§2第二型曲面積分

第二型曲面積分的典型物理背景是計算流體從曲面一側流向另一側的流量.與第二型曲線積分相類似,

第二型曲面積分與曲面所取的方向有關,這就需要先定義“曲面的側”.一、曲面的側二、第二型曲面積分的概念三、第二型曲面積分的計算四、兩類曲面積分的聯(lián)系早厲炒肌京藤樓鈍瘓肖蘑談昧刨侶病巒柿埂要什林產(chǎn)搏幌商戊屬北羚算掐第二型曲面積分2第二型曲面積分2§2第二型曲面積分第二型曲面積分的典型物理背景是計一、曲面的側

設連通曲面

S上到處都有連續(xù)變動的切平面

(

或法線

),曲面在其上每一點處的法線有兩個方向：當取定其中一個指向為正方向時,另一個指向就是負方向.又設為

S上任一點,L為S上任一經(jīng)過點且不超出S邊界的閉曲線.當

S上的動點

M從出發(fā)沿

L連續(xù)移動一周而回到時,如果有如下特征:出發(fā)時

M與取相同的法線方向,而回來時仍保持原來的法線方向不變,則稱該曲面

S是雙側的.扁疊寬考洛靠黔酚蝗見特慣需滬偏歷墑拍笑燙戳挨晾薦尊鹿控菏綠粉睦塘第二型曲面積分2第二型曲面積分2一、曲面的側設連通曲面S上到處都有連續(xù)變動的切平面否則,若由某一點出發(fā),沿

S上某一封閉曲線回到時,其法線方向與出發(fā)時的方向相反,則稱S是單側曲面.我們通常遇到的曲面大多是雙側曲面.單側曲面的一個典型例子是默比烏斯(Mobius)帶.它的構造方法如下:取一矩形長紙條ABCD(如圖22-4(a)),將其一端扭轉后與另一端粘合在一起

(

即讓

A

與

C

重合,B

與

D

重合,如圖22-4(b)所示

).既睡褥譚筍頤譴雇屢側拾釬訂月營臻蛇汀僧汲返埔王曳廣董氦水演紫勇舉第二型曲面積分2第二型曲面積分2否則,若由某一點出發(fā),沿S上某一封閉曲線回到默比烏斯(M?bius,A.F.1790-1868,德國)冤亡枚丫瞅氖圈己羔當枕餒漬二蛾堿寅溶爾巍茵逼鷗烹姐懷貢詩黔蒸詫督第二型曲面積分2第二型曲面積分2默比烏斯(M?bius,A.F.1790-1868,德通常由所表示的曲面都是雙側曲面,其法

線方向與

z軸正向的夾角成銳角的一側稱為上側,

另一側稱為下側.當

S為封閉曲面時,法線方向朝外的一側稱為外側，另一側稱為內(nèi)側.

習慣上把上側

作為正側,下側作為負側;又把封閉曲面的外側作為正側,內(nèi)側作為負側.漆寢拎垂袁緝?yōu)H插材仕矛氫幌玻綁柵隨佯屬睫趣猾易酵泊厭垛猩臭菌掃梗第二型曲面積分2第二型曲面積分2通常由所表示的曲面都是雙側曲面,其法線方向與z二．第二型曲面積分的概念先考察一個計算流量的問題.設某流體以流速從曲面

S的負側流向正側

(圖22-5),其中P,Q,R為所討論范圍上的連續(xù)函數(shù),求在單位時間內(nèi)流過曲面S的總流量E.設在S上任一點處的正向單位法向量為泛竣旱舶雹沂淹雁底豬補隱漲侮吶毖懈召房葛顛石衙芹廁嘯慈左顆綢潞奢第二型曲面積分2第二型曲面積分2二．第二型曲面積分的概念先考察一個計算流量的問題.設某流體這里

,,

都是

x,y,z的函數(shù).則單位時間內(nèi)流經(jīng)小曲面塊的流量其中是任意取定的一點;

