-.z.--.--總結(jié)三角形內(nèi)角和綜合習(xí)題精選一．解答題〔共12小題〕1．如圖〔1〕，△ABC中，AD是角平分線，AE⊥BC于點E．〔1〕．假設(shè)∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度數(shù)．〔2〕．假設(shè)∠C＞∠B，試說明∠DAE=〔∠C﹣∠B〕．〔3〕．如圖〔2〕假設(shè)將點A在AD上移動到A′處，A′E⊥BC于點E．此時∠DAE變成∠DA′E，〔2〕中的結(jié)論還正確嗎？為什么？2．如圖，DB是△ABC的高，AE是角平分線，∠BAE=26°，求∠BFE的度數(shù)．3．如圖，AD為△ABC的中線，BE為三角形ABD中線，〔1〕∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度數(shù)；〔2〕在△BED中作BD邊上的高；〔3〕假設(shè)△ABC的面積為60，BD=5，則點E到BC邊的距離為多少？4．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，P為線段AD上的一個動點，PE⊥AD交直線BC于點E．〔1〕假設(shè)∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度數(shù)；〔2〕當(dāng)P點在線段AD上運動時，猜測∠E與∠B、∠ACB的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論無需證明．5．〔1〕如圖1，有一塊直角三角板*YZ放置在△ABC上，恰好三角板*YZ的兩條直角邊*Y、*Z分別經(jīng)過點B、C．△ABC中，∠A=30°，則∠ABC+∠ACB=_________，∠*BC+∠*CB=_________．〔2〕如圖2，改變直角三角板*YZ的位置，使三角板*YZ的兩條直角邊*Y、*Z仍然分別經(jīng)過B、C，則∠AB*+∠AC*的大小是否變化？假設(shè)變化，請舉例說明；假設(shè)不變化，請求出∠AB*+∠AC*的大?。?．如圖1，△ABC中，∠A=50°，點P是∠ABC與∠ACB平分線的交點．〔1〕求∠P的度數(shù)；〔2〕猜測∠P與∠A有怎樣的大小關(guān)系？〔3〕假設(shè)點P是∠CBD與∠BCE平分線的交點，∠P與∠A又有怎樣的大小關(guān)系？〔4〕假設(shè)點P是∠ABC與∠ACF平分線的交點，∠P與∠A又有怎樣的大小關(guān)系？【〔2〕、〔3〕、〔4〕小題只需寫出結(jié)論，不需要證明】8．如圖，A、B兩點同時從原點O出發(fā)，點A以每秒*個單位長度沿*軸的負(fù)方向運動，點B以每秒y個單位長度沿y軸的正方向運動．〔1〕假設(shè)|*+2y﹣5|+|2*﹣y|=0，試分別求出1秒鐘后A、B兩點的坐標(biāo)；〔2〕設(shè)∠BAO的鄰補角和∠ABO的鄰補角的平分線相交于點P，問：點A、B在運動的過程中，∠P的大小是否會發(fā)生變化？假設(shè)不發(fā)生變化，請求出其值；假設(shè)發(fā)生變化，請說明理由；〔3〕如圖，延長BA至E，在∠ABO的內(nèi)部作射線BF交*軸于點C，假設(shè)∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分線相交于點G，過點G作BE的垂線，垂足為H，試問∠AGH和∠BGC的大小關(guān)系如何？請寫出你的結(jié)論并說明理由．9．如下圖，點E在AB上，CE，DE分別平分∠BCD，∠ADC，∠1+∠2=90°，∠B=75°，求∠A的度數(shù)．10．如圖，∠AOB=90°，點C、D分別在射線OA、OB上，CE是∠ACD的平分線，CE的反向延長線與∠CDO的平分線交于點F．〔1〕當(dāng)∠OCD=50°〔圖1〕，試求∠F．〔2〕當(dāng)C、D在射線OA、OB上任意移動時〔不與點O重合〕〔圖2〕，∠F的大小是否變化？假設(shè)變化，請說明理由；假設(shè)不變化，求出∠F．11．如圖，△ABC中，AE、BF是角平分線，它們相交于點O．〔∠ABC＞∠C〕，〔1〕試說明∠BOA=90°+∠C；〔2〕當(dāng)AD是高，判斷∠DAE與∠C、∠ABC的關(guān)系，并說明理由．12．△ABC中，∠BAC=100°．〔1〕假設(shè)∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，如圖1所示，試求∠BOC的大小；〔2〕假設(shè)∠ABC和∠ACB的三等分線〔即將一個角平均分成三等分的射線〕相交于O，O1，如圖2所示，試求∠BOC的大??