6.3.1

平面向量基本定理[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．若e1，e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則下列說(shuō)法不正確的是(

)①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量；②對(duì)于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實(shí)數(shù)λ，μ有無(wú)數(shù)多對(duì)；③若λ1，μ1，λ2，μ2均為實(shí)數(shù)，且向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在實(shí)數(shù)λ，μ使λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0.A．①②

B．②③C．③④

D．②解析：選B.由平面向量基本定理，可知①④說(shuō)法正確，②說(shuō)法不正確．對(duì)于③，當(dāng)λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0時(shí)，這樣的λ有無(wú)數(shù)個(gè)．故選B.2．在矩形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，若＝e1，＝e2，則＝(

)A.(e1＋e2)

B.(e1－e2)C.(2e2－e1)

D.(e2－e1)解析：選A.因?yàn)镺是矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，＝e1，＝e2，所以＝(＋)＝(e1＋e2)，故選A.3．已知{e1，e2}為基底，向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k的值是(

)A．2

B．－3C．－2

D．3解析：選A.＝－＝－e1＋2e2＝－(e1－2e2)．又A，B，D三點(diǎn)共線，則和是共線向量，所以k＝2.4．已知△ABC的邊BC上有一點(diǎn)D，滿足＝3，則可表示為(

)A.＝＋

B.＝＋C.＝－2＋3

D.＝＋解析：選B.由＝3，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.5．若D點(diǎn)在三角形ABC的邊BC上，且＝4＝r＋s，則3r＋s的值為(

)A.

B.C.

D.解析：選C.因?yàn)椋?＝r＋s，所以＝＝(－)＝r＋s，所以r＝，s＝－.所以3r＋s＝－＝.6．已知{a，b}是一個(gè)基底，實(shí)數(shù)x，y滿足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y的值為_(kāi)_______．解析：因?yàn)閧a，b}是一個(gè)基底，所以a與b不共線，因?yàn)?3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，所以解得所以x－y＝3.答案：37．已知O，A，B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿足2＋＝0，若＝a，＝b，用a，b表示向量，則＝________．解析：＝－，＝－，因?yàn)?＋＝0，所以2(－)＋(－)＝0，所以＝2－＝2a－b.答案：2a－b8.如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E為線段AO的中點(diǎn)，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝______．解析：因?yàn)椋剑剑剑?，所以＝＋，所以λ＝，μ＝，λ＋μ?答案：9．設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)證明：{a，b}可以作為一個(gè)基底；(2)以{a，b}為基底表示向量c＝3e1－e2.解：(1)證明：假設(shè)a＝λb(λ∈R)，則e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共線，得所以λ不存在．故a與b不共線，可以作為一個(gè)基底．(2)設(shè)c＝ma＋nb(m，n∈R)，則3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.所以解得所以c＝2a＋b.10.如圖所示，設(shè)M，N，P是△ABC