一、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)1、眾數(shù)

在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多數(shù)據(jù)叫做這一組數(shù)據(jù)眾數(shù)。2、中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處于最中間位置一個數(shù)據(jù)（或兩個數(shù)據(jù)平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)中位數(shù)。3、平均數(shù)

(1)x=1/n(x1+x2+……+xn)

第1頁練習:在一次中學生田徑運動會上，參加男子跳高17名運動員成績以下表所表示：成績(單位：米)1.501.601.651.701.751.801.851.90人數(shù)23234111分別求這些運動員成績眾數(shù)，中位數(shù)與平均數(shù)第2頁解：在17個數(shù)據(jù)中，1.75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)眾數(shù)是1.75．上面表里17個數(shù)據(jù)可看成是按從小到大次序排列，其中第9個數(shù)據(jù)1.70是最中間一個數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)中位數(shù)是1.70；

這組數(shù)據(jù)平均數(shù)是

答：17名運動員成績眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）.

第3頁二、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖關(guān)系1、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖中，就是最高矩形中點橫坐標。比如，在上一節(jié)調(diào)查100位居民月均用水量問題中，從這些樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖能夠看出，月均用水量眾數(shù)是2.25t.如圖所表示：第4頁頻率分布直方圖以下：月均用水量/t頻率組距0.100.200.300.400.500.511.522.533.544.5第5頁

2、在樣本中，有50％個體小于或等于中位數(shù)，也有50％個體大于或等于中位數(shù)，所以，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊直方圖面積應該相等，由此能夠預計中位數(shù)值。下列圖中虛線代表居民月均用水量中位數(shù)預計值，此數(shù)據(jù)值為2.02t.第6頁在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖中，從左至右各個小矩形面積分別是0.04，0.08，0.15，0.22，0.25，0.14，0.06，0.04，0.02.由此預計總體中位數(shù)是什么？月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01，0.01÷0.5=0.02，中位數(shù)是2+0.02=2.02.在頻率分布直方圖中，每個小矩形面積表示什么？中位數(shù)左右兩側(cè)直方圖面積應有什么關(guān)系？第7頁說明:2.02這個中位數(shù)預計值,與樣本中位數(shù)值2.0不一樣,這是因為樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖,只是直觀地表明分布形狀,不過從直方圖本身得不出原始數(shù)據(jù)內(nèi)容,所以由頻率分布直方圖得到中位數(shù)預計值往往與樣本實際中位數(shù)值不一致.

3.能夠從頻率分布直方圖中預計平均數(shù)平均數(shù)預計值=頻率分布直方圖中每個小矩形面積乘以小矩形底邊中點橫坐標之和第8頁思索5：平均數(shù)是頻率分布直方圖“重心”，在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖中，各個小矩形重心在哪里？從直方圖預計總體在各組數(shù)據(jù)內(nèi)平均數(shù)分別為多少？0.25，0.75，1.25，1.75，2.25，2.75，3.25，3.75，4.25.

月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02（t）.

平均數(shù)是2.02.第9頁三、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)簡單應用例1.某工廠人員及工資組成以下：人員經(jīng)理管理人員高級技工工人學徒累計周工資2200250220200100人數(shù)16510123累計2200150011001006900（1）指出這個問題中周工資眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)（2）這個問題中，工資平均數(shù)能客觀地反應該廠工資水平嗎？為何？眾數(shù)為200，中位數(shù)為220，平均數(shù)為300。第10頁分析：（1）眾數(shù)為200，中位數(shù)為220，平均數(shù)為300。（2）因平均數(shù)為300，由表格中所列出數(shù)據(jù)可見，只有經(jīng)理在平均數(shù)以上，其余人都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實地反應該工廠工資水平。第11頁思索7：從居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)可知，該樣本眾數(shù)是2.3，中位數(shù)是2.0，平均數(shù)是1.973，這與我們從樣本頻率分布直方圖得出結(jié)論有偏差，你能解釋一下原因嗎？

頻率分布直方圖損失了一些樣本數(shù)據(jù)，得到是一個預計值，且所得估值與數(shù)據(jù)分組相關(guān).

注:在只有樣本頻率分布直方圖情況下，我們能夠按上述方法預計眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，并由此預計總體特征.思索8：一組數(shù)據(jù)中位數(shù)普通不受少數(shù)幾個極端值影響，這在一些情況下是一個優(yōu)點，但它對極端值不敏感有時也會成為缺點，你能舉例說明嗎？樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)大于（或小于）中位數(shù)說明什么問題？你怎樣了解“我們單位收入水平比別單位高”這句話含義？

第12頁如：樣本數(shù)據(jù)搜集有個別差錯不影響中位數(shù)；大學畢業(yè)生憑工資中位數(shù)找單位可能收入較低.

平均數(shù)大于（或小于）中位數(shù)，說明樣本數(shù)據(jù)中存在許多較大（或較?。O端值.

