淺談《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)思想的教學(xué)天津市南開(kāi)區(qū)長(zhǎng)治里小學(xué)宮捷淺談《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)思想的教學(xué)在剛剛頒布的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中，對(duì)數(shù)學(xué)課程的“總目標(biāo)”表述中的第一點(diǎn)指出：“獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基本基礎(chǔ)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。”這也是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中的一個(gè)重要變化，即將過(guò)去的強(qiáng)調(diào)“雙基”發(fā)展為強(qiáng)調(diào)“四基”。其中將“獲得數(shù)學(xué)的基本思想”提到數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)，那是因?yàn)閿?shù)學(xué)課程固然應(yīng)該教會(huì)學(xué)生許多必要的數(shù)學(xué)知識(shí)，但是絕不僅僅以教會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)為目標(biāo)，更重要的是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)這些結(jié)論的過(guò)程中獲得數(shù)學(xué)思想。在當(dāng)今數(shù)學(xué)教育中，數(shù)學(xué)思想可謂是個(gè)核心概念，然而，對(duì)什么是數(shù)學(xué)思想，眾多數(shù)學(xué)研究者做了不同的闡述，從基礎(chǔ)教育角度思考，數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，它在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用，帶有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的指導(dǎo)思想。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓，掌握數(shù)學(xué)思想對(duì)提升學(xué)生的思維品質(zhì)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的后繼學(xué)習(xí)，對(duì)其它學(xué)科的學(xué)習(xí)，乃至對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展都具有十分重要的意義。日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏說(shuō)：“我搞了多年的數(shù)學(xué)教育，發(fā)現(xiàn)學(xué)生們?cè)诔踔?、高中接受的?shù)學(xué)知識(shí)在畢業(yè)了進(jìn)入社會(huì)后，幾乎沒(méi)有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用，所以通常是出校門(mén)不到一兩年就很快忘掉了。然而，不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神，數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點(diǎn)（如果培養(yǎng)這種素質(zhì)的話），卻隨時(shí)地發(fā)生作用，使他們受益終生?！币虼?，向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的認(rèn)知水平，是培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的重要途徑。一、小學(xué)教材中幾種常用的數(shù)學(xué)思想在小學(xué)教材、教參中有不少內(nèi)容已經(jīng)滲透了數(shù)學(xué)思想的教學(xué)。在人民教育出版社義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(shū)小學(xué)階段共十二冊(cè)教師教學(xué)用書(shū)中均提及：“有步驟地滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和解決問(wèn)題能力?！本唧w談道：“本套實(shí)驗(yàn)教材總體設(shè)想之一是系統(tǒng)而有步驟地滲透數(shù)學(xué)思想方法，嘗試把重要的數(shù)學(xué)思想方法通過(guò)學(xué)生可以理解的簡(jiǎn)單形式，采用生動(dòng)有趣的事例呈現(xiàn)出來(lái)。通過(guò)教學(xué)使學(xué)生受到數(shù)學(xué)思想方法的熏陶，形成探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣與欲望，逐步發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力?！