備考2019屆中考數(shù)學(xué)中考真題演練(圖形地旋轉(zhuǎn))(剖析版)備考2019屆中考數(shù)學(xué)中考真題演練(圖形地旋轉(zhuǎn))(剖析版)備考2019屆中考數(shù)學(xué)中考真題演練(圖形地旋轉(zhuǎn))(剖析版)2021年數(shù)學(xué)中考真題演練〔圖形的旋轉(zhuǎn)〕一．選擇題1．〔2021?鞍山〕以以下圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是〔〕A．B．C．D．2．〔2021?營口〕如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點順時針旋轉(zhuǎn)到△11的地址，連接1，假設(shè)∥1，那么∠1的度數(shù)是〔〕AABCBBBB1ACCACA．10°B．20°C．30°D．40°3．〔2021?本溪〕以以下圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是〔〕A．B．C．D．4．〔2021?濟(jì)南〕“瓦當(dāng)〞是中國古建筑裝飾檐頭的附件，是中國特有的文化藝術(shù)遺產(chǎn)，下面“瓦當(dāng)〞圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是〔〕A．B．C．D．5．〔2021?濟(jì)南〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的極點都在方格線的格點上，將△ABC繞點

順時針方向旋轉(zhuǎn)

90°，獲取△

′′′，那么點

的坐標(biāo)為〔

〕P

ABC

PA．〔0，4〕B．〔1，1〕C．〔1，2〕D．〔2，1〕6．〔2021?德陽〕如圖，將邊長為的正方形繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)30°，那么圖中陰影局部的面積為〔〕A．3B．C．3﹣D．3﹣7．〔2021?牡丹江〕以以下圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有〔〕個．A．0B．1C．2D．38．〔2021?牡丹江〕如圖，△ABC三個極點的坐標(biāo)分別A〔1，﹣1〕，B〔2，﹣2〕，C〔4，是﹣1〕，將△ABC繞著原O旋75°，獲取△A1B1C1，那么點B1的坐標(biāo)為〔〕點轉(zhuǎn)A．〔，〕或〔﹣，﹣〕B．〔，〕或〔﹣，﹣〕C．〔﹣，﹣〕或〔，〕D．〔﹣，﹣〕或〔，〕9．〔2021?黑龍江〕如圖圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是〔〕A．B．C．D．10．〔2021?阜新〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將正方形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得OABCOOABC到正方形111，依此方式，繞點連續(xù)旋轉(zhuǎn)2021次獲取正方形202120212021，若是點A的坐標(biāo)為〔1，0〕，那么點B2021的坐標(biāo)為〔〕A．〔1，1〕B．〔0，〕C．〔〕D．〔﹣1，1〕11．〔2021?賀州〕以以下圖形中，屬于中心對稱圖形的是〔〕A．B．C．D．12．〔2021?大連〕如圖，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)α，獲取△EBD，假設(shè)點A恰幸好ED的延長線上，那么∠CAD的度數(shù)為〔〕A．

90°﹣α

B．α

C．

180°﹣α

D．2α13．〔

2021?

桂林〕如圖，在正方形

中，

＝3，點

在

的邊上，且

＝1，△ABCD

AB

MCD

DM

AEM與△

關(guān)于

所在的直線對稱，

將△

按順時針方向繞點

旋轉(zhuǎn)

90°獲取△

，連ADM

AM

ADM

A

ABF接EF，那么線段

EF

的長為〔

〕A．3B．C．D．14．〔2021?遂寧〕以下說法正確的選項是〔〕A．有兩條邊和一個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等B．正方形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形C．矩形的對角線互相垂直均分D．六邊形的內(nèi)角和是

540°15．〔

2021?