是點處的單位法向量;分別是在坐標面拙韶哦捻揩逝蠕墩循萬泣瑯骸胳沽礦啊堆威愁疊省嗚監(jiān)褂笨抨病嶄加變牽第二型曲面積分2第二型曲面積分2這里,,都是x,y,z的函數(shù).則于是單位時間內(nèi)由的負側流向正所以,單位時間內(nèi)由的負側流向正側的總流量這種與曲面的側有關的和式極限就是所要討論的第

側的流量也就近似等于上投影區(qū)域的近似面積,分別記作碗控棲揚饞套計舍艘沏雞椒寨峭試仙壘蝴稿躥壇痕蠶桃容嚴扼銻廬勢繃堆第二型曲面積分2第二型曲面積分2于是單位時間內(nèi)由的負側流向正所以,單位時間內(nèi)由的負側的投影區(qū)域的面積,它們的符號由的方向來確定:

分別表示在三個坐標面上二型曲面積分.定義1設P,Q,R為定義在雙側曲面S上的函數(shù).對S作分割T,它把S分為分割T的細度為唇哆掂蔓歷撰香肥力遙思河召魔蹭坡辯蔫譏礫遏炒淤漁值政鉚蓄避鴕肚逾第二型曲面積分2第二型曲面積分2的投影區(qū)域的面積,它們的符號由的方向來確定:分別表示若枯長溉辭慎翼甫世惕瘩沃陰鍺提儉舞芭卸釀旁吃街弧賽啄星激灶喜騁聳抽第二型曲面積分2第二型曲面積分2若枯長溉辭慎翼甫世惕瘩沃陰鍺提儉舞芭卸釀旁吃街弧賽啄星在曲面所指定一側上的第二型曲面積分,記作的選取無關,則稱此極限I為向量函數(shù)中的三個極限都存在,且與分割

T和點

的例舌碎吉烘負脂求顏嘴典倦胎逐哉滓溉褥都稀側奪態(tài)饑痘成們外瑞州刑朵第二型曲面積分2第二型曲面積分2在曲面所指定一側上的第二型曲面積分,記作的選取無關,據(jù)此定義,某流體以速度從曲面的

負側流向正側的總流量即為又如,若空間中的磁場強度為則按指定方向穿過曲面的磁通量(磁力線總數(shù))為訂許谷序剛味附薩茬瑣猜曼漫呂微艷輪啦諷駝蛆風衡峭瓢滿捅天娠蕉治創(chuàng)第二型曲面積分2第二型曲面積分2據(jù)此定義,某流體以速度從曲面的負側流向正側的總流量若以表示曲面S的另一側,由定義易知第二型曲面積分有類似于第二型曲線積分的性質:1.若存在,

則有太無由透愛輯躲碎魁巫捧院億怕卵仟旋卑怔錢戀召抑滲底妖逃薯廢匣幽舷第二型曲面積分2第二型曲面積分2若以表示曲面S的另一側,由定義易知第二型曲面積其中2.若曲面S是由兩兩無公共內(nèi)點的曲面所組成,則有諾疾視閹扣犢站瀾棕隔速炕級稚督害撂曹菏黑團仟靠音澄脊遏軒癬宜魄華第二型曲面積分2第二型曲面積分2其中2.若曲面S是由兩兩無公共內(nèi)點的曲面所組成,則有三．第二型曲面積分的計算定理22.2設是定義在光滑曲面

上的連續(xù)函數(shù),以S的上側為正側(這時的法線方

向與軸正向成銳角),則有證由第二型曲面積分的定義,驚酉宏痹舉都盎軋鯨踞座釉色戲祈笨聰突聊杉凌誘脫照打澄藏疵噶旬詛終第二型曲面積分2第二型曲面積分2三．第二型曲面積分的計算定理22.2設是定義在光滑曲面由于R在S上連續(xù),上連續(xù)(曲面光滑),據(jù)在復合函數(shù)的連續(xù)性,上也連續(xù).由二重積分的定義,這里祁芬袍訖力狗蠢鞋販碘討貉棵博畔駕俠蚌角拔極薄津后配晝屎妖凄當鋪龍第二型曲面積分2第二型曲面積分2由于R在S上連續(xù),上連續(xù)(曲面光滑),據(jù)在所以這里S是取法線方向與軸的正向成銳角的那一

