自動(dòng)化考研現(xiàn)控部分習(xí)題解答.txtl8擁有誠(chéng)實(shí),就舍棄了虛偽;擁有誠(chéng)實(shí),就舍棄了無(wú)聊;擁有踏實(shí),就舍棄了浮躁,不論是有意的丟棄,還是意外的失去,只要曾經(jīng)真實(shí)擁有,在ー些時(shí)候,大度舍棄也是ー種境界。 本文由victory0702貢獻(xiàn)doc文檔可能在WAP端瀏覽體驗(yàn)不佳。建議您優(yōu)先選擇TXT,或下載源文件到本機(jī)查看?，F(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述3-1-1求圖示網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)空間表達(dá)式,選取uc和iL為狀態(tài)變量。(1)R1uiCluclR2iluC2i2uoc2題3-1-1圖1(2)RuiiLLCucuo題3-1-1圖2【解】:(1)設(shè)狀態(tài)變量:xl=ucl>x2=uc2而il二Clucl、i2=C2uc2根據(jù)基爾霍夫定律得:ui=[Clucl+(ucluc2)]R1+uclR2ucl=C2uc2R2+uc2整理得1RI+R21&xlRIR2ClR2Clxl+R1C1ui=x11x2&20R2C2R2C2xly=u0=[01]x2(2)設(shè)狀態(tài)變量:xl=iL>x2=uc而Page1of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳iL=Cuc根據(jù)基爾霍夫定律得:ui=RiL+LiL+uc整理得R&xlLx=l42CllLxl+uLi0x20xy=u0=[01]1x23-1-2如圖所示電樞電壓控制的它勵(lì)直流電動(dòng)機(jī),輸入為電樞電壓ua輸出為電動(dòng)機(jī)角速度3,電動(dòng)機(jī)軸上阻尼系數(shù)為f?轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J?試列寫狀態(tài)方程和輸出方程。RauaLaiaif二常數(shù)fDJMLG)題3-1-2圖【解】:設(shè)狀態(tài)變量為:xlia=x23其中ia為流過(guò)電感上的電流,3電動(dòng)機(jī)軸上的角速度。電動(dòng)機(jī)電樞回路的電壓方程為:ua=Laia+Raia+ebeb為電動(dòng)機(jī)反電勢(shì)。電動(dòng)機(jī)力矩平衡方程為MD=J3+f0+ML由電磁力矩和反電勢(shì)的關(guān)系,有eb=c,MD=cMia式中ce為電動(dòng)機(jī)反電勢(shì)系數(shù),cM為電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩系數(shù)。J為電動(dòng)機(jī)軸上粘性摩擦系數(shù),f電動(dòng)機(jī)軸上等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。整理得Page2of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳Ra&xlLa=x&2cMJce1xlLLa+afx20Jxy=w=[01]1x20ua1MLJ(注:解是非唯一的)3-1-3試求圖示系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖,并建立狀態(tài)空間表達(dá)式。(1)U(s)KITls+1K2T2s+1K3s1T4s+1Y(s)1sK5T5s+1題3-1-3圖1(2)UI(s)cs+a1sYl(s)U2(s)ds+bfs+eY2(s)g題3-1-3圖2【解】:(1)如題3-1-3圖3設(shè)狀態(tài)變量Page3of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解U(s)victory上傳x6KIT1&x6K2T2&x41T2x4K3&x2x21T4&xl1T4xlY(s)1T1x3&x3x5&x5K5T51T5題3-1-3圖3&xl=11xl+x2T4T4&x2=K3(x4x3)&x3=x2&x4=KK1x42x5+2x6T2T2T2K51x2x5T5T5&x5=&x6=K1x6+1(uxl)T1T1y=xl寫成矩陣的形式得:1100TT440K3K300100100&x=0T2K5000T5K1000Tly=[100000]x000K2T21T50000000K2X+uT2000K1T11T1(2)如圖題3-1-3圖4設(shè)狀態(tài)變量Page4of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳ulc&x2x2xlyiau2d&x4x4f&x3&x3x3y2beg題3-1-3圖4&xl=x2&x2=ax2+c(ulx4)&x3=ex3+fx4&x4=bx4+dx2dgx3+du2yl=xly2=x3y=xl寫成矩陣的形式得:000010a0ccx+&x=00ef00ddgb01000y=x001000u0d(注:此題解并非唯一的)3-1-4已知系統(tǒng)的微分方程,試將其轉(zhuǎn)變成狀態(tài)空間表達(dá)式。&&⑴&y&+2&&+4y+6y=2uy&&(2)&y&+7&&+3y=u+2uy&&&&&(3)&y&+5&&+4y+7y=u+3u+2uy&(4)y(4)+3&&+2y=3u+uy【解】：Page5of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳在零初始條件下,方程兩邊拉氏變換,得到傳遞函數(shù),再根據(jù)傳遞函數(shù)求狀態(tài)空間表達(dá)式。此題多解，-?般寫成能控標(biāo)準(zhǔn)型、能觀標(biāo)準(zhǔn)型或?qū)菢?biāo)準(zhǔn)型，以下解法供參考。(1)傳遞函數(shù)為：G(s)=2s+2s+4s+62狀態(tài)空間表達(dá)式為：1000&x=001x+0u6421y=[200]x(2)傳遞函數(shù)為：G(s)=s+2s+7s+332s+2s+7s2+0s+33狀態(tài)空間表達(dá)式為:0100&=001x+0ux3071y=[210]x(3)傳遞函數(shù)為:G(s)=s2+3s+22s+5s+4s+73狀態(tài)空間表達(dá)式為:1000x+0u&=0x017451y=[231]x(4)傳遞函數(shù)為:G(s)=3s+13s+l=4223s+3s+2s+0s+3s+0s+24狀態(tài)空間表達(dá)式為:010000010x+0u&x=0001020301y=[1300]xPage6of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳3-1-5已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù),試建立其狀態(tài)空間表達(dá)式,并畫出結(jié)構(gòu)圖。(1)G(s)=(3)G(s)=s2+s+1s2+3s+1(2)G(s)=22s+5s+6s3+6s+1Is++64s(s+1)2(s+3)4)G(s)=s2+2s+32s3+3s+3s+l【解】:此題多解，一般可以寫成能控標(biāo)準(zhǔn)型、能觀標(biāo)準(zhǔn)型或?qū)菢?biāo)準(zhǔn)型，以下解法供參考。