海南〕如圖，在△

ABC

中，

AB＝

8，AC＝

6，∠

BAC

＝

30°，將△

ABC

繞點

A

逆時針旋轉(zhuǎn)

60°獲取△

ABC，連接

BC，那么

BC

的長為〔

〕11

1

1A．6B．8C．10D．1216．〔2021?遂寧〕如圖，在正方形ABCD中，AD＝4，E，F(xiàn)分別是CD，BC上的一點，且∠EAF＝45°，ABG重合，連接

EC＝

1，將△

ADE

繞點

A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)

EF，

90°后與△過點B作BM∥AG，交AF于點M，那么以下結(jié)論：①DE+BF＝EF，②BF＝，③AF＝，S＝中正確的選項是〔〕MBFA．①②③B．②③④C．①③④D．①②④二．填空題17．〔2021?青?！橙鐖D，將Rt△ABC繞直角頂C順時針旋90°，獲取△DEC，連接AD，點轉(zhuǎn)假設(shè)∠BAC＝25°，那么∠BAD＝．18．〔2021?鎮(zhèn)江〕如圖，△ABC中，∠BAC＞90°，BC＝5，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點B對應(yīng)點B′落在BA的延長線上．假設(shè)sin∠B′AC＝，那么AC＝．19．〔2021?賀州〕如圖，將Rt△ABC繞直角頂C順時針旋90°，獲取△A′B′C，連接點轉(zhuǎn)BB'，假設(shè)∠A′B′B＝20°，那么∠A的度數(shù)是．20．〔

2021?

咸寧〕如圖，∠

MON

＝120°，點

A，B

分別在

OM

，ON

上，且

OA

＝

OB

＝

a，將射線OM繞點

O

逆時針旋轉(zhuǎn)獲取OM′，旋轉(zhuǎn)角為

α〔

0°＜α＜

120°且α≠60°〕，作點A關(guān)于直線OM′的對稱點C，畫直線BC交OM′于點D，連接AC，AD，有以下結(jié)論：AD＝CD；②∠ACD的大小隨著α的變化而變化；③當(dāng)α＝30°時，四邊形OADC為菱形；④△ACD面積的最大值a2；為其中正確的選項是．〔把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上〕．21．〔2021?蘇州〕如圖，在Rt△ABC中，B＝90°，AB＝2，BC＝．將△ABC繞A∠點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°獲取△AB'C′，連接B'C，那么sin∠ACB′＝．22．〔2021?陜西〕如圖，點O是?ABCD的對稱中心，AD＞AB，E、F是AB邊上的點，EF＝且AB；G、HBC邊上的點，且GH＝BC，假設(shè)S1，S2分別表示△EOF和△GOH的面積，那么是S1與S2之間的等量關(guān)系是．23．〔2021?臺州〕如圖，把平面內(nèi)一條數(shù)軸x繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)角θ〔0°＜θ＜90°〕獲取另一條數(shù)軸y，x軸和y軸組成一個平面斜坐標(biāo)系．規(guī)定：過點P作y軸的平行線，交x軸于點A，過點P作x軸的平行線，交y軸于點B，假設(shè)點A在x軸上對應(yīng)的實數(shù)為a，點B在y軸上對應(yīng)的實數(shù)為b，那么稱有序?qū)崝?shù)對〔a，b〕為點P的斜坐標(biāo)，在某平面斜坐標(biāo)系中，θ＝60°，點M的斜坐標(biāo)為〔3，2〕，點N與點M關(guān)于y軸對稱，那么點N的斜坐標(biāo)為．24．〔2021?張家界〕如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)150°，獲取△ADE，這時點B，C，D恰幸好同素來線上，那么∠B的度數(shù)為．三．解答題25．〔2021?丹東〕如圖，網(wǎng)格中每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，點A，B，C的坐標(biāo)分別為A〔﹣2，3〕，B〔﹣5，1〕，C〔﹣3，1〕．先將△ABC沿一個確定方向平移，獲取△A1B1C1，點B的對應(yīng)點B1的坐標(biāo)是〔1，2〕；再將△A1B1C1繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，獲取△A2B2C2，點A1的對應(yīng)點為A2．〔1〕畫出△A1B1C1，并直接寫出點A1的坐標(biāo)；〔2〕畫出△A2B2C2，并直接寫出cosB的值．26．〔2021?鐵嶺〕如圖，△ABC與△CDE是等邊三角形，連接AD，取AD的中點P，連接BP并延長至點M，使PM＝BP，連接AM，EM，AE，將△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)．〔1〕如圖1，當(dāng)點D在BC上，點E在AC上時，那么△AEM的形狀為；〔2〕將△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的地址，請判斷△AEM的形狀，并說明原由；〔3〕假設(shè)CD＝BC，將△CDE由圖1地址繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α〔0°≤α＜360°〕，當(dāng)ME＝CD時，請直接寫出α的值．27．〔2021?鄂爾多斯〕〔1〕【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，將△繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°，獲取△，連接，那么∠＝度．ABCAADEBDABD〔2〕【類比研究】如圖2，在等邊三角形ABC內(nèi)任取一點P，連接PA，PB，PC，求證：以PA，PB，PC的長為三邊必能組成三角形．〔3〕【解決問題】如圖3，在邊長為的等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面積．〔4〕【拓展應(yīng)用】如圖4是A，B，C三個鄉(xiāng)村地址的平面圖，經(jīng)測量AC＝4，BC＝5，∠ACB＝30°，P為△ABC內(nèi)的一個動點，連接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值．28．〔2021?牡丹江〕在等腰△ABC中，∠B＝90°，AM是△ABC的角均分線，過點M作MN⊥AC于點N，∠EMF＝135°．將∠EMF繞點M旋轉(zhuǎn)，使∠EMF的兩邊交直線AB于點E，交直線AC于點F，請解答以下問題：1〕當(dāng)∠EMF繞M點〔2〕當(dāng)∠EMF繞M點