睋?jù)此，在小學(xué)各冊(cè)教材中均涉及了滲透數(shù)學(xué)思想的教學(xué)內(nèi)容。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)思想主要有符號(hào)化思想、化歸思想、類(lèi)比思想、歸納思想、分類(lèi)思想、方程思想、集合思想、函數(shù)思想、一一對(duì)應(yīng)思想、模型思想、數(shù)形結(jié)合思想、演繹推理思想、變換思想、統(tǒng)計(jì)與概率思想等?，F(xiàn)就在教學(xué)中比較常用的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行歸納和梳理，明晰它們?cè)谛W(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)中的應(yīng)用，并就如何教學(xué)提出一些建議。⒈化歸思想所謂“化歸”，就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思，即將數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行規(guī)范化，將一個(gè)新的、有待解決的或未解決的問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)到一類(lèi)已經(jīng)解決或比較容易解決的問(wèn)題中去，從而最終求得解答的一種手段或方法。對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中所遇到的很多問(wèn)題都可以應(yīng)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)去解決未知的問(wèn)題，從某種意義上來(lái)說(shuō)就是不斷地轉(zhuǎn)化求解的過(guò)程，因此，化歸思想應(yīng)用非常廣泛。（1）化繁為簡(jiǎn)有些數(shù)學(xué)問(wèn)題比較復(fù)雜，直接解答過(guò)程會(huì)比較繁瑣，如果在結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系相似的情況下，從更加簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，找到解決問(wèn)題的方法或建立模型，并進(jìn)行適當(dāng)檢驗(yàn)，如果能夠證明這種方法或模型是正確的，那么該問(wèn)題一般來(lái)說(shuō)便得到解決。在四則算式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算時(shí)，就是通過(guò)轉(zhuǎn)化把繁難的計(jì)算變成比較簡(jiǎn)單的計(jì)算，有效地培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算技巧，形成良好的計(jì)算能力。例如：1956－19.6－20.4=1956－（19.6+20.4），利用減法的性質(zhì)把兩個(gè)減數(shù)湊整，使計(jì)算簡(jiǎn)便。又如：89×=（88+1）×，++=（1－）+（－）+（－）等，上述例子表明，一些算式不能以“貌”定算，通過(guò)運(yùn)用運(yùn)算定律和性質(zhì)轉(zhuǎn)化一下算式的表現(xiàn)形式，就能使計(jì)算簡(jiǎn)單化，同時(shí)能有效地培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算技巧，形成良好的計(jì)算能力。在求解一個(gè)較一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題遇到困難時(shí)，可先考慮這個(gè)問(wèn)題的一種特殊情況，找出一種簡(jiǎn)單情形進(jìn)行解決。例如：五年級(jí)下冊(cè)教材數(shù)學(xué)廣角《打電話》一課，教材內(nèi)容為打電話盡快通知15名學(xué)生參加演出。教學(xué)前在對(duì)教材進(jìn)行了深入研究和把握，在尊重教材知識(shí)體系的基礎(chǔ)上，應(yīng)估計(jì)到學(xué)生探索“打電話盡快通知15人”的方案比較困難，無(wú)論是畫(huà)圖還是拼擺，學(xué)生的操作都會(huì)很繁瑣，占用的時(shí)間也會(huì)很多。因此可將例題內(nèi)容簡(jiǎn)單化，先讓學(xué)生探究“打電話盡快通知7人”的方案。學(xué)生在用擺、畫(huà)、模擬的方法探究中更容易發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律，問(wèn)題更有可操作性。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生經(jīng)歷了由“逐個(gè)通知”到“分組通知”到“人人都不空閑”，了解了圖示法，并且發(fā)現(xiàn)并不是分組越多越省時(shí)，省時(shí)的關(guān)鍵在于所有人都不空閑。這樣的設(shè)計(jì)分散了難點(diǎn)，將探究“怎樣打電話最省時(shí)”的過(guò)程作了較大的鋪陳。為例題的探究提供了兩個(gè)基礎(chǔ)，從而提高了探究的效率和成功率。