從教材分析談立體幾何講課從教材分析談立體幾何講課從教材分析談立體幾何講課明確講課目的、合理利用教材——從教材的分析談高中立體幾何的講課津南區(qū)教研室馬智軍立體幾何的講課是高中數(shù)學(xué)的重要構(gòu)成局部，?課程標(biāo)準(zhǔn)?中的立體幾何定位于培育和張開學(xué)生掌握?qǐng)D形的能力，空間想象與幾何直覺(jué)的能力，邏輯推理能力等。新高中數(shù)學(xué)課程對(duì)峙體幾何的講課作了重要的結(jié)構(gòu)調(diào)整和講課要求改變，為此好多教師在辦理教材和培育學(xué)生空間感上存在必定的誘惑。本文經(jīng)過(guò)對(duì)教材的簡(jiǎn)單分析，抓住高中立體幾何講課的目標(biāo)，結(jié)合講課實(shí)踐，從空間想象能力的培育、到立體幾何綜合問(wèn)題的解決議略，說(shuō)說(shuō)高中立體幾何講課的詳細(xì)舉措和建議。一、明確目標(biāo)，弄清幾個(gè)有關(guān)見解,弄懂教材研究研究立體幾何的門路。1．立體幾何是研究空間幾何體的特點(diǎn)〔形狀、大小〕、地點(diǎn)關(guān)系的學(xué)科.2．培育學(xué)生掌握空間圖形〔認(rèn)識(shí)、繪制、運(yùn)用圖形〕能力，培育和發(fā)展學(xué)生空間想象能力與必定的推理論證能力．3．空間想象能力：是人們對(duì)客觀事物的空間幾何形體進(jìn)行察看、分析、認(rèn)知的抽象思想能力：①能依據(jù)空間幾何形體，在大腦中顯現(xiàn)出相應(yīng)的空間幾何圖形，并能正確想象其直觀圖．②能依據(jù)直觀圖，在大腦中顯現(xiàn)出直觀圖表現(xiàn)的的幾何形體及其組成局部的形狀、地點(diǎn)關(guān)系和數(shù)目關(guān)系．③能仇家腦中已有的空間幾何形體進(jìn)行分解、組合，產(chǎn)生新的空間幾何形體，并正確分析其地點(diǎn)關(guān)系和數(shù)目關(guān)系．4．教材編寫是依據(jù)：直觀感知，操作確認(rèn)，思爭(zhēng)辯證，胸懷計(jì)等門路來(lái)進(jìn)行研究研究的?！?〕直觀感知是指：經(jīng)過(guò)顯現(xiàn)立體幾何講課模型或認(rèn)識(shí)生活中的模型，比較直觀圖〔實(shí)質(zhì)是空間圖形的平面化表示，其原那么是看起來(lái)要“像〞立體圖〕培育直觀感知能力，提高對(duì)峙體幾何的親密感，激發(fā)學(xué)習(xí)立體幾何的興趣．〔2〕在整體感知的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)直觀的操作考證、概括總結(jié)出幾何體中各元素〔點(diǎn)、線、面〕之間的地點(diǎn)關(guān)系〔判判斷理、公義〕〔如線面垂直、面面垂直〕〔3〕運(yùn)用概括總結(jié)的定理、公義經(jīng)過(guò)邏輯推理獲取一些性質(zhì)、推論或證明一些新的結(jié)論.〔4〕在對(duì)地點(diǎn)關(guān)系充分認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)進(jìn)步行立體圖形中一些胸懷計(jì)算〔角度、距離、面積、體積計(jì)算〕二、空間想象能力的培育、立體感的成立1．