旋轉(zhuǎn)到如圖①的地址時，求證：BE+CF＝BM；旋轉(zhuǎn)到如圖②，圖③的地址時，請分別寫出線段BE，CF，BM之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；〔3〕在〔1〕和〔2〕的條件下，tan∠BEM＝，AN＝+1，那么BM＝，CF＝．29．〔2021?青?！痴堈J(rèn)真閱讀下面的數(shù)學(xué)小研究系列，完成所提出的問題：〔1〕研究1：如圖1，在等腰直角三角形中，∠＝90°，＝，將邊繞點ABC

ACB

BCa

AB

B順時針旋轉(zhuǎn)

90°獲取線段

，連接

．求證：△

的面積為

2．〔提示：過點

作BD

CD

BCD

a

DBC邊上的高DE，可證△ABC≌△BDE〕2〕研究2：如圖2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°獲取線段BD，連接CD．請用含a的式子表示△BCD的面積，并說明原由．3〕研究3：如圖3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°獲取線段BD，連接CD．試試究用含a的式子表示△BCD的面積，要有研究過程．30．〔2021?綏化〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個極點的坐標(biāo)分別為A〔﹣4，1〕，B〔﹣1，﹣1〕，C〔﹣3，3〕．〔每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形〕〔1〕將△ABC先向上平2個單位長度，再向右平移4個單位長度獲取△A1B1C1〔點A、移B、C的對應(yīng)點分別為A1、B1、C1〕，畫出平移后的△A1B1C1；點〔2〕將△A1B1C1繞著坐標(biāo)原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°獲取△A2B2C2〔點A1、B1、C1的對應(yīng)點分別為點A2、B2、C2〕，畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C2；〔3〕求△