(1)10000x+0u&x-0161161y=[lll]x結(jié)構(gòu)圖如圖題3-1-5圖1所示U&x3x3&x2&x3x2&xlxly6116題3-1-5圖1(2)G(s)=s+3s+ls+5s+62s52s+5==1222s+5s+6s+5s+6s+5s+622100&x=x+lu65y=[52]+u結(jié)構(gòu)圖如圖題3-1-5圖2(a)所示Page7of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳2u&x2&x3x2&xlxly556題3-1-5圖2(a)或有G(s)=s2+3s+111=1s+2s+3s2+5s+6201&x=x+lu03y=[ll]x+u結(jié)構(gòu)圖如圖題3-1-5圖2(b)所示u&xl2xly&x2x23題3-1-5圖2(b)3)G(s)=4s(s+1)2(s+3)413+2+lG(s)=3+s(s+3)(s+1)2(s+1)Page8of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳00036x=000014y=33010x+lu0110110021x結(jié)構(gòu)圖如圖題3-1-5圖3所示u&xlxl3x2x2133y&x4x4&x3x32題3-1-5圖3(4)G(s)=s2+2s+32s3+3s+3s+l1000&x=001x+0u1331y=[32l]x結(jié)構(gòu)圖如圖題3-1-5圖4所示Page9of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳2u&x3x3&x2&x3x2&xlxl333y題3-1-5圖43-1-6將下列狀態(tài)方程化成對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。&(1)x=100x+u561100233x+15u&(2)x=02127671010101x+lu61160&(3)x=0【解】:(1)特征方程為:D(X)=X2+6X+5=(X+1)(X+5)=0〇特征值為:X1=1,X2=5系統(tǒng)矩陣A為友矩陣,且特征值互異,因此可以化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型,其變換矩陣P為范德蒙矩陣。變換陣:1111151P==,P=0.2511X1X215線性變換后的狀態(tài)方程為:100.25&X=(P1AP)x+(Plb)u=X+u050.25(2)特征方程為:Page10of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳XXIA=312702=入3+6入2+11X+6=(X+1)(X+2)(X+3)=0X+6特征值為:X1=1,X2=2,X3=3,設(shè)變換陣:P=P21P31PHP12P22P32P13P23P33由(XiIA)Pi=0得10PllPl1312P=0取P=P=當(dāng)X1=1時(shí),12121127P315P3111110Pl2Pl22322P=0取P=P=4當(dāng)X2=2時(shí),22222127P3214P32310P13Pl31332P=0取P=P=3當(dāng)X3=3時(shí),32323127P3333P33變換陣:2114.52.51143,P1=321P=112.51.513線性變換后的狀態(tài)方程為:01018.5274=020x+1520ux013.51603(3)特征方程為:D(X)=X3+6X2+11X+6=(X+1)(X+2)(X+3)=0〇特征值為:X1=1,X2=2,X3=3〇Page11of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳系統(tǒng)矩陣A為友矩陣,且特征值互異,因此可以化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型,其變換矩陣P為:1P=X12X11X2X221111=123X32X3149P132.50.5=34111.50.5線性變換后的狀態(tài)空間表達(dá)式為:0105.5&=020x+7ux02.5033-1-7將下列狀態(tài)方程化成約旦標(biāo)準(zhǔn)型。&(1)x=210x+ul211&(2)x=12312x+27ull353400100001x+0u&(3)x=2541【解】:(1)特征方程為:XIA=X+211X+2=X2+4X+3=(X+1)(X+3)=0特征值為:X1=1,X2=3〇設(shè)變換陣:P=PllP21P12P22由(入iIA)Pi=0得:Page12of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳當(dāng)人1=1時(shí),111PllP=0取P1=11121111Pl2P=0取P2=11122當(dāng)X2=3時(shí),110.50.51P=,P=110.50.5線性變換后的狀態(tài)空間表達(dá)式為:100.5&x=(P1AP)X+(Plb)u=x+u030.5(2)特征方程為:X41XIA=1X1122=(X1)(X3)2=OX3特征值為:X1=X2=3,X3=1?設(shè)變換陣:PllP=P21P31P12P22P32P13P23P33當(dāng)X1TOC\o"1-5"\h\z11 2P111132P=0,取 P =1=3 時(shí)，由(X 1I A) P1 = 0 得:121 11 10P311 12P121132P22=1 , JUP2= 01 100 P32 1當(dāng) X2=3時(shí)，由(X2IA) P2=Pl 得:131 2P130112P=0.取 P =2當(dāng)X3=l時(shí)，由(X3IA)P3 = 0得:323112P331變換陣:Page13of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳110012102,P1=112P=101011線性變換后的狀態(tài)空間表達(dá)式為：31081&=030x+52ux00134(3)特征方程為:D(X)=X34X2+5X2=(X1)2(X2)=0。特征值為:X1=X2=1,X3=2〇且特征值有重根，因此可以化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，其變換矩陣P為:系統(tǒng)矩陣A為友矩陣,P=[PlP2dPlP3]=PlMMP3dX1110011X=1,P=1=1,P=X=2P1=13232X112X12X243變換陣:211010112,P1=231P=124121線性變換后的狀態(tài)空間表達(dá)式為:1101&=010x+lux00213-1-801121030x+l&已知狀態(tài)空間表達(dá)式,x=4u01423Page14of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳1001"=P1x進(jìn)行線性變換,(1)試用x變換矩陣P=020求變換后的狀態(tài)空間表達(dá)式。0〇1(2)試證明變換前后系統(tǒng)的特征值的不變性和傳遞函數(shù)矩陣的不變性?！窘狻?(1)~=Plxxx=P~x20.50~1A=PAP=03000.5411~1B=PB=282320.5011~=030~+2&xx8u00.5423(2)證明:變換后的系統(tǒng)矩陣為A=P1AP?輸入矩陣為B=P1B特征值的不變性:siP1AP=sP1PP1AP=P1siAP=siA?r傳遞函數(shù)矩陣的不變性:G(s)=CP(siP1AP)1P1B=CP(sP1PP1AP)1P1B=CP[P1(siA)P]1P1B=CPP1(siA)1PP1B=C(siA)1B驗(yàn)證：變換前的特征方程為:DI(X)=(X+2)(X+3)(X+4)=0變換后的特征方程為：D2(X)=(X+2)(X+3)(X+4)=0DI(X)=D2(X)所以變換前后系統(tǒng)的特征值是不變的。3-1-9已知兩個(gè)子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣分別為Page15of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳1Gl(s)=s+1011s+2,G(s)=s+3121ss+l1s+1.試求兩子系統(tǒng)串聯(lián)后和并聯(lián)后的傳遞函數(shù)0矩陣?！窘狻浚?1)串聯(lián)Gl(s)在前,G2(s)在后時(shí)G(s)=G2(s)G1(s)=s+31s+lG2(s)在前,Gl(s)在后時(shí)lls+ls+10011(s+l)(s+3)s+2=lls(s+l)22s2+6s+6s(s+1)(s+2)(s+3)1(s+1)(s+2)G(s)=Gl(s)G2(s)=s+10lls+2s+311ss+l2s+51(s+1)(s+2)(s+3)s+1=10s(s+1)12s+4s+l=(s+l)(s+3)10(s+1)(s+1)012(2)并聯(lián)1G(s)=Gl(s)+G2(s)=s+101ls+2+s+311ss+12s+3(s+1)(s+2)1s3-1-10已知離散系統(tǒng)的差分方程為y(k+3)+3y(k+2)+5y(k+1)+y(k)=u(k+1)+2u(k),求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,并畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖?！