（2）化抽象問(wèn)題為直觀問(wèn)題數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一是它具有很強(qiáng)大的抽象性，這是每個(gè)想學(xué)好數(shù)學(xué)的人必須面對(duì)的問(wèn)題。然而小學(xué)階段，學(xué)生的思維尚處于形象思維為主，抽象思維逐步發(fā)展的階段。如果能把比較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為操作或者直觀的問(wèn)題，那么不但使得問(wèn)題容易解決，經(jīng)過(guò)不斷地抽象→直觀→抽象的訓(xùn)練，學(xué)生的抽象思維能力也會(huì)逐步提高。特別是在教學(xué)“空間與圖形”這類(lèi)知識(shí)時(shí)，常常會(huì)用到這種方法。例如在六年級(jí)上冊(cè)教材中，為了幫助學(xué)生推導(dǎo)圓面積公式，將圓平均分成若干等份剪開(kāi)，可拼成近似的平行四邊形和長(zhǎng)方形，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓周長(zhǎng)的一半，而寬相當(dāng)于圓的半徑。當(dāng)然，也可以讓學(xué)生繼續(xù)動(dòng)手實(shí)踐，嘗試是否還能拼成其它學(xué)過(guò)的平面圖形，實(shí)踐證明，學(xué)生是可以拼成近似的梯形和近似的三角形，從而通過(guò)梯形面積公式和三角形面積公式推導(dǎo)出圓的面積公式（見(jiàn)圖1）。這不僅是對(duì)教材的延伸，也充分說(shuō)明了教師對(duì)劃歸思想的深入挖掘，使學(xué)生通過(guò)動(dòng)手剪拼，將抽象的公式概念具體化、形象化，便于學(xué)生的理解，也使學(xué)生對(duì)劃歸思想有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)和感悟。圖1圓面積的轉(zhuǎn)化示意圖（3）化未知問(wèn)題為已知問(wèn)題小學(xué)數(shù)學(xué)中的一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，由于條件、問(wèn)題或題型的設(shè)置，往往不能能用學(xué)生現(xiàn)已掌握的數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題，這時(shí)，就需要超越常規(guī)思維模式，從另外的角度進(jìn)行分析，找到解決問(wèn)題的方法。通過(guò)在教學(xué)中充分利用劃歸的靈活性和多變性，為學(xué)生提供思維的廣闊聯(lián)想空間，使學(xué)生在面臨問(wèn)題時(shí)能夠從多種角度進(jìn)行考慮，并迅速確立自己解題的基本思路和策略，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決。例：兩數(shù)相加得12，這兩個(gè)數(shù)相減得2，這兩個(gè)數(shù)是多少？此題如果用一元一次方程或二元一次方程組解決很方便，但超出了小學(xué)生的認(rèn)知范圍。可以考慮既然這兩個(gè)數(shù)相差2，就從和中先減去2，再除以2，就得到較小的那個(gè)數(shù)。這也恰是小學(xué)學(xué)習(xí)的和差問(wèn)題。⒉統(tǒng)計(jì)思想統(tǒng)計(jì)思想是從局部觀察資料的統(tǒng)計(jì)特征，推導(dǎo)整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)，或判斷某一論斷能以多大概率保證其正確性，它是由局部到整體，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》在總體目標(biāo)中提出要使學(xué)生“經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)據(jù)描述信息、作出推斷的過(guò)程，發(fā)展統(tǒng)計(jì)觀念”，首次將“統(tǒng)計(jì)觀念”作為義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)之一，這樣做的最主要原因是統(tǒng)計(jì)與人們的日常工作和社會(huì)生活太密切相關(guān)了，生活已先于數(shù)學(xué)課程將統(tǒng)計(jì)推到了學(xué)生的面前。在小學(xué)階段，學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的核心目標(biāo)是發(fā)展自己的“統(tǒng)計(jì)觀念”。統(tǒng)計(jì)觀念可以在以下幾個(gè)方面得到體現(xiàn)：認(rèn)識(shí)到統(tǒng)計(jì)對(duì)決策的作用，能從統(tǒng)計(jì)的角度思考與數(shù)據(jù)有關(guān)的問(wèn)題；能通過(guò)收集數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的過(guò)程，作出合理的決策；能對(duì)數(shù)據(jù)的來(lái)源、收集和描述數(shù)據(jù)的方法、由數(shù)據(jù)得到的結(jié)論進(jìn)行合理的質(zhì)疑。