1一、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的間斷點(diǎn)三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量32.連續(xù)的定義456例1證由定義2知73.左、右連續(xù)定理若函數(shù)f(x)在點(diǎn)處,有則稱(chēng)f(x)在點(diǎn)處左(右)連續(xù).8例2解右連續(xù)但不左連續(xù),9右連續(xù)且左連續(xù)

,10例4解要使114.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間

在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線(xiàn).例如,12二、函數(shù)的間斷點(diǎn)13141.可去間斷點(diǎn)例515解注意可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的

定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).如例5中,16再如函數(shù)因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)沒(méi)有定義,所以函數(shù)在此點(diǎn)間斷.由于因此,此點(diǎn)為可去間斷點(diǎn).我們可以補(bǔ)充定義,使之連續(xù).172.跳躍間斷點(diǎn)例6解18第二類(lèi)間斷點(diǎn)例7解19例8解2021綜述：1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類(lèi)與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類(lèi)間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.第二類(lèi)間斷點(diǎn):無(wú)窮型,振蕩型.間斷點(diǎn)見(jiàn)下圖22可去型第一類(lèi)間斷點(diǎn)oyx跳躍型無(wú)窮型振蕩型第二類(lèi)間斷點(diǎn)oyxoyxoyx23三、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算定理1例如,24推論1有限個(gè)連續(xù)函數(shù)的代數(shù)和在它們共同有定義的區(qū)間上仍是連續(xù)函數(shù)。推論2有限個(gè)連續(xù)函數(shù)的乘積在它們共同有定義的區(qū)間上仍是連續(xù)函數(shù)。

25反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理2嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).26定理3推論有限個(gè)連續(xù)函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次復(fù)合運(yùn)算所得到的復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)。27初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★★28定理4基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.★(均在其定義域內(nèi)連續(xù))定理5一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.29例1例2解解注意初等函數(shù)求極限的方法代入法.30例3解31例4解同理可得32四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定義例如33定理1(最值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值.注意1.若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間,定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理也不一定成立.34推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.35定義36幾何解釋37幾何解釋MBCAmab證由零值定理,38推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值.例1證由零點(diǎn)定理,39例2證由零點(diǎn)定理,40綜述：有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1．閉區(qū)間；2．連續(xù)函數(shù)．這兩點(diǎn)不滿(mǎn)足上述定理不一定成