1-雙曲型方程組1-雙曲型方程組1-雙曲型方程組雙曲型守恒律方程組擬線性雙曲型守恒律方程初值問題擬線性雙曲型守恒律方程組初值問題的一般形式為wfw,x,t0t0x（1）wx,0w0x,x其中w1x,tf1wf1w1,w2,,wmw2x,tf2wf2w1,w2,,wmwx,t，fwwmx,tfmwfmw1,w2,,wm以及w0都是m維向量，分別叫做守恒變量、通量和初值。在初值問題（1）中，要求守恒變量擁有緊支集，即：會(huì)合Sxwx,t0的閉包為有界集。進(jìn)而存在常數(shù)R0，使得：當(dāng)xR時(shí)，wx,t0；要求通量知足歸零條件，即：當(dāng)w0時(shí)，fw0。例1：單個(gè)守恒律方程初值問題ufu0,x,t0tx（2）ux,0x,x例2：一維氣體力學(xué)方程組初值問題wfw0,x,t0tx（3）wx,0w0x,x1其中（對(duì)于完好氣體，利用關(guān)系式E1p1u2，其中的是比熱比）12w1ww2uw3Ew2w2f1uw22w223w22ff2u2p1w31w3f3uEpw12w12w121w23w2w3w2w31w3w222w1w12w1w1守恒性任取AR，BR，將方程（1）在區(qū)間A,B上積分，得BBfw0AwdxdxtAx即dBfwB,tfwA,t0dtwdxA但依據(jù)A、B的采用，有fwA,t0，fwB,t0因此有dB0dtwdxA令A(yù)，B，就獲取dwx,tdx0（4）dt此式對(duì)隨意的t0都建立。這表示，wx,tdx是一個(gè)與時(shí)間沒關(guān)的常數(shù)，或許說，這個(gè)量是一個(gè)守恒量。對(duì)隨意的t0，再將（4）時(shí)在區(qū)間0,t上積分，得tdwx,dxd00d2也就是wx,tdxwx,0dx0進(jìn)而有wx,tdxwx,0dxw0xdx即wx,tdxw0xdx,t03.非守恒形式定義通量的Jacobi矩陣f1f1f1w1w2wmf2f2f2Awfw1w2wmwfmfmfmw1w2wm則方程組（1）可寫成wfwtw0x即wAw0（5）tx稱為方程組（1）的非守恒形式。例3：對(duì)于一維氣體力學(xué)方程組（3），0103w2232w21A2w122w11w3ww13w2ww2223232322w1w12w1w12w130103u23u121u3uEE31u2u2引入音速cp，則c2p11E1u21Eu222因此E1c2u2，于是上述Jacobi矩陣最后可寫成12010A3u23u12u2u21c21c232u2u2112雙曲型方程組對(duì)于方程（5），以及相應(yīng)的守恒形式（1），定義：若矩陣A的所有特色值都是實(shí)數(shù)，并且矩陣A是可對(duì)角化的，則稱方程（5）是雙曲型的。（注）對(duì)于“矩陣A是可對(duì)角化的”，有以下幾種等價(jià)的描繪：矩陣A是可對(duì)角化的：矩陣A能夠經(jīng)過相像變換，變換成一個(gè)對(duì)角矩陣D；存在可逆矩陣R，使得R1ARD是對(duì)角矩陣；矩陣A存在m個(gè)線性沒關(guān)的特色向量。事實(shí)上，以上述m個(gè)線性沒關(guān)的特色向量為列，就獲取矩陣R。例4：對(duì)于單個(gè)守恒律方程（2），矩陣A成為標(biāo)量aaufu，所以其特色值也是a。4不變性考慮因變量的變換，設(shè)w1(v1,v2,,vm)w2(v1,v2,,vm)wwvwm(v1,v2,,vm)則方程組（5）可寫成wvfwvvtwv0x定義因變量變換的Jacobi矩陣w1w1w1v1v2vmw2w2w2wv1v2vmPvwmwmwmv1v2vm則上式就是PvAPv0tx假如矩陣P可逆，就是vP1APv0tx記BP1AP，就是vBv0tx經(jīng)過因變量變換，雙曲型方程中的矩陣A變成了矩陣B。