聚焦實(shí)數(shù)學(xué)習(xí)要點(diǎn)實(shí)數(shù)的分類觀:1、統(tǒng)稱觀有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)。根據(jù)這個(gè)定義，我們可以把實(shí)數(shù)作如下的分類：在這里，同學(xué)們要注意，與前面知識(shí)的不同。也就是說(shuō)，有理數(shù)是借助小數(shù)來(lái)下的定義。2、正負(fù)觀根據(jù)有理數(shù)可以分成正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)的正負(fù)觀，我們可以推廣到實(shí)數(shù)。也就是說(shuō)實(shí)數(shù)可以分成正實(shí)數(shù)、0、負(fù)實(shí)數(shù)。當(dāng)然，我們可以作更細(xì)的分類。具體如下：二、實(shí)數(shù)背景下的幾個(gè)重要概念1、相反數(shù)：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)的定義與在有理數(shù)的范圍內(nèi)的定義是相同的。仍然是：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，稱互為相反數(shù)。如：與-互為相反數(shù)，+1與--1互為相反數(shù)。也就是說(shuō)，對(duì)任意實(shí)數(shù)a，它的相反數(shù)為-a。只要把一個(gè)實(shí)數(shù)，乘以-1，就變成這個(gè)數(shù)的相反數(shù)了。2、絕對(duì)值對(duì)任意實(shí)數(shù)a，它的絕對(duì)值定義如下：正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，是這個(gè)數(shù)本身；0的絕對(duì)值，是0；負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，是這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。不提倡，同學(xué)們說(shuō)成“負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，是正數(shù)”的說(shuō)法。這不利于絕對(duì)值的化簡(jiǎn)。3、倒數(shù)如果兩個(gè)非0實(shí)數(shù)的積為1，就稱這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。這里的條件非0實(shí)數(shù)，是很重要的。如果實(shí)數(shù)a≠0，那么，實(shí)數(shù)a的倒數(shù)為1/a。4、算術(shù)平方根只有正實(shí)數(shù)和0有算術(shù)平方根，負(fù)實(shí)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根。實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的大小比較觀借助數(shù)軸比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小。在數(shù)軸上，實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置，越靠右，數(shù)就越大。如圖所示，點(diǎn)A所表示的實(shí)數(shù)為a，點(diǎn)B所表示的實(shí)數(shù)為b，因?yàn)?，點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊，所以，點(diǎn)A所表示的實(shí)數(shù)a，比點(diǎn)B所表示的實(shí)數(shù)b要大，即a＞b。利用數(shù)軸，同學(xué)們只要辨析出，所比較的兩個(gè)數(shù)左右位置，就可以確定這兩個(gè)數(shù)的大小了。這種比較方法是比較實(shí)用的。同學(xué)們一定要熟練掌握。實(shí)數(shù)與數(shù)軸上面的作圖，就說(shuō)明了，數(shù)軸上的點(diǎn)不僅表示有理數(shù)，而且表示無(wú)理數(shù)。即數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的。這一點(diǎn)，同學(xué)們一定要清楚。五、實(shí)數(shù)背景下的運(yùn)算觀在有理數(shù)的各類運(yùn)算，都可以推伸的實(shí)數(shù)范圍。常見(jiàn)題型6.1判斷題例1、判斷下列說(shuō)法是否正確：⑴無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù)。（）⑵帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)。（）⑶兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和還是無(wú)理數(shù)。（）分析：無(wú)限小數(shù)包括無(wú)限循環(huán)小數(shù)和無(wú)限不循環(huán)小數(shù)兩部分。而無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，所以，無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù)，是錯(cuò)誤的；象，，雖然帶有根號(hào)，但是，=2，=-3，卻都是有理數(shù)，所以，帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)是錯(cuò)誤的；如與-都是無(wú)理數(shù)，并且它們互為相反數(shù)，所以，+（-）=0，是有理數(shù)，所以，兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和還是無(wú)理數(shù)，這種說(shuō)法是錯(cuò)誤的。解：⑴、⑵、⑶都是錯(cuò)誤的。