工程力學內力應力變形軸力正應力伸縮量軸向拉壓桿彎矩、剪力正應力、切應力撓度、轉角梁扭矩切應力扭角軸回顧與比較內力應力FAyFSMFAxFFAyFSMFBFSMFS

剪力——平行于橫截面的內力的合力。M

彎矩——垂直于橫截面的內力系的合力偶矩。回顧與比較τσ限制：平面彎曲、服從胡克定律具有縱向對稱面外力都作用在此面內彎曲變形后軸線變成對稱面內的平面曲線純彎曲內力只有彎矩。橫力彎曲內力既有彎矩又有剪力。第八章梁彎曲的工程理論(Ⅰ):應力分析和強度設計§8-1

對稱截面梁純彎曲時的正應力梁——主要承受彎曲變形的桿件。FSxMx1、實驗現象中性層縱向對稱面中性軸bdacabcdMM中性層：中間一層纖維長度不變。中性軸：中性層與橫截面的交線。⑴平截面假定⑵單一應力假定zyx2、假定和推斷⑶推斷橫截面上同一層高度處變形相同。橫截面上只有正應力，無切應力。3、幾何關系變形前變形后變化量

4物理關系：假設：縱向纖維無擠壓。xyzx--曲線P

式中：E和ρ為常數，所以橫截面上正應力與y成正比。5靜力關系：（1）（2）（3）xyzFxMyMzMx橫截面上的正應力組成一個空間平行力系，可以簡化后得到三個內力分量：xyzydAdA（1）（2）（3）由（1）式xyzFxMyMzz（平面彎曲，自然滿足）EIz梁的抗彎剛度。由（2）式由（3）式xyzyzdAdAxyzMx梁彎曲正應力公式變形幾何關系物理關系靜力學關系為梁彎曲變形后的曲率為曲率半徑Wz——梁截面的彎曲截面系數。計算矩形截面的慣性矩Iz。例題8-1

yzbhydy解：計算圓形對于其對稱軸（形心軸）的慣性矩。Cdzy[例8.2]θddA解：CdzyθdAzy極慣性矩：計算空心圓對于其對稱軸（形心軸）的慣性矩。[例]DzyCd解：同理：yzyz常見截面的Iz

和Wz圓截面矩形截面空心圓截面空心矩形截面梁彎曲正應力公式變形幾何關系物理關系靜力學關系為梁彎曲變形后的曲率為曲率半徑作業(yè)

慣性半徑：iz和iy分別稱為圖形對于z軸和y軸的慣性半徑。圓截面：組合圖形的慣性矩：CzyCzy1213dACzCyCyCzC平行移軸公式已知：zayb求：注意:C點必須為形心[例]計算圖示圖形對其形心軸z軸的慣性矩。Czy15104020單位：cm解：z112[例]計算圖示圖形對其形心軸x軸和y軸的慣性矩。Czy15104020單位：cm解：z112aCzy15104020單位：cmz112a[例]計算圖示圖形對其形心軸z軸的慣性矩。zCy28612單位：cm68解：[例]計算圖示圖形對其形心軸z軸的慣性矩。解：101010180285Cycyzz1[例]計算圖示圖形對其形心軸z軸的慣性矩。解：101010180285Cycyzz1Wz稱為抗彎截面系數σmaxM§8–2彎曲時的強度計算bhzy矩形：抗彎截面系數：空心圓：實心圓：dzyDdzy橫力彎曲正應力公式彎曲正應力分布彈性力學精確分析表明，當跨度l

與橫截面高度h

之比l/h>5

（細長梁）時，純彎曲正應力公式對于橫力彎曲近似成立。橫力彎曲最大正應力hPlAB梁的正應力強度條件σmax≤≤[例1]PABl圖示起重機大梁，Q235鋼，[]=170MPa，小車和重物重量P=265kN，l=4m，求：1）設計h/b=1.5的矩形截面梁；

2）選擇工字鋼型號：

3）比較這兩種截面梁的耗材。hbzy解：(1)當小車在跨中時梁最危險。zy求支座反力,畫彎矩圖。PABl/2l/2Chbzy(2)矩形截面梁(3)工字形截面梁zyxM+查表，選擇No.45c工字鋼(4)比較耗材工字鋼耗材是矩形截面梁的三分之一。hbzyzy受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：梁內的最大正應力；[例2]q=60kN/mAB3m120180zyxM+解：[例3]支座A和B放在什么位置，梁的受力最合理。q=60kN/mAB3maa120180zy解：考慮兩種極限情況a=0和a=1.5mq=60kN/mABl=3maaq=60kN/mABl=3mxM+M+－－M－q=60kN/ml=3mABq=60kN/mAl=3maaBM+－－q=60kN/ml=3maaABC舍去負值∴M+－－q=60kN/maaABCl=3mM+－－

