第12章：參數(shù)模型功率譜估計12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：該參數(shù)模型的思路是：（1）假定所研究的過程由一個輸入序列激勵一個線性系統(tǒng)的輸出，如圖：（2）由已知的，或者其自相關(guān)函數(shù)來估計的參數(shù)。第12章：參數(shù)模型功率譜估計12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：（3）由的參數(shù)來估計的功率譜。

不論是確定性信號還是隨機信號，對上圖所示的線性系統(tǒng)，和之間總有如下的輸入輸出關(guān)系：

(12.1.1)(12.1.2)12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：（3）由的參12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：對上式兩邊分別取z變換，并假定，可得：(12.1.3)(12.1.4a)(12.1.4b)(12.1.4c)12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：對上式兩邊分別取z變換，并12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：為了保證是一個穩(wěn)定的且是最小相位系統(tǒng)，，的零點都應(yīng)在單位圓內(nèi)。假定是一個方差為的白噪聲序列，由隨機信號通過線性系統(tǒng)的理論可知，輸出序列的功率譜：（12.1.5）12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：為了保證是一12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：AR模型：在中，如果：（1）全為零，那么，，分別變成：（12.1.1）(12.1.1)(12.1.3)(12.1.5)(12.1.6)(12.1.7)(12.1.8)12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：AR模型：（12.1.1）12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：MA模型：（2）全為零，那么，，全變成：

(12.1.1)(12.1.3)(12.1.5)(12.1.9)(12.1.10)(12.1.11)12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：MA模型：(12.1.1)12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：ARMA模型：（3）若，不全為零，則給出的模型為自回歸—移動平均模型，簡稱ARMA模型，顯然此模型是一個既有極點，又有零點的模型?？偨Y(jié)：由于ARMA模型是一個極—零模型，它易于反映功率譜中的峰值和谷值。AR模型易反映譜的中峰值，而MA模型易反映譜中的谷值。(12.1.1)12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：ARMA模型：(12.1.12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算

假定、都是實平穩(wěn)的隨機信號，為白噪聲，方差為，現(xiàn)在我們建立AR模型的參數(shù)和的自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系，也就是AR模型的正則方程（Yule-Walker方程）。(12.2.4)12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算假定12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算上式可簡單的表示為：

(12.2.5)12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算上式可簡單的表示為：(12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算(12.2.6)(12.2.7)(12.2.8)12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算(12.2.6)(1212.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算(12.2.9)(12.1.10)(12.2.11)12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算(12.2.9)(12

將這兩個方程和AR模型的正則方程相比較，可以看出他們及其相似，因為是同一個隨機信號，若線性預(yù)測器的階次和AR模型的階次一樣，那么有：

上兩式說明，一個p階AR模型的個參數(shù)同樣可以用來構(gòu)成一個P階的最佳線性預(yù)測器。所以AR模型和線性預(yù)測器是等價的，由此可以看出，AR模型是在最小平方意義上對數(shù)據(jù)的擬合。

12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算將這兩個方程和AR模型的正則方程相比較，可以看出他們及12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算Levinson-Durbin遞推算法：

Levinson-Durbin遞推算法從低階開始遞推，直到階次p，給出了在每一個階次時的所有參數(shù)，即這一特點有利于選擇AR模型的合適階次。12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算Levinson-D12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算

上述算法的遞推導(dǎo)是建立在的前個自相關(guān)函數(shù)已知的基礎(chǔ)上，但在實際的工作中，往往不能精確的知道的自相關(guān)函數(shù)，而知道的僅僅是N點數(shù)據(jù)，即，為此，可以這樣：

1）首先由估計的自相關(guān)函數(shù)，得

2）用代替上述遞推算法中的，重新求解Yule-Walker方程，這時求出的AR模型參數(shù)是真實參數(shù)的估計值，即12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算上述算法的遞推導(dǎo)