；〔3〕如此類推，假設(shè)∠ABC和∠ACB的n等分線自下而上依次相交于O，O1，O2…，如圖3所示，試探求∠BOC的大小與n的關(guān)系，并判斷當(dāng)∠BOC=170°時，是幾等分線的交線所成的角．答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一．解答題〔共12小題〕1．如圖〔1〕，△ABC中，AD是角平分線，AE⊥BC于點E．〔1〕．假設(shè)∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度數(shù)．〔2〕．假設(shè)∠C＞∠B，試說明∠DAE=〔∠C﹣∠B〕．〔3〕．如圖〔2〕假設(shè)將點A在AD上移動到A′處，A′E⊥BC于點E．此時∠DAE變成∠DA′E，〔2〕中的結(jié)論還正確嗎？為什么？考點：三角形的角平分線、中線和高；角平分線的定義；垂線；三角形內(nèi)角和定理。專題：動點型。分析：〔1〕先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求得的度數(shù)，在△ADC中，利用三角形內(nèi)角和求出∠ADC的度數(shù)，從而可得∠DAE的度數(shù)．〔2〕結(jié)合第〔1〕小題的計算過程進(jìn)展證明即可．〔3〕利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和先用∠B和∠C表示出∠A′DE，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可證明∠DA′E=〔∠C﹣∠B〕．解答：解：〔1〕在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣50°﹣80°=50°；∵AD是角平分線，∴∠DAC=∠BAC=25°；在△ADC中，∠ADC=180°﹣∠C﹣∠DAC=75°；在△ADE中，∠DAE=180°﹣∠ADC﹣AED=15°．〔2〕∠DAE=180°﹣∠ADC﹣AED=180°﹣∠ADC﹣90°=90°﹣∠ADC=90°﹣〔180°﹣∠C﹣∠DAC〕=90°﹣〔180°﹣∠C﹣∠BAC〕=90°﹣[180°﹣∠C﹣〔180°﹣∠B﹣∠C〕]=〔∠C﹣∠B〕．〔3〕〔2〕中的結(jié)論仍正確．∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+∠BAC=∠B+〔180°﹣∠B﹣∠C〕=90°+∠B﹣∠C；在△DA′E中，∠DA′E=180°﹣∠A′ED﹣∠A′DE=180°﹣90°﹣〔90°+∠B﹣∠C〕=〔∠C﹣∠B〕．點評：此題考察了三角形的角平分線和高，三角形的內(nèi)角和定理，垂線等知識，注意綜合運用三角形的有關(guān)概念是解題關(guān)鍵．2．如圖，AD為△ABC的中線，BE為三角形ABD中線，〔1〕∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度數(shù)；〔2〕在△BED中作BD邊上的高；〔3〕假設(shè)△ABC的面積為60，BD=5，則點E到BC邊的距離為多少？考點：三角形的角平分線、中線和高；三角形的面積；三角形內(nèi)角和定理。分析：〔1〕利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和即可求∠BED的度數(shù)；〔2〕△BED是鈍角三角形，所以BD邊上的高在BD的延長線上；〔3〕先根據(jù)三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個小三角形，結(jié)合題意可求得△BED的面積，再直接求點E到BC邊的距離即可．解答：解：〔1〕∵∠BED是△ABE的一個外角，∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°．〔2〕如下圖，EF即是△BED中BD邊上的高．〔3〕∵AD為△ABC的中線，BE為三角形ABD中線，∴S△BED=S△ABC=×60=15；∵BD=5，∴EF=2S△BED÷BD=2×15÷5=6，即點E到BC邊的距離為6．點評：此題主要考察了三角形的高、中線、角平分線，三角形的面積和三角形的內(nèi)角和等知識，注意全面考慮問題，熟記三角形的中線把三角形分成的兩個小三角形面積一定相等．3．如圖，DB是△ABC的高，AE是角平分線，∠BAE=26°，求∠BFE的度數(shù)．考點：三角形內(nèi)角和定理；角平分線的定義。分析：由角平分線的性質(zhì)知，∠FAD=∠BAE=26°，而∠AFD與∠FAD互余，與∠BFE是對頂角，故可求得∠BFE的度數(shù)．解答：解：∵AE是角平分線，∠BAE=26°，∴∠FAD=∠BAE=26°，∵DB是△ABC的高，∴∠AFD=90°﹣∠FAD=90°﹣26°=64°，∴∠BFE=∠AFD=64°．