階方法，當(dāng)a=-5時(shí)是三階方法當(dāng)a=-5時(shí)有其第一特征多項(xiàng)式：則有不滿足根條件，所有不穩(wěn)定。當(dāng)a=0時(shí)二步二階法，其第一特征多項(xiàng)式：則有滿足根條件，所以穩(wěn)定。定理2如果解初值問題(3.1)的多步法(3.2)相容且穩(wěn)定，則當(dāng)h→0時(shí)數(shù)值解。若當(dāng)且（3.2）是P階方法，則還有誤差估計(jì)式證明設(shè)u(tn）是初值（3.1）的解，un是多步法（3.2）的解，則u(tn)和un分別滿足（3.25）令則滿足（3.26）其中（3.27）設(shè)關(guān)于滿足Lipschitz條件：則又若k步法，且為P階方法，則有于是（3.26）可寫成（3.28）比較（3.28）與（3.15），若取，則應(yīng)有（3.18）成立。只是，有估計(jì)式（3.29）若k步法(3.2)穩(wěn)定，則(3.19)成立，于是和(3.21)平行地有：特別地，從而最后利用（1.25）-Gronwall不等式（離散型）就得到若當(dāng)則。注：教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)誤差估計(jì)，穩(wěn)定性原理討論、練習(xí)、作業(yè)P292

章節(jié)名稱3.4絕對(duì)穩(wěn)定與相對(duì)穩(wěn)定第4周第1次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求絕對(duì)穩(wěn)定性定理，相對(duì)穩(wěn)定性定理教學(xué)內(nèi)容提要備注零穩(wěn)定性是在h→0的情況下得到的，它等價(jià)于收斂性，這樣的穩(wěn)定性也稱漸進(jìn)穩(wěn)定性。無論從理論上還是從應(yīng)用上看，多步法都必須是穩(wěn)定的。但是這種穩(wěn)定性有兩個(gè)限制：要求h∈(0,h0)充分?。╤→0）；只允許初始數(shù)據(jù)有誤差，以后各步計(jì)算要精確。而在實(shí)際計(jì)算過程中，一方面，在計(jì)算時(shí)步長(zhǎng)h是固定的，由于計(jì)算條件的限制不可能取任意的小，更不要說h→0；另一方面，每一步計(jì)算總會(huì)產(chǎn)生舍入誤差。因此，從實(shí)際計(jì)算角度來看，反而要求步長(zhǎng)盡可能的大些，并要考慮計(jì)算方法對(duì)舍入誤差的敏感性。這就是計(jì)算（數(shù)值）穩(wěn)定性問題。數(shù)值穩(wěn)定性問題不但與計(jì)算公式有關(guān)，而且與微分方程本身的性質(zhì)有關(guān)。因此，需要研究當(dāng)步長(zhǎng)h固定時(shí)用方法（3.2）計(jì)算，若初始近似或計(jì)算過程有誤差,對(duì)以后計(jì)算結(jié)果的影響是否增長(zhǎng)，如果誤差不增長(zhǎng)這個(gè)方法就是計(jì)算穩(wěn)定的，實(shí)際對(duì)于一個(gè)相容且漸進(jìn)穩(wěn)定的方法，當(dāng)步長(zhǎng)h取不同時(shí)計(jì)算結(jié)果差別很大。例用3階顯式Adams公式求初值問題的數(shù)值解。步長(zhǎng)分別取為及解此問題的精確解為u(t)=，公式的第一特征多項(xiàng)式為：滿足根條件，是穩(wěn)定的。但當(dāng)h取不同時(shí)計(jì)算結(jié)果差別很大，見表這個(gè)例題說明步長(zhǎng)h=0.00125時(shí)各點(diǎn)誤差很小，而h=0.125時(shí)誤差增長(zhǎng)很快，它表明零穩(wěn)定方法如h取得不合適計(jì)算也是不穩(wěn)定的，甚至于有的方法盡管它是零穩(wěn)定的但計(jì)算時(shí)不管步長(zhǎng)取多么小都不能使它計(jì)算穩(wěn)定，如Milne方法。因此，多步法（3.2）還應(yīng)研究，當(dāng)步長(zhǎng)h固定時(shí)計(jì)算的穩(wěn)定性所謂計(jì)算(數(shù)值)的穩(wěn)定性與(零)穩(wěn)定性差別是h不趨于零，是固定的值。另外這樣定義依賴于f，使對(duì)方法的穩(wěn)定性分析產(chǎn)生困難。