PAGEPAGE9《函數(shù)的平均變化率》導(dǎo)學(xué)案恩施市第一高級(jí)中學(xué)高二年級(jí)理科數(shù)學(xué)嚴(yán)新國執(zhí)筆【課程學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、知識(shí)與技能：（1）通過大量的實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)；（2）理解導(dǎo)數(shù)概念和幾何意義，能用定義求解簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，會(huì)求曲線在某點(diǎn)處的切線。2、過程與方法：①通過動(dòng)手計(jì)算培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較和歸納能力；②通過問題的探究體會(huì)逼近、類比、以已知探求未知、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵，使學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)的概念不再困難，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。二、重點(diǎn)、難點(diǎn):重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)概念的形成，導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵的理解；難點(diǎn)：在平均變化率的基礎(chǔ)上去探求瞬時(shí)變化率，深刻理解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵，通過逼近的方法，引導(dǎo)學(xué)生觀察來突破難點(diǎn)【知識(shí)體系探究】探究（一）平均變化率問題1：有關(guān)氣球膨脹率我們都吹過氣球，回憶一下吹氣球的過程。開始可以輕松的吹進(jìn)氣體，并且氣球半徑增加的較快；隨著氣球的變大，吹進(jìn)一口氣往往要使出吃奶的力氣，氣球大小變化卻不明顯。也就是說隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.思考1.你能用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解釋這個(gè)現(xiàn)象嗎？我們先研究當(dāng)氣球的體積增加1L時(shí)，氣球半徑半徑的變化情況。思考2.當(dāng)氣球的容量V1增加到V2時(shí)，氣球的半徑增大的幅度是如何變化的？氣球的平均膨脹率是多少?問題2：有關(guān)高臺(tái)跳水在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時(shí)間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.思考1：如何用運(yùn)動(dòng)員在和時(shí)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?hto思考2：上面hto⑴運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)是靜止的嗎？⑵你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎？知識(shí)歸納：1.把上述問題進(jìn)行推廣，對(duì)于函數(shù)中的變化率問題可以用式子來表示。對(duì)于函數(shù)，我們把稱為從到的平均變化率。若設(shè)，平均變化率可表示為。x1x2x1x2Oyy=f(x)f(x1)f(x2)△y=f(x2)-f(x1)x△x=x2-x13.思考：觀察函數(shù)f(x)的圖象平均變化率表示什么?【基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流與方法技巧探究】練習(xí)1．已知函數(shù)f(x)=的圖象上的一點(diǎn)及臨近一點(diǎn),則．練習(xí)2.求在附近的平均變化率。變式題：1．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，則在時(shí)間中相應(yīng)的平均速度為．2.物體按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng),求在4s附近的平均變化率.3.過曲線y=f(x)=x3上兩點(diǎn)P（1，1）和Q(1+Δx,1+Δy)作曲線的割線，求出當(dāng)Δx=0.1時(shí)割線的斜率.探究（二）導(dǎo)數(shù)的概念問題：通過探究（一）的學(xué)習(xí)我們認(rèn)識(shí)到：①平均速度只能粗略地描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，它并不能反映某一刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).②需要尋找一個(gè)量，能更精細(xì)地刻畫運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；如：在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，如果我們知道運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度（單位：）與起跳后的時(shí)間（單位：）存在關(guān)系，那么我們就會(huì)計(jì)算任意一段的平均速度，通過平均速度來描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但用平均速度不一定能反映運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，那么如何求運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度呢？（瞬時(shí)速度的概念：我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度）動(dòng)手嘗試：求高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在2秒時(shí)的瞬時(shí)速度時(shí)，在這段時(shí)間內(nèi)時(shí)，在這段時(shí)間內(nèi)當(dāng)0.01時(shí)，當(dāng)0.01時(shí)，當(dāng)0.001時(shí)，當(dāng)0.001時(shí)，當(dāng)0.0001時(shí)，當(dāng)0.0001時(shí)，當(dāng)0.00001時(shí)，當(dāng)0.00001時(shí)，當(dāng)0.000001時(shí)，當(dāng)0.000001時(shí)，。。。。。。。。。。。。思考1：關(guān)于這些數(shù)據(jù)，下面的判斷對(duì)嗎？