經(jīng)過(guò)察看講課模型、認(rèn)識(shí)生活中的立體模型，充分利用計(jì)算機(jī)繪圖多功能的優(yōu)勝性，從多方向、多角度、多側(cè)面描述立體圖形，解決平面立體圖形與真切立體圖形在視覺(jué)上的差別，累積“實(shí)物—圖形正確對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)〞，經(jīng)過(guò)對(duì)直觀圖形透辟的察看，理解抽象的理論見解.2．重視作圖能力的培育：〔1〕斜二測(cè)畫法：學(xué)習(xí)早期作圖要標(biāo)準(zhǔn)，解決：“怎樣作幾何體的平面圖〞與“平面圖怎樣看(想象)成體〞．①上課時(shí)讓學(xué)生上黑板繪圖，此后師生共同評(píng)析，看哪個(gè)同學(xué)畫得好，長(zhǎng)處在哪里，存在哪些缺點(diǎn)；②印發(fā)常有的根本直觀圖給學(xué)生，讓學(xué)生頻頻觀摩，此后再畫出來(lái)?！?〕學(xué)習(xí)線面地點(diǎn)關(guān)系中重視圖形語(yǔ)言的訓(xùn)練?！?〕重視幾何知識(shí)在實(shí)質(zhì)生活中的應(yīng)用。3．指引學(xué)生掌握從直觀圖中“成立立體感〞的常有策略：〔1〕掌握襯托的技巧：①虛實(shí)襯托；圖〔2-1〕

圖〔2-1〕以上兩組圖形的比較，能夠充分看出虛實(shí)襯托的不相同，明顯有不相同的立體感產(chǎn)生，故要指引學(xué)生多試驗(yàn)、多察看感覺(jué)，進(jìn)而讓學(xué)生合理利用虛實(shí)相襯表現(xiàn)優(yōu)秀的立體見效。②協(xié)助元素的襯托〔線、面、體〕：圖〔2-4〕

圖〔2-3〕在圖〔2-3〕中，相同的圖形，在不相同方式襯托元素〔直線〕下，明顯給人的立體感是不相同的，而圖〔2-4〕經(jīng)過(guò)平面AGB的襯托，讓正四周體的外接球球心不再“懸〞于空中，而是找到了能夠明確丈量的背景下，使得空間的立體問(wèn)題放到了熟習(xí)的平面內(nèi)?！?〕變換視角——變換察看的角度，常采納的舉措有：旋轉(zhuǎn)幾何體〔畫出另一角度的圖象抵達(dá)旋轉(zhuǎn)的見效〕、關(guān)注不相同極點(diǎn)【例題1】如圖，用平面EFG去截三棱柱ABCABC，獲取一五面體，假定111AE:BF:CG:AE4:3:2:1，那么三棱錐AEFG,BEFG,C1EFG的體積之比1為；圖〔2-5〕圖〔2-6〕圖〔2-7〕【分析】,4VVSEAAEFGGEFAEFAVVVVAEFGGEFABEFGGBEFVVSBF3BEFGGBEFEFBVV,VVAEFGFAEGCEFGFCEG11VVSEAAEFGFAEGAEGVVSCGC1EFGFC1EGC1EG142故：V:V:V4:3:2AEFGBEFGCEFG1經(jīng)過(guò)視覺(jué)的變換，讓問(wèn)題的解決輕松而靈巧?！?〕應(yīng)用數(shù)據(jù)〔以算促證〕、符號(hào)加強(qiáng)〔感覺(jué)擁有必定的表示指向性〕——以以以下圖不相同的數(shù)據(jù)、符號(hào)給人帶來(lái)不相同的立體感覺(jué)；圖〔2-8〕圖〔2-9〕圖〔2-10〕圖〔2-11〕對(duì)于圖〔2-8〕當(dāng)分別標(biāo)上不相同的數(shù)據(jù)或符號(hào)時(shí)，所表示的幾何體立體感馬上發(fā)生了不相同，這就是數(shù)據(jù)、符號(hào)有表示立體感的見效?！?〕平面視覺(jué)的拓展〔平面原來(lái)無(wú)量的，但我們常常用有限的三角形、平行四邊形來(lái)表示，這就意味著可對(duì)“原有〞的表示可作適合的拓展〕；平常拓展的方法為：延伸面內(nèi)的線段或過(guò)面內(nèi)一點(diǎn)作該面內(nèi)某直線的平行線.