因此，義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生具有從紛繁復(fù)雜的情況中收集、處理數(shù)據(jù)，并做出恰當(dāng)?shù)倪x擇和判斷的能力。（1）利用統(tǒng)計(jì)圖表滲透統(tǒng)計(jì)知識(shí)在統(tǒng)計(jì)圖表內(nèi)容中，教材集中介紹了統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖，讓學(xué)生理解并學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)整理，會(huì)在教師指導(dǎo)下，將收集到的原始數(shù)據(jù)作科學(xué)的整理和歸類(lèi)，制作出統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖，揭示其規(guī)律。這些內(nèi)容訓(xùn)練了學(xué)生制作統(tǒng)計(jì)表、看統(tǒng)計(jì)圖、制作統(tǒng)計(jì)圖的能力。如在教學(xué)三年級(jí)上冊(cè)《統(tǒng)計(jì)》一課時(shí)，由于數(shù)據(jù)較大，學(xué)生通過(guò)操作發(fā)現(xiàn)不能用一格表示1來(lái)繪制統(tǒng)計(jì)圖，經(jīng)過(guò)討論、對(duì)比各種繪制方案，得出可以用一格代表2解決數(shù)據(jù)較大的問(wèn)題，使統(tǒng)計(jì)圖美觀清晰。本教學(xué)環(huán)節(jié)是在學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)數(shù)據(jù)的收集、整理、描述和分析的過(guò)程，了解統(tǒng)計(jì)的意義和作用。在統(tǒng)計(jì)中，同時(shí)加深了對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的初步分析。（2）在數(shù)學(xué)解題中體會(huì)統(tǒng)計(jì)思想在有關(guān)統(tǒng)計(jì)初步的習(xí)題求解中，應(yīng)盡可能要求學(xué)生多問(wèn)幾個(gè)為什么，使學(xué)生不斷地認(rèn)識(shí)和體會(huì)。在各冊(cè)教材的統(tǒng)計(jì)教學(xué)內(nèi)容中，均結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖、表設(shè)計(jì)了相應(yīng)的問(wèn)題，以及開(kāi)放性題目，如“你還能提出什么問(wèn)題？”對(duì)這些問(wèn)題教師在教學(xué)中要給予高度重視，讓學(xué)生充分表達(dá)自己的觀點(diǎn)。⒊集合思想集合是把指定的具有某種性質(zhì)的事物看作一個(gè)整體，就是一個(gè)集合，其中每個(gè)事物叫做該集合的元素。但在小學(xué)教材中，不直接出現(xiàn)集合的概念、名稱(chēng)、符號(hào)和運(yùn)算，而是結(jié)合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的內(nèi)容，通過(guò)形式多樣、生動(dòng)活潑的畫(huà)面，讓學(xué)生形象地感知集合思想。（1）以直觀的形式滲透集合之間的等價(jià)關(guān)系和包含關(guān)系如在一年級(jí)上冊(cè)“比多少”一課中，“同樣多”、“多”、“少”兒童一般在入學(xué)前對(duì)它們都有初步認(rèn)識(shí)，但是并不一定會(huì)用一一對(duì)應(yīng)的方法來(lái)比較兩組物體的多少，而往往是憑直覺(jué)，或者用數(shù)一數(shù)的辦法來(lái)比較多少。教材通過(guò)比較小兔和磚（一只小兔對(duì)一塊磚，4只小兔正好對(duì)著4塊磚）、小豬和木頭（把豬和木頭一個(gè)一個(gè)地對(duì)起來(lái)，木頭多余1根），引出“同樣多”和“多”、“少”的概念。滲透了等價(jià)集合的思想。（見(jiàn)圖2）圖2集合思想等價(jià)關(guān)系又如四年級(jí)上冊(cè)在教學(xué)平行四邊形和梯形時(shí)，讓學(xué)生觀察出長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形和梯形特征的異同點(diǎn)，討論這幾種圖形之間的關(guān)系，并用集合圖直觀地表示出來(lái)（見(jiàn)圖3）。既體現(xiàn)了圖形之間的從屬關(guān)系，又體現(xiàn)了圖形之間的包含關(guān)系。圖3集合思想包含關(guān)系圖4并集思想（2）以直觀的形式滲透集合中并集、交集、差集和空集思想如一年級(jí)上冊(cè)在教學(xué)加法時(shí)，常常利用圖示（見(jiàn)圖4），讓學(xué)生在理解題意的基礎(chǔ)上進(jìn)行列式，既滲透了并集的思想，又有利于讓學(xué)生感受到，把兩個(gè)數(shù)合并起來(lái)求一共是多少，要用加法計(jì)算。又如一年級(jí)上冊(cè)在教學(xué)0的認(rèn)識(shí)時(shí)，通過(guò)三幅畫(huà)展示一只可愛(ài)的小猴逐次把2只桃吃光的過(guò)程（見(jiàn)圖5），來(lái)說(shuō)明0可以表示沒(méi)有的含義，即盤(pán)子里一個(gè)也沒(méi)有，就記作“0”圖5空集思想圖6差集思想再如一年級(jí)上冊(cè)教學(xué)減法時(shí)，也同樣利用圖示的方法滲透了差集的思想（如圖6），差集思想的滲透有利于讓學(xué)生明白從一個(gè)數(shù)里去掉一部分，求還剩多少要用減法計(jì)算的道理。