為解決這一困難事判斷方法的穩(wěn)定性不依賴于f通常都把方法應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)方程。設(shè)初值問題為(3.34)其中為復(fù)常數(shù)且Re()＜0，將方法（3.2）用于實(shí)驗(yàn)方程，由于,，故方法(3.2)中右端是關(guān)于(j=0,…,k)的線性函數(shù)。絕對(duì)和相對(duì)穩(wěn)定性此時(shí)線性k步法(3.2)化為k階線性齊次差分方程或其中。在實(shí)際計(jì)算中，每一步計(jì)算總會(huì)產(chǎn)生舍入誤差。得到的是的近似值，滿足（3.37）=η如前引進(jìn)k維列向量和以及階矩陣其中假定充分小使得，則可將（3.37）寫成向量向量形式：逐次遞推，得要使得舍入誤差的影響是可控制的，即而使得上述不等式成立當(dāng)且僅當(dāng)矩陣的特征方程（3.42）的根都在單位圓內(nèi)（︱︱＜1)。其中事實(shí)上，當(dāng)矩陣的特征根都在單位圓內(nèi)時(shí)，有的譜半徑，則存在一種矩陣的算子范數(shù)，使得。則存在常數(shù)使即定義3.3稱線性K步法關(guān)于絕對(duì)穩(wěn)定（absolutelystable）如果特征方程（3.42）的根都在單位圓內(nèi)。若存在區(qū)間，使多步法對(duì)都絕對(duì)穩(wěn)定，則稱為絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域（區(qū)間）。根據(jù)定義，判別一個(gè)方法是否絕對(duì)穩(wěn)定只要考慮它的差分方程的特征多項(xiàng)式（3.42）的跟，故也稱（3.42）為穩(wěn)定性多項(xiàng)式。例33階顯示Adams公式：的穩(wěn)定性多項(xiàng)式為：，當(dāng)時(shí)，，故特征方程為它的根這是因?yàn)椋杉纯芍蕦?duì)是絕對(duì)穩(wěn)定的。而當(dāng)時(shí)，特征方程為：注意故在中有一個(gè)根，故方法對(duì)是絕對(duì)不穩(wěn)定的。結(jié)論：存在著（零）穩(wěn)定而不是絕對(duì)穩(wěn)定的情況定理3.3（絕對(duì)穩(wěn)定性的必要條件）一個(gè)相容、穩(wěn)定的多步法若絕對(duì)穩(wěn)定，則m＜0(當(dāng)m為實(shí)數(shù)時(shí))。證明：因多步法相容、穩(wěn)定，故1必為r(l)的單根，即，但。設(shè)k階代數(shù)方程的根為：則必有唯一的根，不妨設(shè)當(dāng)其余根和1保持一個(gè)正距離。比如當(dāng)。又滿足，若方法為階，則從而將左端分解因式為：因，當(dāng)。故除第一個(gè)因子外，其余因子均有正下界，即是與無關(guān)的正數(shù)）因此由于方法的絕對(duì)穩(wěn)定性知恒成立，又，故必有因此討論Milne法的絕對(duì)穩(wěn)定性。Milne法為：取。其特征方程為：其二根之和為：由(3.34)及Milne法的階為p=4,則必有一根比如，顯然，不能同時(shí)滿足，故Milne法不絕對(duì)穩(wěn)定。更直接的證明：取則=由定理3.3故有不可能滿足（3.44）中的-(1-c)＜b，所以Milne法不絕對(duì)穩(wěn)定?？傊琈ilne法對(duì)任何h＞0都不是的絕對(duì)穩(wěn)定，這是Milne法計(jì)算上不能單獨(dú)使用的原因。顯然穩(wěn)定區(qū)域越大，則方法的適應(yīng)性越強(qiáng)，因此也更有越。對(duì)于一般的非線性問題，不是常數(shù)，此時(shí)可取的界或的一個(gè)或多個(gè)代表值，為最大容許步長(zhǎng)。k=1～4的隱式Adams類方法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間（m＜0為實(shí)數(shù)）。步階絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間12（-∞，0）23（-6.0，0）34（-3.0，0）45（-1.8,0）檢驗(yàn)絕對(duì)穩(wěn)定性歸結(jié)為檢驗(yàn)特征方程(3.42)的根是否在單位圓內(nèi)對(duì)此有很多判別法，如Schur準(zhǔn)則、軌跡法等等。下面我們給出一種簡(jiǎn)單的、常用的判別法。