【例題2】ABCDABCD為長(zhǎng)方體，對(duì)角線AC1與平面A1BD訂交于點(diǎn)Q，1111那么Q是ABD的〔〕1Ａ．垂心Ｂ．重心Ｃ．心里Ｄ．外心圖〔2-12〕圖〔2-13〕【分析】先將直線AC放到平面AA1C1中，再將平面AA1C1的視覺(jué)拓展即可獲取1平面AACC，明顯直線AC1與平面A1BD訂交的Q點(diǎn)在平面AA1C1C與平面A1BD11的交線上，在矩形AACC中，由三角形的相像性可得Q為三角形A1BD的重心。11【例題3】：正方體ABCDABCD中，P,Q,R分別是AD,BB1,C1D1的中點(diǎn)，1111那么平面PQR截正方體所得幾何形狀為；圖〔2-14〕圖〔2-15〕圖〔2-14〕經(jīng)過(guò)對(duì)平面GPR視覺(jué)的拓展，易得平面GPR截正方體所得的幾何形狀為正六邊形。三、重視三視圖的講課，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)幾何體的整體認(rèn)識(shí)，張開學(xué)生空間想象能力和繪圖能力：三視圖在工程繪圖、藝術(shù)繪畫、產(chǎn)品設(shè)計(jì)等方面都有寬泛的應(yīng)用，掌握三視圖與直觀圖之間的聯(lián)系，有益于從整體上掌握幾何體的結(jié)構(gòu)。1．理解三視圖的含義：〔1〕我們所研究的三視圖是空間幾何體分別在相互垂直的水平面〔上下〕、正對(duì)面〔前后〕、正側(cè)面〔左右〕上，經(jīng)過(guò)正投影投射所得的投影.〔2〕三視圖之間的關(guān)系〔正視圖和側(cè)視圖的高相同，俯視圖的寬與側(cè)視圖的寬相同，正視圖的長(zhǎng)和俯視圖的長(zhǎng)相等〕；〔3〕三視圖與原直觀圖地點(diǎn)之間的簡(jiǎn)單對(duì)應(yīng)關(guān)系：①側(cè)〔左〕視圖中的左在原圖中為“內(nèi)〞、右在原圖中為“外〞；②俯視圖中上與原圖“內(nèi)〞對(duì)應(yīng)、下與原圖的“外〞對(duì)應(yīng)；③正視圖與原圖對(duì)應(yīng)一致?！?〕理解三視圖中虛實(shí)是依據(jù)從某側(cè)投影幾何時(shí)能否被遮擋而劃分的。2．給學(xué)生自己著手體驗(yàn)的時(shí)機(jī)：〔1〕必定要學(xué)生自己經(jīng)歷繪制各簡(jiǎn)單幾何體及典型的簡(jiǎn)單組合體三視圖，為研究比較復(fù)雜的組合體三視圖打下基礎(chǔ)，供給化歸的背景?！?〕必定要學(xué)生自己經(jīng)歷由三視圖繪制直觀圖的過(guò)程，在此過(guò)程中教師經(jīng)過(guò)顯現(xiàn)學(xué)生的作品，組織分析談?wù)?3．指引學(xué)生總結(jié)出三視圖繪制的技巧：應(yīng)用空間中線、面地點(diǎn)關(guān)系的垂直關(guān)系，先求出幾何體的“界限極點(diǎn)〞分別在三個(gè)垂面上的射影，在連結(jié)投影點(diǎn)即可?！纠}4】〔2021陜西〕，如圖1將正方體截去兩三棱錐，獲取圖2幾何體，該幾何體的左視圖為【分析】經(jīng)過(guò)幾何體BDABCD各極點(diǎn)在右邊垂面上的投影，再依據(jù)從左觀11察能否被遮擋的原理，聯(lián)合三視圖與原直觀圖地點(diǎn)之間的簡(jiǎn)單對(duì)應(yīng)關(guān)系，可獲取，左視圖為B答案。4．