由這些參數(shù)，得到的功率譜的估計，即：

對在單位圓上均勻抽樣，設(shè)分點為N個，則得到離散譜：

12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算

式中這樣上式可用FFT快速計算。12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算12.3AR模型譜估計的性質(zhì)及階次p的選擇

12.3.1AR模型譜估計的性質(zhì)1譜的平滑性譜比周期圖譜平滑的多。2）譜的分辨率經(jīng)典譜估計的分辨率反比于使用的信號長度，現(xiàn)代譜估計的分辨率不受此限制。3）譜的匹配性質(zhì)在整個頻率范圍內(nèi)，和相跟隨，但在每一局部處，它跟隨的峰點要比跟隨谷點的程度好。12.3AR模型譜估計的性質(zhì)及階次p的選擇

12.3.112.3.1AR模型譜估計的性質(zhì)4）譜的統(tǒng)計特性譜的方差反比于數(shù)據(jù)的長度和信噪比。5）模型譜估計方法的不足其一，譜的分辨率和求模型時所使用的信號的信噪比有著密切的關(guān)系。信噪比越小，譜的分辨率降低的越明顯。其二，如果是含有噪聲的正弦信號，在應(yīng)用時發(fā)現(xiàn)，譜峰的位置易受的初相位的影響，12.3.1AR模型譜估計的性質(zhì)4）譜的統(tǒng)計特性12.3.1AR模型譜估計的性質(zhì)

且在有的算法中，還可能出現(xiàn)“譜線分裂”的現(xiàn)象，即在本來應(yīng)只有一個譜線的位置附近分裂成兩個譜線。其三，譜估計的質(zhì)量受到階次p的影響。P選的過低，譜太平滑，反映不出譜峰。P選的過大，可能產(chǎn)生虛假的峰值。12.3.1AR模型譜估計的性質(zhì)且在有的算法中，還可能12.3.2AR模型階次的選擇AR模型的階次p是單調(diào)下降的，直觀上講，當模型的最小誤差功率達到所指定的希望值，或是不再發(fā)生變化時，其時的階次即是要選的正確階次。因此，降到多少才合適，有幾個不同的準則被提出，常用的有兩個：（1）最準預(yù)測誤差準則：

12.3.2AR模型階次的選擇AR模型的階次p是單調(diào)12.3.2AR模型階次的選擇（2）信息論準則：其中為數(shù)據(jù)的長度，當階次由1增加時，和都將在某一個處取得極小值。將此時的定為最合適的。在實際運用時發(fā)現(xiàn)，當數(shù)據(jù)較短時，它們給出的階次偏低，且二者給出的結(jié)果基本上是一致的。上面兩式僅為階次選擇提供一個依據(jù)，究竟階次取多少為好，還要在實踐中由所得到的結(jié)果作多次比較后，予以確定。12.3.2AR模型階次的選擇（2）信息論準則：12.4AR模型的穩(wěn)定性及對信號建模問題的討論12.4.1AR模型的穩(wěn)定性重新定義自相關(guān)矩陣為：

并記其行列式的值為。用三個結(jié)論來說明矩陣的性質(zhì)與AR模型穩(wěn)定性的關(guān)系。12.4AR模型的穩(wěn)定性及對信號建模問題的討論12.4.112.4.1AR模型的穩(wěn)定性

結(jié)論一：如果是正定的，那么，由Yule-Walker方程解出的構(gòu)成的階AR模型是穩(wěn)定的，且是唯一的。也即的零點都在單位圓內(nèi)。此性質(zhì)稱為AR模型的最小相位性質(zhì)。結(jié)論二：若由個復(fù)正弦組成，即

12.4.1AR模型的穩(wěn)定性結(jié)論一：如果是正12.4.1AR模型的穩(wěn)定性

式中為常數(shù)，是在內(nèi)均勻分布的零均值隨機變量，的自相關(guān)函數(shù)為:

則由前個值組成的自相關(guān)矩陣是奇異的，而是正定的，即：

12.4.1AR模型的穩(wěn)定性式中為常12.4.1AR模型的穩(wěn)定性

結(jié)論三：如果由個正弦組成（實的或復(fù)的），則是完全可以預(yù)測的，即預(yù)測誤差等于零。結(jié)論二指出了何時奇異何時正定的條件，它和結(jié)論三一起正弦信號的某些性質(zhì)。特別說明，用AR模型對純正弦信號建模是不合適的，會出現(xiàn)自相關(guān)矩陣為奇異的情況，要克服自相關(guān)陣奇異的情況，最常用的方法是加上白噪聲，這樣不會等于零。12.4.1AR模型的穩(wěn)定性結(jié)論三：如果由12.4.2關(guān)于信號建模問題的討論*信號建模的本質(zhì)：準確建模的定義：設(shè)平穩(wěn)隨機過程存在階模型，使得模型的輸出在階統(tǒng)計特性上和的同階統(tǒng)計特性相一致，則把稱為階統(tǒng)計意義上可準確建模的隨機過程，而把改模型稱作在階統(tǒng)計意義上的準確模型。12.4.2關(guān)于信號建模問題的討論12.6AR模型系數(shù)的求解算法12.6.1自相關(guān)法令則（12.5.13）可寫為：令12.6AR模型系數(shù)的求解算法12.6.1自相關(guān)法12.6.1自相關(guān)法

由最小平方原理，并將前面的式子互相代入，得到：此式即是(12.2.5)式的Yule-Walker方程和（12.2.10）、（12.2.11）式的Wiener-Hopf方程,由此得出結(jié)論：12.6.1自相關(guān)法12.6.1自相關(guān)法

（1）由個自相關(guān)函數(shù)，利用遞歸求解方程所得到的AR模型的參數(shù)等效于前向預(yù)測器的系數(shù)。AR模型激勵白噪聲的方差等效與前向預(yù)測的最小預(yù)測誤差功率。（2）AR模型的自相關(guān)法等效與對前向預(yù)測的誤差序列前后加窗，加窗的結(jié)果是使得自相關(guān)法的分辨率降低。數(shù)據(jù)越短，分辨率越好。12.6.1自相關(guān)法（1）由個自相關(guān)函數(shù)，利用12.6.1自相關(guān)法

（3）也正是因為的是從至，故矩陣積才是型自相關(guān)陣。如若使用，或，對應(yīng)的矩陣積將不再是陣。因此，自相關(guān)法也是已知所有AR系數(shù)求解方法中最簡單的一種。12.6.1自相關(guān)法12.6.2Burg算法Burg算法是建立在數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的AR系數(shù)求解的有效算法。其特點是：

1，令前后向預(yù)測誤差功率之和為最小，而不是像自相關(guān)法那樣僅令為最小。

2，和的求和范圍不是至，而是從至，這等效使用，前后都不加窗，這時：

12.6.2Burg算法Burg算法是建立在數(shù)據(jù)基礎(chǔ)12.6.2Burg算法3，在上式中，當階次m由1至p時，，有如下的遞推關(guān)系：

12.6.2Burg算法12.6.2Burg算法將(12.6.9)、(12.6.10)、(12.6.11)代入中，令，可得使為最小的為：

按此式估出的滿足。4，按上式估計出后，在階次時的AR模型12.6.2Burg算法將(12.6.9)、(12.6.112.6.2Burg算法

系數(shù)仍然由Levinson算法遞推求出：

上兩式是假定在第階時的AR參數(shù)已求出。

由于Burg算法具有以上特點，所以Burg算法比自相關(guān)算法有著較好的分辨率，但對于白噪聲加正弦信號，有時可能會出現(xiàn)前面所提到的譜線分裂現(xiàn)象。12.6.2Burg算法系數(shù)仍然由Levinson算法Burg算法的遞推步驟：1）由初始條件，再由（12.6.12）式求出；2）由得時的參數(shù)：；3）由和(12.6.11)求出，，再由(12.6.12)式估計；4）依照(12.6.13)和(12.6.14)式的Levinson遞推關(guān)系，求出時的，及。5）重復(fù)上述過程，直到，求出所有階次的AR參數(shù)。Burg算法的遞推步驟：1）由初始條件12.6.3改進的協(xié)方差方法該算法的特點是：（1）如同Burg方法一樣，仍是令前后向預(yù)測誤差功率之和為最小。式中