A1

B1C1

在旋轉(zhuǎn)過程中，點

C1

旋轉(zhuǎn)到點

C2

所經(jīng)過的路徑的長．

〔結(jié)果用含π的式子表示〕31．〔2021?黑龍江〕如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，△ABC的三個極點坐標(biāo)分別為A〔1，4〕，B〔1，1〕，C〔3，1〕．1〕畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1．2〕畫出△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后獲取的△A2B2C2．〔3〕在〔2〕的條件下，求點A所經(jīng)過的路徑長〔結(jié)果保存π〕．32．〔2021?赤峰〕將一副三角尺按圖1擺放，等腰直角三角尺的直角邊DF恰好垂直均分AB，與AC訂交于G，BC＝2cm．點〔1〕求GC的長；〔2〕如圖2，將△DEF繞D順時針旋轉(zhuǎn)，使直角邊DF經(jīng)過C，另素來角邊DEAC點點與訂交于點H，分別過H、CAB的垂線，垂足分別M、N，經(jīng)過觀察，猜想MDND的作為與數(shù)量關(guān)系，并考據(jù)你的猜想．〔3〕在〔2〕的條件下，將△DEF沿DB方向平移獲取△D′E′F′，當(dāng)D′E′恰好經(jīng)過〔1〕中的點G時，請直接寫出DD′的長度．33．〔2021?阜新〕如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，極點的坐標(biāo)分別為A〔﹣4，4〕，B〔﹣2，5〕，C〔﹣2，1〕．〔1〕平移△ABC，使點C移到點C1〔﹣2，﹣4〕，畫出平移后的△A1B1C1，并寫出點A1，B1的坐標(biāo)；〔2〕將△ABC繞點〔0，3〕旋轉(zhuǎn)180°，獲取△A2B2C2，畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C2；〔3〕求〔2〕中的點C旋轉(zhuǎn)到點C2時，點C經(jīng)過的路徑長〔結(jié)果保存π〕．34．〔2021?廣西〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個極點坐標(biāo)分別是A〔1，1〕，B〔4，1〕，C〔3，3〕．〔1〕將△ABC向下平移5個單位后獲取△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；〔2〕將△ABC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后獲取△A2B2C2，請畫出△A2B2C2；〔3〕判斷以O(shè)，A1，B為極點的三角形的形狀．〔不用說明原由〕35．〔2021?臨沂〕將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α〔0°＜α＜360°〕，獲取矩形AEFG．1〕如圖，當(dāng)點E在BD上時．求證：FD＝CD；2〕當(dāng)α為何值時，GC＝GB？畫出圖形，并說明原由．36．〔2021?自貢〕如圖，∠AOB＝60°，在∠AOB的均分線OM上有一點C，將一個120°角的極點與點C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB訂交于點D、E．1〕當(dāng)∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時〔如圖1〕，請猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系，并說明原由；〔2〕當(dāng)∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，到達(dá)圖2的地址，〔1〕中的結(jié)論可否成立？并說明原由；〔3〕當(dāng)∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長線訂交時，上述結(jié)論可否成立？請在圖3中畫出圖形，假設(shè)成立，請給于證明；假設(shè)不成立，線段OD、OE與OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．參照答案一．選擇題1．解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；、是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故此選項錯誤；、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項正確；應(yīng)選：D．2．解：∵將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到△ABC的地址，11∴∠CAB＝∠CAB＝100°，AB＝AB，∠CAC＝∠BAB，11111∵BB∥AC，11∴∠CAB+ABB＝180°，111∴∠AB1B＝80°，AB＝AB，1∴∠ABB1＝∠AB1B＝80°，∴∠BAB＝20°，1∴∠CAC＝20°，1應(yīng)選：B．3．解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確；、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；應(yīng)選：B．4．解：A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形；B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形；、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；、是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．應(yīng)選：D．5．解：由圖知，旋轉(zhuǎn)中心P的坐標(biāo)為〔1，2〕，應(yīng)選：C．6．解：連接BM，在△ABM和△C′BM中，，∴△ABM≌△C′BM，∠2＝∠3＝＝30°，在△ABM中，AM＝×tan30°＝1，S△ABM＝＝，正方形的面積為：＝3，陰影局部的面積為：3﹣2×＝3﹣，應(yīng)選：C．7．解：等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，正五邊形，是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，正方形和正六邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，應(yīng)選：C．8．解：由點B坐標(biāo)為〔2，﹣2〕那么OB＝，且OB與x軸、y軸夾角為45°當(dāng)點B繞原點逆時針轉(zhuǎn)動75°時，OB1與x軸正向夾角為30°那么B1到x軸、y軸距離分別為，，那么點B1坐標(biāo)為〔，〕；同理，當(dāng)點B繞原點順時針轉(zhuǎn)動75°時，OB1與y軸負(fù)半軸夾角為30°，那么B1到x軸、y軸距離分別為，，那么點B1坐標(biāo)為〔﹣，﹣〕；應(yīng)選：C．9．解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不合題意；B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不合題意；、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，吻合題意；、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不合題意．應(yīng)選：C．10．解：∵四邊形OABC是正方形，且OA＝1，B〔1，1〕，連接OB，由勾股定理得：OB＝，由旋轉(zhuǎn)得：＝1＝＝，23＝＝OBOBOBOB∵將正方形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°后獲取正方形OABC，OBO111BOBAOBBOB相當(dāng)于將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)45°，依次獲取∠＝∠1＝∠12＝＝45°，∴B1〔0，〕，B2〔﹣1，1〕，B3〔﹣，0〕，，發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，所以2021÷8＝252余2，∴點B2021的坐標(biāo)為〔﹣1，1〕應(yīng)選：D．11．解：A、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；B、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；、是中心對稱圖形，故此選項正確，應(yīng)選：D．．解：由題意可得，CBD＝α，∠ACB＝∠EDB，∵∠EDB+∠ADB＝180°，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD＝360°，∠CBD＝α，∴∠CAD＝180°﹣α，應(yīng)選：C．13．解：如圖，連接BM．∵△AEM與△ADM關(guān)于AM所在的直線對稱，AE＝AD，∠MAD＝∠MAE．∵△依照順時針方向繞點