實(shí)系數(shù)二次方程的根在單位園內(nèi)的充分必要條件為:實(shí)系數(shù)三次方程的三個(gè)根按模小于1的充分必要條件為：這些結(jié)論的證明，可參見蔣爾雄等編《線性代數(shù)》（人民教育出版社，1979）例證明求解一階常微分方程初值問題：的差分格式收斂并求局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)、絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間。解：由差分格式可知，令得則其特征值滿足根條件：。注意，從而故此為隱式二步三階法，其局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)為：又由而使得的充要條件為：而自然成立?，F(xiàn)在再由得即有可得其卻對(duì)穩(wěn)定區(qū)間：。定理3.3指出，僅當(dāng)時(shí)，多步法才能絕對(duì)穩(wěn)定。而當(dāng)時(shí)，計(jì)算中將使誤差增長(zhǎng)，但此種誤差增長(zhǎng)是否嚴(yán)重呢？考察方程（3.34）和多步法（3.35）。方程（3.34）的解形如假定多步法相容且穩(wěn)定，則1必是r(l)的單根，其余根按模小于等于1，重根按模小于等于1。特征方程必有一根從而誤差方程（3.37）含有解若誤差方程的解占優(yōu)，則誤差的增長(zhǎng)速率(m＞0)和解的增長(zhǎng)速率類似，一般說來這是可以接受的。為此引進(jìn)另一種穩(wěn)定性概念。α,∈?h定義3.4稱線性k步法關(guān)于相對(duì)穩(wěn)定（relativelystable),如果特征方程（3.42）的根滿足否則說是相對(duì)不穩(wěn)定。若存在區(qū)間()，使多步法對(duì)都相對(duì)穩(wěn)定，則稱為相對(duì)穩(wěn)定區(qū)域（區(qū)間）。現(xiàn)在再來看Milne法，已知滿足根條件即穩(wěn)定，且即相容。而不絕對(duì)穩(wěn)定，僅當(dāng)時(shí)，故Miline法相對(duì)穩(wěn)定，其相對(duì)穩(wěn)定區(qū)域?yàn)椋?,+∞）但注意，若不知道的符號(hào)，則Milne法仍然不能用。例，見書上。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)絕對(duì)穩(wěn)定性討論、練習(xí)、作業(yè)P443

章節(jié)名稱§4預(yù)估-校正算法§5單步法第4周第2次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求預(yù)估-校正算法的構(gòu)造原理單步法的泰勒法教學(xué)內(nèi)容提要備注預(yù)估-校正算法我們知道線性k步隱式方法雖然具有穩(wěn)定好、精度高的特點(diǎn)，但是每個(gè)隱式方法關(guān)于待定的un+k一般是非線性的，雖然能利用一些迭代法（例如簡(jiǎn)單迭代法，或Newton迭代法）來求解，但若un+k的初始近似值選得不好，則其計(jì)算量會(huì)比利用一次顯式公式大得多。我們既要利用隱式方法的穩(wěn)定性及精確性，又要利用顯式公式的簡(jiǎn)易性，把兩者結(jié)合起來，做到取長(zhǎng)補(bǔ)短。辦法之一就是先用同階的顯式公式確定較好的迭代初值，然后再按隱式方法迭代一兩次達(dá)到精度要求。這就是所謂的預(yù)估-校正算法（格式）。解初值問題的線性k步隱式方法形如其中。若已求出，則（4.1）關(guān)于為非線性方程，通常用如下迭代法求解：（4.2）為給定的迭代初值。顯然若其中，L為關(guān)于的Lipschitz常數(shù)，初值選擇適當(dāng)，則迭代法（4.2）收斂。注意：兩式相減得：顯然隱式方法(4.1)每一步的計(jì)算量取決于迭代法(4.2)的次數(shù)，所以選好初值非常重要。最自然的一種方法是用顯式多步法計(jì)算初值，比如用稱(4.3)為預(yù)估算式（P算式），(4.2)為校正算式（C算式），統(tǒng)稱(4.2)，(4.3)為預(yù)估-校正算法，簡(jiǎn)稱預(yù)-校算法(Predictor-Corrector)。由于已經(jīng)用了預(yù)估算式，因此，一般來說，校正次數(shù)并不很多。