線、角、相交線、平行線規(guī)律1.如果平面上有"（應(yīng)2）個點,其中任何三點都不在同一直線上,那么每兩點畫一條直線,ー共可以畫出ーn（n—1）條.2規(guī)律2.平面上的0條直線鞋可把平面分成（；n（n+l）+l）個局部.規(guī)律3.如果一條直線上有n個點,那么在這個圖形中共有線段的條數(shù)為I1）條.規(guī)律4.線段（或延長線）上任一點分線段為兩段,這兩條線段的中點的距離等于線段長的一半.例:如圖,8在線段AC上,M是A8的中點,N是8c的中點.求證:mn=^ac ；-キーrnr-t證明:：M是A8的中點，N是BC的中點TOC\o"1-5"\h\z1 1：.AM=BM=-AB,BN=CN=-BC2 21 1/?MN=MB+BN=-AB+-BC=-（AB+BC）2 2:.MN=-AC2練習(xí)：1.如圖，點C是線段48ヒ的一點，M是線段8c的中點.求證:.如圖,點8在線段んr上,M是ス8的中點,N是4r的中點.求證:MN=-BC2.如圖,點B在線段AC上,N是厶C的中點,M是8c的中點.求證:MN=-AB2規(guī)律5.有公共端點的n條射線所構(gòu)成的交點的個數(shù)一共有;”（。ー1）個.規(guī)律6.如果平面內(nèi)有"條直線都經(jīng)過同一點,那么可構(gòu)成小于平角的角共有2n（n-1）個.規(guī)律7.如果平面內(nèi)有"條直線都經(jīng)過同一點,那么可構(gòu)成"（"-D對對頂角.規(guī)律8.平面上假設(shè)有"（"23）個點,任意三個點不在同一直線上,過任意三點作三角形ー共可作出丄"（"一1）（"-2）個.6規(guī)律9.互為鄰補角的兩個角平分線所成的角的度數(shù)為90°.規(guī)律10.平面上有"條直線相交,最多交點的個數(shù)為丄"（"一1）個.規(guī)律11.互為補角中較小角的余角等于這兩個互為補角的角的差的一半.規(guī)律12.當兩直線平行時,同位角的角平分線互相平行,內(nèi)錯角的角平分線互相平行,同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直.例:如圖,以下三種情況請同學(xué)們自己證明.I)4BC+ZBCD+NCDE=360。ZBCD=ZABC+ZCDEZBCD=ZCDE-4BC+ZBCD+NCDE=360。ZBCD=ZABC+ZCDEZBCD=ZCDE-ZABCZBCD=ZABC-ZCDEZCDE=ZBCD+ZABCZABC=ZBCD+ZCDE13.AB//DE,如圖⑴?(6),規(guī)律如下:規(guī)律14.成"8"字形的兩個三角形的ー對內(nèi)角平分線相交所成的角等于另兩個內(nèi)角和的ー半.TOC\o"1-5"\h\z例:，8E、DE分另リ平分/厶BC和ノ4DC,假設(shè)/4=45。,/￠=55。,求/E的度數(shù). ヽ解:Z4+ZABE=ZE+ZADE① ヽXT，？ZC+ZCDE=ZE+ZCBE② /ヽ①+②得NA+NABE+/C+NCDE=NE+ZADE+ZE+ZCBE；8E平分/厶BC、DE ADC,：.ZABE=ZCBE,NCDE=NADE.*.2NE=NA+NC：.ZE=；(/A+NC),:NA=45°,ZC=55°,；.ZE=50°三角形局部規(guī)律15.在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時,如果直接證不出來,可連結(jié)兩點或延長某邊構(gòu)造三角形,使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中,再利用三邊關(guān)系定理及不等式性質(zhì)證題.例：如圖,D、E為△48c內(nèi)兩點，求證:AB+AOBD+DE+CE.證法(一)：將DE向兩邊延長,分別交A8、AC于M、N在△厶/WN中，AM+AN>MD+DE+NE①在△BDM中，MB+MD>BD ②在△CEN中，CN+NE>CE ③①+②+③得am+an+mb+md+cn+ne>md+de+ne+bd+ce:.ab+ac>bd+de+ce證法（二）延長8。交AC于F,延長CE交8F于G,在△ABF和AGFC和^GDE中有, ゝノZ陵?@ab+af>bd+dg+gf '' —?GF+FOGE+CE@DG+GE>DE.,.①+②+③有ab+af+gf+fc+dg+ge>bd+dg+gf+ge+ce+de:.ab+ac>bd+de+ce注意:利用三角形三邊關(guān)系定理及推論證題時,常通過引輔助線,把求證的量（或與求證有關(guān)的量）移到同一個或幾個三角形中去然后再證題.練習(xí)::如圖P為△厶8c內(nèi)任一點,求證:一（AB+BC+AC）<PA+PB+PC<AB+BC+AC規(guī)律16.三角形的ー個內(nèi)角平分線與一個外角平分線相交所成的銳角,等于第三個內(nèi)角的一半.例:如圖，BD為△48c的角平分線，CD為ふABC的外角/ACE的平分線,它與8D的延長線交于D.求證:/A=2ND證明:；8D、CD分別是/厶8C、/ACE的平分線ェ/ACE=2Z1,ZABC=2Z2 A/丁ZA=/ACE-Z厶8c b厶——國Z>4=2Z1-2Z2又マND=N1—42NA=2ND規(guī)律17.三角形的兩個內(nèi)角平分線相交所成的鈍角等于90。加上第三個內(nèi)角的一半.