在三年級(jí)下冊(cè)教學(xué)“數(shù)學(xué)廣角”中，首先通過(guò)統(tǒng)計(jì)表的方式列出參加語(yǔ)文小組和數(shù)學(xué)小組的學(xué)生名單，但實(shí)際上參加這兩個(gè)課外小組的總?cè)藬?shù)卻不是這17人，這時(shí)教材利用直觀圖把這兩個(gè)課外小組的關(guān)系直觀地表示出來(lái)（見(jiàn)圖7），從圖上可以很清楚地看出，兩個(gè)集合圈重合的部分即有3名學(xué)生同時(shí)屬于這兩個(gè)小組，滲透了交集的思想。在教學(xué)中老師們常會(huì)利用呼啦圈，通過(guò)學(xué)生活動(dòng)使交集思想更直觀地呈現(xiàn)出來(lái)，更利于學(xué)生理解。圖7交集思想⒋數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想是指通過(guò)數(shù)形間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)研究、解決問(wèn)題的思想。數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微。”小學(xué)生的邏輯思維能力還比較弱，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)必須面對(duì)數(shù)學(xué)的抽象性這一現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。如從數(shù)的認(rèn)識(shí)、計(jì)算到比較復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題，經(jīng)常要借助圖形來(lái)理解和分析，即數(shù)離不開(kāi)形；另外，幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)中，要想知道周長(zhǎng)和面積是多少，就需要用數(shù)來(lái)表示，即形離不開(kāi)數(shù)。因此，數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的意義尤為重大。（1）利用圖形的“一一對(duì)應(yīng)”理解數(shù)學(xué)概念如一年級(jí)上冊(cè)教材在認(rèn)識(shí)數(shù)的教學(xué)中，在數(shù)數(shù)時(shí)，實(shí)質(zhì)是先要對(duì)實(shí)物進(jìn)行分類(lèi)，把每一類(lèi)看作一個(gè)集合，然后依次指著集合中的每一個(gè)元素分別同自然數(shù)中的一、二、三……一一對(duì)應(yīng)（進(jìn)行數(shù)數(shù)）（見(jiàn)圖8），指到最后一個(gè)元素，同它對(duì)應(yīng)的自然數(shù)就是這個(gè)集合中元素的個(gè)數(shù)，也就是物體的總數(shù)。圖8一一對(duì)應(yīng)圖9數(shù)的分解（2）利用“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)理解數(shù)與式的概念在教學(xué)“比大小”時(shí)，圖示是按對(duì)應(yīng)的方法豎排出來(lái)（見(jiàn)圖9）排列的形式實(shí)質(zhì)上就是條形統(tǒng)計(jì)圖的雛形，以小猴和其中的一種水果為內(nèi)容的兩列進(jìn)行數(shù)量上的比較，引入關(guān)系符號(hào)“=”、“<”、“>”，通過(guò)圖示讓學(xué)生認(rèn)識(shí)這三種符合及其含義，同時(shí)知道三種符號(hào)的讀法和作用。（3）利用數(shù)軸理解對(duì)應(yīng)思想數(shù)軸是數(shù)與形的一次重要碰撞，小學(xué)數(shù)學(xué)教材從第一冊(cè)開(kāi)始，就出現(xiàn)了有原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度和正方向的數(shù)軸形象，讓學(xué)生直觀地感知“數(shù)”可以用直線上的“點(diǎn)”來(lái)表示，直線上的點(diǎn)的變化可以引起數(shù)的變化，從而滲透了數(shù)集與直線上點(diǎn)集對(duì)應(yīng)的思想。在六年級(jí)學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)時(shí)，教材中出現(xiàn)了用數(shù)軸表示負(fù)數(shù)，幫助學(xué)生進(jìn)一步感受負(fù)數(shù)的意義，并進(jìn)一步建立了數(shù)軸的模型。通過(guò)借助數(shù)軸來(lái)比較數(shù)的大小，利用學(xué)生對(duì)溫度高低的親身體驗(yàn)理解正數(shù)、0和負(fù)數(shù)的大小，初步體會(huì)數(shù)軸上數(shù)的順序，完成對(duì)數(shù)的結(jié)構(gòu)的初步構(gòu)建。