旋轉(zhuǎn)

90°獲取△

，ADM

A

ABFAF＝AM，∠FAB＝∠MAD．∴∠FAB＝∠MAE∴∠FAB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE．∴∠FAE＝∠MAB．∴△FAE≌△MAB〔SAS〕．EF＝BM．∵四邊形ABCD是正方形，BC＝CD＝AB＝3．∵DM＝1，CM＝2．∴在Rt△BCM中，BM＝＝，EF＝，應(yīng)選：C．解法二：如圖，過E作HG∥AD，交AB于H，交CD于G，作EN⊥BC于N，那么∠AHG＝∠MGE90°，由折疊可得，∠AEM＝∠D＝90°，AE＝AD＝3，DM＝EM＝1，∴∠AEH+∠MEG＝∠EMG+∠MEG＝90°，∴∠AEH＝∠EMG，∴△AEH∽△EMG，∴＝＝，設(shè)MG＝x，那么EH＝3x，DG＝1+x＝AH，22∴Rt△AEH中，〔1+x〕+〔3x〕＝23，解得x1＝，x2＝﹣1〔舍去〕，∴EH＝＝BN，CG＝CM﹣MG＝＝EN，又∵BF＝DM＝1，F(xiàn)N＝，∴Rt△AEN中，EF＝＝，應(yīng)選：C．14．解：A、有兩條邊和一個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，錯誤，必定是兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；B、正方形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，正確；、矩形的對角線相等且互相均分，故此選項錯誤；、六邊形的內(nèi)角和是720°，故此選項錯誤．應(yīng)選：B．15．解：∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°獲取△ABC，11AC＝AC1，∠CAC1＝60°，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝30°，∴∠BAC1＝90°，AB＝8，AC1＝6，∴在Rt△BAC1中，BC1的長＝，應(yīng)選：C．16．解：∵AG＝AE，∠FAE＝∠FAG＝45°，AF＝AF，∴△AFE≌△AFG，EF＝FG，∵DE＝BG，EF＝FG＝BG+FB＝DE+BF，故①正確，∵BC＝CD＝AD＝4，EC＝1，DE＝3，設(shè)BF＝x，那么EF＝x+3，CF＝4﹣x，在Rt△ECF中，〔x+3〕2＝〔4﹣x〕2+12，解得x＝，∴BF＝，AF＝＝，故②正確，③錯誤，BM∥AG，∴△FBM∽△FGA，∴＝〔〕2，∴＝，故④正確，S△FBM應(yīng)選：D．二．填空題〔共8小題〕17．解：∵Rt△繞其直角極點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后獲取Rt△，∴AC＝CD，ABCCDEC∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°，那么∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝25°+45°＝70°，故答案為：70°．18．解：作

