全國2021年4月高等教育自學(xué)考試高等數(shù)學(xué)（一）試題課程代碼：00020一、單項選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題列出的備選項中只有一項是最符合題目要求的，請將其選出。1．方程的解集為（B）1-1A． B．（-2，4）C．（-4，2） D．【解析】由可得：，即，所以，解得。2．函數(shù)的定義域為（D）1-2A． B．C． D．【解析】定義域就是自變量的取值范圍。由題可知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此自變量的取值范圍為。3．極限（A）2-3A． B．C． D．【解析】由題得：，根據(jù)重要極限和極限運算法則可知，4．已知時，是與等價的無窮小量，則（D）2-4A．-2 B．-1C．1 D．2【解析】常見的等價無窮小有：當(dāng)時，，本題中，是與等價的無窮小量，設(shè)，則有，解得。5．在處可導(dǎo)的函數(shù)是（C）3-1A． B．C． D．【解析】函數(shù)在處可導(dǎo)，可以得出，函數(shù)在處存在極限，且該點的左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)都存在，且相等。A選項中，，極限不存在。B選項中，，極限不存在。C選項中，，極限存在，且有D選項中，，，左導(dǎo)數(shù)不等于右導(dǎo)數(shù)。6．微分（C）3-4A． B．C． D．【解析】某函數(shù)的微分就是這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后面再乘以一個，因此有7．曲線的水平漸近線為（A）4-9A． B．C． D．【解析】如果，則稱直線是曲線在時的水平漸近線。本題中，，所以是曲線的水平漸近線。8．曲線（B）4-8A．沒有拐點 B．有一個拐點C．有2個拐點 D．有三個拐點【解析】，，令，解得；當(dāng)，；當(dāng)，；在左右兩端異號，因此有一個拐點。9．若無窮限反常積分，則常數(shù)（D）5-15A．0 B．1C．2 D．3【解析】若是的一個原函數(shù)，則。本題中，，解得。10．設(shè)函數(shù)，則全微分（C）6-3A． B．C． D．【解析】本題中：所以：二、簡單計算題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。11．求函數(shù)的反函數(shù)。0-5解：因，所以.（3分）故該函數(shù)的反函數(shù)為.（4分）【解析】，把1移到左邊得：根據(jù)對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系：若則故：，即；所以該函數(shù)的反函數(shù)為12．求極限。2-4解：原極限（2分）（4分）【解析】分子分母同時除以，得到，由極限運算法則：，可得：由常見等價無窮小：時，，所以故：13．設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)。3-5解：因，（3分）所以（4分）【解析】由復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則：本題中，得：則有：所以14．求函數(shù)在閉區(qū)間[0，2]上的最值。4-6解：，令，得在區(qū)間（0，2）內(nèi)的駐點（2分）比較函數(shù)值，，，得，.（4分）【解析】首先，求出在（0，2）內(nèi)和不存在的點；令，解得其次，計算函數(shù)值，，；，，最后，上述函數(shù)值最大者為最大值，最小者為最小值。故，15．求不定積分。5-3解：元積分（2分）（4分）【解析】不定積分的基本性質(zhì)：本題中，三、計算題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。16．設(shè)函數(shù)，討論在處的連續(xù)性。2-5解：因（3分）又，所以在處不連續(xù).（5分）【解析】根據(jù)定理：在點連續(xù)本題中，由常見等價無窮?。簳r，，即有故因為，所以在處不連續(xù)。17．已知函數(shù)，求。3-7解：，（3分）（5分）【解析】由復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則：本題中；根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)的定義：；根據(jù)導(dǎo)數(shù)四則運算：18．求極限。5-12解：由洛必達(dá)法則，原極限（3分）（5分）【解析】本題中，，因此可以使用洛必達(dá)法則：根據(jù)微積分基本定理：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則積分上限函數(shù)在上可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為：本題中，在上連續(xù)，因此有故：根據(jù)常見等價無窮?。簳r，，即有因此有19．計算定積分。5-11解：（2分）（5分）【解析】根據(jù)牛頓—萊布尼茨公式：故：20．求微分方程的通解。5-8解：分離變量，（2分）兩端積分得通解（5分）【解析】形如的微分方程成為可分離變量得微分方程。本題中，對原式分離變量得對兩邊不定積分，得微分方程的通解為：，其中，分別是，的一個原函數(shù)。故的通解為，即四、綜合題：本大題共4小題，共25分。21．（本小題6分）設(shè)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品公斤時銷售收入為（萬元），成本函數(shù)為（萬元），且產(chǎn)銷平衡，問產(chǎn)量為多少時總利潤最大？并求最大利潤。4-6解：總利潤函數(shù)（2分）令，得唯一駐點（4分）又因為，所以為的最大值點。故當(dāng)產(chǎn)量公斤時，總利潤最大，最大利潤為萬元.（6分）（注：若用“由問題的實際意義知最值存在且駐點唯一”論述最值亦可）【解析】處理實際問題時，首先需要建立目標(biāo)函數(shù)（即欲求最值的那個函數(shù)），即本題中的利潤函數(shù)。利潤＝收入－成本（作為常識記憶）故利潤函數(shù)為令，即，得唯一駐點此時需要進(jìn)一步判斷駐點是最大值還是最小值，因此計算二階導(dǎo)數(shù)在駐點的正負(fù)，大于零為最小值，小于零為最大值。，因此為的最大值點。22．（本小題6分）設(shè)曲線與直線及兩坐標(biāo)軸圍成的平面圖形為D，如圖所示，求：（1）D的面積A。（2）D繞軸一周的旋轉(zhuǎn)體體積。5-17解：（1）（3分）（2）（6分）【解析】（1）由連續(xù)曲線（）以及直線，和軸所圍成的平面圖形的面積為本題中，，，故有：（2）由連續(xù)曲線以及直線，和軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積為故有：23．（本小題6分）設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，求偏導(dǎo)數(shù)。6-5解：設(shè)（1分）則，，（4分）于是，（6分）【解析】由方程所確定的二元隱函數(shù)，如果函數(shù)在點的某個領(lǐng)域內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，，，且，則：，本題中，（把之外的其他作為常數(shù)）；（把之外的其他作為常數(shù)）；（把之外的其他作為常數(shù)）；因此，，。24．（本小題