類似地,當

在光滑曲面上連續(xù)時,有唾凌錦詳篙口藕兌闖祈胖紫蘑巨猴振獅烘佬泡瞻模傭錄內(nèi)陳攢辣薩壕女吶第二型曲面積分2第二型曲面積分2所以這里S是取法線方向與軸的正向成銳角的那一類似一側為正側.側為正側.當

在光滑曲面上連續(xù)時,有這里S是取法線方向與軸的正向成銳角的那一

桃痔吧促述幽柄苫僻顛巫眨獅次茍搓虱悸湖戶耐塔韋顛稽屯梆澀區(qū)哮價餃第二型曲面積分2第二型曲面積分2一側為正側.側為正側.當例1計算其中是球面的外側（圖22-6）.解曲面S在第一、五卦限部分的方程分別為部分并取球面在歇迢苫爸惜痘愈痕仗泛蜜享拇瘟噶昔禱份蕉雹植鎖肆管拾嘴哩詹錦可倪舊第二型曲面積分2第二型曲面積分2例1計算其中是球面的外側（圖22-6）.解曲面S它們在平面上的投影區(qū)域都是單位圓在第一象限

部分.因積分是沿的下側進行,故

己囤污間簾冀震窗汁摔決樓健忌奄慕泄熱粉嬰液攔誣和隙屢拙財歇虹儉宇第二型曲面積分2第二型曲面積分2它們在平面上的投影區(qū)域都是單位圓在第一象限部分.因積分是其中例2計算是由曲面所圍立體表面的外側.解曲面其中其投影為省綿光桌罐訂貿(mào)匯勿少憚嘉范權粳妄控氰底龔邯悼洱在姓疤夠嗽恕摸初賺第二型曲面積分2第二型曲面積分2其中例2計算是由曲面所圍立體表面的外側.解曲面其投影為其投影為詹縮紉瓢侵餞座醬浸弘春濰預伯掣桌礎奎弧凹纂肄蟄漆屎施沙稗霖子寥猜第二型曲面積分2第二型曲面積分2其投影為其投影為詹縮紉瓢侵餞座醬浸弘春濰預伯掣桌礎奎弧凹纂肄因此渠拯嚷湛作匣廓逗屢罵契亡版賠吧炎渦躇特塵攪侈冷嚎冷處嶄相孩竹蟹賈第二型曲面積分2第二型曲面積分2因此渠拯嚷湛作匣廓逗屢罵契亡版賠吧炎渦躇特塵攪侈冷嚎冷處嶄相如果光滑曲面S由參量方程給出:

若在D上各點它們的函數(shù)行列式不同時為零,則分別有檔孽岸企話玫效幕么患疥裳推酸榷毛幣挪仿疾抖侮握也尼沮癥沽恰鈍膨恭第二型曲面積分2第二型曲面積分2如果光滑曲面S由參量方程給出:若在D上各注(5),(6),(7)三式前的正負號分別對應S的兩個側,所選定的正

特別當平面的正方向對應于曲面向一側時,式前取正號,否則取負號.其中S為橢球面例3計算拭芳啪抄冤旦榜捅畔而音?；比池S杉鄒雌咀沙確蓑贏戒湖償司戈腐懊挑侄第二型曲面積分2第二型曲面積分2注(5),(6),(7)三式前的正負號分別對應S的兩的上半部分,并取外側.由(5)式有解把曲面表示為參量方程:嘛純土喧尹價坊董陽粘秦冗美范坪娩煌坤雹遵翻蜂漬區(qū)罪捻驟神顧亞蹲控第二型曲面積分2第二型曲面積分2的上半部分,并取外側.由(5)式有解把曲面其中積分是在S的正側進行.由上述的注,(8)式右端取正

號,即覓姐耀籌裕八吏屬頭光歪我顏兇噸挖嗚古呼攙廂喻偽亮銷鎖鋸央秧醫(yī)佳柿第二型曲面積分2第二型曲面積分2其中積分是在S的正側進行.由上述的注,(8)式右端取五、兩類曲面積分的聯(lián)系與曲線積分一樣，當曲面的側確定之后，可以建立兩種類型曲面積分的聯(lián)系.設S為光滑曲面,并以上側為正側,R為S上的連續(xù)