鑄鐵梁，受力如圖，鑄鐵的[t]=20MPa，[c]=60MPa，試根據危險截面k-k的強度，確定最大載荷P。(2)求危險截面上的彎矩[例4]k770Pk101010180285解：(1)求形心位置和慣性矩Cycyzz1tcMk101010180285Cycyzz1k770PkMktcMk(4)壓應力強度(3)拉應力強度101010180285Cycyzz1∴允許的最大載荷P≤14.4kNk770PkMk

T字形截面的鑄鐵梁，受力如圖，鑄鐵的[t]=30MPa，[c]=60MPa，其截面形心位于C點，y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4

，試校核此梁的強度。解：(1)求支座反力P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCD[例5]y1y2CRARB（2）畫彎矩圖找危險截面P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDy1y2CRARBB截面彎矩最大，是危險截面2.5kNm4kNmMx－+(2)B截面的強度P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDy1y2C負彎矩，上邊緣受拉，下邊緣受壓<[t]<[c]+-tcMB2.5kNm4kNmMx－+(3)C截面的強度P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDy1y2C正彎矩，下邊緣受拉，上邊緣受壓<[t]<[c]+-+-∴梁安全tcMC2.5kNm4kN·mMx－+討論：若將T字形梁倒置，梁是否安全？P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDy1y2Cy1y2CB截面的拉應力：梁的強度不夠。tcMB2.5kNm4kNmMx－+作業(yè)4§8–3梁彎曲時的切應力QτMσx切應力互等定律——單元體互相垂直平面上的切應力大小相等，其方向都指向或背向兩平面的交線。ττyxzdxdzdyhbx一、

矩形截面梁1、兩點假設：

（1）切應力與剪力平行；§8–3梁彎曲時的切應力bτyzyQxzyx（2）切應力沿寬度均勻分布。QyτbτyzyQzbyyQy*cA*∴當y=0時，t方向：與橫截面上剪力方向一致；t大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植迹馗叨萮分布為拋物線。最大切應力為平均切應力的1.5倍。zbyyQy*cA*當y=0時，矩形截面彎曲切應力分布規(guī)律：FFF試計算圖示矩形截面簡支梁的1-1截面上a點的正應力和切應力。[例題]111m1.2m1mF=8kN7540150a解:BbyzτyQ

分為腹板和翼板：翼板上除了有平行于Q的切應力分量外，還有水平分量。腹板為狹長矩形，可以采用前述的兩個假設。采用相同的推導，得到切應力公式：二、工字形截面梁

BbyzyA2A1BbyτyQy=0時，此時腹板上的切應力可以看成近似的均勻分布。A腹

—腹板的面積。因為tmax≈tminBbyzτyQ對工字形型鋼，切應力由下式計算：zyb在梁的橫截面上，最大正應力發(fā)生梁截面的上下邊緣，最大切應力發(fā)生在截面的中性軸處。三、切應力強度條件切應力強度條件：Msmaxtmax在梁的橫截面上，最大正應力發(fā)生梁截面的上下邊緣，最大切應力發(fā)生在截面的中性軸處。三、切應力強度條件切應力強度條件：Msmaxtmax細長梁的控制因素通常是彎曲正應力，只有在下述情況下，需要進行梁的彎曲切應力強度校核：（2）腹板的厚度較薄時，要校核腹板的切應力。（1）梁的跨度較短，或在支座附近作用較大的載荷，以致梁的M較小，而Q較大時。（3）經鉚接、焊接或膠合而成的梁，應對焊縫、鉚釘、膠合面進行切應力校核。矩形截面木梁如圖，[]=7MPa，[]=0.9MPa，校核梁的強度。[例7]q=3.6kN/mABL=3m120180zy解：q=3.6kN/mABL=3m（2）校核強度∴梁安全！(1)畫內力圖找危險截面Q–+xxM+4.05求C截面左側a點的彎曲正應力和切應力。[例11]+–200kN50kN+az15152701209250kNABC1.6m2m解：求出C截面左側的內力a曲正應力：切應力：[例9]已知：P=30kN，l=5m，大梁由20a工字鋼制成，[]=170MPa，[]=100MPa，校核梁的強度。zy200PABlPABl解：（1）彎曲正應力強度PABl/2l/2小車在跨中時，梁內彎矩最大，+（2）彎曲切應力強度小車在支座附近時，梁內剪力最大，PABlRARB+–RARB∴梁安全！zy200d[例10]10zy12010200PAB單位：m已知：P=50kN，大梁由20a工字鋼制成，用120×10mm的鋼板加強，[]=152MPa，[]=95MPa，校核梁的強度。解：（1）跨中彎曲正應力強度PABPABl/2l/2CDzy12010200+小車在D截面時+PABl/2l/2CDPAB3.61.4D+（2）D截面彎曲正應力強度強度不夠，鋼板需加長。（3）彎曲切應力強度小車在支座附近時，梁內剪力最大，+–RARB∴梁切應力強度足夠！zy200dPABl/2l/2CDRARB[例12]已知：M=40kN·m，q=20kN/m，[]=170MPa，[]=100MPa，試選擇工字鋼型號。RAAB4m2mq1mRBMRAAB4m2mq1mRBmQ+解：畫Q