一個(gè)極端的情形是允許迭代法(4.2)不斷進(jìn)行，直到不等式成立。其中是預(yù)先指定的容許誤差。這是一種迭代到收斂的預(yù)-校算法。其缺點(diǎn)是，對(duì)迭代不加限制，使計(jì)算函數(shù)值的工作量過大。這種校正次數(shù)過多的方法不宜使用。為此，我們提出另一種限制迭代次數(shù)的算法：P：E：C：首先利用預(yù)估算式得到，然后計(jì)算接著在使用校正算式，這就完成了一步校正，然后對(duì)重復(fù)EC過程，循環(huán)校正M次止。則預(yù)估一次校正M次的算法可即為：上述預(yù)校格式是以最后進(jìn)行校正結(jié)束的。此時(shí)已經(jīng)得到了，由于未在計(jì)算，因此下一步預(yù)估算式仍然利用顯然比更近似。因此還可以設(shè)計(jì)一種算法，每一步算出后，利用它將算出，供下一步預(yù)估算式使用。這種預(yù)估-校正算法記為：P(EC)ME。其計(jì)算過程如下：P：E：C；E：預(yù)估-校正算法舉例一個(gè)好的預(yù)估-校正計(jì)算方案應(yīng)該計(jì)算穩(wěn)定，具有所需精度并且節(jié)約計(jì)算量。下面列舉幾個(gè)常見的預(yù)估-校正算法。例1Adams四階預(yù)估-校正算法。取四階Adams外插法為預(yù)估算法，四階Adams內(nèi)插法為校正算法，即二單步法Euler是最簡(jiǎn)單的單步法。單步法不需要附加初值，所需的存儲(chǔ)量小，改變步長(zhǎng)靈活，但線性單步法的階最高為2。本節(jié)將介紹非線性（關(guān)于f）高階單步法，重點(diǎn)是Runge-Kutta法。5.1Taylor展開法設(shè)初值問題的解充分光滑，將u(t)在處用Taylor公式展開：其中令（5.3）則可將（7-5）改寫成為舍去余項(xiàng)，則得。一般而言，若已知，則（5.5）這是一個(gè)單步法，局部截?cái)嗾`差為O()，由（5.2）（5.3），可知關(guān)于非線性。當(dāng)p=1時(shí)，它是Euler法。由于計(jì)算的工作量太大，一般不直接用Taylor展開法作數(shù)值計(jì)算，但可用他計(jì)算附加值。例：用4階Taylor公式求如下初值問題：分別取h=0.25,0.125并比較結(jié)果。首先，要求出，,必須在點(diǎn)處的上述各階導(dǎo)數(shù)值，經(jīng)計(jì)算得：然后將導(dǎo)數(shù)和h=0.25代入（5.5）式，計(jì)算出：計(jì)算出解點(diǎn)為（要計(jì)算u2必須在點(diǎn)處的上述各階導(dǎo)數(shù)值，計(jì)算量非常大，手算十分枯燥，經(jīng)計(jì)算得：然后將導(dǎo)數(shù)和代入（5.5）式得計(jì)算出解點(diǎn)經(jīng)大量的計(jì)算后，得到用4階Taylor公式求如上初值問題的如下的數(shù)值結(jié)果，見下表。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)單步法公式的構(gòu)造法Taylor法討論、練習(xí)、作業(yè)無

章節(jié)名稱4單步法公式（2）第5周第1次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求掌握單步Runge—Kutta公式的構(gòu)造教學(xué)內(nèi)容提要備注從前面討論可見，構(gòu)造高階單步法的關(guān)鍵在于構(gòu)造，使中的局部截?cái)嗾`差階盡可能高。前面我們利用泰勒級(jí)數(shù)法構(gòu)造了一個(gè)歐拉法，這時(shí)，局部截?cái)嗾`差與同階，這是一個(gè)一階格式。為了要求，利用泰勒級(jí)數(shù)法得到一個(gè)二階格（1.27）這時(shí)我們有格式(1.27)計(jì)算過程中要求函數(shù)的二個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在處的值，比較麻煩，可以預(yù)計(jì)，利用泰勒級(jí)數(shù)法推導(dǎo)出的高階格式需要求更多的偏導(dǎo)數(shù)值，計(jì)算繁復(fù)。那么是否可以避免計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)，而得到高階單步格式的呢？