12.6.3改進的協(xié)方差方法該算法的特點是：12.6.3改進的協(xié)方差方法（2）在令為最小時，不是僅令相對為最小，而是令相對都為最小，m由1到p。將（1）中的后兩個式子代入，由于，因此令得到：

12.6.3改進的協(xié)方差方法（2）在令為最小時，12.6.3改進的協(xié)方差方法令

那么（12.6.19）寫成如下的矩陣形式：

12.6.3改進的協(xié)方差方法令12.6.3改進的協(xié)方差方法最小預(yù)測誤差功率可由下面兩式求出：或

12.6.3改進的協(xié)方差方法最小預(yù)測誤差功率可由下面兩式求12.6.3改進的協(xié)方差方法

式（12.6.21）和（12.6.22）構(gòu)成了改進的協(xié)方差方法的正則方程，稱之為協(xié)方差方程。由于不能寫稱的函數(shù)，所以（12.6.21）式的系數(shù)矩陣不是Toeplitz陣，因此這一正則方程不能用于Levinson算法求解。12.6.3改進的協(xié)方差方法12.7MA模型及功率譜估計12.7.1MA模型及其正則方程

給出MA(q)模型的三個方程如下：12.7MA模型及功率譜估計12.7.1MA模型及其正則12.7.1MA模型及其正則方程MA(q)模型的正則方程如下：考查這個式子，可知的取值范圍是從-q到+q，這樣（12.7.3）式的功率譜

又等效于經(jīng)典譜估計的自相關(guān)法。12.7.1MA模型及其正則方程MA(q)模型的正則方12.7.2MA模型參數(shù)的求解方法

步驟：1)由N點數(shù)據(jù)建立一個階的AR模型，，可用上節(jié)的的任一種方法求出階AR系數(shù)；2)利用建立（12.7.11）的線性預(yù)測，此式等效于一個q階的AR模型，再次利用AR系數(shù)的求解方法，得到。12.7.2MA模型參數(shù)的求解方法12.8ARMA模型及功率譜估計本節(jié)主要介紹模型參數(shù)的求解方法。推導(dǎo)出ARMA模型的正則方程：

求解ARMA模型參數(shù)的幾個步驟：1，由書上（12.8.5）式估計AR數(shù)；12.8ARMA模型及功率譜估計本節(jié)主要介紹12.8ARMA模型及功率譜估計2，對已知數(shù)據(jù)，用FIR濾波器濾波，那么濾波器的輸出將近似一個過程；3，用上節(jié)求解參數(shù)的方法，求出，從而實現(xiàn)模型的參數(shù)估計。4，將代入（12.1.15）式，即完成了ARMA模型譜估計。12.8ARMA模型及功率譜估計人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古人說“書中自有黃金屋?！蓖ㄟ^閱讀科技書籍，我們能豐富知識，培養(yǎng)邏輯思維能力；通過閱讀文學作品，我們能提高文學鑒賞水平，培養(yǎng)文學情趣；通過閱讀報刊，我們能增長見識，擴大自己的知識面。有許多書籍還能培養(yǎng)我們的道德情操，給我們巨大的精神力量，鼓舞我們前進。人有了知識，就會具備各種分析能力，第12章參數(shù)模型功率譜估計課件第12章：參數(shù)模型功率譜估計12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：該參數(shù)模型的思路是：（1）假定所研究的過程由一個輸入序列激勵一個線性系統(tǒng)的輸出，如圖：（2）由已知的，或者其自相關(guān)函數(shù)來估計的參數(shù)。第12章：參數(shù)模型功率譜估計12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：（3）由的參數(shù)來估計的功率譜。