、M圖（1）彎曲正應力強度查表，選擇No.20a工字鋼，Wz=237cm3M+RAAB4m2mq1mRBmQ+（2）彎曲切應力強度梁切應力強度足夠！∴選擇No.20a工字鋼。注意：先按正應力強度選擇型號，再校核切應力強度。M+例8-9

20a工字鋼梁的支承和受力情況如圖所示。若[σ]=160MPa，試求許可載荷F。解：1.建立坐標系ACDBFF2m2m2mxyFAyFBFAx2.計算支反力3.內力計算xFS/NF/32F/3F/3xM/N·m2F/32F/34.強度計算查表得：其中，例8-10

長度為l=2.5m的外伸梁，梁上作用均勻荷載q=24kN/m，許用應力[σ]=160MPa,[τ]=100MPa，試選工字鋼型號。解：1.建立坐標系ACqxy2m0.5mBFAyFBFAx2.計算支反力3.計算MmaxxFS/kNxM/kN·m22.525.512Mmaxx4.強度計算查表得：12.6號例8-10

長度為l=2.5m的外伸梁，梁上作用均勻荷載q=24kN/m，許用應力[σ]=160MPa,[τ]=100MPa，試選工字鋼型號。解：xxxACqy2m0.5mBFS/kNM/kN·m22.525.512Mmaxx4.強度計算12.6號查表：12.6號？切應力校核：強度滿足！作業(yè)5.145.151.降低Mmax

合理安排支座合理布置載荷§8-4

梁強度的合理設計合理布置支座FFMmax

=Fl/4合理布置支座合理布置載荷FFl/4Fl/82.增大WZ合理設計截面合理放置截面合理設計截面合理放置截面3、等強度梁

Fl/4本章小結彎曲正應力及其強度條件彎曲切應力及其強度條件截面幾何參數提高梁強度的措施彎曲中心圓截面矩形截面研究目的解決梁的彎曲變形計算和剛度校核問題；解決超靜定梁的強度和變形計算問題；解決彈性振動的計算問題。第九章梁彎曲的工程理論(Ⅱ):變形分析和剛度設計§9-1

平面彎曲直梁的變形受彎構件強度、剛度FqCC’⊿xw撓度w——橫截面形心在垂直軸線方向的線位移。轉角θ——橫截面繞中性軸轉過的角度。一、撓度和轉角由于小變形，橫截面形心的軸向位移⊿x忽略不計。wxFxwCqC’二、撓曲軸撓曲軸方程：撓度和轉角關系為：由于小變形，橫截面形心的軸向位移忽略不計。平截面假定wαFxwCqC’wuθ三、撓曲軸的近似微分方程推導純彎曲正應力公式時，得到：對橫力彎曲，忽略剪力對變形的影響1.忽略剪力對變形的影響所以2.曲率計算的近似由彎矩的正負號規(guī)定可得，彎矩的符號與撓曲軸的二階導數符號一致，所以撓曲軸的近似微分方程為：由上式進行積分，就可以求出梁橫截面的轉角和撓度?！?-2彎曲位移的計算撓曲軸的近似微分方程為：積分一次得轉角方程為：再積分一次得撓度方程為：積分常數C、D由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。位移邊界條件