分析梯形法的預(yù)報(bào)校正格式(1.20)二級(jí)二階方法。一般而言，二級(jí)二階格式可以寫成(1.28)適當(dāng)選擇參數(shù)，使局部截?cái)嗾`差由因此要求滿足這是一個(gè)含有四個(gè)參數(shù)、三個(gè)方程的方程組,因此由一個(gè)自由參數(shù)，解答不唯一。(1)取，則,即得二級(jí)二階法(2)令，由此得算式為(3)取，則有根據(jù)同樣的思想,可以構(gòu)造更高階精度的Runge-Kutta方法三級(jí)三階Runge-Kutta法一般可以寫成：故要求，必須有令則，，故有三級(jí)三階算法令，解得，故有三級(jí)三階算法式(1.36)，(1.37)是三級(jí)三階格式。格式的局部截?cái)嗾`差為?？梢栽O(shè)計(jì)四級(jí)四階格式（1.38）為了達(dá)到四級(jí)四階格式，可得13個(gè)參數(shù)滿足11個(gè)方程經(jīng)典四級(jí)四階格式取定，則得（1.39）這是最為著名的經(jīng)典四級(jí)四階格式。格式的局部截?cái)嗾`差為。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)各級(jí)各階格式構(gòu)造過程討論、練習(xí)、作業(yè)P371

章節(jié)名稱第二章橢圓型方程的有限差分法2.1差分逼近的基本概念第5周第2次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求差分逼近的思想和誤差估計(jì)教學(xué)內(nèi)容提要備注§2.1差分逼近的基本概念1.1區(qū)間的剖分1.2微分方程離散(差分方程）定義1.1定義1.2定義1.3定理1.1（相容+穩(wěn)定=收斂）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)誤差估計(jì)得計(jì)算討論、練習(xí)、作業(yè)無

章節(jié)名稱2一維差分格式2.1直接積分法2.2積分插值法第6周第1次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求直接積分法構(gòu)造一維差分格式，積分插值法構(gòu)造一維差分構(gòu)造教學(xué)內(nèi)容提要備注2.1直接差分化2.2積分插值法2.3變分-差分法數(shù)值計(jì)算中，我們學(xué)習(xí)過Lagrange插值多項(xiàng)式公式：教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)變分-差分法構(gòu)造一維差分格式討論、練習(xí)、作業(yè)P672

章節(jié)名稱邊值條件的處理第6周第2次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求掌握邊值條件的處理，矩形網(wǎng)的差分格式構(gòu)造教學(xué)內(nèi)容提要備注2.4邊值條件的處理3.1五點(diǎn)差分格式3.2邊值條件的處理教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)截?cái)嗾`差分析討論、練習(xí)、作業(yè)P751

章節(jié)名稱3.3極坐標(biāo)形式的差分格式§4三角網(wǎng)的差分格式第7周第1次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求掌握極坐標(biāo)形式差分格式的構(gòu)造形式理解三角網(wǎng)的差分格式教學(xué)內(nèi)容提要備注3.3極坐標(biāo)形式的差分格式四三角網(wǎng)的差分格式教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)三角網(wǎng)格差分格式討論、練習(xí)、作業(yè)P802

章節(jié)名稱第五章拋物型方程的有限差分法5.1最簡(jiǎn)差分格式第7周第1次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求最簡(jiǎn)差分格式，及格式的誤差分析§1最簡(jiǎn)差分格式考察Richardson格式的穩(wěn)定性表1r=1/2時(shí)Richardson格式的誤差傳播備注教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)最簡(jiǎn)差分格式的誤差分析討論、練習(xí)、作業(yè)P1122