窘狻浚焊鶕?jù)差分方程,在零初始條件下,方程兩邊Z變換,得到系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為G(z)=z+2z+3z2+5z+l31000x(k+l)=001x(k)+0u(k)1531y(k)=[21O]x(k)其結(jié)構(gòu)圖如圖題3-1-10圖所示:Page16of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳uZ13x3(k)&x3z1x2(k)z1xl(k)2y5題3-1-10圖3-1-11!已知離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為1u(k),=+x2(k+1)13x2(k)1x(k+1)01x(k)0x(k)y(k)=[11]1,求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。x2(k)【解】:W(z)=C(zlG)1H10z=[11]1z31=[ll]z310zlz3zllz+l=2z3zll21也可以直接寫出。3-1-12已知系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù),試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。(1)G(z)=(2)G(z)=2z2+z+2z3+6z2+llz+61z3+4z2+5z+2【解】:此題多解,一般可以寫成能控標(biāo)準(zhǔn)型、能觀標(biāo)準(zhǔn)型或?qū)菢?biāo)準(zhǔn)型,以下解法供參考。(1)Page17of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳10000x(k)+0u(k)x(k+l)二016116ly(k)=[212]x(k)(2)10000x(k)+0u(k)x(k+l)=012541y(k)=[100]x(k)第二章?tīng)顟B(tài)空間表達(dá)式的解3-2-!試求下列矩陣A對(duì)應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣ゆ(t)〇(1)01A=(2)0210A=(4)1201A=40010A=00125400(5)A=00100X000010(6)A=0X1000X1001000000X【解】:(1)11s11sO(t)=L[(siA)]=L{}=L00s+2111Is(s+2)1(s+2)s=LI00.50.52ts(s+2)10.50.5e=1e2t0(s+2)(2)s1s11s2+4O(t)=L[(siA)]=L{}=L44ss2+411s+4=cos2ts2sin2ts2+410.5sin2tcos2tPage18of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳3)s+21s1(s+1)2O(t)=LI[(siA)1]=Li{}=LI11s+2(s+1)2(s+l)s(s+l)212tet+et中(t)=ttetetettet(4)特征值為:XI=X2=1,X3=2〇由習(xí)題3-1-7(3)得將A陣化成約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的變換陣P為211010112,P1=231P=121124線性變換后的系統(tǒng)矩陣為:110~A=P1AP=010002et=00teteteAt000e2t0et00021tte231etl21e2ttetet2e2ttet2et4e2ttet3et①(t)=eAt=PeP?At12tl01ell20=1240e2t2tet中(t)=2e2t2tet2et4e2t2tet4et2e2t+3tet+2et4e2t+3tet+5et8e2t+3tet+8et(5)為結(jié)構(gòu)四重根的約旦標(biāo)準(zhǔn)型。入1二入2二入3二入4二0Page19of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳中(t)=eAt1t=eXt01000012t2!t1013tlt3!12t=012!t0010012t2t1013t612t2t1(6)X1=X2=X3=X4=X雖然特征值相同,但對(duì)應(yīng)著兩個(gè)約當(dāng)塊。eAlt①(t)=eAt=00eA2tAl=[X]eAlt=eXtXteX100X1eA2t=0A2=000XeXt0=000eXt[]teXteXt012Xtte2teXteXt0teXt①(t)=eAt00eXt00012Xtte2teXteXt01sX000}1sX1sX〇或①(t)=LI[(siA)1]=LI{00sX001s+X01=L0001s+X0001(s+X)21s+X0l(s+X)312(s+X)ls+X0Page20of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳eXt0=000e0teAt00e入t0012Xtte2te入te入t3-2-2已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程和初始條件1001&x=010x,x（0）=00121（1）用laplace法求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣:（2）用化標(biāo)準(zhǔn)型法求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;（3）用化有限項(xiàng)法求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;（4）求齊次狀態(tài)方程的解?！窘狻?（1）①（t）=LI（siA）10sl01=L{0sl0}01s211(s1)1=L0001(s1)11(s1)(s2)te0-010(s2)00etet+e2t00e2t(2)特征方程為:入10入IA=0入10100二(入1)2(入2)=0入2特征值為:X1=X2=1,X3=2〇000rank(XIIA)=rank000=nl=1011Page21of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳000rank(XIIA)=rank000=n2=10112由于n2=nl=1,所以X!對(duì)應(yīng)的廣義特征向量的階數(shù)為1?求滿足(XIIA)P1=0的解P1I得:0P11001000P21=0,P1=0011P310再根據(jù)(X2IA)P2=0,且保證Pl、P2線性無(wú)關(guān),解得:P2=[011]T對(duì)于當(dāng)X3=2的特征向量,由(X3IA)P3=0容易求得：P3=[001]T所以變換陣為：P=[P1P2100100P3]=010,Pl=010011011線性變換后的系統(tǒng)矩陣為：1OO~1A=PAP=010002et=000ete“At000e2t0ett①(t)=eAtet=P000et0et010P=00e2te+e2t00e2t(3)特征值為:X1=X2=1,X3=2〇2eXIt=a0+alX1+a2X1Page22of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳teXIt=al+2a2X1eX3t=aO+alX3+a2X23即a01X1a=011a21X32X12X1X2311eXItXItteeX3t111=012124etttee2tt021et=232te111e2t2tet+e2t=2et+3tet2e2tettet+e2teAt=aOI+alA+a2A2et=000ette+e2t00e2t(4)etx(t)=O(t)x(0)=000etet+e2t01et00=0e2tle2t3-2-3試判斷下列矩陣是否滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件,如果滿足,試求對(duì)應(yīng)的矩陣Ao0012t0sintcost(2)①(t)=10.5(1e)(1)O(t)=e2t00costsintPage23of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳(3)O(t)=【解】：(1)2ete2tt2tee0.5et+0.5e3t2et+2e2t(4) O(t)=t3tet+2e2 t e +e0.25et+0.25e3t0.5et+0.5e3t001100Q中(0)=0sintcost =001:/:I0costsin t t =0 010???不滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件。(2)10.5(1e2t)10Q0(0)===12te0t=001，滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件。&&由e(t)=A6(t),得中(0)=A①(0)=A〇&???①(t)=e2t,2t02e0OOle2t&=A=0(0)=2t02et=002(3)2ete2tQ0(0)=t2tee2et+2e2t=1et+2e2tt=0工滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件。2et+2e2t&A=①(0)=t2te+2e022et4e2t=t2te4et=013(4)0.5et+0.5e3tQ0(0)=t3te+e0.25et+0.25e3t=10.5et+0.5e3tt=0工滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件。0.5et+1.5e3t&A=〇(0)=t3te+3e110.25et+0.75e3t=t3t0.5e+1.5et=041Page24of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳&3-2-4已知線性時(shí)變系統(tǒng)為x=2t1x,試求系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。2t【解】:取A(tl)=2tl1t,2tl2t2A(t2)=11,得:A(tl)*A(t2)=A(t2)*A(tl)2t2fA(t)dt=I+t2t①(t,t0)=et0ftO111dx+2t2!J2tt01tdt+L2t2331222ttO+tOt2+Ll+(tOt)+3(ttO)+2(ttO)+LO)(t,t0)=212231+(t0t2)+(t3t0)+(tt0)+Ltt0+t0t2+L321001x+u,初始條件為x(0)=試2311&3-2-5已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x=求輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解?！窘狻?中(t)=LI[(siA)1]s+3(s+1)(s+2)0)(t)=LI2(s+1)(s+2)1t2t(s+1)(s+2)2ee=t2ts2e+2e(s+1)(s+2)ete2tet+2e2t0.5+0.5e2tx(t)=0(t)x(0)A1[Ie(t)]B=2te3-2-6&已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為x=102x+u,560y=[12]x,已知狀態(tài)的初始條件為x(0)=,輸入量為u(t)=et10(t20),試求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)?！窘狻?5t15te4e①(t)=L[(siA)]=455et+e5t4411Itl5tee441t55te+e44y(t)=cO(t)x(0)+c①(tt)Bu(t)dt0JtPage25of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳5t15te4e=[12]455et+e5t445(tt)15(tt)ee4+[12]45(tt)55(tt)e+e044tltl5tee04415et+e5tl441(tt)15(tt)ee2t44edt1(tt)55(tt)0e+e44J91=et+e5t+44f5(tT)15(tT)eet2[12]25edt5e(tx)+e5(tx)022t9595791=et+e5t+(et+e5t+4x)dx=tet+et+e5t(t20)42288402&3-2-7線性定常系統(tǒng)的齊次方程為x=Ax(t),已知當(dāng)x(0)=!時(shí),狀態(tài)方程的解為2e2tet1;而當(dāng)x(0)=時(shí),狀態(tài)方程的解為x(t)=t,試求:x(t)=2t2ee1(1)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣①(t)；(2)系統(tǒng)的系數(shù)矩陣A。【解】:x(t)=0(t)x(0)xl(t)￠11￠12xl(0)=x2(t)￠21￠22x2(0)e2t￠11￠121et￠11￠121=;t=2t2e￠21￠222e￠21￠221￠112￠12=e2t, ￠212￠22=2e2t￠11￠12=et, ￠21￠22=et￠122ete2t￠中(t)=11=t2t￠21￠222e+2eete2tet+2e2tPage26of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳&A=①(t)&3-2-8已知線性時(shí)變系統(tǒng)為x=01x,0tt=010=231x(0)=.試求系統(tǒng)狀態(tài)方程的解。1【解】:對(duì)任意時(shí)間tl和t2有A(tl)=得:A(tl)*A(t2)ギA(t2)*A(tl)所以有O(t,0)=I+A(t)dt+A(t1)A(t2)dt2dt1+L000tt01,0tl01A(t2)=0t2JfT1Jt0100=+2+0100.5t012t2+L13t612t2+L)X1113t6t0100x(t)=0(t,0)x(0)=(+2+0100.5t0llltt2Lt+t2L1122X=x(t)=1311301+0.5t2+tL(l+0.5t2+tL)66第三章線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3-3-1判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。10(1)A=,1〇1001010,B=01B=(2)A=0102431110000,0X101B-11A1031110(3)A=030,B=00(4)A=0020010X100A10【解】:Page27of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳Uc=[B11AB]=,rankUc=n=2,所以系統(tǒng)完全能控。01Uc=B[AB11000111LAB=11172]前三列已經(jīng)可使rankUc=n=3,所以系統(tǒng)完全能控(后續(xù)列元素不必計(jì)算)。(3)A為約旦標(biāo)準(zhǔn)型,且第一個(gè)約旦塊對(duì)應(yīng)的B陣最后一行元素全為零,所以系統(tǒng)不完全能控。(4)A陣為約旦標(biāo)準(zhǔn)型的特殊結(jié)構(gòu)特征,所以不能用常規(guī)標(biāo)準(zhǔn)型的判別方法判系統(tǒng)的能控性。同一特征值對(duì)應(yīng)著多個(gè)約旦塊，只要是單輸入系統(tǒng),一定是不完全能控的?？梢郧笠幌履芸嘏袆e陣。Uc=B[ABA2B011X1A3B=1X11X112X1X12X12X123X12X13,rankUc=2,所以系統(tǒng)不完全能控。X13X133-3-2判斷下列系統(tǒng)的輸出能控性。01131&=030x+00ux0120(l)0y=101xll010004=001x+0ux(2)61161y=[100]x【解】:⑴031030.已知A=0011110100B=00,C=,D=1100020[D0031LCBCABCA2B=0011LPage28of84]現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳前兩列已經(jīng)使rankDCBCABCA2B=m=2,所以系統(tǒng)輸出能控。