第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例抓基礎(chǔ)明考向提能力教你一招我來演練第四章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入編輯ppt

[備考方向要明了]考

什

么1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義．2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系．3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的

運(yùn)算．4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，5.會(huì)用向量方法解決簡單的平面幾何問題．6.會(huì)用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題.編輯ppt怎

么

考1.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算是高考考查的重點(diǎn)，應(yīng)用數(shù)量積

求平面向量的夾角、模及判斷向量的垂直關(guān)系是難點(diǎn)．2.以向量為載體考查三角函數(shù)及解析幾何問題是高考考

查的重點(diǎn)．3.多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度適中，但靈活

多變.編輯ppt編輯ppt編輯ppt2．范圍向量夾角θ的范圍是

，a與b同向時(shí)，

夾角θ＝0°；a與b反向時(shí)，夾角θ＝

.0°≤θ≤180°3．向量垂直如果向量a與b的夾角是

，則a與b垂直，記作

.90°a⊥b180°編輯ppt二、平面向量數(shù)量積1．a(chǎn)，b是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為θ，則數(shù)|a||b|·cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝

.規(guī)定0·a＝0.當(dāng)a⊥b時(shí)，θ＝90°，這時(shí)a·b＝

.2．a(chǎn)·b的幾何意義

a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影

的乘積．|a||b|·cosθ0|b|cosθ編輯ppt三、向量數(shù)量積的性質(zhì)1．如果e是單位向量，則a·e＝e·a＝

．5．|a·b|

|a||b|.4．cos〈a，b〉＝.3．a(chǎn)·a＝

，|a|＝.2．a(chǎn)⊥b?

.|a|cos〈a，e〉a·b＝0|a|2≤編輯ppt四、數(shù)量積的運(yùn)算律1．交換律a·b＝

.3．對λ∈R，λ(a·b)＝

＝

．2．分配律(a＋b)·c＝

.b·aa·c＋b·c(λa)·ba·(λb)編輯ppt五、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則1．a(chǎn)·b＝

.a1b1＋a2b22．a(chǎn)⊥b?

.3．|a|＝.4．cos〈a，b〉＝.a1b1＋a2b2＝0編輯ppt編輯ppt編輯ppt解析：|a·b|＝|a|·|b||cosθ|，只有a與b共線時(shí)，才有|a·b|＝|a||b|，可知B是錯(cuò)誤的．答案：B編輯ppt2．(2011·遼寧高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，則k＝(

)A．－12 B．－6C．6 D．12答案：

D解析：∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0∴10＋2－k＝0，解得k＝12.編輯ppt答案：

D編輯ppt答案：4編輯ppt5．(2011·安徽高考)已知向量a，b滿足(a＋2b)·(a－b)＝

－6，且|a|＝1，|b|＝2，則a與b的夾角為________．編輯ppt編輯ppt1．對兩向量夾角的理解(1)兩向量的夾角是指當(dāng)兩向量的起點(diǎn)相同時(shí)，表示兩向

量的有向線段所形成的角，若起點(diǎn)不同，應(yīng)通過移動(dòng)使其起點(diǎn)相同，再觀察夾角．(2)兩向量夾角的范圍為[0，π]，特別當(dāng)兩向量共線且同

向時(shí)，其夾角為0，共線且反向時(shí)，其夾角為π.(3)在利用向量的數(shù)量積求兩向量的夾角時(shí)，一定要注意

兩向量夾角的范圍．編輯ppt2．相關(guān)概念及運(yùn)算的區(qū)別(1)若a、b為實(shí)數(shù)，且a·b＝0，則有a＝0或b＝0，但a·b＝0

卻不能得出a＝0或b＝0.(2)若a、b、c∈R，且a≠0，則由ab＝ac可得b＝c，但由a·b＝a·c及a≠0卻不能推出b＝c.編輯ppt(3)若a、b、c∈R，則a(bc)＝(ab)c(結(jié)合律)成立，但對于

向量a、b、c，而(a·b)·c與a·(b·c)一般是不相等的，向

量的數(shù)量積是不滿足結(jié)合律的．(4)若a、b∈R，則|a·b|＝|a|·|b|，但對于向量a、b，卻有

|a·b|≤|a||b|，等號當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)成立．編輯ppt編輯ppt[精析考題][例1]

(2010·廣東高考)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)滿足條件(8a－b)·c＝30，則x＝ (

)A．6

B．5C．4 D．3編輯ppt[自主解答]

8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，所以(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝30，即18＋3x＝30，解得：x＝4.[答案]

C編輯ppt[答案]

－6編輯ppt[巧練模擬]——————(課堂突破保分題，分分必保！)編輯ppt編輯ppt編輯ppt答案：9編輯ppt[沖關(guān)錦囊]向量的數(shù)量積的運(yùn)算律類似于多項(xiàng)式乘法法則，但并不是所有乘法法則都可以推廣到向量數(shù)量積的運(yùn)算，如(a·b)c≠a(b·c).編輯ppt編輯ppt[答案]

C編輯ppt若本例條件不變，求λ為何值時(shí)，λa＋b和a－b的夾角為90°？編輯ppt[例4]

(2011·新課標(biāo)全國卷)已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量，k為實(shí)數(shù)，若向量a＋b與向量ka－b垂直，則k＝________.編輯ppt[自主解答]∵a與b是不共線的單位向量，∴|a|＝|b|＝1.又ka－b與a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0.∴k－1＋ka·b－a·b＝0.即k－1＋kcosθ－cosθ＝0.(θ為a與b的夾角)∴(k－1)(1＋cosθ)＝0.又a與b不共線，∴cosθ≠－1，∴k＝1.[答案]

1編輯ppt編輯ppt答案：B編輯ppt4．(2012·臺北模擬)若向量a、b滿足|a|＝|b|＝1，且(a＋3b)·(a＋5b)＝20，則向量a，b的夾角為(

)A．30° B．45°C．60° D．90°編輯ppt答案：C編輯ppt5．(2012·杭州九校聯(lián)考)已知平面向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為60°，則“m＝1”是“(a－mb)⊥a”的 (

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件編輯ppt解析：(a－mb)⊥a，則(a－mb)·a＝0，∴a2－ma·b＝0.即1－m·1×2×cos60°＝0.∴m＝1.當(dāng)m＝1時(shí)，(a－mb)·a＝(a－b)·a＝a2－ab＝1－ab＝1－|a|·|b|·cos60°＝0，∴(a－mb)⊥a.∴m＝1是“(a－mb)⊥a”的充要條件．答案：C編輯ppt[沖關(guān)錦囊]1．求兩非零向量的夾角時(shí)要注意(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律；(2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量

積等于0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩

向量不能共線時(shí)兩向量的夾角就是鈍角．2．當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角，需求得a·b及

|a|，|b|或得出它們的關(guān)系.編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt[答案]

C編輯ppt[巧練模擬]—————(課堂突破保分題，分分必保！)編輯ppt答案：

C編輯ppt編輯ppt編輯ppt[沖關(guān)錦囊]編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt[巧練模擬]—————(課堂突破保分題，分分必保！)編輯ppt答案：

A編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt[沖關(guān)錦囊]向量與其它知識結(jié)合，題目新穎而精巧，既符合考查知識的“交匯處”的命題要求，又加強(qiáng)了對雙基覆蓋面的考查，特別是通過向量坐標(biāo)表示的運(yùn)算，利用解決平行、垂直、