..一元二次不等式及其解法____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教學(xué)重點(diǎn)：正確理解一元二次不等式的解法；掌握一元二次不等式的不等式的解法；理解二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式之間的關(guān)系；教學(xué)難點(diǎn)：理解二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式之間的關(guān)系。一元二次不等式一元二次不等式的定義：一般地,含有1個(gè)未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式不等式,叫做一元二次等式；一元二次不等式的解集：使某個(gè)一元二次不等式成立的未知數(shù)的取值集合叫做這個(gè)一元二次不等式的解集；同解不等式：如果兩個(gè)不等式的解集相同,那么這兩個(gè)不等式叫做同解不等式。一元二次不等式與相應(yīng)的函數(shù)、方程之間的關(guān)系對(duì)于一元二次方程設(shè)它的解按可分為三種情況,列表如下：二次函數(shù)〔的圖象一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無(wú)實(shí)根R一元二次不等式的解法步驟對(duì)不等式進(jìn)行變形,使一端為0,且二次項(xiàng)系數(shù)大于0；計(jì)算相應(yīng)方程的根的判別式；當(dāng)時(shí),求出相應(yīng)的一元二次方程的兩根；根據(jù)一元二次不等式解集的結(jié)構(gòu),寫出其解集。注：若不等式左側(cè)可因式分解,則可轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組求解?！惨豢?二算,三寫含參數(shù)的一元二次不等式的解法二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)時(shí),根據(jù)一元二次不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式需要化二次項(xiàng)系數(shù)為正,所以要對(duì)參數(shù)討論；解得過(guò)程中,若表達(dá)式含有參數(shù)且參數(shù)的取值影響的符號(hào),這時(shí)根據(jù)的符號(hào)確定的需要,對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論；方程的兩根表達(dá)式中如果有參數(shù),需要對(duì)參數(shù)討論才能確定根的大小,這時(shí)要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論。不等式的恒成立問(wèn)題結(jié)合二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)用判別式法,當(dāng)?shù)娜≈禐槿w實(shí)數(shù)時(shí),一般用此法；從函數(shù)的最值入手考慮,如大于零恒成立可轉(zhuǎn)化為最小值大于零；能分離變量的盡量把參數(shù)和變量分離出來(lái)；數(shù)形結(jié)合,結(jié)合圖形進(jìn)行分析,從整體上把握?qǐng)D形。分式不等式的解法將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解,若能直接判斷出分子或分母的符號(hào),則可求解,否則應(yīng)化為以下形式：〔1〔2〔3〔4類型一：一元二次不等式的解法；分式不等式的解法；例1.解下列不等式：解析：的根是所以不等式的解集為或答案：或練習(xí)1.解下列不等式：答案：練習(xí)2.解下列不等式：答案：例2.不等式的解集是__________解析：由,移項(xiàng)得通分得即該不等式等價(jià)于即方程的兩根為故原不等式的解集為或答案：或練習(xí)3.不等式的解集是________________答案：∞練習(xí)4.使不等式成立的的取值范圍是_______________答案：∞類型二：含參數(shù)的一元二次不等式的解法例3.解關(guān)于的不等式解析：若,原不等式若原不等式或若原不等式當(dāng),原不等式當(dāng)原不等式當(dāng)原不等式綜上所述,當(dāng)解集為或當(dāng),解集為當(dāng)解集為當(dāng),解集為當(dāng)解集為答案：當(dāng)解集為或當(dāng),解集為當(dāng)解集為當(dāng),解集為當(dāng)解集為練習(xí)5.已知,則不等式的解集為〔A.B.C.D.答案：A練習(xí)6.若不等式的解集為,則_____________答案：2類型三：有關(guān)不等式恒成立問(wèn)題例4.關(guān)于不等式對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍解析：原不等式等價(jià)于對(duì)恒成立當(dāng)時(shí),不等式為顯然成立當(dāng)時(shí),由不等式恒成立得解得或綜上,的取值范圍為答案：練習(xí)7.對(duì)任意的實(shí)數(shù),不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是〔A.B.C.D.答案：B練習(xí)8.不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為〔A.B.∞C.D.