指引學(xué)生總結(jié)由三視圖繪制直觀圖的重點(diǎn)：先依據(jù)對(duì)常有簡(jiǎn)單幾何三視圖的對(duì)應(yīng)定好直觀圖的大概組合狀況——畫俯視圖——找高線——繪制直觀圖——反省改正.【例題5】一個(gè)棱錐的三視圖如圖，那么該棱錐的全面積〔各個(gè)面的面積之和〕圖〔3-1〕圖〔3-2〕圖〔3-3〕【分析】本題由三視圖知道幾何體為三棱錐，再依據(jù)高線所在地點(diǎn)即可畫出幾何體的直觀圖，進(jìn)而計(jì)算出結(jié)果。【例題6】一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，被一個(gè)平面截后所得幾何體的三視圖以以以下圖，那么該幾何體的體積為；圖〔3-4〕圖〔3-5〕圖〔3-6〕【分析】由三視圖(3-4)可知原幾何體是正方體(3-5)進(jìn)行切割而得，再進(jìn)一步分析是正方體截取一個(gè)角，獲取圖〔3-6〕所示的幾何體，再用割補(bǔ)法求得其體積。四、依據(jù)實(shí)質(zhì)狀況適合調(diào)整教材次序：1．立體幾何局部的講課，是能夠第一借助信息技術(shù)和實(shí)物顯現(xiàn)豐富的立體圖形，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)立體幾何知識(shí)的必需性與重要性，此后就應(yīng)當(dāng)很快轉(zhuǎn)入直線，平面根本圖形地點(diǎn)關(guān)系的核心知識(shí)學(xué)習(xí)，在此基礎(chǔ)上，再研究幾何體的性質(zhì)。2．對(duì)于表面積和體積問(wèn)題：方案1：先簡(jiǎn)單介紹見解，簡(jiǎn)單練習(xí)；學(xué)完第二章后進(jìn)行適合的增補(bǔ).方案2、在學(xué)習(xí)完第二章后一致解說(shuō).3．有關(guān)判斷和性質(zhì)定理：在學(xué)習(xí)完某種地點(diǎn)關(guān)系后能夠接著先學(xué)習(xí)該種地點(diǎn)關(guān)系的判斷，再學(xué)習(xí)新的的地點(diǎn)關(guān)系的判斷和性質(zhì)，這樣有益于學(xué)生推理系統(tǒng)的成立.五、依據(jù)實(shí)質(zhì)狀況適合增補(bǔ)一些見解和知識(shí)：1．在學(xué)習(xí)完線面垂直的基礎(chǔ)上，可適合增補(bǔ)給出長(zhǎng)方體、直棱柱、正棱錐、正棱柱等見解；一方面表達(dá)立體幾何見解的謹(jǐn)慎性；另一方面方便利用各樣資料；2．依據(jù)學(xué)生的實(shí)質(zhì)增補(bǔ)球的性質(zhì)和球與一些簡(jiǎn)單幾何體的關(guān)系；由圖知，求的性質(zhì)為：222Rdr〔1〕正四周體的外接球〔可用類比三角形的外接圓圓心，求得外接球球心，也可將四周體圖〔5-1〕置于正方體中〕：圖〔5-2〕圖〔5-3〕〔2〕“墻角〞三棱錐、“墻角〞四棱錐及長(zhǎng)方體外接球：圖〔2-25〕圖〔2-26〕圖〔2-27〕圖〔2-28〕〔3〕正方體的外接球內(nèi)切球和切于棱球圖〔5-4〕圖〔5-5〕圖〔5-6〕六、不能夠忽視推理論證，知識(shí)、方法、思想系統(tǒng)化；利用好轉(zhuǎn)變化歸思想，形成必定的立體幾何解題策略。1．立體中的邏輯推理有益于理解公義化系統(tǒng)，有益于空間想象能力的形成，有益于立體問(wèn)題的解決；每一種感覺(jué)和想象能力〔包含立體感，空間想象能力〕的形成背后都或多或罕有邏輯推理，這樣的感覺(jué)才能堅(jiān)固和長(zhǎng)久，才能感覺(jué)有道理，才有被認(rèn)可。