－彈簧變形積分法解題步驟1.用整體平衡條件求出梁的支座反力；2.用截面法求出梁的彎矩方程；3.對撓曲線近似微分方程積分兩次；4.利用邊界等條件確定積分常數；5.確定轉角方程和撓度方程；6.求出指定截面的撓度和轉角。例9-1求梁的轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和最大撓度，梁的EI已知。解1）由梁的整體平衡分析可得：2）寫出x截面的彎矩方程3）列撓曲軸近似微分方程并積分積分一次再積分一次ABF4）由位移邊界條件確定積分常數代入求解5）確定轉角方程和撓度方程6）確定最大轉角和最大撓度ABF例9-2求梁的轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和最大撓度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整體平衡分析得：2）彎矩方程AC段：CB段：3）列撓曲軸近似微分方程并積分AC段：CB段：4）由邊界條件確定積分常數代入求解，得位移邊界條件光滑連續(xù)條件5）確定轉角方程和撓度方程AC段：CB段：6）確定最大轉角和最大撓度令得，令得，例9-3

變截面懸臂梁受力如圖，用直接積分法求自由端處的撓度和轉角。l/2l/2BFI2IACwx例9-3計算自由端的撓度和轉角。解1）彎矩方程AC段：CB段：2）列撓曲線近似微分方程并積分AC段：CB段：l/2l/2BFI2IACwx解3）邊界條件l/2l/2BFI2IACwx4）確定方程例9-3計算自由端的撓度和轉角。AC段：CB段：5）自由端撓度、轉角作業(yè)6.26.4梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉角，等于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉角的代數和。這就是計算彎曲變形的疊加原理。疊加法:解題思路把梁上的載荷分解成幾個簡單載荷，查表得到指定截面上各載荷單獨作用時的撓度和轉角，再按代數和疊加，即得到梁在復雜載荷作用下產生的撓度和轉角。解題步驟1.載荷的分解2.查表求解3.疊加求和§9-3疊加法計算彎曲位移例

已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度wC

；B截面的轉角B1）將梁上的載荷分解2）查表得3種情形下C截面的撓度和B截面的轉角。解wxwC1wC2wC3www3）應用疊加法，將簡單載荷作用時的結果求和

wC1wC2wC3wwww例

已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度wC和轉角C1）首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形為了利用梁全長承受均布載荷的已知結果，先將均布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效果，在AB段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。解ww3）將結果疊加

2）再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各自C截面的撓度和轉角。www利用變形表求C點撓度。[例]BPACaaMBACaaq解、(1)載荷分解如圖(2)查表計算簡單載荷引起的變形。BPACaaf1f2θc1qBPACaaCBAq[例]按疊加原理求跨中G點撓度。PACPEDGaaaPACaaaACPaaaf1f2解：∴[例]求B點撓度。FfBCDBaaFfBCDBaaFfB1CDBaaFfB2CDBaaFa用逐段剛化法求B點撓度。F§9–4梁的剛度條件≤≤PABlPl其中[]稱為許用轉角；稱為許用撓度。PlPABlPFABPl/2l/2提高梁的剛度的措施：減小梁的跨度l、增大梁的抗彎剛度EI、改變梁的結構。提高彎曲剛度的一些措施zy在面積相等的情況下，選擇慣性矩大的截面（1）合理選取截面形狀zDyzhbzhb工字形、箱形截面比較好對于鋼材，采用高強度鋼可以大大提高梁的強度，但卻不能提高梁的剛度，因為高強度鋼和普通鋼的彈性模量E值是相近的。ABPl/2l/2不同類材料，E值相差很多（鋼E=200GPa,銅E=100GPa），故可選用不同的材料以達到提高剛度的目的。但是，改換材料，其原材料費用也會隨之發(fā)生很大的改變！qLL/5qL/5qL/2L/2（2）改變梁的結構作業(yè)6.56.10§9–5簡單靜不定梁AqlBAqlB靜定梁靜不定梁一次靜不定彎曲變形靜定梁靜不定梁一次靜不定AA解題步驟：(4)比較原系統和相當系統的變形，解出多余約束反力。RBAqlB用比較變形法解靜不定梁（1）去掉多余約束得到靜定基。qAB（2）加上原載荷。（3）加上多余約束反力，得到相當系統。（5）在相當系統上求其它量。已知：q、EI、l試畫出梁的彎矩圖=比較變形法qAB+RBABRBqlAB方向假設正確，向上解：變形協調方程：xFS+－xM－+畫剪力圖和彎矩圖qlRBABRAMAqlABxFS+xM－最大彎矩將增加3倍若沒有支座B，則梁內最大彎矩將增加：q變形協調方程：靜定基的另一種取法：AqlBABlMA[例10]求梁的支反力。ABaaCq變形表：BMeAlfBθBBPAlfBθBABaaCqABaaCqFBABaaCqFBABaaCFBABaaCqABaaCFABa