答案：A練習(xí)9.已知關(guān)于的不等式在上恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________答案：練習(xí)10.函數(shù)的定義域?yàn)?試求的取值范圍___________答案：1.若集合A＝{x|x2－x<0},B＝{x|0<x<3},則A∩B等于<>A．{x|0<x<1}B．{x|0<x<3}C．{x|1<x<3} D．?答案：A2.不等式<1－x><3＋x>>0的解集是<>A．<－3,1>B．<－∞,－3>∪<1,＋∞>C．<－1,3>D．<－∞,－1>∪<3,＋∞>答案：A3.已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集為空集,則a的取值范圍是<>A．－4≤a≤4B．－4＜a＜4C．a(chǎn)≤－4或a≥4 D．a(chǎn)＜－4或a＞4答案：A4.若0＜t＜1,則不等式x2－<t＋eq\f<1,t>>x＋1＜0的解集是<>A．{x|eq\f<1,t>＜x＜t}B．{x|x＞eq\f<1,t>或x＜t}C．{x|x＜eq\f<1,t>或x＞t}D．{x|t＜x＜eq\f<1,t>}答案：D5．不等式x2＋2x－3≥0的解集為<>A．{x|x≤－1或x≥3}B．{x|－1≤x≤3}C．{x|x≤－3或x≥1}D．{x|－3≤x≤1}答案：C6.不等式x2－4x－5>0的解集是<>A．{x|x≥5或x≤－1}B．{x|x>5或x<－1}C．{x|－1<x<5}D．{x|－1≤x≤5}答案：B7.不等式－x2≥x－2的解集為<>A．{x|x≤－2或x≥1}B．{x|－2<x<1}C．{x|－2≤x≤1}D．?答案：C__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固1.不等式組eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x2－1<0,x2－3x<0>>的解集為<>A．{x|－1<x<1}B．{x|0<x<3}C．{x|0<x<1}D．{x|－1<x<3}答案：C2.如果不等式eq\f<2x2＋2mx＋m,4x2＋6x＋3><1對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是<>A．<1,3>B．<－∞,3>C．<－∞,1>∪<2,＋∞>D．<－∞,＋∞>答案：A3.下列選項(xiàng)中,使不等式x＜eq\f<1,x>＜x2成立的x的取值范圍是<>A．<－∞,－1>B．<－1,0>C．<0,1>D．<1,＋∞>答案：A4.若f<x>＝－x2＋mx－1的函數(shù)值有正值,則m的取值范圍是<>A．m＜－2或m＞2B．－2＜m＜2C．m≠±2D．1＜m＜3答案：A5.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,不等式<a－2>x2－2<a－2>x－4＜0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍<>A．<－∞,2>B．<－∞,2]C．<－2,2>D．<－2,2]答案：D6.不等式eq\f<2x－5,3x－1>＜1的解集是________．答案：{x＜－4或x＞eq\f<1,3>}7.若關(guān)于x的不等式－eq\f<1,2>x2＋2x>mx的解集是{x|0<x<2},則實(shí)數(shù)m的值是________．答案：18.不等式x2＋x－2<0的解集為_(kāi)_______．答案：{x|－2<x<1}9.不等式0≤x2－2x－3＜5的解集為_(kāi)_______．答案：{x|－2＜x≤－1或3≤x＜5}10.若不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|－3<x<4},求不等式bx2＋2ax－c－3b<0的解集．答案：ax2＋bx＋c>0的解集為{x|－3<x<4},∴a<0且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根,∴eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<－3＋4＝－\f<b,a>,－3×4＝\f<c,a>>>,解得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<b＝－a,c＝－12a>>.∴不等式bx2＋2ax－c－3b<0可化為－ax2＋2ax＋15a即x2－2x－15<0,∴－3<x<5,∴所求不等式的解集為{x|－3<x<5}.11.解關(guān)于x的不等式x2－<a＋a2>x＋a3>0<a∈R>．答案：原不等式可化為<x－a><x－a2>>0.∴當(dāng)a<0時(shí),a<a2,x<a或x>a2；當(dāng)a＝0時(shí),a2＝a,x≠0；當(dāng)0<a<1時(shí),a2<a,x<a2或x>a；當(dāng)a＝1時(shí),a2＝a,x≠1；當(dāng)a>1時(shí),a<a2,x<a或x>a2.綜上所述,當(dāng)a<0或a>1時(shí),原不等式的解集為{x|x<a或x>a2}；當(dāng)0<a<1時(shí),原不等式的解集為{x|x<a2或x>a}；當(dāng)a＝0時(shí),原不等式的解集為{x|x≠0}；當(dāng)a＝1時(shí),原不等式的解集為{x|x≠1}.能力提升12.如果ax2＋bx＋c>0的解集為{x|x<－2或x>4},那么對(duì)于函數(shù)f<x>＝ax2＋bx＋c有<>A．f<5><f<2><f<－1>B．f<2><f<5><f<－1>C．