例:如圖,BD、CD分別平分/ABC、/ACB,求證:N8DC=90。+丄/A2證明:?：BD、CD分別平分/A8C、ZACB：.ZA+2Z1+2Z2=180°.,.2(Z1+Z2)=180°—ZA①AVZeDC=180。一(Z1+Z2) /.,.(Zl+Z2)=180°-ZBDC@ B c把②式代入①式得2(180°—Z6DC)=180°-ZA即：3600—2Z6DC=1800-ZA：.2ZBDC=180。+ZA，Z8DC=90。+—ZA2規(guī)律18.三角形的兩個外角平分線相交所成的銳角等于90。減去第三個內(nèi)角的一半.例:如圖,BD、CD分別平分ZE8C、ZFCB,求證:ZBDC=90°--ZA2證明：V8D,8分別平分ZE8C、NFCB.,.Z￡8C=2Z1,NFCB=2N2；.2Z1=ZA+ZAC8①2Z2=ZA+ZA8c(2)①+②得2(Z1+Z2)=Z4+Z48C+Z4C8+ZA2(Z1+Z2)=180°+Z-4:.(Z1+Z2)=900+:.(Z1+Z2)=900+-ZA2VZ8DC=18O°-(Z1+Z2)：.ZBDC=180°—(90°+；NA)AZ6DC=90°--Z42規(guī)律19.從三角形的ー個頂點作髙線和角平分線,它們所夾的角等于三角形另外兩個角差(的絕對值)的一半.例:,如圖,在△厶8c中,ZOZB,AD丄8c于。,AE平分/8AC.求證:ZEAD=-(ZC-Z6)2 a證明:平分ZBAC ノ/し\ED,：.ZBAE=ZCAE=-ZBACVZe/lC=180o-(ZB+ZC)：.ZEAC=-(180°—(Z8+ZC))'：AD±BC：.ZDAC=90°—ZC'：ZEAD=ZEAC-ZDAC：.ZEAD=-(180°-(ZB+ZC))-(900-ZC)2=y(ZC-ZB)

如果把AD平移可以得到如下兩圖,小丄8c其它條件不變,結(jié)論為/EFD=丄（NC2一N8).注意:同學(xué)們在學(xué)習(xí)幾何時,可以把自己證完的題進行適當變換,從而使自己通過解一道題掌握ー類題,提髙自己舉一反三、靈活應(yīng)變的能力.規(guī)律20.在利用麺納處魚大王任何烈官丕相鋤城魚證明角的不等關(guān)系時，如果直接證不出來,可連結(jié)兩點或延長某邊,構(gòu)造三角形,使求證的大角在某個三角形外角的位置上,小角處在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題.例:D為△48c內(nèi)任一點,求證:NBDONBAC證法（一）:延長8D交AC于￡,；NBDC是AEDC；NBDC是AEDC的外角,:.NBDC>NDEC同理:ZDEOZBAC：.ZBDC>ZBAC證法（二）:連結(jié)AD,并延長交8C于F,：ZBDF^^ABD的外角,：.ZBDF>ZBAD同理/CDF>NCADZBDF+ZCDF>ZBAD+ZCAD即：ZBDOZBAC規(guī)律21.有角平分線時常在角兩邊截取相等的線段,構(gòu)造全等三角形.例：,如圖,厶D為△48c的中線且/1=N2,N3=N4,求證:BE+CF>EF證明：在。A上截取DN=DB,連結(jié)NE、NF,那么DN=DC在ABDE和ANDE中,DN=DB

AZl=Z2AED=ED:.ABDEぶANDEBE=NE同理可證:CF=NF在△EF/V中,EN+FN>EFbe+cf>ef規(guī)律22.有以線段中點為端點的線段時,常加倍延長此線段構(gòu)造全等三角形.例:,如圖,AD為△48c的中線,且/1=N2,N3=N4,求證:BE+CF>EF證明:延長ED到M,使DM=DE,連結(jié)CM、FM△8DE和△CDM中,BD=CDZl=Z5ED=MD.?.△BDE纟△COMCM=BE又?.?Z1=Z2,Z3=Z4Z1+Z2+Z3+Z4=180°AZ3+Z2=90°M即ZEOF=90。M：.ZFDM=ZFDF=90°△EDF和△MDF中ED=MDZFDM=NEDFDF=DF：.AEDFmふMDF：.EF=MF?.?在△CMF中,CF+CM>MFbe+cf>ef（此題也可加倍FD,證法同上）規(guī)律23.在三角形中有中線時,常加倍延長中線構(gòu)造全等三角形.例:，如圖,AD為△ABC的中線，求證:AB+AO2AD證明:延長ムD至E,使。E=AD,連結(jié)8E,：AD為△48c的中線/在△ACD和AEBD中 、/ろしEBD=CDZl=Z2AD=ED：./XACD^/XEBD'：△A8E中有AB+BE>AE：.AB+AC>2AD規(guī)律24.截長補短作輔助線的方法截長法:在較長的線段上截取一條線段等于較短線段;補短法:延長較短線段和較長線段相等.這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法.當或求證中涉及到線段。、b、C、d有以下情況之一時用此種方法:①a>b②。士b=c③a士b=c±d例:,如圖,在△ABC中,AB>AC,Zl=Z2,P為A。上任一點,求證:AB-AOPB-PC證明:⑴截長法:在厶8上截取AN=47,連結(jié)PN在△APN和△APC中,AN=ACZl=Z2AP=AP△厶PN4△厶PC：.PC=PNVABP/V中有PB-PC<BN：.PB-PC<AB—AC⑵補短法:延長AC至M,在△厶8P和△4MP中AB=AMZl=Z2AP=AP：.△厶8P纟△AMP：.PB=PMD しA杰使AM=AB,連結(jié)PMM在△PCM中有CM>PM~PC練習(xí)：1.,在△厶8c中，ZB=60°,AD.并且它們交于點0求證:AC=AE+CD2.<如圖，AB//CDZ1=Z2,zCE是△ABC的角平分 線,DB C求證:BC=AB+CD規(guī)律25.證明兩條線段相等的步驟:①觀察要證線段在哪兩個可能全等的三角形中,然后證這兩個三角形全等。②假設(shè)圖中沒有全等三角形,可以把求證線段用和它相等的線段代換,再證它們所在的三角形全等.③如果沒有相等的線段代換，可設(shè)法作輔助線構(gòu)造全等三角形.例:如圖,，BE、CD相交于F,N8=NC,Zl=Z2I求證:DF=EF證明:?.,ZADF=Z8+Z3ZAEF=ZC+Z4又;Z3=Z4Z8=ZC/.ZADF=NAEFtE^ADF^i/^AEF中ZADF=NAEFZl=Z2AF=AF：.△厶DF絲△厶￡F：.DF=EF規(guī)律26.在ー個圖形中,有多個垂直關(guān)系時，常用同角（等角）的余角相等來證明兩個角相等.例:,如圖Rt△厶8C中,A8=AC,Z8AC=90。,過厶作任一條直線AN,作8。丄AN于D,CE1.AN于E,求證：DE=BD-CE證明：VZ64C=90°,BD1AN.,.Zl+Z2=90°Zl+Z3=90°.'.Z2=Z3,?8D丄ANCELAN，NBOA=NAEC=90。在△ABD和△CAE中,NBDA=NAECZ2=Z3AB=AC/^ABD^/^CAE：.BD=AEHAD=CE：.AE~AD=BD—CE：.DE=BD~CE規(guī)律27.三角形ー邊的兩端點到這邊的中線所在的直線的距離相等.例:AD為△ABC的中線,且CF丄AD于F,8E丄AD的延長線于E求證:BE=CF證明:（略）規(guī)律28.條件缺乏時延長邊構(gòu)造三角形.例：AC=BD,AD丄AC于A,BCBDTB求證：AD=BC證明：分別延長DA、CB交于點E'."AD1.ACBC1BD：.ZCAE=ZDBE=90°在△DBE和△SE中ND8E=NC4EBD=ACZE=Zf：./\DBE^/\CAE：.ED=EC,EB=EA：.ED~EA=EC-EB：.AD=BC規(guī)律29.連接四邊形的對角線,把四邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形來解決問題.例:,如圖,AB//CD,AD//BC求證:AB=CD證明:連結(jié)AC（或8D）,:AB〃3,AD//BCAZ1=Z2在△厶8c和△CD4中,Zl=Z2AC=CAZ3=Z4^ABC^/XCDA：.AB=CD練習(xí):,如圖,AB二DC,AD=BC,DE=BF,求證：BE=DF規(guī)律30.有和角平分線垂直的線段時,通常把這條線段延長?？蓺w結(jié)為“角分垂等腰歸”.例:,如圖,在中,AB=AC,ZBAC=90°,Zl=Z2,CE丄8D的延長線于E求證:BD=2CE證明:分別延長84CE交于F"：BE1CFTOC\o"1-5"\h\z/.ZBEF=ZBEC=900 「在ABEF和^BEC中 X\\匸… ハN?丄-N 21c.BE=BENBEF=2BEC:?厶BEF公ムBEC1:.CE=FE=-CF2"：ZBAC=90°,BE±CF：.ZBAC=ZCAF=90°Zl+NBDA=90。Zl+ZBFC=90°ZBDA=ZBFC在AABD和△ACF中ZBAC=ZCAFZBDA=ZBFCAB=AC：.Z\A8皓△厶CFBD=CF：.BD=2CE