2．立體幾何地點(diǎn)關(guān)系之間關(guān)系轉(zhuǎn)變親密：3．指引學(xué)生掌握立體幾何問(wèn)題解決的常有策略：①立體問(wèn)題平面化〔馬上一平面圖形從幾何體中“抓出〞，使之正對(duì)我們“立起〞〕思想策略〔特別是立體計(jì)算時(shí)〕；②運(yùn)動(dòng)變化、張開拓廣的思想策略；【例題】：如圖，直三棱柱ABCABC中，1110BCA90,BBBC，Q,M分1別為A1B1,BB1的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在AC上運(yùn)動(dòng)，求直線PQ,C1M所成角的大??；圖〔5-6〕圖〔5-6〕【解答提示】：因?yàn)辄c(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)，因此動(dòng)直線在平面QAC中，要想向來(lái)線在一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)而與定直線成定角，能夠猜想：CM1面AQC，進(jìn)而獲取PQ,CM成1090的角；其實(shí)將平面AQC進(jìn)行“視覺(jué)拓展〞易得該面與BC交于點(diǎn)R〔R為B1C1的中點(diǎn)〕，不難證明，AC面BB1C1C，11進(jìn)而ACCM；在正方形BB1C1C中，易證C1MCR，最后證了然猜想；1③轉(zhuǎn)變化歸、逆向推理的思想策略〔常常是在證明平行、垂直關(guān)系時(shí)用到〕；【例題】：如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD面ABCD，PDDC,E,G分別是PC,AD的中點(diǎn)，過(guò)E作EFPB于F．〔1〕證明：DE//面PGB；〔2〕證明：PB面DEF；【證明提示】：〔1〕思路1、逆向思慮：假定DE//面PGB，那么過(guò)DE的平面與訂交PGB所得交線必定與DE平行，啟迪我們?nèi)ソY(jié)構(gòu)過(guò)DE的平面與PGB訂交，在證明DE//其交線〔好多時(shí)候需要用到平面視覺(jué)的拓展技巧，如圖〔1〕〔2〕所示〕；思路2、逆向思慮：假定DE//面PGB，那么必定存在過(guò)DE的平面//面PGB,啟迪我們結(jié)構(gòu)過(guò)DE的平面證明其平行面PGB〔如圖〔3〕所示〕〕〔2〕察看下邊的證明思路即可意會(huì)其逆向、變換化歸的的思想策略的奇妙EFPBPBDEFDEPC面DEPBDEPBC面DEBCDEBCBC面PDCBCDCBCPDPD面ABCD④以算代證：經(jīng)過(guò)計(jì)算獲取線線、線面的地點(diǎn)關(guān)系，進(jìn)而抵達(dá)證明的目的；⑤適合模型化：經(jīng)過(guò)對(duì)常有的幾何體、幾何關(guān)系的深入研究，在遇到結(jié)構(gòu)復(fù)雜，狀況陌生的立體幾何問(wèn)題時(shí)，經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)變〔割補(bǔ)〕劃歸到熟習(xí)的幾何模型，進(jìn)而是問(wèn)題輕松解決，起到壓縮思想，用適合形式化幫助迅速洞察問(wèn)題的實(shí)質(zhì)；七、用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，此中運(yùn)