（4）利用數(shù)形結(jié)合思想分析實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件或結(jié)論的表達(dá)式如有明顯的幾何意義，或通過(guò)轉(zhuǎn)化可以建立聯(lián)系時(shí)，就可以構(gòu)造幾何圖形顯示數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用幾何意義探求數(shù)量關(guān)系，利用圖形性質(zhì)分析數(shù)量關(guān)系。例如：四年級(jí)下冊(cè)教材一道題目：根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°，你能求出四邊形的內(nèi)角和嗎？五邊形呢？六邊形呢？十二邊形呢？如果只看文字，學(xué)生就只能猜測(cè)，如果將數(shù)和圖形結(jié)合在一起思考，就方便多了。通過(guò)把多邊形分割成若干個(gè)三角形，根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°求出多邊形的內(nèi)角和。在畫(huà)圖的過(guò)程中思考多邊形內(nèi)角和與它的邊數(shù)有什么關(guān)系，從而歸納出多邊形內(nèi)角和等于180°×（n-2）?？梢?jiàn)，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合確實(shí)是一種好方法（見(jiàn)表1）。表1多邊形的內(nèi)角和解答方法二、在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想的途徑1.在備課中教師要明確數(shù)學(xué)思想蘇步青教授說(shuō)：“看書(shū)要看到底，書(shū)要看透，要看到書(shū)背面的東西?！苯處熞ㄟ^(guò)對(duì)教材完整的分析和研究，理清和把握教材的體系和脈絡(luò)，統(tǒng)攬教材全局，高屋建瓴，然后建立各類(lèi)概念、知識(shí)點(diǎn)或知識(shí)單元之間的界面關(guān)系，歸納和揭示其特殊性質(zhì)和內(nèi)在的一般規(guī)律。具體到每一節(jié)課，教師要在備課預(yù)設(shè)時(shí)抓住數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法的有效結(jié)合點(diǎn)，在教學(xué)目標(biāo)中體現(xiàn)每個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)所滲透的數(shù)學(xué)思想方法。如三年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)廣角的例2（見(jiàn)圖10）中，利用了天平的原理，使學(xué)生初步體會(huì)等量代換的思想方法，為以后學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的代數(shù)知識(shí)做準(zhǔn)備。教師在備課中要明確知道例題所要滲透的是等量代換的數(shù)學(xué)思想方法，清楚等量代換是指一個(gè)量用與它相等的量去代替，它是數(shù)學(xué)中一種基本的思想方法，也是代數(shù)思想方法的基礎(chǔ)。才能在備課中予以提煉，在教學(xué)中予以滲透，從而使學(xué)生逐步體會(huì)等量代換思想，進(jìn)而歸納出用等式的性質(zhì)來(lái)體現(xiàn)等量代換思想就是等式的傳遞性：如果a＝b,b＝c,那么a＝c。圖10等量代換思想2.在教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)之中，尤其蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程中。在教學(xué)過(guò)程中，要注意知識(shí)的形成過(guò)程，特別是定理、性質(zhì)、公式的推導(dǎo)過(guò)程和例題的求解過(guò)程，基本數(shù)學(xué)思想都是在這個(gè)過(guò)程中形成和發(fā)展的。在學(xué)習(xí)每一數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，教師應(yīng)盡可能挖掘出蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想，即在數(shù)學(xué)知識(shí)形成過(guò)程中，讓學(xué)生充分體驗(yàn)。學(xué)生在經(jīng)歷知識(shí)形成的同時(shí)，通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、抽象、概括等活動(dòng)體驗(yàn)到知識(shí)負(fù)載的方法、蘊(yùn)涵的思想，那么學(xué)生所掌握的知識(shí)就是鮮活的、可遷移的，學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)才能得到質(zhì)的飛躍。例如在六年級(jí)教學(xué)陰影面積時(shí)，我做了如下對(duì)比：在一個(gè)班中對(duì)圖11進(jìn)行講解，容易看出，問(wèn)題解決的基本思路是將空白部分轉(zhuǎn)化為圓，學(xué)生理解起來(lái)也并不困難，很快明確是用正方形面積減去圓的面積。而在另一班中，我組織學(xué)生進(jìn)行了如下操作（見(jiàn)圖12），分小組將圓與正方形拼成一個(gè)新圖形（不準(zhǔn)減少圓形面積），比一比哪組同學(xué)拼出的圖形最有新意。想一想你所拼圖形的陰影面積怎樣計(jì)算。