不論是確定性信號還是隨機信號，對上圖所示的線性系統(tǒng)，和之間總有如下的輸入輸出關(guān)系：

(12.1.1)(12.1.2)12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：（3）由的參12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：對上式兩邊分別取z變換，并假定，可得：(12.1.3)(12.1.4a)(12.1.4b)(12.1.4c)12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：對上式兩邊分別取z變換，并12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：為了保證是一個穩(wěn)定的且是最小相位系統(tǒng)，，的零點都應(yīng)在單位圓內(nèi)。假定是一個方差為的白噪聲序列，由隨機信號通過線性系統(tǒng)的理論可知，輸出序列的功率譜：（12.1.5）12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：為了保證是一12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：AR模型：在中，如果：（1）全為零，那么，，分別變成：（12.1.1）(12.1.1)(12.1.3)(12.1.5)(12.1.6)(12.1.7)(12.1.8)12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：AR模型：（12.1.1）12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：MA模型：（2）全為零，那么，，全變成：

(12.1.1)(12.1.3)(12.1.5)(12.1.9)(12.1.10)(12.1.11)12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：MA模型：(12.1.1)12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：ARMA模型：（3）若，不全為零，則給出的模型為自回歸—移動平均模型，簡稱ARMA模型，顯然此模型是一個既有極點，又有零點的模型。總結(jié)：由于ARMA模型是一個極—零模型，它易于反映功率譜中的峰值和谷值。AR模型易反映譜的中峰值，而MA模型易反映譜中的谷值。(12.1.1)12.1平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：ARMA模型：(12.1.12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算

假定、都是實平穩(wěn)的隨機信號，為白噪聲，方差為，現(xiàn)在我們建立AR模型的參數(shù)和的自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系，也就是AR模型的正則方程（Yule-Walker方程）。(12.2.4)12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算假定12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算上式可簡單的表示為：

(12.2.5)12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算上式可簡單的表示為：(12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算(12.2.6)(12.2.7)(12.2.8)12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算(12.2.6)(1212.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算(12.2.9)(12.1.10)(12.2.11)12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算(12.2.9)(12

將這兩個方程和AR模型的正則方程相比較，可以看出他們及其相似，因為是同一個隨機信號，若線性預(yù)測器的階次和AR模型的階次一樣，那么有：

上兩式說明，一個p階AR模型的個參數(shù)同樣可以用來構(gòu)成一個P階的最佳線性預(yù)測器。所以AR模型和線性預(yù)測器是等價的，由此可以看出，AR模型是在最小平方意義上對數(shù)據(jù)的擬合。

12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算將這兩個方程和AR模型的正則方程相比較，可以看出他們及12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算Levinson-Durbin遞推算法：

Levinson-Durbin遞推算法從低階開始遞推，直到階次p，給出了在每一個階次時的所有參數(shù)，即這一特點有利于選擇AR模型的合適階次。12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算Levinson-D12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算

上述算法的遞推導(dǎo)是建立在的前個自相關(guān)函數(shù)已知的基礎(chǔ)上，但在實際的工作中，往往不能精確的知道的自相關(guān)函數(shù)，而知道的僅僅是N點數(shù)據(jù)，即，為此，可以這樣：

1）首先由估計的自相關(guān)函數(shù)，得

2）用代替上述遞推算法中的，重新求解Yule-Walker方程，這時求出的AR模型參數(shù)是真實參數(shù)的估計值，即12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算上述算法的遞推導(dǎo)

由這些參數(shù)，得到的功率譜的估計，即：

對在單位圓上均勻抽樣，設(shè)分點為N個，則得到離散譜：

12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算

式中這樣上式可用FFT快速計算。12.2AR模型的正則方程與參數(shù)計算12.3AR模型譜估計的性質(zhì)及階次p的選擇

12.3.1AR模型譜估計的性質(zhì)1譜的平滑性譜比周期圖譜平滑的多。2）譜的分辨率經(jīng)典譜估計的分辨率反比于使用的信號長度，現(xiàn)代譜估計的分辨率不受此限制。3）譜的匹配性質(zhì)在整個頻率范圍內(nèi)，和相跟隨，但在每一局部處，它跟隨的峰點要比跟隨谷點的程度好。12.3AR模型譜估計的性質(zhì)及階次p的選擇