上述推導(dǎo)表示，B與A相像。假如A能夠相像于對(duì)角矩陣，則B也相像于對(duì)角矩陣。也就是說，5雙曲型方程組經(jīng)過因變量變換仍是雙曲型方程。或許說，方程組的雙曲性質(zhì)在因變量變換下?lián)碛胁蛔冃?。?：對(duì)于一維氣體力學(xué)方程組（3），假如用原變量表示，可寫成uu0txxuu1p0tuxxpupc2u0txx或?qū)懗蓇0u0u10utxpp0c2u記u0vu，B0u1p0c2u就是vBv0tx對(duì)于一維氣體力學(xué)方程組（3），假如將守恒變量w換成原變量v，例2中的Jacobi矩陣A變成了這里的矩陣B。依據(jù)雙曲性方程組的不變性，這兩個(gè)矩陣是相像的，進(jìn)而有相同的特色值。顯然，計(jì)算矩陣B的特色值更簡單些。事實(shí)上，由6u01uIB0u1uc2u0c2uuu22uucuc0c這樣，我們很簡單就求出了矩陣B，同時(shí)也是矩陣A的三個(gè)特色值1uc，2u，3uc特色線特色線是雙曲型方程的重要性質(zhì)，我們先經(jīng)過一個(gè)線化的模型方程對(duì)此張開討論?？紤]對(duì)流方程初值問題ì?抖u?u,t?0?+a=0?抖x?tí??u(x,0)=(x)???考慮x-t平面上由方程dx=a確定的一族平行直線（由于這里的dta為常數(shù)）。沿著這族直線中的隨意一條，x=x(t)成為t的函數(shù)，因此方程的解u=u(x(t),t)也是t的函數(shù)。因此有du抖udx抖u=+a=抖+抖=0Tu=常數(shù)dttxdttx也就是說，沿著這族曲線中的每一條，方程的解都是常數(shù)。這樣的曲線稱為該方程的特色線。進(jìn)而有以下結(jié)論：7對(duì)于雙曲型方程，沿著方程的特色線，方程的解為常數(shù)。如圖，對(duì)x-t平面（上半平面，t>0）上的任何一個(gè)點(diǎn)P(x,t)，設(shè)過P點(diǎn)的特色線與x(0)軸訂交于Qx,0點(diǎn)，依據(jù)上面的性質(zhì)，就有u(x,t)=uP=uQ=(x0)。（附）對(duì)于對(duì)流方程初值問題，x=at+bTx0=a?0b=b=x-at因此u(x,t)=(x-at)這樣，利用特色線的性質(zhì)，我們實(shí)質(zhì)上已經(jīng)獲取了初值問題的解。對(duì)于標(biāo)量守恒律方程u+?f(u)=0抖tx記a(u)=f￠(u)，可有非守恒形式8抖u+a(u)u=0抖tx此時(shí)，上面的所有推導(dǎo)依舊建立。沿一條特色線，由于u為常數(shù)，因此a(u)也是常數(shù)，因此特色線仍是直線。但對(duì)于不相同的特色線，u的變化致使特色線斜率a(u)的變化，因此此時(shí)的特色線不再是一族平行直線，這是非線性方程與線性方程之間的重要區(qū)別。行波罕見波壓縮波線性非線性其他，誠然初值問題的解仍可寫成u(x,t)=(x-a(u)t)但由于右端隱含了u，上式并沒有給出顯式的解。Riemann不變量再考慮擬線性雙曲型守恒律方程組。直接考慮非守恒形式wAw0tx依據(jù)方程組的雙曲性，有R1ARD。其中，矩陣D是對(duì)角矩陣，其對(duì)角線元素就是矩陣A的特色值j（j=1,2,L,m）；矩陣R是可逆矩陣，其9列向量rj就是對(duì)應(yīng)的右特色向量，即Arjjrj；還能夠夠證明，逆矩陣R1的行向量lTj就是對(duì)應(yīng)的左特色向量，即有l(wèi)TjAjlTj。于是，用lTj左乘方程組兩頭，可將方程組解耦，成為m個(gè)獨(dú)立的方程式lTjwt