(2)系統(tǒng)為能控標(biāo)準(zhǔn)型，所以狀態(tài)完全能控。又因輸出矩陣C滿秩,且輸出維數(shù)m小于狀態(tài)維數(shù)n,所以狀態(tài)能控則輸出必然能控。2-3-3判斷下列系統(tǒng)的能觀性。100&x=001x(1)243；(2)011y=121x11&x=x10；y=[1l]x2&x=0(3)0y=[0104x&20x=0； （4）003y=[111l]x0040x014]x【解】:⑴1000110已知A=01,C=121243011121CCA=244V0=MCA2前三行已使rankVO=n=3,所以系統(tǒng)完全能觀（后續(xù)元素不必計(jì)算）〇（2）11A=,C=[11]10C11V0==,rankVO=n=2CA21所以系統(tǒng)完全能觀。（3）Page29of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳狀態(tài)空間表達(dá)式為約旦標(biāo)準(zhǔn)型,且C陣對(duì)應(yīng)于第一個(gè)約旦塊的第一列元素為零,所以系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀。（4）狀態(tài)空間表達(dá)式為約旦標(biāo)準(zhǔn)型的特殊結(jié)構(gòu)形式,所以不能用常規(guī)方法判系統(tǒng)的能觀性。同一特征值對(duì)應(yīng)著多個(gè)約旦塊，只要是單輸出系統(tǒng)，一定是不完全能觀的。也可求14C1VO=CA=444,CA216164V0=0,rankVO=2所以系統(tǒng)不完全能觀。&3-3-4設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為x=Ax+Bu,若xl、x2是系統(tǒng)的能控狀態(tài)，試證狀態(tài)axl+Px2也是能控的（其中a、B為任意常數(shù)）。【解】:設(shè):y=Cx=[aB]x因?yàn)?，狀態(tài)xl和x2能控，所以至少有rankB[ABLAn1B=2。而由系統(tǒng)輸出能控的判別陣得:rankCBCABCA2B=rank（CBABLAn1B）=1,C陣乂滿秩）（。]所以y=Cx=[aB]x一定是能控的。3-3-5設(shè)系統(tǒng)El和￡2的狀態(tài)空間表達(dá)式為L(zhǎng)00&xl=xl+lul:134y=[2l]x11￡&x2=2x2+u2:y2=x2（1）試分析系統(tǒng)El和E2的能控性和能觀性,并寫出傳遞函數(shù);（2）試分析由Z1和E2組成的串聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀性，并寫出傳遞函數(shù);（3）試分析由E1和E2組成的并聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀性,并寫出傳遞函數(shù)。【解】:(1)￡11012:Uc=,rankUc=2;Vo=,rankVo=21432Page30of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳E兩個(gè)子系統(tǒng)既能控又能觀。2&x=2x2+u2:2y2=x2(2)以系統(tǒng)1在前系統(tǒng)2在后構(gòu)成串聯(lián)系統(tǒng)為例(串聯(lián)順序變化狀態(tài)空間表達(dá)式不同,又都是SISO系統(tǒng),傳遞函數(shù)相同):系統(tǒng)有下關(guān)系成立:U1=u,u2=yl,y=y2xx=lx210000bl340x+luu=x+A202120y=[0C2]x=[00l]xA&x=1b2ClUc=b[014AbA2b=1413,rankUc=2;0141C001Vo=CA=212,rankVo=32744CA串聯(lián)后的系統(tǒng)不能控但能觀。傳遞函數(shù)為:G(s)=G2(s)G1(s)=C2(siA2)1b2Cl(siAl)1bls1=[IX(s+2)1X1]X[21]3s+410s+21=21=2(s+4s+3)(s+2)(s+4s+3)(3)并聯(lián)后的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型為:系統(tǒng)有下關(guān)系成立:ul=U2=u,y=yl+y2并聯(lián)后的狀態(tài)空間表達(dá)式為：Page31of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳A&x=10y=[C110000bl340x+lux+u=A2b20021C2]x=[211]xUc=b[014AbAb=1413,rankUc=3;1242]C211Vo=CA=322,rankVo=32654CA并聯(lián)后系統(tǒng)既能控又能觀。傳遞函數(shù)為：G(s)=Gl(s)+G2(s)=Cl(siAl)1bl+C2(siA2)1b2s1=[21]3s+410s+212s2+8s+71+=31+[lX(s+2)X1]=2(s+4s+3)s+2s+6s2+1Is+6s+as+10s2+27s+1833-3-6已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)=(1)試確定a的取值,使系統(tǒng)成為不能控或?yàn)椴荒苡^;(2)在上述a的取值下,求使系統(tǒng)為能控的狀態(tài)空間表達(dá)式:(3)在上述a的取值下,求使系統(tǒng)為能觀的狀態(tài)空間表達(dá)式?！窘狻?系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以寫成:G(s)=s+as3+10s2+27s+18=s+a(s+3)(s+l)(s+6)(1)當(dāng)a=l,3,6時(shí)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象,則系統(tǒng)可能不能控，或不能觀或即不能控又不能觀。(2)在上述a的取值下,求使系統(tǒng)為能控的狀態(tài)空間表達(dá)式:能控標(biāo)準(zhǔn)型為：Page32of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳10000&01x+0ux=1827101y=[a10]x(3)在上述a的取值下,求使系統(tǒng)為能觀的狀態(tài)空間表達(dá)式。能觀標(biāo)準(zhǔn)型為:0&x=10y=[018a027x+1u11000l]x03-3-7已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為X10a&x=0X0x+bu00Xcy=[abc]x試問(wèn)能否選擇常數(shù)a、b、c使系統(tǒng)具有能控性和能觀性?！窘狻浚篴aX+baX2+2bX=bbXbX2ccXcX2Uc在上述行列式中，無(wú)論a、b、c如何取值,都有兩行元素線性相關(guān),則Uc=0,rankUc=20aV0=aXaX2ba+bX2aX+bX2ccXcX2在上述行列式中,無(wú)論a、b、c如何取值,都有兩列元素線性相關(guān),則V0=0,rankVO=2。所以,無(wú)論常數(shù)a、b、c取何值,系統(tǒng)都不能控和不能觀。3-3-8系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如題3-3-8圖所示,圖中a、b、c、d均為實(shí)常數(shù),試建立系統(tǒng)的狀Page33of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳態(tài)空間表達(dá)式，并分別確定當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)能控和能觀時(shí)a、b、c、d應(yīng)滿足的條件。u(t)x2(t)xl(t)y(t)bd題3-3-8圖【解】:系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為:&xl=axl+cx2+uacl&x=x+lu&x2=dxlbx2+udby=xy=[10]x1系統(tǒng)能控的條件為:Uc=[bla+cAb]=ldbUc=db+acWO。