練習(xí):,如圖,Z4CB=3ZB,N1=N2,CD丄厶。于。,求證:AB~AC=2CD規(guī)律31.當證題有困難時，可結(jié)合條件，把圖形中的某兩點連接起來構(gòu)造全等三角形.例:,如圖,AC,8。相交于。,且A8=DC,AC=BD,求證:/A=ND證明:（連結(jié)8C,過程略）規(guī)律32.當證題缺少線段相等的條件時,可取某條線段中點,為證題提供條件.例：,如圖，AB=DC,NA=ND求證:ZABC=Z.DCBA D證明：分別取AD、8c中點N、M, \連結(jié)N8、NM、NC（過程略）規(guī)律33.有角平分線時,常過角平分線上的點向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點到角兩邊距離相等證題.例：，如圖,Zl=Z2,P為8N上一點,且PD丄8c于D,AB+BC=2BD,求證:Z84P+ZflCP=180°證明：過P作PE丄8厶于EVPD1BC,Zl=Z2:?PE;PDDC在Rt^XBPE和RtABPD中DCBP=BPPE=PD；.RtABPEgRtABPD：.BE=BD???厶8+8C=28D,BC=CD+BDfAB=BE~AE：.AE=CD?.'PE丄8E,PD±BCNPEB=NPDC=9。。在△PEA和△0￡）《中PE=PDNPEB=NPDCAE=CD.?.△PEA絲Z^PDCNPCB=NEAP'：ZBAP+ZEAP=180°：.ZBAP+ZBCP=180°練習(xí):1.,如圖,PA,PC分別是△ABC外角/MAC與/NCA的平分線,它們交于P,PD1BM于M,PF丄8N于F,求證:BP為NMBN的平分線2.,如圖,在△48c中,ZABC=100°,ZACB=20°,CE是/ACB的平分線,。是AC上一點,假設(shè)/CBD=20。,求/CED的度數(shù)。規(guī)律34.有等腰三角形時常用的輔助線⑴作頂角的平分線,底邊中線,底邊髙線例:，如圖，AB=AC,8D丄AC于。，求證:ZBAC=2ZDBC證明:（方法一）作/8AC的平分線AE,交BC于E,那么/1=/2=-Z.BAC2XV48=AC：.AE±BC：.Z2+ZACB=90°'：BD丄AC：.ZDBC+ZACB=90°.\Z2=NDBC：.NBAC=2NDBC（方法二）過A作AE丄8c于E（過程略）

（方法三）取8c中點E,連結(jié)AE（過程略）⑵有底邊中點時,常作底邊中線例:,如圖,△厶8c中,AB=AC,D為8c中點,DE丄AB于E,DF丄AC于F,求證:DE=DF證明:連結(jié)AD. ネ為8c中點, 0CBDC/.BD=CD又:ab=ac；.AD平分/8ACVDE1AB,DFLAC：.DE=DF⑶將腰延長一倍，構(gòu)造直角三角形解題例：,如圖,△48c中,AB=AC,在8A延長線和AC上各取一點E、F,使厶E=AF,求證：EF1BC證明：延長BE到N,使AN=A8,連結(jié)CN,那么A8=A/V=ACZB=NACB,NACN=NANC：ZB+NACB+ZACN+NANC=180°2ZBCA+2NACN=180°，ZBCA+Z厶CN=90°即ZBCN=90°NC丄BC：AE=AF：.ZAEF=NAFE又,：NBAC=NAEF+ZAFENBAC=NACN+ZANC

