第21課時(shí)平面向量基本定理課時(shí)目標(biāo)1.了解平面向量的基本定理及其意義．2．能正確的運(yùn)用平面向量基本定理解決問(wèn)題．識(shí)記強(qiáng)化1．平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．2．已知兩個(gè)非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a、eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角．如果a與b的夾角是90°，我們就說(shuō)a與b垂直，記作a⊥b.課時(shí)作業(yè)一、選擇題1．下列各組向量中，一定能作為基底的是()A．a(chǎn)＝0，b≠0B．a(chǎn)＝3e，b＝－3e(e≠0)C．a(chǎn)＝2e1－e2，b＝e1＋2e2(e1，e2不共線)D．a(chǎn)＝4e1＋4e2，b＝－2e1－2e2(e1，e2不共線)答案：C解析：由平面向量基本定理知，a，b不共線，∴選C.2．設(shè)a，b是不共線的兩個(gè)非零向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b.若A，B，D三點(diǎn)共線，則p的值為()A．1B．2C．－2D．－1答案：D解析：eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，由A，B，D三點(diǎn)共線，知存在實(shí)數(shù)λ，使2a＋pb＝2λa－λb.∵a，b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＝2,p＝－λ))，∴p＝－1.3．在矩形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝e2，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)(e1＋e2)B.eq\f(1,2)(e1－e2)C.eq\f(1,2)(2e2－e1)D.eq\f(1,2)(e2－e1)答案：A解析：因?yàn)镺是矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝e2，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(e1＋e2)，故選A.4．已知非零向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共線，且2eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(xOA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，則x，y滿(mǎn)足的關(guān)系是()A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0答案：A解析：由eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，即eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1＋λ)eq\o(OA,\s\up6(→))－λeq\o(OB,\s\up6(→)).又2eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2λ,y＝－2λ))，消去λ得x＋y＝2.5．已知四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上(不包括端點(diǎn))，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝()A．λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，λ∈(0,1)B．λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))，λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C．λ(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，λ∈(0,1)D．λ(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))，λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))答案：A解析：如圖所示，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)).又點(diǎn)P在AC上，∴eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))同向，且|eq\o(AP,\s\up6(→))|<|eq\o(AC,\s\up6(→))|，故eq\o(AP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，λ∈(0,1)．6．若點(diǎn)O是?ABCD的兩條對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝4e1，eq\o(BC,\s\up6(→))＝6e2，則3e2－2e1等于()A.eq\o(AO,\s\up6(→))B.eq\o(CO,\s\up6(→))C.eq\o(BO,\s\up6(→))D.eq\o(DO,\s\up6(→))答案：C解析：3e2－2e1＝eq\f(1,2)(6e2－4e1)＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→)).二、填空題7．已知e1，e2是兩個(gè)不共線向量，a＝k2e1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5k,2)))e2與b＝2e1＋3e2共線，則實(shí)數(shù)k＝________.答案：－2或eq\f(1,3)解析：由題設(shè)，知eq\f(k2,2)＝eq\f(1－\f(5k,2),3)，∴3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或eq\f(1,3).8．已知e1，e2是兩個(gè)不共線向量，若a＝2e1－e2與b＝e1＋λe2共線，則λ＝________.答案：－eq\f(1,2)解析：因?yàn)閍＝2e1－e2與b＝e1＋λe2共線，所以存在唯一的μ，使2e1－e2＝μ(e1＋λe2)＝μe1＋μλe2，所以μ＝2，μλ＝－1，故λ＝－eq\f(1,2).9．已知平行四邊形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，且均不為0.若eq\o(PQ,\s\up6(→))∥eq\o(BE,\s\up6(→))，則eq\f(x,y)＝________.答案：eq\f(1,2)解析：∵eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))－yeq\o(AD,\s\up6(→))，由eq\o(PQ,\s\up6(→))∥eq\o(BE,\s\up6(→))，可設(shè)eq\o(PQ,\s\up6(→))＝λeq\o(BE,\s\up6(→))，即xeq\o(AB,\s\up6(→))－yeq\o(AD,\s\up6(→))＝λ(eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))＝－eq\f(λ,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)λ,y＝－λ))，則eq\f(x,y)＝eq\f(1,2).三、解答題10.如圖，在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，M為BC的中點(diǎn)，試用a，b表示eq\o(MN,\s\up6(→)).解：由eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，知N為AC的四等分點(diǎn)．eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.11．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共線，向量c＝2e1－9e2，若存在實(shí)數(shù)λ和μ，使d＝λa＋μb與c共線，那么實(shí)數(shù)λ和μ應(yīng)該是什么關(guān)系？解：∵d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，若d與c共線，則應(yīng)有實(shí)數(shù)k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))得λ＝－2μ，故存在這樣的實(shí)數(shù)λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d與c共線．能力提升12．在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)．若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________.答案：eq\f(4,3)解析：選擇eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))作為平面向量的一組基底，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)λ＋μ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(λ＋eq\f(1,2)μ)eq\o(AD,\s\up6(→))，于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ＝1，,λ＋\f(1,2)μ＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,μ＝\f(2,3)，))所以λ＋μ＝eq\f(4,3).13.如圖，在△ABC中，D、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.求證：B、E、F三點(diǎn)共線．證明：如圖所示，延長(zhǎng)AD到G，使eq\o(AG,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，連接BG、CG，得到平行四邊形ABGC，則eq\o(AG,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(BE,\s\u