系統(tǒng)能觀的條件為:c10V0==,cAacVo=c7t0〇3-3-9設(shè)系統(tǒng)alA=10a201E(A,C)的系數(shù)矩陣為a30,C=[cl000]其中al,a2,a3,cl為實(shí)數(shù)。試問(wèn)系統(tǒng)數(shù)具體表示。【解】:CclVO=CA=alcl2a2cac21CA110E(A,C)能觀的充要條件是什么?要求用A、C中的參a2clala2cla3cl01a3cl=cl3alal2a2ala3cl0a2ala2a30a3ala3VO=cl3a32W0clW0,a3W0.Page34of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳3-3-10已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為lbl0&x=x+bu232y=[cc]xl2欲使系統(tǒng)中有一個(gè)狀態(tài)既能控又能觀,另一個(gè)狀態(tài)既不能控又不能觀,試確定參數(shù)bl,b2,cl,c2應(yīng)滿足的關(guān)系?！窘狻?f(X)=AIA=X2+3A+2=0,入1=1,入2=2A為友矩陣,且特征值互異,所以P=[Pl1P2]=X1111,=X212x=Px&10x+2b1+b2ux=bb0212y=[clc2cl2c2]x21P1=11顯然,當(dāng)狀態(tài)x2既能控又能觀,而狀態(tài)xl既不能控又不能觀的條件是:clc2=0,cl2c2W0c=c2#012bl+b2=0,b2blW0b2=2bl#0當(dāng)狀態(tài)xl既能控又能觀,而狀態(tài)x2既不能控又不能觀的條件是:cl2c2=0,clc2W0c=2c2W01b2bl=0,2bl+b2ナ0b2=blW03-3-11設(shè)n階系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為2n-1&x=Ax+bu,試證:y=Cx⑴若Cb=0,CAb=O,CAb=0,……CAb=0?則系統(tǒng)不能同時(shí)滿足能控性和能觀性條件。2n-2n-1(2)如果滿足Cb=O,CAb=0,CAb=0,……CAb=0,CAb—0則系統(tǒng)總是又能控又能觀的?！窘狻浚?1)以三階系統(tǒng)為例：Page35of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳CVOXuc=CAXb2CAAbCbCAbCA2b0000223Ab=CAbCAbCAb=CA3b0CA2bCA3bCA4b0CA3bCA4b]VOXuc=0,VOXUc=0所以該系統(tǒng)不能同時(shí)滿足能控性和能觀性條件。(2)以三階系統(tǒng)為例:CVOXUc=CAXb2CA[AbCbCAbCA2b00k0223Ab=CAbCAbCAb=kCA3bCA2bCA3bCA4bkCA3bCA4bVOXUc=k3=(CA2b)3K0VOW0,Ucナ〇,所以該系統(tǒng)既能控又能觀。3-3-12&&已知系統(tǒng)的微分方程為&y&+6&&+Uy+6y=6u,試寫出對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)y式及其傳遞函數(shù)。【解】:因?yàn)镚對(duì)偶(s)=bT(siAT)1CT=[C(siA)lb]T=G原系統(tǒng)T(s)又因?yàn)閱屋斎?單輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣為ー個(gè)元素,所以二者傳遞函數(shù)是相同的。G(s)=6s+6s+11s+632系統(tǒng)傳遞函數(shù)無(wú)零點(diǎn),所以不會(huì)出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象,系統(tǒng)既能控乂能觀。能控標(biāo)準(zhǔn)型為:0&x=06y=[600001x+0ull6110]x能觀標(biāo)準(zhǔn)型為:0&x=10y=[0066011x+Ou1600l]xPage36of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳&3-3-13已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x=101x+u,試求出它的能控標(biāo)準(zhǔn)型。121【解】:Uc=[b11Ab]=,rankllc=l<n=2?11所以系統(tǒng)不能控，不存在能控標(biāo)準(zhǔn)型。3-3-14已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為10&x=x24試求出它的能觀標(biāo)準(zhǔn)型。y=[1l]x【解】:判系統(tǒng)的能觀性:C11V0==,rankVO=2CA34所以系統(tǒng)能觀。方法之一:①求變換陣TO=[T1TO=[T101ATI],T1=V01=1111211ATI]=,TO=1112②設(shè)x=TOx對(duì)原狀態(tài)空間表達(dá)式做線性變換得：&04x=xl5y=[0l]x方法之ニ:依據(jù)特征多項(xiàng)式f(s)=siA=s25s+4直接可以寫出能觀標(biāo)準(zhǔn)型的A,C陣。04A=,C=[01]?15s2+6s+8s2+4s+33-3-15已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為G(s)=【解】:系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以寫成:,試求能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型。Page37of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳G(s)=s2+6s+8s+4s+322s+5s+4s+32+1傳遞函數(shù)無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消,系統(tǒng)既能控又能觀。能控標(biāo)準(zhǔn)型為：100&x=x+u341y=[52]x+u能觀標(biāo)準(zhǔn)型為:035&x=x+ul42y=[01]x+u&3-3-16已知完全能控系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x=010x+u(試問(wèn)與它相應(yīng)的離散化方101程x(k+1)=【解】：cosTsinTsinT1cosTx(k)+u(k)是否一定能控。cosTsinTcosTsinTsinT1cosTx(k)+u(k),cosTsinT離散系統(tǒng)完全能控的條件為Mc矩陣滿秩。已知x(k+1)=而Mc=[HGH]=1cosTsinTcosT(1cosT)+sin2T,所以系統(tǒng)是否能控,取決sinT(1cosT)+cosTsinT于采樣周期T的取值使能控判別陣滿秩。Mc=[H1cosTGH]=sinTcosT(1cosT)+sin2TsinT+2cosTsinTMc=2sinT(cosT1)當(dāng)TNkn(k=1,2,Ln)時(shí)，rank(Mc)=2離散化方程也是能控的。3-3-17試將下列系統(tǒng)分別按能控性、能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。