ZBAC=2ZAEF=2ZANC：.NAEF=ZANC：.EF//NCJ.EFLBC⑷常過一腰上的某一點做另一腰的平行線例:,如圖,在△48。中,AB=AC,D在A8上,￡?在AC延長線上,且8。=CE,連結(jié)DE交BC于F求證:DF=EF證明:（證法一）過。作DN〃ムE,交8c于N,那么/DN8=NACB,ZNDE=ZE,'：AB=AC,ZB=ZACB：.ZB=ZDNB：.BD=DN：.ZB=ZDNB：.BD=DN5l."：BD=CE：.DN=EC在△DNF和AECF中Zl=Z2NNDF=NEDN=EC:?へDNF”へECF（證法二）過E作EM〃厶8交8c延長線于M,那么N￡M8=/8（過程略）⑸常過一腰上的某一點做底的平行線N-__,D長線上，且ム。=例：，如圖，/XABC中，AB=AC,E在AC上，DN-__,D長線上，且ム。=AE,連結(jié)DE\|求證:DE丄BC證明:（證法一）過點E作EF〃8c交A8于F,那么NAFE=NBNAEF=NC"：AB=AC，NB=NC：.ZAFE=ZAEF'：AD=AE：.ZAED=ZADE又NAFE+ZAEF+Z.AED+ZADE=180°：.2ZAEF+2ZAED=90°即/FED=90°：.DELFE又,：EF〃BC：.DE±BC（證法二）過點。作DN〃8c交CA的延長線于N,（過程略）（證法三）過點厶作厶M〃8c交DE于M,（過程略）⑹常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形ーー等邊三角形NPCB例:,如圖,△A8C中,厶8=AC,NBAC=80°,P為形內(nèi)一點,假設(shè)/PBC=10。=30°求/R48的度數(shù).NPCB解法一：以AB為ー邊作等邊三角形,連結(jié)CE那么/8AE=NABE=60°AE=AB=BE'：AB^AC：.AE=ACZABC=ZACB

/.ZAEC=ZACEZEAC=ZBAC-ZBAE=80°—60°=20°1

ZACE=-(180°-ZEAC)=80°ZACB=-(180°-ZB4C)=50°ZBCE=ZACE-ZACB=80°—50°=30°VZPC8=30°：.ZPCB=NBCE丁ZABC=ZACB=50。,ZABE=60°:.ZEBC=ZABE-Z4BC=60°-50°=10°VZPBC=10°：.ZPBC=NEBC在8c和△EBC中ZPBC:ZEBCBC=BCZPCB=ZBCE/.△PBC^AFBCjBP=BEAB=BE：.AB=BP：.ZBAP=ZBPA'：Z厶8P:/ABC-ZPBC=50。一:10。=40°

：.ZPAB=；(180°-NA8P)=70°解法二:以AC為ー邊作等邊三角形,證法同一。解法三:以8c為ー邊作等邊三角形△8CE,連結(jié)AE,那么EB=EC=BC,ZBEC=ZEBC=60°,:EB=EC.?.E在8c的中垂線上同理A在8c的中垂線上：.EA所在的直線是8c的中垂線：.EALBCZAEB=一/BEC=30°=NPCB2由解法一知:ZABC=50°,ZABE=NEBC-Z.ABC=10°=NPBC'：ZABE=ZPBC,BE=BC,ZAEB=ZPCB：./XABE^/^PBC：.AB=BP：.ZBAP=ZBPA*：ZABP=ZABC-ZPBC=50°-10°=40°：.ZPAB=y(1800-ZABP)=一(180。-40。)=70。規(guī)律35.有二倍角時常用的輔助線⑴構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角例:,如圖,在△ム8c中,Zl=Z2,ZZ?SC=2ZC,求證:AB+BD=AC

證明:延長ム8至リ￡,使8E=8D,連結(jié)DE那么/8ED=NBDE；NA8D=NE+N8DE：.ZABC=2ZE'：ZABC=2ZC：.ZE=ZC在△/?￡￡?和△ACD中NE=ZCZl=Z2AD=AD：./XAED^^ACD：.AC=AE"：AE=AB+BE:.ac=ab+be即ab+bd=ac⑵平分二倍角例:,如圖,在△ABC中,8。丄AC于D,NBAC=2NDBC求證:ZABC=ZACB證明：作/8AC的平分線AE交8c于E,那么/8AE=NCAE=/DBC'：BD±AC:.NCBD+ZC=90°AZC4￡+ZC=90°ZAEC=180°-ZCAE-ZC=90°J.AELBC：.NA8C+NBAE=90°VZC4E+ZC=90°ZB4E=ZCAE：.ZABC=Z4C8⑶加倍小角例:,如圖,在△厶8c中,BD丄AC于D,ZBAC=2NDBC求證:ZA8C=ZAC8證明:作ZFBD=ZD8C,BF交AC于F（過程略）規(guī)律36.有垂直平分線時常把垂直平分線上的點與線段兩端點連結(jié)起來.例：，如圖,△厶8c中，AB=AC,ZBAC=120°,EF為AB的垂直平分線，EF交BC于F,交AB于E求證:BF=-FC2證明:連結(jié)AF,那么んF=8F/.ZB=ZMB"：AB=AC；.ZB=ZCVZB4C=120°

，ZB=ZCZBAC=-(1800-NBAC)=30°AZMB=30°/.Z￡4C=ZB4C-ZE4B=120°-30°=90°又:ZC=30°：.AF=-FC2I：.BF=-FC2練習(xí):,如圖,在△ABC中,ZCAB的平分線ム。與BC的垂直平分線DE交于點。,DM丄厶B于/W,DN丄AC延長線于N求證:BM=CN規(guī)律37.有垂直時常構(gòu)造垂直平分線.例:，如圖，在△ムBC中，ZB=2ZC,AD丄BC于D求證:CD=AB+BD證明:（一）在CD上截取DE=DB,連結(jié)AE,那么AB=AE，ZB=ZAEBVZB=2ZC:.ZAEB=2ZC

又?:ZAEB=ZC+ZE4C：.ZC=ZEAC：.AE=CEXVCD=D￡+C￡：.CD=BD+AB（二）延長CB到F,使DF=DC,^AF^^AF=AC（過程略）規(guī)律38.有中點時常構(gòu)造垂直平分線.例:,如圖,在△厶8c中,BC=2AB,NABC=2NC,BD=CD求證:△48c為直角三角形證明:過。作DE丄8C,交AC于E,連結(jié)8E,那么8E=CE,/.ZC=ZFBC*/ZABC=2ZC:.NABE=NEBC