jlTjw0（j=1,2,L,m）x此時(shí)，引入變量Rj，知足dRjlTjdw。則上式成為RjRj（j=1,2,L,m）j0tx于是，依據(jù)上一節(jié)的特色線理論，可定義（方程組的）第j族特色線Cj:dxjt而沿著其中的每一條特色線，都有Rj常數(shù)。因此將Rj稱為（方程組的）第j個(gè)Riemann不變量。（注）由lTjAjlTj，取轉(zhuǎn)置，得ATljjlj，因此矩陣A的左特色向量實(shí)質(zhì)上就是矩陣AT的右特色向量。在因變量變換wwv下，考慮行向量qT=lTjwlTjP，則而依據(jù)雙v曲型方程組的不變性，BP1AP，有qTB=lTjPBlTjPP1APlTjAPjlTjPjlTjPjqT因此qT恰巧就是矩陣B的左特色向量。此時(shí)，dRjlTjdwlTjwdvlTjPdvqTdvv這表示，Riemann不變量是雙曲型方程組在因變量變換下的不變量。10例6：對(duì)于一維氣體力學(xué)方程組，u0u00vu，B0u1，因此BTuc2p0c2u01u設(shè)qTq1,q2,q3是矩陣B的左特色向量，則BTqq，即BTIq0。對(duì)特色值2u，由BTuIq20，有方程組000q100c2q20，解得q20，q1c2q31

q3000取q3cv，則q1c2cvpcvcv，因此q2Tcv,0,1，進(jìn)而ppppdR2q2Tdvcvd1dpcvdlnpdlncvdlnpp因此R2cvlnpS就是熵。對(duì)特色值1,3uc，由BTucIq20，有方程組c00q101cc2q20，解得q10，q3q30cq21c0取q21，則q31，因此q1,3T0,1,1，進(jìn)而cc11dR1,3q1,3Tdvdu1dpc對(duì)絕熱等熵流動(dòng)，有dp2dc，因此p1cp2dc2p12dp1c1c2dcdcc1進(jìn)而dRdu2dcdu2c1,311最后獲取R1u2c，R3u2c118.Riemann問題考慮一個(gè)截面積不變的無量長直管，在直管內(nèi)的x=0處有一金屬膜片。在膜片左側(cè)（x<0）的管道內(nèi)充滿了一種氣體，其密度為1，壓力為p1；而在膜片右側(cè)（x>0）的管道內(nèi)則充滿了另一種氣體，其密度為2，壓力為p2。設(shè)在t=0時(shí)刻，金屬膜片被突然打破，考慮直管內(nèi)兩種氣體在破膜后的流動(dòng)。這一問題稱為激波管問題。能夠證明，激波管問題存在自相像解，即：所有的流動(dòng)參數(shù)都是組合自變量x的函數(shù)tu=u( )，p=p( )，=( )對(duì)于激波管問題的解，有以下的描繪（解的波系構(gòu)造）。12在t>0時(shí)刻，將產(chǎn)生兩個(gè)波，分別在兩種氣體中流傳。第一種氣體中的波記作L，向左流傳；第二種氣體中的波記作R，向右流傳。依據(jù)兩種氣體的狀態(tài)不相同，波L和R，既能夠是激波（強(qiáng)中止），也能夠是中心罕見波（弱中止）。第一種氣體經(jīng)過波L，達(dá)到新的常數(shù)狀態(tài)p=p3，=3；而第二種氣體經(jīng)過波R，也達(dá)到新的常數(shù)狀態(tài)p=p4，=4。由于是無粘流，兩種氣體不會(huì)摻混，兩者之間素來保持著一個(gè)接觸面，稱為接觸中止。但是這個(gè)接觸中止不是靜止不動(dòng)的，而是挪動(dòng)的（也就是會(huì)流傳的），這就形成了第三個(gè)波，記作M?？v上所述，激波管問題的解在x-t平面內(nèi)被上述三個(gè)波分紅了四個(gè)地區(qū)，每個(gè)地區(qū)內(nèi)的解都是常數(shù)。