121001,b=0,C=[111](1)A=00431Page38of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳2210020,b=0,C=[111](2)A=1401【解】:(1)①按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解Uc=bAb014A2b=000,rankUc=2139]所以系統(tǒng)不完全能控,需按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解,構(gòu)造非奇異變換陣Tc.010301001,Tl=100Tc=cl30010按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解后的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為:0321&xcxc=142+0uxx&c001c0xcy=[121]xc②按能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解C111VO=CA=132,rankVO=2CA2195所以系統(tǒng)不完全能觀，需按能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解，構(gòu)造非奇異變換陣P01。111100132,P=211=0100312P01按能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解后的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為:Page39of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳1001&x0x0+2u&=340x0111x00x0y=[100]x0(2)①按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解Uc=b[Ab012A2b=000,rankUc=2101]所以系統(tǒng)不完全能控,需按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解,構(gòu)造非奇異變換陣Tc?010001001,Tl=100Tc=c100010按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解后的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為:0141&xcxcx=122x+0u&c002c0xcy=[lll]xc②按能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解C111VO=CA=101,rankVO=2CA2121所以系統(tǒng)不完全能觀,需按能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解，構(gòu)造非奇異變換陣P01?011110101,P=110=0101100P01按能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解后的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為:Page40of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳1001&x0x0+lu&=230x0211x00x0y=[100]x03-3-18試將下列系統(tǒng)分別按能控性和能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。010230(1)A=102412000,b=0,￠=[3010]；10421001223,b=2,C=[112]? (2)A=2012【解】:（1）系統(tǒng)的特征方程為:f（入）=入IA=（入4）（X+3）（入+2）（入1）=0化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型,其變換陣為:00P=0101017001131121,317181.1270.14290.3330.510=0.333011001000P1化成對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型為:040030&x=00200001.6670x+0ul010y=[0013.333]x可以看出系統(tǒng)不能控也不能觀,需按能控性和能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。其中x3為能控能觀的狀態(tài)變量xco；xl為能控不能觀的狀態(tài)變量xco；x4為不能控能觀的狀態(tài)變量XC0；X2為不能控不能觀的狀態(tài)變量XC0將上述方程按XCO,XCO,Xc〇,XC〇的順序排列,則有:Page41of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳&x32000x31&xl=0400xl+l.667u&x0010x404&x20003x20y=[103.3330]x或?qū)懗?xco20x&c0=04xc000&axco00y=[103.33300xco100xc01.667u+10xc0003xco00]x（2）Uc=b[Ab11121226,rankU=3Ab=c2022]C112V0=CA=125,rankVO=3CA27411系統(tǒng)既能控又能觀,無(wú)需分解。&&&&3-3-19已知系統(tǒng)的微分方程為&&+4y+3y=u+6u+8u,試分別求出滿足下列要求的狀態(tài)y空間表達(dá)式：（1）系統(tǒng)為能控能觀的對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型;（2）系統(tǒng)為能控不能觀的;（3）系統(tǒng)為能觀不能控;（4）系統(tǒng)為不能控也不能觀的?！窘狻?G（s）=s2+6s+8s+4s+322s+5s+4s+32+1=1.50.5++!〇s+1s+3傳遞函數(shù)無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消,則原系統(tǒng)既能控又能觀。Y(s)=1.50.5U(s)+U(s)+U(s)s+1s+3設(shè)：Page42of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳1X1(s)=s+1U(s)X(s)=1U(s)2s+3&xl=xl+u&x2=3x2+u&xll0xll&=+ux203x21xy=1.5xl+0.5x2+u=[1.50.5]1+ux2人為增加一對(duì)偶極子,得:G(s)=(2s+5)s(s+4s+3)s2+1=2s2+5ss+4s2+3s3+1系統(tǒng)能控不能觀的狀態(tài)空間表達(dá)式為:000100&lx+0ux=0341y=[052]x+u系統(tǒng)能觀不能控的狀態(tài)空間表達(dá)式為:0&x=10y=[000x+5u0321400l]x+u系統(tǒng)既不能控乂不能觀的狀態(tài)空間表達(dá)式為:10&x=0300y=[l.50.5010x+lu000]x+u3-3-201&x=2已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為2y=[1100023x+2u,利用線性變換x=Tx,0122]x101其中T=001,對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。試回答以下問(wèn)題:011Page43of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳(1)不能控但能觀的狀態(tài)變量以xl,x2,x3的線性組合表示:(2)能控且能觀的狀態(tài)變量以xl,x2,x3的線性組合表示:(3)試求這個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)?！窘狻?1T110=011,010A=TAT1,B=TB,C=CT1線性變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為:&xll20xl2&30x2+2ux2=2&x022x033y=[101]x系統(tǒng)的特征方程為:f(X)=XIA=(X1)2(X2)=0將線性變換后的系統(tǒng)變成約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型,變換陣為:010.5461P=010,Pl=010122220約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為:2004~~~011,B=P1B=2,C=CP=[112.5]1A=PAP=OO1O~A為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型,可以看出系統(tǒng)完全能觀，狀態(tài)そ不能控。