CD⊥

BB′于

D，如圖，∵△繞點

按順時針方向旋轉(zhuǎn)

90°，點

對應(yīng)點

′落在

的延長線上，ABC

C

B

B

BACB＝CB′＝5，∠BCB′＝90°，∴△BCB′為等腰直角三角形，∴BB′＝BC＝5，∴CD＝BB′＝，在Rt△ACD中，∵sin∠DAC＝＝，∴AC＝×＝．故答案為．19．解：∵Rt△ABC繞直角極點C順時針旋轉(zhuǎn)90°獲取△A′B′C，BC＝B′C，∴△BCB′是等腰直角三角形，∴∠CBB′＝45°，∴∠B′A′C＝∠A′B′B+∠CBB′＝20°+45°＝65°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠A＝∠B′A′C＝65°．故答案為：65°．20．解：①∵A、C關(guān)于直線OM'對稱，OM'是AC的垂直均分線，CD＝AD，故①正確；②連接OC，由①知：OM'是AC的垂直均分線，OC＝OA，OA＝OB＝OC，以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑作⊙O，交AO的延長線于E，連接BE，那么A、B、C都在⊙O上，∵∠MON＝120°，∴∠BOE＝60°，OB＝OE，∴△OBE是等邊三角形，∴∠E＝60°，A、C、B、E四點共圓，∴∠ACD＝∠E＝°，故②不正確；③當(dāng)α＝30°時，即∠AOD＝∠COD＝30°，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等邊三角形，∴∠OAC＝60°，OC＝OA＝AC，由①得：CD＝AD，∴∠CAD＝∠ACD＝∠CDA＝60°，∴△ACD是等邊三角形，AC＝AD＝CD，OC＝OA＝AD＝CD，∴四邊形OADC為菱形；故③正確；④∵CD＝AD，∠ACD＝60°，∴△ACD是等邊三角形，當(dāng)AC最大時，△ACD的面積最大，∵AC是⊙O的弦，AC為直徑時最大，此時AC＝2a，當(dāng)S△×〔2a〕2＝；ACD故④正確，所以此題結(jié)論正確的有：①③④故答案為：①③④．21．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝5，過C作CM⊥AB′于M，過A作AN⊥CB′于N，∵依照旋轉(zhuǎn)得出AB′＝AB＝2，∠B′AB＝90°，即∠CMA＝∠MAB＝∠B＝90°，∴CM＝AB＝2，AM＝BC＝，∴B′M＝2﹣＝，在Rt△′中，由勾股定理得：′＝＝＝5，BMCBC∴S＝＝，△AB′C∴5×AN＝2×2，解得：AN＝4，∴sin∠ACB′＝＝，故答案為：．22．解：∵＝＝，＝＝，∴S＝S△，S＝S△．1AOB2BOC∵點O是?ABCD的對稱中心，∴S＝S＝S，△AOB△BOC?ABCD∴＝＝．即S1與S2之間的等量關(guān)系是＝．故答案為＝．23．解：如圖作ND∥x軸交y軸于D，作NC∥y軸交x軸于C．MN交y軸于K．NK＝MK，∠DNK＝∠BMK，∠NKD＝∠MKB，∴△NDK≌△MBK，DN＝BM＝OC＝3，DK＝BK，在Rt△KBM中，BM＝3，∠MBK＝60°，∴∠BMK＝30°，DK＝BK＝BM＝，OD＝5，N〔﹣3，5〕，故答案為〔﹣3，5〕24．解：∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)150°，獲取△ADE，∴∠BAD＝150°，AD＝AB，∵點B，C，D恰幸好同素來線上，∴△BAD是頂角為150°的等腰三角形，∴∠B＝∠BDA，∴∠B＝〔180°﹣∠BAD〕＝15°，故答案為：15°．三．解答題〔共12小題〕25．解：〔1〕如圖，△A1B1C1為所作；點A1的坐標(biāo)為〔4，4〕；〔2〕如圖，△A2B2C2為所作；cosB＝＝．26．解：〔1〕如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，AP＝PD，PB＝PM，∴四邊形ABDM是平行四邊形，∴∠AME＝∠ABC＝60°，∵△CDE是等邊三角形，∴∠DEC＝60°，∴∠AEM＝∠DEC＝60°，∴△AEM是等邊三角形，故答案為：等邊三角形；〔2〕如圖2中，結(jié)論：△AEM是等邊三角形．原由：設(shè)AE交BD于O，AC交BD于K，連接DM．∵△ABC，△DEC都是等邊三角形，CB＝CA，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE〔SAS〕，BD＝AE，∠CBK＝∠OAK，∵∠BKC＝∠AKO，∴∠AOK＝∠BCK＝60°，∵AP＝PD，BP＝PM，∴四邊形ABDM是平行四邊形，AM＝BD，AM∥BD，∴∠AOB＝∠OAM＝60°，AM＝AE，∴△AEM是等邊三角形．〔3〕設(shè)CD＝a，那么AC＝2a，AE＝a，222AC＝AE+EC，∴∠AEC＝90°①如圖3中，當(dāng)點D在AC的中點時，滿足條件，此時α＝60°②如圖4中，當(dāng)點E落在BC的中點時，滿足條件，此時α＝300°．綜上所述，滿足條件的α的值為60°或300°．27．〔1〕【操作發(fā)現(xiàn)】解：如圖1中，連接BD．∵△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，獲取△ADE，AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△DAB是等邊三角形，∴∠ABD＝60°故答案為60．〔2〕【類比研究】證明：如圖連接CD．