'：BC=2AB,BD=CD規(guī)律39.當涉及到線段平方的關(guān)系式時常構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理證題.：.BD=AB：.BD=AB^E/^ABEfU/\DBE中AB=BDNABE=NEBCBE=BE：.AABEgADBE：.ZBAE=AB=BDNABE=NEBCBE=BE：.AABEgADBE：.ZBAE=Z8DEVZBDE=90°：.ZBAE=90°即ふABC為直角三角形例:,如圖,在△厶8c中,/厶=90。,OE為8c的垂直平分線求證:BE2~AE2=AC2證明:連結(jié)CE,那么8￡=CE,/ZA=90°：.AE2+AC2=EC2：.AE2+AC2=BE2.'.BE2-AE2=AC2BC上ー練習(xí):，如圖，在△48c中，ZBAC=90°,AB=AC,P為點BC上ー求證:PB2+PC2=2PA2規(guī)律40.條件中出現(xiàn)特殊角時常作髙把特殊角放在直角三角形中.例:,如圖,在△48c中，ZB=45°,ZC=30°,AB=近,求AC的長.解：過A作AD丄BC于。二ZB+ZBAD=90。,VZB=45°,ZB=Z8AD=45。,：.AD=BDA'：AB2=AD2+BD2,AB=立 B2-- ：.AD=1VZC=30°,ADYBC：.AC=2AD=2四邊形局部規(guī)律41.平行四邊形的兩鄰邊之和等于平行四邊形周長的一半.例:,必8C。的周長為60cm,對角線AC、8D相交于點。,△厶。8的周長比△8?！榈闹荛L多8cm,求這個四邊形各邊長.解:?.?四邊形A8CD為平行四邊形

：.AB=CD,AD=CB,AO=CO"：AB+CD+DA+CB=60ao+ab+ob-（ob+bc+oc）=8：.AB+BC=30,AB-BC=8：.AB=CD=19,BC=AD=11答:這個四邊形各邊長分別為19cm、11cm、19cm,11cm.規(guī)律42.平行四邊形被對角線分成四個小三角形,相鄰兩個三角形周長之差等于鄰邊之差.（例題如上）規(guī)律43.有平行線時常作平行線構(gòu)造平行四邊形例:,如圖,Rt^ABC,NACB=90。,CD1ABTD,AE平分/CA8交CD于F,過F作FH〃ん8交8c于“求證：CE=BH證明：過F作FP〃8c交ム8于P,那么四邊形FP8H為平行四邊形：.ZB=ZFPA,BH=FPVZACB=90°,CD1AB二ノ5+NCA8=45。,ZB+ZCAB=90°：.Z5=ZB：.Z5=ZFPA又マNI=N2,AF=AF.?.△CAF纟△勿F:.CF=FPVZ4=Z1+Z5,Z3=Z2+ZB,Z3=Z4:.CF=CE：.CE=BH

練習(xí):,如圖,AB//EF//GH,BE=GC求證:AB=EF+GH規(guī)律44.有以平行四邊形ー邊中點為端點的線段時常延長此線段.例:,如圖,在必8CD中,AB=2BC,M為A8中點求證:CM丄DM證明:延長DM、CB交于N?.?四邊形ム88為平行四邊形：.AD=BC,AD//BC：.Z.A=NNBANADN大 Nじ=Z/V又マAM=BM J--*/:?へAMgABMN V：.AD=BN：.BN=BC"：AB=2BC,AM=BM：.BM=BC=BN,\Z1=Z2,N3=NN'：Z1+N2+N3+NN=180°,.,.Zl+Z3=90°：.CM±DM規(guī)律45.平行四邊形對角線的交點到ー組對邊距離相等.如圖:OE=OFE成的三角形的面積等于平行四邊形面積的ー半.A如圖:SABEC=gSaABCD /規(guī)律47.平行四邊形內(nèi)任意一點與四個頂點的連線所構(gòu)成的四個三角形中,角形的面積之和等于平行四邊形面積的一半.E バC不相鄰的兩個三規(guī)律46.平行四邊形ー邊（或這邊所在的直線）上的任意一點與對邊的兩個端點的連線所構(gòu)如圖:S^AOB+S/\DOC=S^BOC-\-S/\AOD=—SaABCD2規(guī)律48.任意一點與同一平面內(nèi)的矩形各點的連線中,不相鄰的兩條線段的平方和相等.如圖:AO2+OC2=BO2+。。23 r[)C0:ユ?規(guī)律49.平行四邊形四個內(nèi)角平分線所圍成的四邊形為矩形.如圖:四邊形GHMN是矩形（規(guī)律45?規(guī)律49請同學(xué)們自己證明）規(guī)律50.有垂直時可作垂線構(gòu)造矩形或平行線.例:,如圖,E為矩形厶8c。的邊AD上一點,且BE=ED,P為對角線8D上一點,PF丄8E于F,PGLAD于G求證:PF+PG=A8證明:證法一:過P作PH丄A8于H,那么四邊形AHPG為矩形：.AH=GP PH//ADA D：.NADB=NHPBA DBE=DE h：.ZEBD=ZADB " nc；.NHPB=NEBD又;NPFB=NBHP=90。エへPFB^ABHP：.HB=FP:.ah+hb=pg+pf即ab=pg+pf證法二:延長GP交8c于N,那么四邊形A8NG為矩形，（證明略）規(guī)律51.直角三角形常用輔助線方法:

⑴作斜邊上的髙例:,如圖,假設(shè)從矩形ABCD的頂點C作對角線BD的垂線與/BAD的平分線交于點E求證:AC=CE證明:過厶作AF丄8D,垂足為F,那么AF〃EG ス盡だ ナザNFAE=NAEG b\^1.?.?四邊形ムBCD為矩形 、:.ZBAD=90°OA=OD \\：.ZBDA=ZCAD'."AF1BD：.ZABD+ZADB=ZABD+NBAF=90°二ZBAF=ZADB=ZCAD為/BA。的平分線：.ZBAE=ZDAE：.ZBAE—ZBAF=ZDAE-ZDAC^iZFAE=ZCAE：.ZCAE=ZAEG：.AC=EC⑵作斜邊中線,當有以下情況時常作斜邊中線:①有斜邊中點時例:,如圖,AD,8E是△48c的高,F是DE的中點,G是AB的中點求證:GF1DE證明:連結(jié)GE、GD???厶。、8E是△48C的高,G是ス8的中點