章節(jié)名稱§2穩(wěn)定性與收斂性第7周第2次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求掌握穩(wěn)定性的判別方法，收斂性概念教學(xué)內(nèi)容提要備注2.2判別穩(wěn)定性的直接法教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)收斂性判別討論、練習(xí)、作業(yè)P1212

章節(jié)名稱§3.3.1Fourier方法第8周第1次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求掌握Fourier方法教學(xué)內(nèi)容提要備注教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)方程組的Fourier方法討論、練習(xí)、作業(yè)P1271

章節(jié)名稱3.3.2判別差分格式穩(wěn)定的代數(shù)準(zhǔn)則3.4變系數(shù)拋物方程第9周第1次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求掌握判別差分格式穩(wěn)定的代數(shù)準(zhǔn)則教學(xué)內(nèi)容提要備注3.4變系數(shù)拋物線方程教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)差分格式穩(wěn)定的代數(shù)準(zhǔn)則的應(yīng)用討論、練習(xí)、作業(yè)P1322

章節(jié)名稱3.5分?jǐn)?shù)步長(zhǎng)法第9周第2次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求掌握交替方向隱士－ＡＤＩ法計(jì)算預(yù)－校法和局部一維法——ＬＯＤ法的計(jì)算教學(xué)內(nèi)容提要備注3.5.1ADI法3.5.2預(yù)-校法教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)預(yù)－校正算法計(jì)算討論、練習(xí)、作業(yè)ｐ１４１１

章節(jié)名稱第六章雙曲型方程的有限差分法§1波動(dòng)方程的差分逼近第10周第1次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求波動(dòng)方程差分格式的構(gòu)造及穩(wěn)定性分析教學(xué)內(nèi)容提要備注線性雙曲型方程定解問題，具體來講。討論的主要對(duì)象為：（a）一階線性雙曲型方程（b）一階常系數(shù)線性雙曲型方程組其中A,為s階常數(shù)方陣，u為未知向量函數(shù)。（c）二階線性雙曲型方程（波動(dòng)方程）為非負(fù)函數(shù)。（d）二或三維空間變量的波動(dòng)方程，（e）擴(kuò)散方程§4.1波動(dòng)方程的差分逼近波動(dòng)方程及其特征線性雙曲型偏微方程的最簡(jiǎn)單模型是一維波動(dòng)方程：其中是常數(shù)。而（1.1）可表示為：進(jìn)一步有由于當(dāng)時(shí)為的全導(dǎo)數(shù)。事實(shí)上故由此定出兩個(gè)方向從而得稱其為特征方向。解常微分方程（1.3）得到兩族直線和稱其為特征。特征在研究波動(dòng)方程的各種定解問題時(shí)，起著非常重要的作用。比如，我們可通過特征表示（1.1）得通解。（行波法、特征線法）由復(fù)合函數(shù)的微分法則同理可得將和代入（1.1）可得：即有求其對(duì)C2的積分得：其中是的任意可微函數(shù)。求其對(duì)的積分得（1.5）其中和均為任意的二次連續(xù)可微函數(shù)。或可看作以±a向左或向右移動(dòng)的（1.5）為（1.1）的通解，即包含兩個(gè)任意函數(shù)的解。對(duì)于一般問題，（1.1）的通解是無意義的，必須確定函數(shù)和的具體形式。