f<2><f<－1><f<5>D．f<－1><f<2><f<5>答案：C13.不等式2x2＋mx＋n>0的解集是{x|x>3或x<－2},則m、n的值分別是<>A．2,12B．2,－2C．2,－12D．－2,－12答案：D14.函數(shù)y＝eq\r<log\f<1,2>x2－1>的定義域是<>A．[－eq\r<2>,－1>∪<1,eq\r<2>]B．[－eq\r<2>,－1>∪<1,eq\r<2>>C．[－2,－1>∪<1,2]D．<－2,－1>∪<1,2>答案：A15.已知關(guān)于x的不等式x2＋bx＋c>0的解集為{x|x<－1或x>2},則b2＋c2＝<>A．5B．4C．1D．2答案：A16.不等式x2－ax－6a2<0<a<0>的解集為A．<－∞,－2a>∪<3a,＋∞>B．<－2a,3a>C．<－∞,3a>∪<2a,＋答案：D17.a＞0,b＞0.不等式－b＜eq\f<1,x>＜a的解集為<>A．{x|x＜－eq\f<1,b>或x＞eq\f<1,a>}B．{x|－eq\f<1,a>＜x＜eq\f<1,b>}C．{x|x＜－eq\f<1,a>或x＞eq\f<1,b>}D．{x|－eq\f<1,b>＜x＜0或0＜x＜eq\f<1,a>}答案：A18．已知函數(shù)f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＋2,x≤0,－x＋2,x>0>>,則不等式f<x>≥x2的解集為<>A．[－1,1]B．[－2,2]C．[－2,1]D．[－1,2]答案：A19.已知函數(shù)y＝<m2＋4m－5>x2＋4<1－m>x＋3對(duì)任意實(shí)數(shù)x,函數(shù)值恒大于零,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________答案：1≤m<1920.已知集合A＝{x|3x－2－x2＜0},B＝{x|x－a＜0}且BA,則a的取值范圍是<>A．a(chǎn)≤1B．1＜a≤2C．a(chǎn)＞2D．a(chǎn)≤2答案：A21.對(duì)于實(shí)數(shù)x,當(dāng)且僅當(dāng)n≤x<n＋1<n∈N＋>時(shí),規(guī)定[x]＝n,則不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集為_(kāi)_______．答案：{x|2≤x<8}22.解下列關(guān)于x的不等式：<1><5－x><x＋1>≥0；<2>－4x2＋18x－eq\f<81,4>≥0；<3>－eq\f<1,2>x2＋3x－5>0；<4>－2x2＋3x－2<0.答案：<1>原不等式化為<x－5><x＋1>≤0,∴－1≤x≤5.∴故所求不等式的解集為{x|－1≤x≤5}．<2>原不等式化為4x2－18x＋eq\f<81,4>≤0,即<2x－eq\f<9,2>>2≤0,∴x＝eq\f<9,4>.故所求不等式的解集為{x|x＝eq\f<9,4>}．<3>原不等式化為x2－6x＋10<0,即<x－3>2＋1<0,∴x∈?.故所求不等式的解集為?.<4>原不等式化為2x2－3x＋2>0,即2<x－eq\f<3,4>>2＋eq\f<7,8>>0∴x∈R.故所求不等式的解集為R.23.已知不等式x2－2x－3<0的解集為A,不等式x2＋x－6<0的解集為B．<1>求A∩B；<2>若不等式x2＋ax＋b<0的解集為A∩B,求不等式ax2＋x＋b<0的解集．答案：<1>由x2－2x－3<0,得－1<x<3,∴A＝<－1,3>．由x2＋x－6<0,得－3<x<2,∴B＝<－3,2>,∴A∩B＝<－1,2>．<2>由題意,得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<1－a＋b＝0,4＋2a＋b＝0>>,解得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a＝－1,b＝－2>>.∴－x2＋x－2<0,∴x2－x＋2>0,∴不等式x2－x＋2>0的解集為R.24．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|α<x<β},其中β>α>0,求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．答案：∵ax2＋bx＋c>0的解集為{x|α<x<β},∴α、β是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根,且a<0.∴αβ＝eq\f<c,a>,α＋β＝－eq\f<b,a>,∴c＝aαβ,b＝－a<α＋β>．∵cx2＋bx＋a<0,∴aαβx2－a<α＋β>x＋a<0.整理,得αβx2－<α＋β>x＋1>0.∵β>α>0,∴αβ>0,eq\f<1,α>>eq\f<1,β>,∴x2－<eq\f<1,α>＋eq\f<1,β>>x＋eq\f<1,αβ>>0.∵方程x2－<eq\f<1,α>＋eq\f<1,β>>x＋eq\f<1,αβ>＝0的兩根為eq\f<1,α>、eq\f<1,β>.∴x2－<eq\f<1,α>＋eq\f<1,β>>x＋eq\f<1,αβ>>0的解集為{x|x>eq\f<1,α>,或x<eq\f<1,β>},即不等式cx2＋bx＋a<0的解集為{x|x>eq\f<1,α>,或x<eq\f<1,β>}．25.解關(guān)于x的不等式：56x2－ax－a2>0.答案：56x2－ax－a2＞0可化為<7x－a><8x＋a>＞0.①當(dāng)a＞0時(shí),－eq\f<a,8>＜eq\f<a,7>,∴x＞eq\f<a,7>或x＜－eq\f<a,8>；②當(dāng)a＜0時(shí),－eq\f<a,8>＞eq\f<a,7>,∴x＞