這些常數(shù)解的地區(qū)由各樣波分分開，以以下列圖所示。激波管問題能夠用一維氣體力學(xué)方程組中止初值問題wfw,x,t0t0x（6）wx,0wL,x0wR,0x來描繪，稱為Riemann問題。13弱解作為一個(gè)典型的例子，Riemann問題表示，雙曲型方程組的解其實(shí)不老是連續(xù)的、圓滑的，能夠產(chǎn)生中止。這樣的中止解顯然不能夠用傳統(tǒng)的方式來描繪，需要引進(jìn)弱解的見解。記x-t平面的上半平面（t30）為地區(qū)W，考慮函數(shù)會(huì)合V={vv蜽C1( ),suppv有界}任取v?V，則由suppv的有界性，必定存在T>0和有限區(qū)間輊，使得v在矩形地區(qū)輊輊的三條界限a,ba,b′0,T犏犏犏臌臌臌x=a、x=b和t=T以及界限以外的地區(qū)上等于零。v輊輊用上積分，得臌臌Tb驏抖f÷?w+蝌÷vdxdt=0?÷0a?抖x÷桫t分部積分14Tb驏抖v÷-?wv?-fvdt+wvdx=0蝌0+f÷dxdt+?÷?抖x÷桫GtG輊輊這里，表示矩形地區(qū)的界限。臌臌在組成G的四條邊上，v只在t=0這一條邊上有可能不等于零，而沿著這條邊，dt=0，因此上式中的界限積分變成蝌b( )( )b0( )( )wvdx=a?aw?-fvdt+wx,0vx,0dx=xvx,0dxG進(jìn)而有Tb驏抖bvv÷( )()?0-+f÷w蝌0w÷dxdt+?axvx,0dx=0a?抖x÷桫t即?抖v÷蝌0a?w+f÷?axvx,0dx?抖x桫t現(xiàn)在令a??，b??，T??，就有??蝌0-?

驏抖v÷??v0( )( )+f÷ww÷dxdt=??xvx,0dx?抖x÷桫t依據(jù)以上推導(dǎo)，能夠給出雙曲型守恒律方程組初值問題弱解的定義。定義（弱解）：若存在分片連續(xù)的函數(shù)w(x,t)及相應(yīng)的通量函數(shù)(u)，使得??蝌0-?

驏抖v÷??wvwxvx,0dx，"v?V+f÷dxdt=0?÷??( )( )?抖x÷桫t（7）則稱w為初值問題（1）的弱解。15激波關(guān)系式不失一般性，假定初值函數(shù)w0(x)在x=x0處有一其中止。這使得初值問題（1）的解w在地區(qū)W上形成了一條中止線C:x=x(t)（t30）輊輊分紅了W和W兩個(gè)部分。這條中止線將矩形地區(qū)a,b′0,T犏犏LR臌臌在這種狀況下，我們重復(fù)上面的推導(dǎo)。Tb驏抖f÷?w蝌0?+÷vdxdt=0a÷?抖x÷桫t驏f驏f抖鼢抖瓏+++=鼢瓏x鼢抖xW抖W桫t桫tLR分部積分驏抖v÷?v?-蝌+f÷-fvdt+wvdxWL?抖x÷桫t禬L驏抖v÷?v?-蝌+÷+-fvdt+wvdx=0?wf÷抖W?x÷桫t禬RR16驏抖v÷x0?-v+f-fvdt+wvdx+()()?w÷蝌?抖x÷?aW桫CtLL驏抖v÷b-?v+-++?x()()=÷+W?抖x÷0桫tCRR驏抖v÷x0-蝌?v+f-fvdt+wvdx+aw0( )()÷w?xvx,0dx?抖x÷W桫CtLL驏抖v÷b-蝌?v+f-fvdt+wvdx+?xw0( )()0÷w÷dxdt+xvx,0dx=抖xW桫CtRR式中CL和CR分別表示沿中止線C兩側(cè)的積分。顯然，依據(jù)逆時(shí)針方向積分時(shí)，CL和CR方向相反。令CL?C，CR?C，上式可歸并寫成驏抖v÷b?v0( )( )-+fw?抖x÷aW桫t+-fvdt+wvdx=0òC其中w=wR-wL，f=fR-fL表示物理量在高出中止線C時(shí)的跳躍量。再令a??，b??，T??，就有??-蝌0-?

驏抖v÷??v0( )( )+f÷ww÷dxdt+??xv