若考慮的問題是經(jīng)典的Cauchy問題，如長(zhǎng)弦的震動(dòng)，即在x軸的初值為：將（1.5）式代入上式，則有而則有并對(duì)積分一次，得與（i）式聯(lián)立求解，得將其回代到通解中，即得（1.1）在（1.5）條件下的解：（1.6）即為法國(guó)數(shù)學(xué)家JeanLeRondd’Alembert(1717-1783)提出的著名的D’Alembert公式。D’Alembert公式還給出了解的穩(wěn)定性，即當(dāng)初始條件（1.5）僅有微小的誤差時(shí)，其解也只有微小的改變。如有兩組初始條件：有那么，相應(yīng)的有即顯然，當(dāng)t有限時(shí)，解是穩(wěn)定的。此外，由D’Alembert公式可以看出，解u在點(diǎn)處的值僅依賴于軸上區(qū)間內(nèi)的初始值。也即僅由該區(qū)間內(nèi)的信息確定,與其他點(diǎn)上的初始條件無關(guān)。故三角形△ABC稱為依存區(qū)域，底邊即區(qū)間稱為點(diǎn)依存區(qū)間。它是過點(diǎn)的兩條斜率分別為±1/a的直線在x軸上截得的區(qū)間。顯格式現(xiàn)在構(gòu)造（1.1）的差分逼近。取空間步長(zhǎng)h和時(shí)間步長(zhǎng)t，用兩族平行直線作矩形網(wǎng)格。于網(wǎng)點(diǎn)處Taylor展開成代入（1.1）,并設(shè)去截?cái)嗾`差，則得差分格式：這里表示于網(wǎng)點(diǎn)處的近似值。初值條件（1.5）用下列差分方程近似：注意:(1.7）的截?cái)嗾`差階是，而的截?cái)嗾`差階僅是。為此需要提高(1.9)的的精度,也可用中心差商代替，即為了將用n的正整數(shù)表示，在（1.7）中令，則得進(jìn)一步，其中并用（1.10）式代入上式得即（1.11）這樣利用(1.8),(1.10)(或(1.11))可以算出初始層(n=0)及第一層(n=1)各網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值。然后利用（1.7）或顯式三層格式這可以逐層求出任意網(wǎng)點(diǎn)值。以上顯式三層格式也可用于求解如下混合問題：（1.13）取除（1.7）～（1.9）外。再補(bǔ)充邊值條件（1.14）1．3穩(wěn)定性分析下面我們要討論（1.7）的穩(wěn)定性。為引用Fourier方法，我們把波動(dòng)方程（1.1）化成一階偏微分方程組，相應(yīng)地把顯式三層格式（1.7）化成二層格式。一種簡(jiǎn)單的做法是引進(jìn)變量，于是（1.1）化為這樣會(huì)使得初值u(x,0)和v(x,0)不適定（不唯一），更合理的方法是再引進(jìn)一個(gè)變量，注意到：可將（1.1）化為若令則（1.5）可寫成相應(yīng)地，將（1.7）寫成等價(jià)的雙層格式：（1.17）即其中?？芍苯域?yàn)證之?，F(xiàn)在用Fourier方法分析（1.17）的穩(wěn)定性。為此，考慮具有周期邊值條件的混合問題。即取代入（1.17）消去公共因子進(jìn)一步其中從而有為增長(zhǎng)矩陣，為網(wǎng)比。則差分方程（1.17）穩(wěn)定的充分必要條件是矩陣族：一致有界注意的特征方程為它的根按模小于等于1的充分必要條件是：即（1.19）這是差分方程(1.17)穩(wěn)定的必要條件—VonNeumann條件。我們進(jìn)一步討論(1.17)的充分條件，若可一致對(duì)角化。當(dāng)網(wǎng)格比而時(shí)，由判別法可知?jiǎng)t有兩個(gè)共軛復(fù)根：即且由于矩陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)，故特征向量和線性無關(guān)。事實(shí)上，其中由對(duì)和正規(guī)化后，這里，第五章定理3.3知，G(q)可一致對(duì)角化，即H-1GH=A,其中即H的列是由構(gòu)成。這樣VonNeumann條件還是充分條件。當(dāng)網(wǎng)比時(shí)，。故對(duì)于VonNeumann條件充要條件。當(dāng)網(wǎng)比，于，有則，即有重根。從而那么，存在相似變換s使得從而顯然關(guān)于無界，故矩陣族：不一致有界。結(jié)論，差分方程(1.17)穩(wěn)定的充分必要條件是網(wǎng)比穩(wěn)定性條件（1.19）有一直觀的幾何解釋，從方程（1.12）可看出，依賴于前兩層的值：而這四個(gè)值又依賴于，依賴于：；依賴于：；依賴于：；依賴于：；以此類推，可知，依賴于初始層的上的下列值：因此,稱x軸上含于區(qū)間[xj+n]的網(wǎng)點(diǎn)為差分解的依存域。