6.2、集合分類題例2、把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)-6.5，0,，3.14,,-，,2.12112111211112………整數(shù)集合｛…………｝有理數(shù)集合｛…………｝無(wú)理數(shù)集合｛…………｝正實(shí)數(shù)集合｛…………｝負(fù)實(shí)數(shù)集合｛…………｝分析：判斷數(shù)的性質(zhì)的時(shí)候，必須把這個(gè)數(shù)化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)形式，才能劃分?jǐn)?shù)的屬性。解：整數(shù)集合｛0，-，,……｝有理數(shù)集合｛-6.5，0,3.14,,-，,……｝無(wú)理數(shù)集合｛，2.12112111211112……｝正實(shí)數(shù)集合｛，3.14,，2.12112111211112……｝負(fù)實(shí)數(shù)集合｛-，,-6.5…｝6.3、計(jì)算題例3、求下列各數(shù)的相反數(shù)和絕對(duì)值⑴，⑵-，⑶-π-2分析：求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)時(shí)，同學(xué)們可以遵循如下原則：首先，用括號(hào)把原來(lái)的數(shù)括起來(lái)；然后，再括號(hào)的前面添上一個(gè)負(fù)號(hào)；最后，利用去括號(hào)法則進(jìn)行化簡(jiǎn)把括號(hào)去掉，得到最終結(jié)果。求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，同學(xué)們可以遵循如下原則：首先，把絕對(duì)值符號(hào)里面的數(shù)的正、負(fù)性確定下來(lái)；然后，按照正數(shù)的絕對(duì)值時(shí)自身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值時(shí)這個(gè)數(shù)的相反數(shù)的原理，去掉絕對(duì)值；最后，利用去括號(hào)法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到最終結(jié)果。解：⑴因?yàn)?，是正?shù)，所以，的相反數(shù)為：-（）=-，||=；⑵因?yàn)椋?=-4，是負(fù)數(shù)，所以，-的相反數(shù)為：-（-）==4，|-|=-（-）==4，；⑶因?yàn)椋?π-2=-（π+2），是負(fù)數(shù)，所以，-π-2的相反數(shù)為：-（-π-2）=π+2，|-π-2|=-（-π-2）=π+2。例4、估算⑴（精確到0.01），⑵、-1（精確到0.1）分析：學(xué)會(huì)估算，也是新課程所要求的。下面就介紹一種估算平方根的方法，雖然，比較繁瑣，但是，很實(shí)用。解：因?yàn)椋?＜5＜9，所以，＜＜，即2＜＜3，因?yàn)椋?.12=4.41，2.22=4.84，2.32=5.29，所以，2.2＜＜2.3，因?yàn)椋?.212=4.8841，2.222=4.9284，2.232=4.9729，2.242=5.0176，所以，2.23＜＜2.24，因?yàn)椋?.2352=4.995225，2.2362=4.999696，2.2372=5.004169，所以，2.236＜＜2.237，所以，≈2.236≈2.24.（2）因?yàn)椋?＜5＜9，所以，＜＜，即2＜＜3，因?yàn)椋?.12=4.41，2.22=4.84，2.32=5.29，所以，2.2＜＜2.3，因?yàn)椋?.212=4.8841，2.222=4.9284，2.232=4.9729，2.242=5.0176，所以，2.23＜＜2.24，所以，≈2.23.所以，-1≈2.23-1≈1.23≈1.2.6.4、大小比較題例5、比較下列各組數(shù)的大?、?，2.2⑵-，-2.7⑶-2，-4.5分析：當(dāng)無(wú)理數(shù)與有理數(shù)進(jìn)行大小比較時(shí)，通常先估算出無(wú)理數(shù)的大小，后與有理數(shù)進(jìn)行大小比較。這種做法比較麻煩。為了又快又準(zhǔn)的進(jìn)行比較，我們不妨采用比較被開(kāi)方數(shù)法：先利用a=（a≥0），把有理數(shù)置于根號(hào)底下，然后，比較兩個(gè)被開(kāi)方數(shù)的大小，并且，被開(kāi)方數(shù)大的其算術(shù)平方根也大。這樣比較起來(lái)就容易多了。⑴因?yàn)椋?.2==，即被開(kāi)方數(shù)為4.84，被開(kāi)方數(shù)為5，所以，＞，所以，＞2.2。⑵-，-2.7因?yàn)椋?.7==，即被開(kāi)方數(shù)為7.29，被開(kāi)方數(shù)為7，所以，＞，所以，2.7＞。所以，-＜-2.7⑶-2，-4.5因?yàn)椋?.5==，即被開(kāi)方數(shù)為20.25，（2）2=，即2被開(kāi)方數(shù)為20，所以，＞2，所以，4.5＞2，所以，-4.5＜-26.5、應(yīng)用性問(wèn)答題例6、⑴一個(gè)數(shù)的平方等于它本身，這個(gè)數(shù)是；⑵平方根等于本身的數(shù)是；⑶算術(shù)平方根等于本身的數(shù)是；⑷立方根等于本身的數(shù)是；分析：這道題，主要考對(duì)平方根、算術(shù)平方根、立方根中的特例掌握的情況。解：⑴一個(gè)數(shù)的平方等于它本身，這個(gè)數(shù)是0或者1；⑵平方根等于本身的數(shù)是0；⑶算術(shù)平方根等于本身的數(shù)是0或者1；⑷立方根等于本身的數(shù)是0或者1或者-1；6.6、應(yīng)用題例7、如圖所示，15只空油桶（每只油桶的底面直徑均為50厘米）堆在一起，要給它們蓋一個(gè)遮雨棚，遮雨棚至少要多高？（結(jié)果精確到0.1厘米）分析：要想求出遮雨棚的高度，關(guān)鍵是把生活實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題。我們仔細(xì)觀察，圖形不難發(fā)現(xiàn)，遮雨棚的高度實(shí)際上是有兩部分構(gòu)成，一部分是上部構(gòu)成的變長(zhǎng)為4d的等邊三角形的高，下部是一個(gè)油桶的直徑。明確了這些，只要求出等邊三角形的高，問(wèn)題就獲解。解：根據(jù)題意，得：AB=AC=BC=4×50=200,因?yàn)?，AD是等邊三角形的高，所以，BD=DC=100,在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理，得：AD2=AB2-BD2=2002-1002,所以，AD==100≈173.2（厘米），所以，遮雨棚的高度至少為：173.2+50=223.2（厘米）。6.7、數(shù)