x因?yàn)?x=Tx,x=P~x~=P1Txx413~=001xx200所以不能控但能觀的狀態(tài)變量“3=4xl+x2+3x3xPage44of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳x&、10011x3x能控且能觀的狀態(tài)變量"=x2=&x22002xlx3線性變換不改變系統(tǒng)的傳遞函數(shù),用約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的能控能觀的部分即最小實(shí)現(xiàn)求傳遞函數(shù):“二20"+4u&xx201"y=[ll]xs2〇、?へG(s)=Cco(slAco)1bco=[11]Xs101422s(s1)(s2)3-3-21s+3(s+1)(s+2)已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為G(s)=,s+4s+3(1)求系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn),畫出系統(tǒng)的狀態(tài)圖;(2)求系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn),畫出系統(tǒng)的狀態(tài)圖;(3)用傳遞函數(shù)并聯(lián)分解法,求系統(tǒng)對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型的實(shí)現(xiàn),畫出系統(tǒng)狀態(tài)圖?！窘狻?r=1,m=2,n=3.s+3(s+1)(s+2)Y1(s)U(s)Y(s)=G(s)U(s)=s+42s+3=12690s+s+U(s)+U(s)132s3+6s2+lls+611能控標(biāo)準(zhǔn)型為:10000x+0u&x=0161161yl9610=x+uy22311系統(tǒng)狀態(tài)圖如題3-3-21圖1所示。Page45of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳6u&x3x3&x2&x3x2&xlxl9yl62113y26題3-3-21圖1能觀標(biāo)準(zhǔn)型為:00a0ImB0x+Bu=lalIml0B2a2Im0000000000010001000109206611Ox+uO113106061602&x=Im020202Imyl0000100=x+uy20000011系統(tǒng)狀態(tài)圖如圖題3-3-21圖2所示。6611u9&xlX1&x3&x3x3&x5x5yl66311&x22x2&x4&x3x4&x6x6y26題3-3-21圖2Page46of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型為:s+312s+1s+2Yl(s)(s+l)(s+2)0U(s)=U(s)+U(s)Y(s)=1s+412s+3s+3Yl(s)=21U(s)U(s)s+1s+21U(s)+U(s)s+31U(s),s+21U(s)s+3Y2(s)=設(shè):X1(s)=1U(s),s+1X2(s)=X3(s)=&0xllxll0x=020x+lu&22x3003x31&Yl(s)=21U(s)U(s)=2X1(s)X2(s)s+1s+21U(s)+U(s)=X3(s)+U(s)s+3Y2(s)=xlyl2100y=x2+u2001xl3系統(tǒng)狀態(tài)圖如題3-3-21圖3所示。&xlxl2yi&x2x22&x3x3y23題3-3-21圖3Page47of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳3-3-22已知系統(tǒng)的微分方程為&&&2yl+2yl+y2+y2=ul+u2(1),試求該系統(tǒng)的最小實(shí)現(xiàn)。&&&yl+yl+y2+y2=ulu2(2)【解】:由(1)式ー(2)式和2X(2)式-(1)式得:&yl+yl=2u2&&y2+y2=ul3u2在零初始條件下,拉氏變換得:Yl(s)=2X1U2(s)s+1Y2(s)=s+111[sU1(s)3U2(s)]=U1(s)3XU2(s)s+1s+1s+111=U1(s)U1(s)3XU2(s)s+1s+11X1(s)=s+1U1(s)X(s)=1U(s)22s+1&2xl00ulxll0xll0ulyl0&=x+01u,y=13x+10ux20122222Uc=[b1010Ab]=,rankUc=n=20101013C,rankV=n=2V0==0CA0231系統(tǒng)完全能控能觀,所以上述系統(tǒng)為最小實(shí)現(xiàn)。3-3-23從傳遞函數(shù)是否出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消的現(xiàn)象出發(fā),說(shuō)明下圖題3-3-23圖中閉環(huán)系統(tǒng)E的能控性與能觀性和開環(huán)系統(tǒng)E0的能控性與能觀性是?致的。u(t)L￡0y(t)題3-3-23圖Page48of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳【解】:設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G0(s)=M(s),則開環(huán)系統(tǒng)能控且能觀的條件是無(wú)零極點(diǎn)D(s)M(s)。M(s)+D(s)對(duì)消,即M(s)和D(s)無(wú)公因子。而閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)=①開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)GO(s)有零極點(diǎn)對(duì)消時(shí)，M(s)和D(s)有公因子,設(shè)為(s+a)。則閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)=(s+a)M'(s)也有零極點(diǎn)對(duì)消,所以閉環(huán)系統(tǒng)Z的能控(s+a)(M'(s)+D'(s))性與能觀性和開環(huán)系統(tǒng)Z0的能控性與能觀性是一致的。②開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)GO(s)沒(méi)有零極點(diǎn)對(duì)消時(shí),M(s)和D(s)沒(méi)有公因子,則閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)=M(s)也沒(méi)有公因子，沒(méi)有零極點(diǎn)對(duì)消,所以閉環(huán)系統(tǒng)E的能控M(s)+D(s)性與能觀性和開環(huán)系統(tǒng)Z0的能控性與能觀性也是一致的。第四章3-4-1試確定下列二次型是否正定。控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性(1)v(x)=xl2+4x22+x32+2xlx26x3x22xlx3(2)v(x)=xl210x224x32+6xlx2+2x3x2(3)v(x)=10xl2+4x22+x32+2x1x22x3x24x1x3【解】:⑴1111111,1>0,11=3>0,1P=4343=4く014131131二次型函數(shù)不定。(2)0130133101,1<0,13=1>0,3101=3<0P=310014014二次型函數(shù)為負(fù)定。(3)Page49of84現(xiàn)代控制理論習(xí)題詳解victory上傳101210121,10>0,101=39>01P=4141=17>014211211二次型函數(shù)正定。3-4-2試確定下列二次型為正定時(shí)，待定常數(shù)的取值范圍。v(x)=alxl2+blx22+clx32+2xlx24x3x22xlx3【解】:v(x)=alxl2+blx22+clx32+2xlx