它是軸上被過和以及和的兩條直線：即切割下來的區(qū)間所覆蓋的網(wǎng)域。而過的兩條特征線為：差分格式穩(wěn)定的必要條件為：1或可見差分格式穩(wěn)定的必要條件是：差分解的依存域必須包含微分方程解的依存域,否則差分格式不穩(wěn)定。事實(shí)上，微分方程的解的依存域?yàn)槌跏季€上的區(qū)間[],其中為點(diǎn)為點(diǎn)（見圖）。那么，當(dāng)時(shí)，亦即或時(shí)，那么，當(dāng)時(shí)，亦即或時(shí)，用依存域的概念證明：當(dāng)r＞1時(shí)，差分解不收斂。如圖，當(dāng)r＞1時(shí)，,對(duì)于固定的，讓網(wǎng)格步長(zhǎng)變小，但網(wǎng)比r保持不變，依存域和不變。顯然若改變區(qū)間和上的值，但是[P,Q]上的初值不變,則可取不同值，而當(dāng)，r保持不變)時(shí)，是一串確定的數(shù)列，它不可能收斂到不同的，故差分解不收斂于微分方程的解。當(dāng)r＞1時(shí)，差分方程穩(wěn)定，因而差分解收斂。Courant等證明，當(dāng)r=1時(shí)，差分解仍穩(wěn)定，收斂。Courant等證明，當(dāng)r=1時(shí)，差分解仍穩(wěn)定，收斂。但是要求有更光滑的初值。習(xí)慣上也稱r≤1為Courant條件或C-F-L（Courant-Fridrichs-Lewy）條件。隱式差分格式隱式格式近似有多種，如：或CN格式為了得到絕對(duì)穩(wěn)定的差分格式，用第n-1層、n層、n+1層的中心差商的權(quán)平均去逼近uxx得到下列差分格式或其中是參數(shù)?？梢宰C明，對(duì)于，差分格式絕對(duì)穩(wěn)定。時(shí)，差分格式的充要條件是：當(dāng)為顯格式（1.7），一個(gè)常用的隱式格式是取此時(shí)，或等價(jià)于以解方程組（令建立的格式：其中：增長(zhǎng)矩陣為：顯然，有即為酉陣且的特征值按模等于1.因此：從而矩陣族：一致有界，即（1.21）絕對(duì)穩(wěn)定。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)穩(wěn)定性分析討論、練習(xí)、作業(yè)Ｐ１５８，２，３

章節(jié)名稱4.2一階線性雙曲方程組第10周第2次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求討論一階線性雙曲方程組的差分解法教學(xué)內(nèi)容提要備注考慮一階線性雙曲型方程組初值問題其中，為μ維列向量，A為μ階方陣，它有μ個(gè)相異實(shí)特征值，即我們把4.3的有關(guān)一階偏微分方程式差分格式推廣到方程組情形4.4.1Lax-Friedrichs格式設(shè)A為實(shí)常數(shù)矩陣，類似單個(gè)方程式的情形，Lax-Friedrichs格式為差分算子的增長(zhǎng)矩陣為設(shè)矩陣A的特征值為，則的特征值為由此Lax-Friedrichs格式穩(wěn)定的必要條件為（4.53）為矩陣A的譜半徑。如果A為實(shí)對(duì)稱矩陣，因，為G的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，故G為正規(guī)矩陣，條件(4.53)給出了格式穩(wěn)定的充分條件。，則Lax-Friedrichs格式為（4.54）這里，格式(4.54)穩(wěn)定的必要條件為Ω為微分方程求解區(qū)域4.4.2Crank-Isaacson-Rees格式考慮一階雙曲型偏微分方程組（4.55）的Courant-Isaacson-Rees格式。首先考慮A為實(shí)常數(shù)矩陣的情形，方程組為嚴(yán)格雙曲型，矩陣A有μ個(gè)相異實(shí)特征值，及μ個(gè)相互獨(dú)立的左特征向量方程組(4.55)的正規(guī)形式為（4.56）由關(guān)于一階偏微分方程式的Courant-Isaacson-Rees格式的構(gòu)造方法知如果，則第i個(gè)方程的差分格式為如果，則第i個(gè)方程的差分格式為這就是一階雙曲型方程組的Courant-Isaacson-Rees格式，它是一階精度的差分格式。令，則格式可表示為（4.59）令