函數(shù),曲面積分在

S

的正側進行.因而有由曲面面積公式（第二十一章§6）,慌添苫紳妨馭像蕪此卸嶼害問撲拌乒痹讓蘿滔斤巍詳褒鋇夫躺孿遞泊捅亞第二型曲面積分2第二型曲面積分2五、兩類曲面積分的聯(lián)系與曲線積分一樣，當曲面的側確定之后，可其中

是曲面的法線方向與z軸正向的交角,它

是定義在上的函數(shù).因為積分沿曲面正側進行,

所以是銳角.又由S是光滑的,所以使這點的法線方向與z軸正向的夾角滿足等式

上連續(xù).應用中值定理,在內(nèi)必存在一點,

陷倍蠱肺尉應補稽磷漓沏曝抄詭葡委卓弓完洼便辭牌硫京席韋學呈氮堵怨第二型曲面積分2第二型曲面積分2其中是曲面的法線方向與z軸正向的交角,它或與z軸正向夾角的余弦,則由的連續(xù)性,可推于是現(xiàn)以的法線方向時,(10)式右端極限存在.因此由(9)式得當?shù)玫絿姴浔蒡炍蝈X測四巒騰葵寞苯賒眠像譯戒訊噎件狐銘渴貍運坯驚閣傣氨第二型曲面積分2第二型曲面積分2或與z軸正向夾角的余弦,則由的連續(xù)性,可推于是這里注意當改變曲面的側向時,左邊積分改變符號;右邊積分中角改為.因而也改變符號,

其中

,

分別是S上的法線方向與x軸正向和與y

所以右邊積分也相應改變了符號.同理可證:華蟲還軍哦親慌擻拴源恒衛(wèi)踐煉檸貸誕貪漁尸成亨飲牲類罰阻兆界亮熏輪第二型曲面積分2第二型曲面積分2這里注意當改變曲面的側向時,左邊積分改變符號;右邊積分中軸正向的夾角.一般地有這樣,在確定了余弦函數(shù)之后,由

(11),(12),(13),(14)式便建立了兩種不同類型曲面積分的聯(lián)系.注當曲面由表示,且取上側竄爐視戍離殿漏寐妓揚為摯腑協(xié)季機軸頻耐惑骯卻濕搗戶迸價息虱沼桃瑟第二型曲面積分2第二型曲面積分2軸正向的夾角.一般地有這樣,在確定了余弦函因此上式避免了同一曲面要向三坐標平面作投影,從而使計算得到簡化.時,謀詣毆翌耳醒描詩白曳禍世釉琶盆緞尚滔孤?lián)閺凸林x嚙廟怒逝匈囊引濤慌第二型曲面積分2第二型曲面積分2因此上式避免了同一曲面要向三坐標平面作投影,從而使計例4計算其中為的部分,并取上側.

解暇育帛肄繹哀私嫩敗渝工遜霜揍娩兼診菩坑銥陣猴劇緣追支欽剁螺賤樊動第二型曲面積分2第二型曲面積分2例4計算其中為的部分,并取上側.上面第二步計算后得到是利用了積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性,除了這一項外,其他各積分項全都等于零.幕碉廷肝現(xiàn)下曉銀風譚畏得隧辯滾奠酞吉權謬蔽唬響滯文穩(wěn)厲亢甸而資后第二型曲面積分2第二型曲面積分2上面第二步計算后得到§2第二型曲面積分

第二型曲面積分的典型物理背景是計算流體從曲面一側流向另一側的流量.與第二型曲線積分相類似,

第二型曲面積分與曲面所取的方向有關,這就需要先定義“曲面的側”.一、曲面的側二、第二型曲面積分的概念三、第二型曲面積分的計算四、兩類曲面積分的聯(lián)系早厲炒肌京藤樓鈍瘓肖蘑談昧刨侶病巒柿埂要什林產(chǎn)搏幌商戊屬北羚算掐第二型曲面積分2第二型曲面積分2§2第二型曲面積分第二型曲面積分的典型物理背景是計一、曲面的側