這句話含有含糊性甚至蒙騙性，其中收入水平是員工工資某個中心點，它能夠是眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù).第13頁（二）：標準差

樣本眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)慣用來表示樣本數(shù)據(jù)“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)輕易計算，不受少數(shù)幾個極端值影響，但只能表示樣本數(shù)據(jù)中少許信息.平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多信息，但受樣本中每個數(shù)據(jù)影響，越極端數(shù)據(jù)對平均數(shù)影響也越大.當樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)中心位置，可能與實際情況產(chǎn)生較大誤差，難以反應樣本數(shù)據(jù)實際情況，所以，我們需要一個統(tǒng)計數(shù)字刻畫樣本數(shù)據(jù)離散程度.第14頁思索1：在一次射擊選拔賽中，甲、乙兩名運動員各射擊10次，每次命中環(huán)數(shù)以下：甲：78795491074乙：9578768677

甲、乙兩人此次射擊平均成績分別為多少環(huán)？第15頁思索2：甲、乙兩人射擊平均成績相等，觀察兩人成績頻率分布條形圖，你能說明其水平差異在那里嗎？環(huán)數(shù)頻率0.40.30.20.145678910O（甲）環(huán)數(shù)頻率0.40.30.20.145678910O（乙）甲成績比較分散，極差較大，乙成績相對集中，比較穩(wěn)定.環(huán)數(shù)第16頁思索3：對于樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，構(gòu)想經(jīng)過各數(shù)據(jù)到其平均數(shù)平均距離來反應樣本數(shù)據(jù)分散程度，那么這個平均距離怎樣計算？第17頁思索4：反應樣本數(shù)據(jù)分散程度大小，最慣用統(tǒng)計量是標準差，普通用s表示.假設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn平均數(shù)為，則標準差計算公式是：

那么標準差取值范圍是什么？標準差為0樣本數(shù)據(jù)有何特點？s≥0，標準差為0樣本數(shù)據(jù)都相等.

第18頁標準差

平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)主要信息，不過，平均數(shù)有時也會使我們作出對總體片面判斷，難以概括樣本數(shù)據(jù)實際狀態(tài)，而數(shù)據(jù)離散程度能夠用極差、方差或標準差來描述。為了表示樣本數(shù)據(jù)單位表示波動幅度，通常要求出樣本方差或者它算術(shù)平方根，即標準差.第19頁標準差（1）方差：設(shè)在一組數(shù)據(jù)，x1，x2，…，xn中，各數(shù)據(jù)與它們平均數(shù)x差平方分別是那么我們用它們平均數(shù)，即

來衡量這組數(shù)據(jù)波動大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)方差，一組數(shù)據(jù)方差越大，則這組數(shù)據(jù)波動越大。第20頁（2）標準差：我們把數(shù)據(jù)方差算術(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)標準差，它也是一個用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小主要量。計算標準差算法：S1算出樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)x；S2算出每個樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)差（i=1，2，……，n）；四、標準差S3算出（i=1，2，…，n）；S4算出（i=1，2，…，n）這n個數(shù)平均數(shù)，即為樣本方差s2；S5算出方差算術(shù)平方根，即為樣本標準差s。第21頁標準差越大離散程度越大，數(shù)據(jù)較分散；標準差越小離散程度越小，數(shù)據(jù)較集中在平均數(shù)周圍.知識補充1.標準差平方稱為方差，有時用方差代替標準差測量樣本數(shù)據(jù)離散度.方差與標準差測量效果是一致，在實際應用中普通多采取標準差.2.現(xiàn)實中總體所包含個體數(shù)往往很多，總體平均數(shù)與標準差是未知，我們通慣用樣本平均數(shù)和標準差去預計總體平均數(shù)與標準差，但要求樣本有很好代表性.第22頁例1畫出以下四組樣本數(shù)據(jù)條形圖，說明他們異同點.(1)５，５，５，５，５，５，５，５，５；(2)４，４，４，５，５，５，６，６，６；O頻率1.00.80.60.40.212345678

（1）O頻率1.00.80.60.40.212345678

（2）樣本數(shù)字特征例題分析第23頁(3)３，３，４，４，５，６，６，７，７；(4)２，２，２，２，５，８，８，８，８.頻率1.00.80.60.40.212345678

O（3）頻率1.00.80.60.40.212345678

O（4）第24頁例2甲、乙兩人同時生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40mm一個零件，為了對兩人生產(chǎn)質(zhì)量進行評選，從他們生產(chǎn)零件中各隨機抽取20件，量得其內(nèi)徑尺寸以下（單位：mm）：甲：25.4625.3225.4525.3925.3625.3425.4225.4525.3825.4225.3925.4325.3925.4025.4425.4025.4225.3525.4125.39乙：25.4025.4325.4425.4825.4825.4725.4925.4926.3625.3425.3325.4325.4325.3225.4725.3125.3225.3225.3225.48

從生產(chǎn)零件內(nèi)徑尺寸看，誰生產(chǎn)零件質(zhì)量較高？第25頁

甲生產(chǎn)零件內(nèi)徑更靠近內(nèi)徑標準，且穩(wěn)定程度較高，故甲生產(chǎn)零件質(zhì)量較高.說明：1.生產(chǎn)質(zhì)量能夠從總體平均數(shù)與標準差兩個角度來衡量，但甲、乙兩個總體平均數(shù)與標準差都是不知道，我們就用樣本平均數(shù)與標準差預計總體平均數(shù)與標準差.2.問題中25.40mm是內(nèi)徑標準值，而不是總體平均數(shù).第26頁例3以往招生統(tǒng)計顯示，某所大學錄用新生高考總分中位數(shù)基本穩(wěn)定在550分，若某同學今年高考得了520分，他想報考這所大學還需搜集哪些信息？關(guān)鍵點：（1）查往年錄用新生平均分數(shù).若平均數(shù)小于中位數(shù)很多，說明最低錄用線較低，能夠報考；（2）查往年錄用新生高考總分標準差.若標準差較大，說明新生錄用分數(shù)較分散，最低錄用線可能較低，能夠考慮報考.例4在去年足球甲A聯(lián)賽中，甲隊每場比賽平均失球數(shù)是1.5，整年比賽失球個數(shù)標準差為1.1；乙隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1，整年比賽失球個數(shù)標準差為0.4.你認為以下說法是否正確，為何？（1）平均來說甲