6/6大題保分練(三)三角函數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、解析幾何、立體幾何、選考2選11．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且3sinC＋2eq\r(3)sin2eq\f(C,2)＝eq\r(3)，c＝2eq\r(3)，________，求△ABC的周長(zhǎng)．從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題的橫線中，然后對(duì)題目進(jìn)行求解．條件①：2eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝bc；條件②：S△ABC＝eq\r(3)a，條件③：a(acosC＋ccosA)＝eq\f(\r(3),2)b2.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．[解]由3sinC＋2eq\r(3)sin2eq\f(C,2)＝eq\r(3)，得3sinC＋eq\r(3)(1－cosC)＝eq\r(3)，即3sinC－eq\r(3)cosC＝0，所以tanC＝eq\f(\r(3),3)，因?yàn)镃∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,6).選擇條件①：由2eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝bc，得2bc·cosA＝bc，所以cosA＝eq\f(1,2)，因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3)，所以B＝π－A－C＝eq\f(π,2)，所以b＝2c＝4eq\r(3)，a＝eq\r(b2－c2)＝6，所以△ABC的周長(zhǎng)為6eq\r(3)＋6.選擇條件②：由S△ABC＝eq\r(3)a，得eq\f(1,2)absinC＝eq\r(3)a，所以b＝4eq\r(3)，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，所以12＝48＋a2－12a，即a2－12解得a＝6，所以△ABC的周長(zhǎng)為6eq\r(3)＋6.選擇條件③：由a(acosC＋ccosA)＝eq\f(\r(3),2)b2及正弦定理得：a(sinAcosC＋sinCcosA)＝eq\f(\r(3),2)bsinB，所以asin(A＋C)＝eq\f(\r(3),2)bsinB，所以asinB＝eq\f(\r(3),2)bsinB，即a＝eq\f(\r(3),2)b，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，所以12＝eq\f(3,4)b2＋b2－eq\f(3,2)b2，所以b＝4eq\r(3)，a＝eq\f(\r(3),2)b＝6，所以△ABC的周長(zhǎng)為6eq\r(3)＋6.2．某種植園在芒果臨近成熟時(shí)，隨機(jī)從一些芒果樹上摘下100個(gè)芒果，其質(zhì)量分別在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400](單位：克)中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得頻率分布直方圖如圖所示．(1)估計(jì)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；(2)現(xiàn)按分層抽樣的方法從質(zhì)量為[250,300)，[300,350)的芒果中隨機(jī)抽取6個(gè)，再?gòu)倪@6個(gè)中隨機(jī)抽取3個(gè)，求這3個(gè)芒果中恰有1個(gè)在[300,350)內(nèi)的概率；(3)某經(jīng)銷商來(lái)收購(gòu)芒果，以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均值，用樣本估計(jì)總體，該種植園中還未摘下的芒果大約還有10000個(gè)，經(jīng)銷商提出如下兩種收購(gòu)方案：A：所有芒果以10元/千克收購(gòu)；B：對(duì)質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個(gè)收購(gòu)，高于或等于250克的以3元/個(gè)收購(gòu)．通過(guò)計(jì)算確定該種植園選擇哪種方案獲利更多？[解](1)由頻率分布直方圖可得，前3組的頻率和為(0.002＋0.002＋0.003)×50＝0.35<0.5，前4組的頻率和為(0.002＋0.002＋0.003＋0.008)×50＝0.75>0.5，所以中位數(shù)在[250,300)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則有0.35＋(x－250)×0.008＝0.5，解得x＝268.75.故中位數(shù)為268.75.(2)設(shè)質(zhì)量在[250,300)內(nèi)的4個(gè)芒果分別為A，B，C，D，質(zhì)量在[300,350)內(nèi)的2個(gè)芒果分別為a，b.從這6個(gè)芒果中選出3個(gè)的情況共有(A，B，C)，(A，B，D)，(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，D)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，D，a)，(A，D，b)，(A，a，b)，(B，C，D)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，D，a)，(B，D，b)，(B，a，b)，(C，D，a)，(C，D，b)，(C，a，b)，(D，a，b)，共計(jì)20種，其中恰有一個(gè)在[300,350)內(nèi)的情況有(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，D，a)，(A，D，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，D，a)，(B，D，b)，(C，D，a)，(C，D，b)，共計(jì)12種，因此概率P＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).(3)方案A：(125×0.002＋175×0.002＋225×0.003＋275×0.008＋325×0.004＋375×0.001)×50×10000×10×0.001＝25750元．