Z.GE=-AB,GD=-AB2 2，GE=GD：F是。E的中點：.GF±DE②有和斜邊倍分關(guān)系的線段時例:,如圖,在△厶8c中,D是8c延長線上一點,且。A丄8A于A,AC=-BD2求證:ZACB=2ZB證明:取8。中點E,連結(jié)AE,那么AE=8E=-BD2.\Z1=ZB???厶C二一BD A二AAC=AE b乙 4—―dZACB=Z2VZ2=Z1+ZB.".Z2=2ZB/.ZAC8=2ZB規(guī)律52.正方形一條對角線上一點到另一條對角線上的兩端距離相等.例:，如圖，過正方形ABC。對角線B。上一點P,作PE丄BC于E,作PF丄C。于F求證：AP=EF證明:連結(jié)ACヽPC?.,四邊形ABC。為正方形

，8D垂直平分AC,ZBCD=90°：.AP=CP'.'PE丄8C,PF丄CD,ZBCD=90°...四邊形PECF為矩形：.PC=EF：.AP=EF規(guī)律53.有正方形ー邊中點時常取另ー邊中點.例:,如圖,正方形A8CD中,M為A8的中點,MN1MD,8N平分/CBE并交MN于N求證:MD=MN證明:證明:取AD的中點P,連結(jié)PM,那么DP=PA=-AD2,.?四邊形ABC。為正方形：.AD=AB,乙A-AABC=90°：.Z1+ZAMD=9O°,又DM丄MN.,.Z2+ZAMD=90°.'.Z1=Z2,:M為AB中點1：.AM=MB=-AB2DP=MBAP=AM：.ZAPM=ZAMP=45°.,.ZDPM=135°；8N平分ZCBE.,.ZC8/V=45°ZMBN=ZMBC+/CBN=900+45°=135°即/DPM=NM8N:?へDPM9AMBN：.DM=MN注意:把M改為ム8上任一點,其它條件不變,結(jié)論仍然成立。練習(xí):，Q為正方形厶8c。的CD邊的中點,P為CQ上一點,且AP=PC+8c求證:ZBAP=2ZQAD規(guī)律54.利用正方形進行旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換就是當圖形具有鄰邊相等這一特征時,可以把圖形的某局部繞相等鄰邊的公共端點旋轉(zhuǎn)到另一位置的引輔助線方法.旋轉(zhuǎn)變換主要用途是把分散元素通過旋轉(zhuǎn)集中起來,從而為證題創(chuàng)造必要的條件.旋轉(zhuǎn)變換經(jīng)常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形中.例:,如圖,在△ABC中，A8=AC,NB4C=90。,。為BC邊上任一點求證:2AD2=BD2+CD2證明:把△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得△厶CE/.BD=CEZB=ZACE"：ZBAC=90°.しい。：.DE2=AD2+AE2=2AD2 d"：ZB+ZACB=90°J.ZDCE=90°：.CD2+CE2=DE2

：.2AD2=BD2+CD2注意:把ル1DC繞點ム順時針旋轉(zhuǎn)90。也可,方法同上。練習(xí):,如圖,在正方形A8C。中,E為AD上一點,BF平分/CBE交CD于F求證:BE=CF+AE規(guī)律55.有以正方形ー邊中點為端點的線段時,常把這條線段延長，構(gòu)造全等三角形.例:如圖，在正方形A8CD中，E、F分別是8、DA的中點,BE與CF交于P點求證:AP=AB證明：延長CF交8A的延長線于K,.?四邊形A8CD為正方形/.BC=AB=CD=DAN8CD=ND=N8AD=90°???￡、F分別是CD、DA的中點1 1/.CE=-CDDF=AF=-AD2 2：.CE=DF：./\BCE^/\CDF:.NCBE=NDCF"：ZBCF+ZDCF=90°：.ZBCF+ZCBE=90°：.BE1.CF

又;ND=NDムK=90°DF=AFZ1=Z2:.△cd2Akaf：.CD=KA：.BA=KA又丄CF：.AP=AB練習(xí):如圖,在正方形A8CD中,Q在CD上,且。Q=QC,P在&AP=CD+CP求證:AQ平分ZCWP規(guī)律56.從梯形的ー個頂點作一腰的平行線,把梯形分成一個平行四邊形和一個三角形.例:,如圖，等腰梯形A8c。中，AD//BC,AD=3,AB=4,BC=7求Z8的度數(shù)解:過A作厶E〃C。交8c于E,那么四邊形AEC。為平行四邊形：.AD=EC,CD=AE"：AB=CD=4,AD=3,BC=7二BE=AE=AB=4:.AABE為等邊三角形/.ZB=60°規(guī)律57.從梯形同一底的兩端作另一底所在直線的垂線,把梯形轉(zhuǎn)化成一個矩形和兩個三角形.

例:,如圖,在梯形A8CD中,AD//BC,AB=AC,ZB4C=90°,BD=BC,8D交AC于。求證:CO=CD證明:過A、D分別作AE丄8C,DF±BC,垂足分別為E、F那么四邊形AEFD為矩形：.AE=DF"：AB=AC,AE1BC,ZB4C=90°,：.AE=BE=CE=-BC,ZACB=45°2BC=BD1：.AE=DF=-BD2又「DF丄BC；.ZDBC=30°*.?BD=BC：.ZBDC=ZBCD=-(1800-ZDBC)=75°,/ZDOC=ZDBC+ZACB=300+45°=75°：.ZBDC=ZDOC：.CO=CD規(guī)律58.從梯形的ー個頂點作一條對角線的平行線,把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形.例：，如圖，等腰梯形ABCD中，AD//BC,AC丄BD,AD+BC=10,DE丄BC于E求DE的長.解：過D作DF〃ムC,交BC的延長線于 F,那么四邊形ACFD為平行四邊形?"C=DF,AD=CF???四邊形厶8CD為等腰梯形：.AC=DBC.BD^FD「DE丄8cBE=EF=-BF2=-(BC+CF)=-(BC+AD)=-xlO=52'：AC//DF,BD1AC：.BD±DF,:BE=FE：.DE=BE=EF=-BF=S2答:DE的長為5.規(guī)律59.延長梯形兩腰使它們交于一點,把梯形轉(zhuǎn)化成三角形.例:,如圖,在四邊形A8CD中,有A8=DC,NB=NC,AD<BC求證:四邊形A8CD等腰梯形證明：延長8A、CD,它們交于點EVZB=ZCE：.EB=EC A又???厶B;DC：.AE=DE：.ZEAD=ZEDA'：NE+Z.EAD+NEDA=180°ZB+ZC+Z￡=180°AZE4D=ZBJ.AD//BC".'AD^BC,Z8=ZC.?.四邊形ムBCD等腰梯形（此題還可以過一頂點作AB或CD的平行線:也可以過厶、。作BC的垂線）規(guī)律60.有梯形一腰中點時,常過此中點作另一腰的平行線,把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形.例:,如圖,梯形厶BCD中,AD//BC,E為CD中點,EF丄AB于F求證:S梯形abcd=EF-AB證明:過E作MN〃厶B,交厶。的延長線 于M,交BC于N,那么四邊形ABNM為平行四邊形 adゝ，...EF丄ABBNCSlzabnm=AB-EF???厶?！?c:?ZM=/MNCXVDE=CE Z1=Z2:.4CEN二ふDEMSacen=Sadem?*?5梯形ん8CD=S五邊形陽neo+Sacen=S五邊形ab/ved+S^dem=5梯形A8C。=EF-AB規(guī)律61.有梯形一腰中點時,也常把ー底的端點與中點連結(jié)并延長與另ー底的延長線相交,把梯形轉(zhuǎn)換成三角形.例：,如圖，直角梯形ABCD中，AD//BC,厶B丄ムD于A,DE=EC=BC