（1）當(dāng)趨近于0時(shí)，即無論從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時(shí)，平均速度都趨近于一個(gè)確定的值-13.1。（2）靠近-13.1且比-13.1大的任何一個(gè)數(shù)都可以是某一段上的平均速度；（3）靠近-13.1且比-13.1小的任何一個(gè)數(shù)都可以是某一段上的平均速度；（4）-13.1表示在2秒附近，運(yùn)動(dòng)員的速度大約是-13.1。思考2：跳水運(yùn)動(dòng)員在2秒時(shí)的瞬時(shí)速度與其平均速度之間有何關(guān)系？如何用符號(hào)表示？跳水運(yùn)動(dòng)員在的瞬時(shí)速度如何表示？思考3：瞬時(shí)變化率與平均變化率的關(guān)系是怎樣的？函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率如何表示？知識(shí)歸納：函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的，記作即=。附注：①導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的；②定義的形式可以有哪些變化？③求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)步驟：?！净A(chǔ)學(xué)習(xí)交流與方法技巧探究】練習(xí)1（1）求函數(shù)y=3x2在x=1處的導(dǎo)數(shù).（2）求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．練習(xí)2將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第時(shí)，原油的溫度（單位：）為，計(jì)算第時(shí)和第時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義．變式訓(xùn)練：1．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，求質(zhì)點(diǎn)在的瞬時(shí)速度．2．求曲線y=f(x)=x3在時(shí)的導(dǎo)數(shù)．3．例2中，計(jì)算第時(shí)和第時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義．探究（三）導(dǎo)數(shù)的幾何意義問題1：如圖，當(dāng)沿著曲線趨近于點(diǎn).⑴割線的斜率與切線PT的斜率有什么關(guān)系？⑵切線PT的斜率為多少？問題2：觀察圖形，（1）此處的切線定義與以前學(xué)過的切線定義有什么不同？（2）曲線在某點(diǎn)處的切線有哪些特點(diǎn)？（3）如何求過曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率呢？與所學(xué)的“導(dǎo)數(shù)”有什么關(guān)系？知識(shí)歸納：導(dǎo)數(shù)的幾何意義：【基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流與方法技巧探究】練習(xí)1（1）求拋物線過點(diǎn)（1，1）的切線方程。（2）求雙曲線過點(diǎn)（2，）的切線方程。（3）求拋物線過點(diǎn)（，6）的切線方程。練習(xí)2.（1）如圖,它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖象.根據(jù)圖象,請(qǐng)描述、比較曲線在附近的變化情況.（2）如圖,它表示人體血管中藥物濃度(單位:)隨時(shí)間(單位:min)變化的函數(shù)圖象.根據(jù)圖象,估計(jì)=0.2,0.4,0.6,0.8時(shí),血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率(精確到0.1)思考：1.由函數(shù)f(x)在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)時(shí),是一個(gè)確定的數(shù)，那么,當(dāng)x變化時(shí)，f(x)是否構(gòu)成了一個(gè)函數(shù)？為什么？2.討論函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系。知識(shí)歸納：導(dǎo)函數(shù)的形式：【學(xué)習(xí)小結(jié)】1.平均變化率如何計(jì)算？瞬時(shí)變化率與平均變化率的關(guān)系是怎樣的？如何用符號(hào)表示？2．導(dǎo)數(shù)與瞬時(shí)變化率的關(guān)系是怎樣的？如何用符號(hào)表示？3.求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)步驟：“一差；二比；三極限”4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？5.函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系是什么？6.知識(shí)探究中你體會(huì)了哪些數(shù)學(xué)思想？【課后鞏固】1將半徑為R的球加熱,若球的半徑增加ΔR,則球的體積增加Δy約等于（）A.R3ΔR B.4πR2ΔRC.4πR2 D.4πRΔR2．一直線運(yùn)動(dòng)的物體，從時(shí)間到時(shí)，物體的位移為，那么為（）Ａ．從時(shí)間到時(shí)，物體的平均速度；Ｂ．在時(shí)刻時(shí)該物體的瞬時(shí)速度；Ｃ．當(dāng)時(shí)間為時(shí)物體的速度；Ｄ．從時(shí)間到時(shí)物體的平均速度3.在曲線y=2x2－1的圖象上取一點(diǎn)（1，1）及鄰近一點(diǎn)（1+Δx,1+Δy）,則等于（）A.4Δx+2Δx2 B.4+2ΔxC.4Δx+Δx2D.4+Δx4.若曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程為2x+y－1=0，則（）A.f′(x0)>0 B.f′(x0)<0C.f′(x0)=0 D.f′(x0)不存在5.已知命題p:函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)是常數(shù)函數(shù)；命題q:函數(shù)y=f(x)是一次函數(shù)，則命題p是命題q的（） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件6.設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，則等于（）A.f′(x0) B.0C.2f′(x0) D.－2f′(x0)7.若曲線上每一點(diǎn)處的切線都平行于x軸，則此曲線的函數(shù)必是___.8.曲線y=x3在點(diǎn)P（2，8）處的切線方程是___________.9.質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng)，若質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度是8，則的值為_____________.