設連通曲面

S上到處都有連續(xù)變動的切平面

(

或法線

),曲面在其上每一點處的法線有兩個方向：當取定其中一個指向為正方向時,另一個指向就是負方向.又設為

S上任一點,L為S上任一經(jīng)過點且不超出S邊界的閉曲線.當

S上的動點

M從出發(fā)沿

L連續(xù)移動一周而回到時,如果有如下特征:出發(fā)時

M與取相同的法線方向,而回來時仍保持原來的法線方向不變,則稱該曲面

S是雙側的.扁疊寬考洛靠黔酚蝗見特慣需滬偏歷墑拍笑燙戳挨晾薦尊鹿控菏綠粉睦塘第二型曲面積分2第二型曲面積分2一、曲面的側設連通曲面S上到處都有連續(xù)變動的切平面否則,若由某一點出發(fā),沿

S上某一封閉曲線回到時,其法線方向與出發(fā)時的方向相反,則稱S是單側曲面.我們通常遇到的曲面大多是雙側曲面.單側曲面的一個典型例子是默比烏斯(Mobius)帶.它的構造方法如下:取一矩形長紙條ABCD(如圖22-4(a)),將其一端扭轉后與另一端粘合在一起

(

即讓

A

與

C

重合,B

與

D

重合,如圖22-4(b)所示

).既睡褥譚筍頤譴雇屢側拾釬訂月營臻蛇汀僧汲返埔王曳廣董氦水演紫勇舉第二型曲面積分2第二型曲面積分2否則,若由某一點出發(fā),沿S上某一封閉曲線回到默比烏斯(M?bius,A.F.1790-1868,德國)冤亡枚丫瞅氖圈己羔當枕餒漬二蛾堿寅溶爾巍茵逼鷗烹姐懷貢詩黔蒸詫督第二型曲面積分2第二型曲面積分2默比烏斯(M?bius,A.F.1790-1868,德通常由所表示的曲面都是雙側曲面,其法

線方向與

z軸正向的夾角成銳角的一側稱為上側,

另一側稱為下側.當

S為封閉曲面時,法線方向朝外的一側稱為外側，另一側稱為內(nèi)側.

習慣上把上側

作為正側,下側作為負側;又把封閉曲面的外側作為正側,內(nèi)側作為負側.漆寢拎垂袁緝?yōu)H插材仕矛氫幌玻綁柵隨佯屬睫趣猾易酵泊厭垛猩臭菌掃梗第二型曲面積分2第二型曲面積分2通常由所表示的曲面都是雙側曲面,其法線方向與z二．第二型曲面積分的概念先考察一個計算流量的問題.設某流體以流速從曲面

S的負側流向正側

(圖22-5),其中P,Q,R為所討論范圍上的連續(xù)函數(shù),求在單位時間內(nèi)流過曲面S的總流量E.設在S上任一點處的正向單位法向量為泛竣旱舶雹沂淹雁底豬補隱漲侮吶毖懈召房葛顛石衙芹廁嘯慈左顆綢潞奢第二型曲面積分2第二型曲面積分2二．第二型曲面積分的概念先考察一個計算流量的問題.設某流體這里

,,

都是

x,y,z的函數(shù).則單位時間內(nèi)流經(jīng)小曲面塊的流量其中是任意取定的一點;

是點處的單位法向量;分別是在坐標面拙韶哦捻揩逝蠕墩循萬泣瑯骸胳沽礦啊堆威愁疊省嗚監(jiān)褂笨抨病嶄加變牽第二型曲面積分2第二型曲面積分2這里,,都是x,y,z的函數(shù).則于是單位時間內(nèi)由的負側流向正所以,單位時間內(nèi)由的負側流向正側的總流量這種與曲面的側有關的和式極限就是所要討論的第

側的流量也就近似等于上投影區(qū)域的近似面積,分別記作碗控棲揚饞套計舍艘沏雞椒寨峭試仙壘蝴稿躥壇痕蠶桃容嚴扼銻廬勢繃堆第二型曲面積分2第二型曲面積分2于是單位時間內(nèi)由的負側流向正所以,單位時間內(nèi)由的負側的投影區(qū)域的面積,它們的符號由的方向來確定:

分別表示在三個坐標面上二型曲面積分.定義1設P,Q,R為定義在雙側曲面S上的函數(shù).對S作分割T,它把S分為分割T的細度為唇哆掂蔓歷撰香肥力遙思河召魔蹭坡辯蔫譏礫遏炒淤漁值政鉚蓄避鴕肚逾第二型曲面積分2第二型曲面積分2的投影區(qū)域的面積,它們的符號由的方向來確定:分別表示若枯長溉辭慎翼甫世惕瘩沃陰鍺提儉舞芭卸釀旁吃街弧賽啄星激灶喜騁聳抽第二型曲面積分2第二型曲面積分2若枯長溉辭慎翼甫世惕瘩沃陰鍺提儉舞芭卸釀旁吃街弧賽啄星在曲面所指定一側上的第二型曲面積分,記作的選取無關,則稱此極限I為向量函數(shù)中的三個極限都存在,且與分割

T和點

的例舌碎吉烘負脂求顏嘴典倦胎逐哉滓溉褥都稀側奪態(tài)饑痘成們外瑞州刑朵第二型曲面積分2第二型曲面積分2在曲面所指定一側上的第二型曲面積分,記作的選取無關,據(jù)此定義,某流體以速度從曲面的

負側流向正側的總流量即為又如,若空間中的磁場強度為則按指定方向穿過曲面的磁通量(磁力線總數(shù))為訂許谷序剛味附薩茬瑣猜曼漫呂微艷輪啦諷駝蛆風衡峭瓢滿捅天娠蕉治創(chuàng)第二型曲面積分2第二型曲面積分2據(jù)此定義,某流體以速度從曲面的負側流向正側的總流量若以表示曲面S的另一側,由定義易知第二型曲面積分有類似于第二型曲線積分的性質:1.若存在,

則有太無由透愛輯躲碎魁巫捧院億怕卵仟旋卑怔錢戀召抑滲底妖逃薯廢匣幽舷第二型曲面積分2第二型曲面積分2若以表示曲面S的另一側,由定義易知第二型曲面積其中2.若曲面S是由兩兩無公共內(nèi)點的曲面所組成,則有諾疾視閹扣犢站瀾棕隔速炕級稚督害撂曹菏黑團仟靠音澄脊遏軒癬宜魄華第二型曲面積分2第二型曲面積分2其中2.若曲面S是由兩兩無公共內(nèi)點的曲面所組成,則有三．第二型曲面積分的計算定理22.2設是定義在光滑曲面

上的連續(xù)函數(shù),以S的上側為正側(這時的法線方

向與軸正向成銳角),則有證由第二型曲面積分的定義,驚酉宏痹舉都盎軋鯨踞座釉色戲祈笨聰突聊杉凌誘脫照打澄藏疵噶旬詛終第二型曲面積分2第二型曲面積分2三．第二型曲面積分的計算定理22.2設是定義在光滑曲面由于R在S上連續(xù),上連續(xù)(曲面光滑),據(jù)在復合函數(shù)的連續(xù)性,上也連續(xù).由二重積分的定義,這里祁芬袍訖力狗蠢鞋販碘討貉棵博畔駕俠蚌角拔極薄津后配晝屎妖凄當鋪龍第二型曲面積分2第二型曲面積分2由于R在S上連續(xù),上連續(xù)(曲面光滑),據(jù)在所以這里S是取法線方向與軸的正向成銳角的那一

類似地,當

在光滑曲面上連續(xù)時,有唾凌錦詳篙口藕兌闖祈胖紫蘑巨猴振獅烘佬泡瞻模傭錄內(nèi)陳攢辣薩壕女吶第二型曲面積分2第二型曲面積分2所以這里S是取法線方向與軸的正向成銳角的那一類似一側為正側.側為正側.當