2中，以

PA

為邊長作等邊△

PAD

，使

P、

D分別在

AC

的兩側(cè)，∵∠BAC＝∠PAD＝60°，∴∠BAP＝∠CAD，AB＝AC，AP＝AD，∴△PAB≌△ACDSAS〕，∴BP＝CD，在△PCD中，∵PD+CD＞PC，又∵PA＝PD，AP+BP＞PC．PA，PB，PC的長為三邊必能組成三角形．〔3〕【解決問題】解：如圖3中，∵將△APB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，獲取△AP′′，∴△APP′是等邊三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，PP′＝PC，即AP＝PC，∵∠APC＝90°，2

2

2

2

2

2∴AP+PC＝

AC，即〔

PC〕

+PC＝〔

〕，PC＝2，AP＝，∴S＝AP?PC＝××2＝．APC4〕【拓展應(yīng)用】解：如圖4中，將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，獲取△EDC，連接PD、BE．∵將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，獲取△EDC，∴△APC≌△EDC〔旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)〕，∴∠ACP＝∠ECD，AC＝EC＝4，∠PCD＝60°，∴∠ACP+∠PCB＝∠ECD+∠PCB，∴∠ECD+∠PCB＝∠ACB＝30°，∴∠BCE＝∠ECD+∠PCB+∠PCD＝30°+60°＝90°，在Rt△BCE中，∵∠BCE＝90°，BC＝5，CE＝4，∴BE＝＝＝，即PA+PB+PC的最小值為；28．解：〔1〕證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠C＝45°，∵AM是∠BAC的均分線，MN⊥AC，∴BM＝MN，在四邊形ABMN中，∠BMN＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°，∵∠ENF＝135°，∴∠BME＝∠NMF，∴△BME≌△NMF，BE＝NF，MN⊥AC，∠C＝45°，∴∠CMN＝∠C＝45°，NC＝NM＝BM，CN＝CF+NF，∴BE+CF＝BM；〔2〕針對圖2，同〔1〕的方法得，△BME≌△NMF，BE＝NF，MN⊥AC，∠C＝45°，∴∠CMN＝∠C＝45°，∴NC＝NM＝BM，NC＝NF﹣CF，∴BE﹣CF＝BM；針對圖3，同〔1〕的方法得，△BME≌△NMF，BE＝NF，MN⊥AC，∠C＝45°，∴∠CMN＝∠C＝45°，∴NC＝NM＝BM，NC＝CF﹣NF，∴CF﹣BE＝BM；〔3〕在Rt△ABM和Rt△ANM中，，Rt△ABM≌Rt△ANM〔HL〕，∴AB＝AN＝+1，在Rt△中，＝＝+1，ABCACABAC＝AB＝2+，∴＝﹣＝2+﹣〔+1〕＝1，CNACAN在Rt△CMN中，CM＝CN＝，∴BM＝BC﹣CM＝+1﹣＝1，在Rt△BME中，tan∠BEM＝＝＝，BE＝，∴①由〔1〕知，如圖1，BE+CF＝BM，CF＝BM﹣BE＝1﹣②由〔2〕知，如圖2，由tan∠BEM＝，∴此種情況不成立；③由〔2〕知，如圖

