三角函數(shù)的應(yīng)用環(huán)節(jié)一三角函數(shù)的應(yīng)用（一）整體感知問題1你能列舉一些生活中具有周期性現(xiàn)象的例子嗎？前面已經(jīng)用三角函數(shù)模型刻畫過哪些周期性現(xiàn)象？答案：生活中周期性現(xiàn)象的例子大致有三種類型：（1）勻速圓周運動．如水流量穩(wěn)定條件下的筒車運動，鐘表指針的轉(zhuǎn)動，摩天輪的運動等；（2）物理學(xué)中的周期性現(xiàn)象．如彈簧振子運動，交變電流等；（3）生活中的周期性現(xiàn)象．如潮汐變化，一天當(dāng)中的氣溫變化，四季變化，生物鐘，波浪，音樂等．已經(jīng)用三角函數(shù)模型刻畫過勻速圓周運動．例如筒車運動、摩天輪的運動、鐘表指針的轉(zhuǎn)動等．新知探究1．問題研究1——簡諧運動問題2

觀看彈簧振子的運動視頻，振子運動過程中有哪些周期性現(xiàn)象？可以利用哪些變量之間的函數(shù)關(guān)系來刻畫振子運動過程中的周期性現(xiàn)象？彈簧振子的運動（如圖）．新知探究1．問題研究1——簡諧運動答案：振子離開中心位置的位移隨著時間呈周期性變化；振子所受的回復(fù)力隨著時間呈周期性變化．所以可以用振子離開中心位置的位移s與時間t之間的函數(shù)關(guān)系，也可以用振子所受的回復(fù)力F與時間t之間的函數(shù)關(guān)系來刻畫其運動過程中周期性現(xiàn)象．1．問題研究1——簡諧運動

例1

某個彈簧振子在完成一次全振動的過程中，時間t（單位：s）與位移y（單位：mm）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如表所示．試根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定這個振子的位移關(guān)于時間的函數(shù)解析式．新知探究2．建模解模新知探究問題3例1中沒有給出振子的位移關(guān)于時間的函數(shù)模型，根據(jù)以往的數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗，我們應(yīng)該按照什么樣的流程完成這個建模過程？

答案：

搜集數(shù)據(jù)，畫散點圖——觀察散點圖并進行函數(shù)擬合，選擇函數(shù)模型——利用數(shù)據(jù)信息，求解函數(shù)模型．

活動：

教師或者學(xué)生畫出散點圖．2．建模解模新知探究問題4觀察畫出的散點圖，你認為可以用怎樣的函數(shù)模型進行刻畫位移y隨時間t的變化規(guī)律？

答案：

根據(jù)散點圖，分析得出可以用y=Asin(ωt+φ)這個函數(shù)模型進行刻畫．問題5由數(shù)據(jù)表和散點圖，你將如何求出函數(shù)的解析式？

答案：

依據(jù)數(shù)據(jù)表和散點圖，可得A=20，T=60s，求得ω=

，然后將點（0，－20）的坐標(biāo)代入解析式y(tǒng)=20sin(

t+φ)，解得φ=－

+2kπ，k∈Z，所以函數(shù)的解析式為y=20sin(

t－

)，t∈[0，+∞)．2．建模解模新知探究

教師補充：現(xiàn)實生活中存在大量類似彈簧振子的運動，如鐘擺的擺動，水中浮標(biāo)的上下浮動，琴弦的震動，等等．這些都是物體在某一中心位置附近循環(huán)往復(fù)的運動．在物理學(xué)中，把物體受到的力（總是指向平衡位置）正比于它離開平衡位置的距離的運動稱為“簡諧運動”．可以證明，在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系下，簡諧運動可以用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0．描述簡諧運動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與這個解析式中的常數(shù)有關(guān)：A就是這個簡諧運動的振幅，它是作簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離；2．建模解模新知探究ωx+φ稱為相位；x=0時的相位φ稱為初相.簡諧運動的周期是

，它是作簡諧運動的物體往復(fù)運動一次所需要的時間；

簡諧運動的頻率是

，它是作簡諧運動的物體在單位時間內(nèi)往復(fù)運動的次數(shù)；2．建模解模新知探究

問題6例1中簡諧運動的振幅、周期與頻率各是多少？相位、初相分別是什么？

答案：振幅A＝20mm，周期T＝

s，頻率f＝

次，相位為

t－

，

初相為－

．3．問題研究2——交變電流新知探究例2如圖3（1）所示的是某次實驗測得的交變電流i（單位：A）隨時間t（單位：s）變化的圖象．將測得的圖象放大，得到圖3（2）．（1）求電流i隨時間t變化的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)

時，求電流i．圖3（1）圖3（2）新知探究問題7觀察圖象，交變電流i隨時間t的變化滿足怎樣的函數(shù)模型？其中每個參數(shù)的物理意義是什么？問題8

根據(jù)圖象3（2），你能說出電流的的最大值A(chǔ)，周期T，初始狀態(tài)（t=0）的電流嗎？由這些值，你能進一步完成例2的解答嗎？4．建模解模

答案：由交變電流的產(chǎn)生原理可知，電流i隨時間t的變化規(guī)律可以用i=Asin(ωt+φ)，t∈[0，+∞)來刻畫．其中A為振幅，

為周期，ωt+φ為相位，φ為初相．

答案：

由圖可知，A=5，T=

s，初始狀態(tài)的電流為4.33A．新知探究解：由圖3（2）可知，電流最大為5A，因此A=5；4．建模解模

所以電流i隨時間t變化的函數(shù)解析式是

電流變化的周期T=

s，即

=

s，解得ω=100π；再由初始狀態(tài)（t=0）的電流約為4.33A，可得sinφ=0.866，因此φ約為

．

．

當(dāng)

時，

；

當(dāng)

時，

；

當(dāng)

時，

；

當(dāng)

時，

；

當(dāng)

時，

．新知探究4．建模解模練習(xí)1如圖，一根絕對剛性且長度不變、質(zhì)量可忽略不計的線，一端固定，另一端懸掛一個沙漏．讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下鉛錘面內(nèi)做周期擺動．若線長lcm，沙漏擺動時離開平衡位置的位移為s（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是（1）當(dāng)l=25時，求沙漏的最大偏角（精確到0.0001rad）；（2）已知g=9.8m/s2，要使沙漏擺動的周期是1s，線的長度應(yīng)當(dāng)是多少（精確到0.1cm）?新知探究4．建模解模答：當(dāng)l=25時，沙漏的最大偏角為0.1203rad．解：（1）∵

，∴可得s的最大值為3．設(shè)偏角為θ，可得最大偏角滿足sinθ=

．利用計算器計算可得θ=0.1203rad．（2）沙漏擺動的周期為

，解得

，故

．答：要使沙漏擺動的周期是1s，線的長度l應(yīng)當(dāng)為24.8cm．新知探究4．應(yīng)用性質(zhì)練習(xí)2一臺發(fā)電機產(chǎn)生的電流是正弦式電流，電壓和時間之間的關(guān)系如圖所示．由圖象說出它的周期、頻率和電壓的最大值，并求出電壓U（單位：V）關(guān)于時間t（單位：s）的函數(shù)解析式．解：設(shè)電壓U關(guān)于時間t的函數(shù)是U=Asin(ωt+φ)，t∈[0，+∞)，根據(jù)圖象可得振幅A=311，周期T=0.02s，根據(jù)T=

，解得ω=100π．根據(jù)圖象過點（0.005，311），代入U=311sin(100πt+φ)，可得φ=2kπ，k∈Z．所以U=311sin(100πt)，t∈[0，+∞)．歸納小結(jié)問題9對