求證:ZAEC=3ZDAE證明:連結(jié)BE并延長交厶。的延長線于N".'AD//BC.\Z3=ZW又「Z1=Z2ED=EC.'.△DEN冬ふCEB：.BE=EN DN=BC'：ABLAD：.AE=EN=BE:.NN=/DAE：.ZAEB=NN+ZDAE=2NDAE"：DE=BCBC=DN：.DE=DN，ZN=Z1VZ1=Z2ZN=ZDAE，Z2=ZCWE二ZAEB+Z2=2ZDAE+NDAE即ZAEC=3ZDAE規(guī)律62.梯形有底的中點時,常過中點做兩腰的平行線.例:,如圖,梯形厶BCD中,AD//BC,AD<BC,E、F分別是厶。、8c的中點,且EF丄8c求證:ZB=ZC證明：過E作EM〃厶8,EN〃C。,交8c于M、N,那么得必8ME,oNCDE又;BF=CF：.FM=FN又:EF丄8c，EM=EN.\Z1=Z2,JAB//EM,CD//EN/.Zl=ZeZ2=ZC:.ZB=ZC規(guī)律63.任意四邊形的對角線互相垂直時,它們的面積都等于對角線乘積的一半.例:,如圖,梯形厶8CD中,AD//BC,AC與8D交于。,且AC丄BD,AC=4,BD=3.4,求梯形A8CD的面積.解:V4C1BD=-AOBD+-COBD2 2=-(AO+CO)BD即S梯形A8co=-AC-BD=-x4x3.42 2=6.8答:梯形A8CD面積為6.8.規(guī)律64.有線段中點時,常過中點作平行線,利用平行線等分線段定理的推論證題.例:：△厶8c中,。為A8中點,E為8c的三等分點,（8E>CE）AE.CD交于點、F求證：F為CD的中點證明：過D作DN〃AE交8c于N,；D為AB中點BN=EN又???￡為8c的三等分點:.BN=EN=CE'：DN//AE，F(xiàn)為CD的中點規(guī)律65.有以下情況時常作三角形中位線.⑴有一邊中點:⑵有線段倍分關(guān)系;⑶有兩邊（或兩邊以上）中點.例:如圖，AE為正方形ABCD中/BAC的平分線,AE分別交8。、8c于F、E,AC,8D相交于0求證：of=Lce2證明：取AE的中點N,連結(jié)。N,那么。N為△ACE的中位線AON//CE,ON=-CE2N6=/0NE?.,四邊形ABC。為正方形

.,.N5=/3+Nl,N6=/4+/2VZ1=Z2,\Z5=Z6?；N6=N0NE.,.ZONE=N5/.ON=OF1/.OF=-CE2規(guī)律66.有以下情況時常構(gòu)造梯形中位線⑴有一腰中點⑵有兩腰中點⑶涉及梯形上、下底和例:1：,如圖,梯形厶8CD中,AD//BC,ZDA8=90。,E為CD的中點,連結(jié)AE、BE求證:AE=BE證明:取A8的中點F,連結(jié)EF,那么”I小,ZDA8=ZEFB=90° / \J.EF1AB；.EF為A8的中垂線：.AE=BE例2:從M8CD的頂點A8CD向形外的任意直線MN引垂線/VT、BB\CC、DO,垂足分別為厶’、8‘、C、D'求證:AA'+CC=BB'+DD'證明:連結(jié)AC.BD,它們交于點。，過。作OE丄MNKAtECUNE,那么加’〃。E〃CTKAtECUN?..四邊形ABCD為平行四邊形：.A0=CO：.A'E=CE：.AA'+CC=20E同理可證:BB'+DD'=20E：.AA'+CC=BB'+DD'規(guī)律67.連結(jié)任意四邊形各邊中點所得的四邊形為平行四邊形.規(guī)律68.連結(jié)對角線相等的四邊形中點所得的四邊形為菱形.規(guī)律69.連結(jié)對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得的四邊形為矩形.規(guī)律70.連結(jié)對角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點所得的四邊形為正方形.規(guī)律71.連結(jié)平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各邊中點所得的四邊形分別為平行四邊形、菱形、矩形、正方形、菱形.規(guī)律72.等腰梯形的對角線互相垂直時,梯形的髙等于兩底和的一半（或中位線的長）.以上各規(guī)律請同學(xué)們自己證明.（利用中位線證明）規(guī)律73.等腰梯形的對角線與底構(gòu)成的兩個三角形為等腰三角形.例:,如圖,等腰梯形A8CD中,AB//CD,AB>CD,AD=BC,對角線ハC、8D相交于。,ZAOB=60。,且E、F、M分別為。D、OA,8c的中點求證:△乂￡「是等邊三角形證明:連結(jié)8F、CE?..四邊形ム8CD為等腰梯形：.AD=BC,AC=BD又?.?A8為公共邊/\ABD^/\BAC：.ZCAB=ZDBA：.OA=OB"：ZAOB=60°...△厶8。為等邊三角形又?.ア為ム。中點，BFLAC為8c中點:.MF=-BC2同理可證:ME=-BC2:E、F分別為0。、。A中點：.EF=-AD2"：AD=CB：.ME=MF=EF...△MEF為等邊三角形規(guī)律74.如果矩形對角線相交所成的鈍角為120。,那么矩形較短邊是對角線長的一半.例:,四邊形A8CD為矩形,對角線ムC、8D相交于點 〇,ZAOB=120°.求證:AB=-BD（證明略）規(guī)律75.梯形的面積等于一腰的中點到另一腰的距離與另一腰的乘積.例:,如圖，梯形厶8CD中，AD//BC,E為CD中點,EF丄AB于F求證：5梯形abcd=EFAB證明:過E作MN〃A8,交AD的延長線于M,交BC于N,那么四邊形AB/VM為平行四邊形VEF1AB**?ScABNM=AB-EFF^PM9：AD//BCBki r:.NM=NMNC nXVDE=CEZ1=Z2:ACEN迫ふDEMS^CEN=S^DEM**.S梯形ス8C。=5五邊形A8N￡o+S2\C￡N=S五邊形A8N￡d+5z^D￡M規(guī)律76.假設(shè)菱形有一內(nèi)角為120°?那么菱形的周長是較短對角線長的4倍.例:,四邊形ム8CD是菱形,NA8c=120。.D求證:ム8=8D（證明略）相似形和解直角三角形局部規(guī)律77.當圖形中有叉線（根本圖形如下）時,常作平行線.例:,如圖,AD為△厶8c的中線,F為AB上任一點,CF交AD于E求證AF求證AFEFABEC證明:過F作FN〃8c交AD于N.AFFN FNEFA8~BD CD~CE又VCD=BD.AFEFABEC規(guī)律78.有中線時延長中線（有時也可在中線上截取線段）構(gòu)造平行四邊形.例:AD為△厶8c的中線，E為AD上一點,BE、CE的延長線分別交AC、AB于點M、N求證：MN//BC證明：延長AD至F,使DF=DE,連結(jié)BF、CF,那么四邊BFCE為平行四邊形ABF//CNCF//BM._AN_AE AEAMNBEF EF~"MC