點評：此題利用了角平分線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)求解．4．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，P為線段AD上的一個動點，PE⊥AD交直線BC于點E．〔1〕假設(shè)∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度數(shù)；〔2〕當(dāng)P點在線段AD上運動時，猜測∠E與∠B、∠ACB的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論無需證明．考點：三角形內(nèi)角和定理；角平分線的定義。專題：動點型。分析：〔1〕中，首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求得∠DAC的度數(shù)，從而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠ADC的度數(shù)，進(jìn)一步求得∠E的度數(shù)；〔2〕中，根據(jù)第〔1〕小題的思路即可推導(dǎo)這些角之間的關(guān)系．解答：解：〔1〕∵∠B=35°，∠ACB=85°，∴∠BAC=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=30°，∴∠ADC=65°，∴∠E=25°；〔2〕或．點評：運用了三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義．特別注意第〔2〕小題，由于∠B和∠ACB的大小不確定，故表達(dá)式應(yīng)寫為兩種情況．5．〔1〕如圖1，有一塊直角三角板*YZ放置在△ABC上，恰好三角板*YZ的兩條直角邊*Y、*Z分別經(jīng)過點B、C．△ABC中，∠A=30°，則∠ABC+∠ACB=150°，∠*BC+∠*CB=90°．〔2〕如圖2，改變直角三角板*YZ的位置，使三角板*YZ的兩條直角邊*Y、*Z仍然分別經(jīng)過B、C，則∠AB*+∠AC*的大小是否變化？假設(shè)變化，請舉例說明；假設(shè)不變化，請求出∠AB*+∠AC*的大小．考點：三角形內(nèi)角和定理。分析：此題考察的是三角形內(nèi)角和定理．∠A=30°易求∠ABC+∠ACB的度數(shù)．又因為*為90°，所以易求∠*BC+∠*CB．解答：解：〔1〕∵∠A=30°，∴∠ABC+∠ACB=150°，∵∠*=90°，∴∠*BC+∠*CB=90°，∴∠ABC+∠ACB=150°；∠*BC+∠*CB=90°．〔2〕不變化．∵∠A=30°，∴∠ABC+∠ACB=150°，∵∠*=90°，∴∠*BC+∠*CB=90°，∴∠AB*+∠AC*=〔∠ABC﹣∠*BC〕+〔∠ACB﹣∠*CB〕=〔∠ABC+∠ACB〕﹣〔∠*BC+∠*CB〕=150°﹣90°=60°．點評：此題注意運用整體法計算．關(guān)鍵是求出∠ABC+∠ACB．6．如圖1，△ABC中，∠A=50°，點P是∠ABC與∠ACB平分線的交點．〔1〕求∠P的度數(shù)；〔2〕猜測∠P與∠A有怎樣的大小關(guān)系？〔3〕假設(shè)點P是∠CBD與∠BCE平分線的交點，∠P與∠A又有怎樣的大小關(guān)系？〔4〕假設(shè)點P是∠ABC與∠ACF平分線的交點，∠P與∠A又有怎樣的大小關(guān)系？【〔2〕、〔3〕、〔4〕小題只需寫出結(jié)論，不需要證明】考點：三角形內(nèi)角和定理。專題：探究型。分析：根據(jù)"三角形的外角等于與其不相鄰的兩內(nèi)角和〞和角平分線性質(zhì)．〔1〕利用角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和是180度以及外角的性質(zhì)求算即可；〔2〕先列出∠A、∠ABC、∠ACB的關(guān)系，再列出∠BPC、∠PBC、∠PCB的關(guān)系，然后列出∠ABC和∠PBC、∠ACB和∠PCB的關(guān)系；〔3〕利用P為△ABC兩外角平分線的交點，∠DBC=∠A+∠ACB，同理可得：∠BCE=∠A+∠ABC，再利用三角形內(nèi)角和定理以及外角和定理求出即可；〔4〕列出∠A、∠ABC、∠ACF的關(guān)系，再列出∠PBC、∠P、∠PCF的關(guān)系，然后列出∠ABC和∠PBC、∠ACF和∠PCF的關(guān)系．解答：解：〔1〕∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=130°，∴∠PBC+∠PCB=〔∠ABC+∠ACB〕=×130°=65°，∴∠BPC=180°﹣65°=115°；〔2〕∠BPC=∠A+90．∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△BOC中，∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，∵BP，CP分別是∠ABC和∠ACB的平分線，∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，∴∠BPC+∠ABC+∠ACB=180°，又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠BPC=∠A+90°；〔3〕∵∠DBC=∠A+∠ACB，∵P為△ABC兩外角平分線的交點，∴∠DBC=∠A+∠ACB，同理可得：∴∠BCE=∠A+∠ABC，∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∴〔∠ACB+∠ABC〕=90°﹣∠A，∵180°﹣∠BPC=∠DBC+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，∴180°﹣∠BPC=∠A+∠ACB+∠ABC，180°﹣∠BOC=∠A+90°﹣∠A，∴∠BPC=90°﹣∠A；〔4〕假設(shè)P為∠ABC和∠ACB外角的平分線BP，CP的交點，則∠BPC與∠A的關(guān)系為：∠BPC=∠A．∵∠A+∠ABC=∠ACF，∠PBC+∠BPC=∠PCF，BP，CP分別是∠ABC和∠ACF的平分線，∵∠ABC=2∠PBC，∠ACF=2∠PCF，由以上各式可推得∠BPC=∠A．點評：此題主要考察了角平分線及三角形的內(nèi)角和定理和三角形外角和等知識，熟練地應(yīng)用其性質(zhì)得出等量關(guān)系，再進(jìn)展等量代換是解決問題的關(guān)鍵．7．如圖，△ABC中，∠B=∠E=40°，∠BAE=60°，且AD平分∠BAE．〔1〕求證：BD=DE；〔2〕假設(shè)AB=CD，求∠ACD的大?。键c：三角形內(nèi)角和定理；角平分線的定義。專題：計算題；證明題。分析：〔1〕要求證：BD=DE可以證明△ABD≌△AED，根據(jù)角角邊定理就可以證出；〔2〕求∠ACD=∠AFC﹣∠DAF，此題可以轉(zhuǎn)化為求∠AFC，∠DAF的度數(shù)．解答：〔1〕證明：∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠EAD=30°∵AD=AD∵∠B=∠E=40°∴△ABD≌△AED∴BD=ED；〔2〕解：∵∠ADE=∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD=110°，∵∠ADC=70°，∴∠EDC=110°﹣70°=40°．∴∠EDC=∠E．∴FD=FE．∵AE=AB=CD，∴CF=AF．∵∠AFC=100°，∴∠ACD=40°．點評：證明線段相等的問題比擬常用的方法是證明所在的三角形全等．8．如圖，A、B兩點同時從原點O出發(fā)，點A以每秒*個單位長度沿*軸的負(fù)方向運動，點B以每秒y個單位長度沿y軸的正方向運動．〔1〕假設(shè)|*+2y﹣5|+|2*﹣y|=0，試分別求出1秒鐘后A、B兩點的坐標(biāo)；〔2〕設(shè)∠BAO的鄰補角和∠ABO的鄰補角的平分線相交于點P，問：點A、B在運動的過程中，∠P的大小是否會發(fā)生變化？假設(shè)不發(fā)生變化，請求出其值；假設(shè)發(fā)生變化，請說明理由；〔3〕如圖，延長BA至E，在∠ABO的內(nèi)部作射線BF交*軸于點C，假設(shè)∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分線相交于點G，過點G作BE的垂線，垂足為H，試問∠AGH和∠BGC的大小關(guān)系如何？請寫出你的結(jié)論并說明理由．考點：三角形內(nèi)角和定理；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值；角平分線的定義。專題：動點型。分析：〔1〕|*+2y﹣5|+|2*﹣y|=0，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得，*+2y﹣5≥0，2*﹣y≥0；由此解不等式即可求得，A、B兩點同時從原點O出發(fā)，點A以每秒*個單位長度沿*軸的負(fù)方向運動，點B以每秒y個單位長度沿y軸的正方向運動，∴A〔﹣1，0〕，B〔0，2〕；〔2〕不發(fā)生變化．要求∠P的度數(shù)，只要求出∠PAB+∠PBA的度數(shù)．利用三角形內(nèi)角和定理得，∠P=180°﹣∠PAB﹣∠PBA；角平分線性質(zhì)得，∠PAB=∠EAB，∠PBA=∠FBA，外角性質(zhì)得，∠EAB=∠ABO+90°，∠FBA=∠BAO+90°，則可求∠P的度數(shù)；〔3〕試求∠AGH和∠BGC的大小關(guān)系，找到與它們有關(guān)的角．