方案B：由題意，得低于250克有(0.002＋0.002＋0.003)×50×10000×2＝7000元；高于或等于250克有(0.008＋0.004＋0.001)×50×10000×3＝19500元，總計(jì)7000＋19500＝26500元．由于25750<26500，故B方案獲利更多，應(yīng)選B方案．3．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虛軸長(zhǎng)為4，直線2x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過(guò)點(diǎn)T(2,0)的直線l交雙曲線C于點(diǎn)M，N(點(diǎn)M在第一象限)，記直線MA斜率為k1，直線NB斜率為k2，求證：eq\f(k1,k2)為定值．[解](1)∵虛軸長(zhǎng)為4，∴2b＝4，即b＝2，∵直線2x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線，∴eq\f(b,a)＝2，∴a＝1，故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,4)＝1.(2)證明：由題意知，A(－1,0)，B(1,0)，設(shè)直線l的方程為x＝ny＋2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－\f(y2,4)＝1,x＝ny＋2))，得(4n2－1)y2＋16ny＋12＝0，∴y1＋y2＝－eq\f(16n,4n2－1)，y1y2＝eq\f(12,4n2－1)，∴ny1y2＝－eq\f(3,4)(y1＋y2)，∵直線MA的斜率k1＝eq\f(y1,x1＋1)，直線NB的斜率k2＝eq\f(y2,x2－1)，∴eq\f(k1,k2)＝eq\f(\f(y1,x1＋1),\f(y2,x2－1))＝eq\f(y1ny2＋1,y2ny1＋3)＝eq\f(ny1y2＋y1,ny1y2＋3y2)＝eq\f(－\f(3,4)y1＋y2＋y1,－\f(3,4)y1＋y2＋3y2)＝－eq\f(1,3)為定值．4.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝AC＝2，∠ABC＝45°，E是棱PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是平面ABE與棱PD的交點(diǎn)．(1)證明：平面PBC⊥平面ABE；(2)設(shè)三棱錐F-ACD的體積為V1，四棱錐C-ABEF的體積為V2，求eq\f(V1,V2)的值．[解](1)證明：因?yàn)锳B＝AC，∠ABC＝45°，所以AB⊥AC，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以PA⊥AB，因?yàn)锳C∩PA＝A，AC?平面PAC，PA?平面PAC，所以AB⊥平面PAC，由PC?平面PAC，所以AB⊥PC，連接AE，由PA＝AC且PE＝EC，所以AE⊥PC，又AE∩AB＝A，AB，AE?平面ABE，所以PC⊥平面ABE，因?yàn)镻C?平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABE.(2)由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB∥CD，又AB?平面PCD，CD?平面PCD，所以AB∥平面PCD，因?yàn)槠矫鍭BE∩平面PCD＝EF，所以AB∥EF，所以PF＝FD，EF＝eq\f(1,2)CD＝1，所以V1＝eq\f(1,2)VP-ACD＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AC×CD×PA＝eq\f(2,3)，又由(1)可知，AE⊥EF，CE⊥平面ABEF，所以V2＝eq\f(1,3)S四邊形ABEF×CE＝eq\f(1,3)×eq\f(AB＋EF,2)×AE×CE＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(2,3).5．選考題：請(qǐng)考生在以下兩題中任選一題作答．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\r(3)cosα,y＝\r(3)sinα))(α為參數(shù))，直線l的方程為y＝kx.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)曲線C與直線l交于A，B兩點(diǎn)，若|OA|＋|OB|＝2eq\r(3)，求k的值．[解](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\r(3)cosα，,y＝\r(3)sinα))(α為參數(shù))，消去參數(shù)得其普通方程為x2－4x＋y2＋1＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcosθ＋1＝0.(2)設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝θ1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ∈R，θ1∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))))，其中θ1為直線l的傾斜角，代入曲線C得ρ2－4ρcosθ1＋1＝0.設(shè)A，B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，所以Δ＝16cos2θ1－4＞0，ρ1＋ρ2＝4cosθ1，ρ1ρ2＝1＞0，因?yàn)閨OA|＋|OB|＝|ρ1|＋|ρ2|＝|ρ1＋ρ2|＝2eq\r(3)，所以cosθ1＝±eq\f(\r(3),2)，滿足Δ＞0，所以θ1＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)，即l的傾斜角為eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)，則k＝tanθ1＝eq\f(\r(3),3)或－eq\f(\r(3),3).[選修4－5：不等式選講]已知函數(shù)f(x)＝|x－4a|＋|x|，a∈R(1)若不等式f(x)≥a2對(duì)?x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)實(shí)數(shù)m為(1)中a的最大值，若實(shí)數(shù)x，y，z滿足4x＋2y＋z＝m，求(x＋y)2＋y2＋z2的最小值．[解](1)因?yàn)閒(x)＝|x－4a|＋|x|≥|x－4a－x|＝4|所以a2≤4|a|，解得－4≤a≤4.故實(shí)數(shù)a