.AN_AMNBMC：.MN//BC規(guī)律79.當或求證中,涉及到以下情況時,常構(gòu)造直角三角形.⑴有特殊角時,如有30。、45。、60。、120。、135。角時.⑵涉及有關(guān)銳角三角函數(shù)值時.構(gòu)造直角三角形經(jīng)常通過作垂線來實現(xiàn).例:ー輪船自西向東航行,在ム處測得某島C在北偏東60。的方向上,船前進8海里后到達8,再測C島在北偏東30的方向上,問船再前進多少海里與C島最近?最近距離是多少?解:由題可作圖，且/CA8=60。，乙48c=120。,AB=BC=8（海里）在RtZVlBC中,BC=8,ZCBD=60°,：.BD=BC-COS600=8x-=4（海里）2CD=BCs/n600=8x—=4>/3（海里）2答：船再前進4海里就與。最近,最近距離是40海里.規(guī)律80.0。、30。、45。、60°,90。角的三角函數(shù)值表三角函數(shù)0°30°45°60°90°sinA0丄2立2並21cosA1並~2立丄20

tanA0顯31—cotA—G1同30另外:。。、30°,45。、60。、90。的正弦、余弦、正切值也可用下面的口訣來記憶:〇?？捎洖楸本╇娫拝^(qū)號不存在,即:010不存在,90。正好相反30。、45。、60?？捎洖?1ヽ2、3、3、2、1,3、9、27,弦比2,切比3,分子根號別忘添.其中余切值可利用正切與余切互為倒數(shù)求得.規(guī)律81.同角三角函數(shù)之間的關(guān)系:.平方關(guān)系:sin.平方關(guān)系:sin2a+cos2a=1.倒數(shù)關(guān)系:tana-cota=lcosacota=- sinafヽcosacota=- sina（3）.商數(shù)關(guān)系:tana= cosa規(guī)律82.任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值.規(guī)律83.任意銳角的正切值等于它的余角的余切值;任意銳角的余切值等于它的余角的正切值.

規(guī)律84.三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角正弦之積的一半.例:/XABC中,NA=60°,AB=6,AC=4,求△厶8c的面積。解:作8D丄AC于D在Rt/\ABD中,BD=ABsinAS/\abc=—ACBD21=—ACABsinA2I=—x4x6xs/n60°2布[z=12x—=6V32規(guī)律85.等腰直角三角形斜邊的長等于直角邊的g倍.規(guī)律86.在含有30。角的直角三角形中,60。角所對的直角邊是30。角所對的直角邊的6倍.（即30。角所對的直角邊是幾,另一條直角邊就是幾倍JL）規(guī)律87.直角三角形中,如果較長直角邊是較短直角邊的2倍,那么斜邊是較短直角邊的75倍.圓一部一分規(guī)律88.圓中解決有關(guān)弦的問題時,常常需要作出圓心到弦的垂線段（即弦心距）這ー輔助線，ー是利用垂徑定理得到平分弦的條件,二是構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理解題.例:如圖，在以。為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于ニ點.求證：AC=BD證明:過。作。E丄AB于E

?.?〇為圓心,0E丄AB：.AE=BECE=DE：.AC=BDPA=4cm.求。。練習(xí):如圖,厶8為。。的弦,P是48上的一點,A8PA=4cm.求。。規(guī)律89.有等弧或證弧等時常連等弧所對的弦或作等弧所對的圓心角.例:如圖，AB是。。的直徑，M、N分別是A。、8。的中點,CM丄A8,DN丄A8,求證:AC=BD證明:（一）連結(jié)。C、0DN分別是A。、8。的中點.11..0M=-AO.0N=-B02 2"：OA=OB：.OM=ON'：CM10A.DN丄。8、0C=OD：.RtへCOM出Rt/XDON：.NCOA=ZDOB?AC=BD（二）連結(jié)AC、OC、。0、BD

：M、N分別是厶。、B。的中點：.AC=OCBD=ODVOC=OD：.AC=BDAC=BD規(guī)律90.有弦中點時常連弦心距例:如圖,M、N分別是。。的弦厶B、CD的中點,A8=CD,求證:NAMN=NCNM證明:連結(jié)。/W、ON?.?。為圓心,M