如∠BAC，作GM⊥BF于點M，由有可得∠AGH與∠BGC的關(guān)系．解答：解：〔1〕解方程組：得：〔3分〕∴A〔﹣1，0〕，B〔0，2〕；〔2〕不發(fā)生變化，∠P=180°﹣∠PAB﹣∠PBA=180°﹣〔∠EAB+∠FBA〕=180°﹣〔∠ABO+90°+∠BAO+90°〕=180°﹣〔180°+180°﹣90°〕=180°﹣135°=45°；〔3〕作GM⊥BF于點M．由有：∠AGH=90°﹣∠EAC=90°﹣〔180°﹣∠BAC〕=∠BAC，∠BGC=∠BGM﹣∠CGM=90°﹣∠ABC﹣〔90°﹣∠ACF〕=〔∠ACF﹣∠ABC〕=∠BAC∴∠AGH=∠BGC．注：不同于此標(biāo)答的解法請比照此標(biāo)答給分．點評：考察角平分線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識．9．如下圖，點E在AB上，CE，DE分別平分∠BCD，∠ADC，∠1+∠2=90°，∠B=75°，求∠A的度數(shù)．考點：三角形內(nèi)角和定理；平行線的性質(zhì)。專題：計算題。分析：延長DE交CB延長線于F，根據(jù)條件，證得AD∥FC；根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求得∠A的鄰補角；再求出∠A的度數(shù)即可．解答：解：延長DE交CB延長線于F，∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC=90°，即CE⊥ED，∴∠ECB+∠F=90°，∴∠2+∠F=90°．∵∠1=∠ADE，∴∠ADF=∠F，∴AD∥FC，∴∠A=∠EBF，∵∠B=75°，∴∠A=180°﹣75°=105°．點評：此題主要考察平分線的性質(zhì)，由能夠注意到AD∥FC，這是解題的關(guān)鍵．10．如圖，∠AOB=90°，點C、D分別在射線OA、OB上，CE是∠ACD的平分線，CE的反向延長線與∠CDO的平分線交于點F．〔1〕當(dāng)∠OCD=50°〔圖1〕，試求∠F．〔2〕當(dāng)C、D在射線OA、OB上任意移動時〔不與點O重合〕〔圖2〕，∠F的大小是否變化？假設(shè)變化，請說明理由；假設(shè)不變化，求出∠F．考點：三角形內(nèi)角和定理。分析：〔1〕根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°，可求∠CDO=40°，所以∠CDF=20°，又由平角定義，可求∠ACD=130°，所以∠ECD=65°，又根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，可求∠ECD=∠F+∠CDF，∠F=45度．〔2〕同理可證，∠F=45度．解答：解：〔1〕∵∠AOB=90°∠OCD=50°，∴∠CDO=40°．∵CE是∠ACD的平分線DF是∠CDO的平分線，∴∠ECD=65°∠CDF=20°．∵∠ECD=∠F+∠CDF，∴∠F=45°．〔2〕不變化，∠F=45°．∵∠AOB=90°，∴∠CDO=90°﹣∠OCD∠ACD=180°﹣∠OCD．∵CE是∠ACD的平分線DF是∠CDO的平分線，∴∠ECD=90°﹣∠OCD∠CDF=45°﹣∠OCD．∵∠ECD=∠F+∠CDF，∴∠F=45°．點評：此題考察了三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，以及三角形的內(nèi)角和是180°的定理．題目難度由淺入深，由特例到一般，是學(xué)生練習(xí)提高的必備題．11．如圖，△ABC中，AE、BF是角平分線，它們相交于點O．〔∠ABC＞∠C〕，〔1〕試說明∠BOA=90°+∠C；〔2〕當(dāng)AD是高，判斷∠DAE與∠C、∠ABC的關(guān)系，并說明理由．考點：三角形內(nèi)角和定理；三角形的角平分線、中線和高。分析：〔1〕先利用三角形內(nèi)角和定理可求∠BOA=180°﹣〔∠CAB+∠CBA〕，以及∠CAB+∠CBA=180°﹣∠C，即可得出∠BOA=180°﹣〔180°﹣∠C〕整理得出即可；〔2〕根據(jù)角平分線定義可求∠CAE=∠BAE=〔180°﹣∠C﹣∠ABC〕，然后利用三角形外角性質(zhì)，可先求∠AED，再次利用三角形外角性質(zhì)，容易求出∠DAE即可．解答：解：〔1〕理由：∵△ABC中，AE、BF是角平分線，∴∠BOA=180°﹣〔∠CAB+∠CBA〕，∵∠CAB+∠CBA=180°﹣∠C，∴∠BOA=180°﹣〔180°﹣∠C〕=90°+∠C；〔2〕關(guān)系：∠DAE=〔∠ABC﹣∠C〕．理由：∵∠C