圖11求陰影面積圖12拼圖操作中，學(xué)生不僅能拼出以上圖形，還拼出了其它的圖形，從而總結(jié)出解題方法。這一操作，意在彰顯學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作體驗(yàn)并歸納知識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法所隱含的本質(zhì)思想，對(duì)化歸思想有了較深的認(rèn)識(shí)。而第一個(gè)班學(xué)生的認(rèn)識(shí)還停留在淺顯層面。其后我對(duì)圖13求陰影面積進(jìn)行了測(cè)驗(yàn)，結(jié)果第一個(gè)班有31.7%的同學(xué)能完成，而第二個(gè)班有69.2%的同學(xué)能完成。通過(guò)將空白部分的位置進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把圖像歸納為（圖14）來(lái)解決。圖13求陰影面積圖14求陰影面積通過(guò)案例可清楚地獲得，是否在教學(xué)過(guò)程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想，其教學(xué)效果的差異還是很明顯的。教師與其做到一題一講，不如在教學(xué)中有意規(guī)劃教學(xué)過(guò)程，教會(huì)學(xué)生對(duì)相類(lèi)似問(wèn)題進(jìn)行歸納，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)與邏輯結(jié)構(gòu)，于是內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想也就浮出水面了。3.在反思中提煉數(shù)學(xué)思想反思是獲得提高的重要途徑，這里的反思不只是指教師教學(xué)后的反思，也包括學(xué)生學(xué)后的反思。教師可有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)地反思自己的思維活動(dòng)，反思的內(nèi)容有：解決問(wèn)題的關(guān)鍵在哪里？運(yùn)用了哪些基本的思考方法、技能？是否能找到其它更快捷的解題辦法？教師可組織學(xué)生開(kāi)展如下反思活動(dòng)：在獨(dú)立的觀察思考中進(jìn)行反思；在學(xué)習(xí)小組中通過(guò)交流進(jìn)行反思。4.在練習(xí)中自覺(jué)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想在練習(xí)與復(fù)習(xí)中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想是一個(gè)從模糊到清晰的飛躍，數(shù)學(xué)思想的教學(xué)過(guò)程首先是從模仿開(kāi)始的，學(xué)生按照例題示范的程序與格式解答和例題相同類(lèi)型的習(xí)題，實(shí)際上是數(shù)學(xué)思想的機(jī)械運(yùn)用，此時(shí)，并不能肯定學(xué)生已領(lǐng)會(huì)了所用的數(shù)學(xué)思想，只有當(dāng)學(xué)生將它用于新的情景，解決其他有關(guān)的問(wèn)題并有創(chuàng)意時(shí)，才能肯定學(xué)生對(duì)這一教學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)規(guī)律有了深刻的認(rèn)識(shí)。因此學(xué)生通過(guò)練習(xí)，不僅對(duì)已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)以及數(shù)學(xué)思想會(huì)起到鞏固和深化的作用，而且還會(huì)從中歸納和提煉出新的數(shù)學(xué)思想。例如在教學(xué)了如圖15這道題后，明確了陰影面積占正方形面積的57%的推導(dǎo)過(guò)程后，進(jìn)行如（見(jiàn)圖16）的練習(xí)，這些圖形都是形如葉子陰影的拓展延伸題目，將所學(xué)的推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行再應(yīng)用，通過(guò)操練實(shí)現(xiàn)順勢(shì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的眾多問(wèn)題，使學(xué)生有意運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的意識(shí)也得以增強(qiáng)。圖15求陰影面積圖16求陰影面積當(dāng)然，教師對(duì)習(xí)題的設(shè)計(jì)也應(yīng)該從數(shù)學(xué)思想的角度加以考慮，盡量多安排一些能使各種學(xué)習(xí)水平的學(xué)生深入淺出地作出解答的習(xí)題，它既有具體的方法或步驟，又能從一類(lèi)問(wèn)題的解法去思考或從思想觀點(diǎn)上去把握，形成解題方法，進(jìn)而深化為數(shù)學(xué)思想。這樣做不僅可以讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)到轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，對(duì)提高學(xué)生的