12.3.112.3.1AR模型譜估計的性質(zhì)4）譜的統(tǒng)計特性譜的方差反比于數(shù)據(jù)的長度和信噪比。5）模型譜估計方法的不足其一，譜的分辨率和求模型時所使用的信號的信噪比有著密切的關(guān)系。信噪比越小，譜的分辨率降低的越明顯。其二，如果是含有噪聲的正弦信號，在應(yīng)用時發(fā)現(xiàn)，譜峰的位置易受的初相位的影響，12.3.1AR模型譜估計的性質(zhì)4）譜的統(tǒng)計特性12.3.1AR模型譜估計的性質(zhì)

且在有的算法中，還可能出現(xiàn)“譜線分裂”的現(xiàn)象，即在本來應(yīng)只有一個譜線的位置附近分裂成兩個譜線。其三，譜估計的質(zhì)量受到階次p的影響。P選的過低，譜太平滑，反映不出譜峰。P選的過大，可能產(chǎn)生虛假的峰值。12.3.1AR模型譜估計的性質(zhì)且在有的算法中，還可能12.3.2AR模型階次的選擇AR模型的階次p是單調(diào)下降的，直觀上講，當模型的最小誤差功率達到所指定的希望值，或是不再發(fā)生變化時，其時的階次即是要選的正確階次。因此，降到多少才合適，有幾個不同的準則被提出，常用的有兩個：（1）最準預(yù)測誤差準則：

12.3.2AR模型階次的選擇AR模型的階次p是單調(diào)12.3.2AR模型階次的選擇（2）信息論準則：其中為數(shù)據(jù)的長度，當階次由1增加時，和都將在某一個處取得極小值。將此時的定為最合適的。在實際運用時發(fā)現(xiàn)，當數(shù)據(jù)較短時，它們給出的階次偏低，且二者給出的結(jié)果基本上是一致的。上面兩式僅為階次選擇提供一個依據(jù)，究竟階次取多少為好，還要在實踐中由所得到的結(jié)果作多次比較后，予以確定。12.3.2AR模型階次的選擇（2）信息論準則：12.4AR模型的穩(wěn)定性及對信號建模問題的討論12.4.1AR模型的穩(wěn)定性重新定義自相關(guān)矩陣為：

并記其行列式的值為。用三個結(jié)論來說明矩陣的性質(zhì)與AR模型穩(wěn)定性的關(guān)系。12.4AR模型的穩(wěn)定性及對信號建模問題的討論12.4.112.4.1AR模型的穩(wěn)定性

結(jié)論一：如果是正定的，那么，由Yule-Walker方程解出的構(gòu)成的階AR模型是穩(wěn)定的，且是唯一的。也即的零點都在單位圓內(nèi)。此性質(zhì)稱為AR模型的最小相位性質(zhì)。結(jié)論二：若由個復(fù)正弦組成，即

12.4.1AR模型的穩(wěn)定性結(jié)論一：如果是正12.4.1AR模型的穩(wěn)定性

式中為常數(shù)，是在內(nèi)均勻分布的零均值隨機變量，的自相關(guān)函數(shù)為:

則由前個值組成的自相關(guān)矩陣是奇異的，而是正定的，即：

12.4.1AR模型的穩(wěn)定性式中為常12.4.1AR模型的穩(wěn)定性

結(jié)論三：如果由個正弦組成（實的或復(fù)的），則是完全可以預(yù)測的，即預(yù)測誤差等于零。結(jié)論二指出了何時奇異何時正定的條件，它和結(jié)論三一起正弦信號的某些性質(zhì)。特別說明，用AR模型對純正弦信號建模是不合適的，會出現(xiàn)自相關(guān)矩陣為奇異的情況，要克服自相關(guān)陣奇異的情況，最常用的方法是加上白噪聲，這樣不會等于零。12.4.1AR模型的穩(wěn)定性結(jié)論三：如果由12.4.2關(guān)于信號建模問題的討論*信號建模的本質(zhì)：準確建模的定義：設(shè)平穩(wěn)隨機過程存在階模型，使得模型的輸出在階統(tǒng)計特性上和的同階統(tǒng)計特性相一致，則把稱為階統(tǒng)計意義上可準確建模的隨機過程，而把改模型稱作在階統(tǒng)計意義上的準確模型。12.4.2關(guān)于信號建模問題的討論12.6AR模型系數(shù)的求解算法12.6.1自相關(guān)法令則（12.5.13）可寫為：令12.6AR模型系數(shù)的求解算法12.6.1自相關(guān)法12.6.1自相關(guān)法

由最小平方原理，并將前面的式子互相代入，得到：此式即是(12.2.5)式的Yule-Walker方程和（12.2.10）、（12.2.11）式的Wiener-Hopf方程,由此得出結(jié)論：12.6.1自相關(guān)法12.6.1自相關(guān)法

（1）由個自相關(guān)函數(shù)，利用遞歸求解方程所得到的AR模型的參數(shù)等效于前向預(yù)測器的系數(shù)。AR模型激勵白噪聲的方差等效與前向預(yù)測的最小預(yù)測誤差功率。（2）AR模型的自相關(guān)法等效與對前向預(yù)測的誤差序列前后加窗，加窗的結(jié)果是使得自相關(guān)法的分辨率降低。數(shù)據(jù)越短，分辨率越好。12.6.1自相關(guān)法（1）由個自相關(guān)函數(shù)，利用12.6.1自相關(guān)法

（3）也正是因為的是從至，故矩陣積才是型自相關(guān)陣。如若使用，或，對應(yīng)的矩陣積將不再是陣。因此，自相關(guān)法也是已知所有AR系數(shù)求解方法中最簡單的一種。12.6.1自相關(guān)法12.6.2Burg算法Burg算法是建立在數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的AR系數(shù)求解的有效算法。其特點是：

1，令前后向預(yù)測誤差功率之和為最小，而不是像自相關(guān)法那樣僅令為最小。

2，和的求和范圍不是至，而是從至，這等效使用，前后都不加窗，這時：

12.6.2Burg算法Burg算法是建立在數(shù)據(jù)基礎(chǔ)12.6.2Burg算法3，在上式中，當階次m由1至p時，，有如下的遞推關(guān)系：

12.6.2Burg算法12.6.2Burg算法將(12.6.9)、(12.6.10)、(12.6.11)代入中，令，可得使為最小的為：

按此式估出的滿足。4，按上式估計出后，在階次時的AR模型12.6.2Burg算法將(12.6.9)、(12.6.112.6.2Burg算法

系數(shù)仍然由Levinson算法遞推求出：

上兩式是假定在第階時的AR參數(shù)已求出。

由于Burg算法具有以上特點，所以Burg算法比自相關(guān)算法有著較好的分辨率，但對于白噪聲加正弦信號，有時可能會出現(xiàn)前面所提到的譜線分裂現(xiàn)象。12.6.2Burg算法系數(shù)仍然由Levinson算法Burg算法的遞推步驟：1）由初始條件，再由（12.6.12）式求出；2）由得時的參數(shù)：；3）由和(12.6.11)求出，，再由(12.6.12)式估計；4）依照(12.6.13)和(12.6.14)式的Levinson遞推關(guān)系，求出時的，及。5）重復(fù)上述過程，直到，求出所有階次的AR參數(shù)。Burg算法的遞推步驟：1）由初始條件12.6.3改進的協(xié)方差方法該算法的特點是：（1）如同Burg方法一樣，仍是令前后向預(yù)測誤差功率之和