3，CF﹣BE＝BM，∴CF＝BM+BE＝1+，故答案為1，1+或1﹣．29．解：〔1〕如圖1，過點D作DE⊥CB交CB的延長線于E，∴∠BED＝∠ACB＝90°，由旋轉(zhuǎn)知，AB＝BD，∠ABD＝90°，∴∠ABC+∠DBE＝90°，∵∠A+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DBE，在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE〔AAS〕BC＝DE＝a．S△＝BC?DEBCDS△BCD＝；解：〔2〕△BCD的面積為．原由：如圖2，過點D作BC的垂線，與BC的延長線交于點E．∴∠BED＝∠ACB＝90°，∵線段AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°獲取線段BE，∴AB＝BD，∠ABD＝90°．∴∠ABC+∠DBE＝90°．∵∠A+∠ABC＝90°．∴∠A＝∠DBE．在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE〔AAS〕BC＝DE＝a．S△BCD＝BC?DE∴S△＝；BCD〔3〕如圖3，過點A作AF⊥BC與F，過點D作DE⊥BC的延長線于點E，∴∠AFB＝∠E＝90°，BF＝BC＝a．∴∠FAB+∠ABF＝90°．∵∠ABD＝90°，∴∠ABF+∠DBE＝90°，∴∠FAB＝∠EBD．∵線段BD是由線段AB旋轉(zhuǎn)獲取的，AB＝BD．在△AFB和△BED中，，∴△AFB≌△BED〔AAS〕，BF＝DE＝a．S△＝BC?DE＝?a?a＝a2．BCD∴△BCD的面積為．30．解：〔1〕依照題意得：A1〔0，3〕，B1〔3，1〕，C1〔1，5〕，連接A1C1，B1C1，A1B1如以以下圖：〔2〕利用網(wǎng)格和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出△A2B2C2如上圖所示，〔3〕∵C1〔1，5〕，OC1＝，∴點C1旋轉(zhuǎn)到點C2所經(jīng)過的路徑的長為：＝．31．解：〔1〕如圖：△A1B1C1，即為所求；〔2〕如圖：△A2B2C2，即為所求；〔3〕r＝＝，A經(jīng)過的路徑長：×2×π×＝π．32．解：〔1〕如圖1中，在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠B＝60°，∴AC＝BC?tan60°＝6，AB＝2BC＝4，在Rt△ADG中，AG＝＝4，CG＝AC＝AG＝6﹣4＝2．〔2〕如圖2中，結(jié)論：DM+DN＝2或DM＝DN．原由：∵HM⊥AB，CN⊥AB，∴∠AMH＝∠DMH＝∠CNB＝∠CND＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCN＝90°，∴∠A＝∠BCN．∴△AHM∽△CBN，∴＝①，同法可證：△DHM∽△CDN，∴＝②由①②可得AM?BN＝DN?DM，∴＝，∴＝，∴＝，AD＝BD，∴AM＝DN，∴DM+DN＝AM+DM＝AD＝2．或∵△ABC為直角三角形，D為斜邊AB的中點，CD＝BD＝AD．又∠B＝60°，∴△BDC為等邊三角形，∴∠CDB＝60°．又∠EDF＝90°，∴∠MDA＝30°．∵∠A＝90°﹣∠B＝30°，∴AH＝HD，又HM⊥AD，∴MD＝．在等邊三角形BCD中，CN⊥BD，ND＝NB．又AD＝BD，∴MDND．〔3〕如圖