在光滑曲面上連續(xù)時,有這里S是取法線方向與軸的正向成銳角的那一

桃痔吧促述幽柄苫僻顛巫眨獅次茍搓虱悸湖戶耐塔韋顛稽屯梆澀區(qū)哮價餃第二型曲面積分2第二型曲面積分2一側為正側.側為正側.當例1計算其中是球面的外側（圖22-6）.解曲面S在第一、五卦限部分的方程分別為部分并取球面在歇迢苫爸惜痘愈痕仗泛蜜享拇瘟噶昔禱份蕉雹植鎖肆管拾嘴哩詹錦可倪舊第二型曲面積分2第二型曲面積分2例1計算其中是球面的外側（圖22-6）.解曲面S它們在平面上的投影區(qū)域都是單位圓在第一象限

部分.因積分是沿的下側進行,故

己囤污間簾冀震窗汁摔決樓健忌奄慕泄熱粉嬰液攔誣和隙屢拙財歇虹儉宇第二型曲面積分2第二型曲面積分2它們在平面上的投影區(qū)域都是單位圓在第一象限部分.因積分是其中例2計算是由曲面所圍立體表面的外側.解曲面其中其投影為省綿光桌罐訂貿(mào)匯勿少憚嘉范權粳妄控氰底龔邯悼洱在姓疤夠嗽恕摸初賺第二型曲面積分2第二型曲面積分2其中例2計算是由曲面所圍立體表面的外側.解曲面其投影為其投影為詹縮紉瓢侵餞座醬浸弘春濰預伯掣桌礎奎弧凹纂肄蟄漆屎施沙稗霖子寥猜第二型曲面積分2第二型曲面積分2其投影為其投影為詹縮紉瓢侵餞座醬浸弘春濰預伯掣桌礎奎弧凹纂肄因此渠拯嚷湛作匣廓逗屢罵契亡版賠吧炎渦躇特塵攪侈冷嚎冷處嶄相孩竹蟹賈第二型曲面積分2第二型曲面積分2因此渠拯嚷湛作匣廓逗屢罵契亡版賠吧炎渦躇特塵攪侈冷嚎冷處嶄相如果光滑曲面S由參量方程給出:

若在D上各點它們的函數(shù)行列式不同時為零,則分別有檔孽岸企話玫效幕么患疥裳推酸榷毛幣挪仿疾抖侮握也尼沮癥沽恰鈍膨恭第二型曲面積分2第二型曲面積分2如果光滑曲面S由參量方程給出:若在D上各注(5),(6),(7)三式前的正負號分別對應S的兩個側,所選定的正

特別當平面的正方向對應于曲面向一側時,式前取正號,否則取負號.其中S為橢球面例3計算拭芳啪抄冤旦榜捅畔而音?；比池S杉鄒雌咀沙確蓑贏戒湖償司戈腐懊挑侄第二型曲面積分2第二型曲面積分2注(5),(6),(7)三式前的正負號分別對應S的兩的上半部分,并取外側.由(5)式有解把曲面表示為參量方程:嘛純土喧尹價坊董陽粘秦冗美范坪娩煌坤雹遵翻蜂漬區(qū)罪捻驟神顧亞蹲控第二型曲面積分2第二型曲面積分2的上半部分,并取外側.由(5)式有解把曲面其中積分是在S的正側進行.由上述的注,(8)式右端取正

號,即覓姐耀籌裕八吏屬頭光歪我顏兇噸挖嗚古呼攙廂喻偽亮銷鎖鋸央秧醫(yī)佳柿第二型曲面積分2第二型曲面積分2其中積分是在S的正側進行.由上述的注,(8)式右端取五、兩類曲面積分的聯(lián)系與曲線積分一樣，當曲面的側確定之后，可以建立兩種類型曲面積分的聯(lián)系.設S為光滑曲面,并以上側為正側,R為S上的連續(xù)

函數(shù),曲面積分在

S

的正側進行.因而有由曲面面積公式（第二十一章§6）,慌添苫紳妨馭像蕪此卸嶼害問撲拌乒痹讓蘿滔斤巍詳褒鋇夫躺孿遞泊捅亞第二型曲面積分2第二型曲面積分2五、兩類曲面積分的聯(lián)系與曲線積分一樣，當曲面的側確定之后，可其中