---帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界極值及多解問題突破有界磁場中臨界問題的處理方法突破有界磁場中臨界問題的處理方法考向1“放縮法”解決有界磁場中的臨界問題1.適用條件(1)速度方向一定，大小不同粒子源發(fā)射速度方向一定、大小不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)，這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑隨速度的變化而變化.(2)軌跡圓圓心——共線如圖所示(圖中只畫出粒子帶正電的情景)，速度v0越大，運(yùn)動(dòng)半徑也越大.可以發(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場后，它們運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心在垂直速度方向的直線PP,上.XXXXXXXXXXXX2.方法界定以入射點(diǎn)P為定點(diǎn)，圓心位于PP,直線上，將半徑放縮作軌跡，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“放縮法”.［典例1］如圖所示，垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場分布在正方形［典例1］如圖所示，垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場分布在正方形abcd區(qū)域內(nèi)，O點(diǎn)是cd邊的中點(diǎn).一個(gè)帶正電的粒子僅在洛倫茲力的作用下，從O點(diǎn)沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時(shí)間t0剛好從c點(diǎn)射出磁場.現(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從O點(diǎn)沿紙面以與Od成30°的方向，以大小不同的速率射入正方形內(nèi)，粒子重力不計(jì).那么下列說法中正確的是()A.若該帶電粒子從ab邊射出，它經(jīng)歷的時(shí)間可能為t0B.若該帶電粒子從bc邊射出，它經(jīng)歷的時(shí)間可能為5t3C.若該帶電粒子從cd邊射出，它經(jīng)歷的時(shí)間為5t3D.若該帶電粒子從ad邊射出，它經(jīng)歷的時(shí)間可能為2t3［解析］作出從ab邊射出的軌跡①、從bc邊射出的軌跡②、從cd邊射出的軌跡③和從ad邊射出的軌跡④.由帶正電的粒子從。點(diǎn)沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時(shí)間t0剛好從c點(diǎn)射出磁場可知，帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期是2t0.由圖可知，從ab邊射出經(jīng)歷的時(shí)間一定不大于5t0；從bc邊射出經(jīng)歷的時(shí)間一定不大于與；從cd邊射63出經(jīng)歷的時(shí)間一定是??；從ad邊射出經(jīng)歷的時(shí)間一定不大于t0，C正確.33［答案］C考向2“旋轉(zhuǎn)法”解決有界磁場中的臨界問題.適用條件(1)速度大小一定，方向不同帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)，它們?cè)诖艌鲋凶鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若射入初速度為v,則圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R=mV0.如圖所示.0qB(2)軌跡圓圓心——共圓帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在以入射點(diǎn)P為圓心、半徑R=有的圓上.qB.方法界定將一半徑為r=e的圓繞著入射點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)法”.qB［典例2］如圖所示，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=0.60T.磁場內(nèi)有一塊平面感光板ab,板面與磁場方向平行.XXX在距ab為l=16cm處，有一個(gè)點(diǎn)狀的a粒子放射源S,它向各個(gè)方向發(fā)射a粒子，a

q.粒子的速度都是v=3.0X106m/$.已知a粒子的比何m=5.0X107C/kg,現(xiàn)只考慮在紙面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的a粒子，求ab板上被a粒子打中區(qū)域的長度.［解題指導(dǎo)］過S點(diǎn)作ab的垂線，根據(jù)左側(cè)最值相切和右側(cè)最值相交計(jì)算即可.［解析］a粒子帶正電，故在磁場中沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，用R表示軌跡半徑，V2有qvB=mR由此得R瑞代入數(shù)值得R=10cm,可見2R〉l〉R因朝不同方向發(fā)射的a粒子的圓軌跡都過S,由此可知，某一圓軌跡在下圖中N左側(cè)與ab相切，則此切點(diǎn)P1就是a粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn).為確定P1點(diǎn)的位置，可作平行于ab的直線cd,cd到ab的距離為R,以S為圓心，R為半徑，作圓弧交cd于Q點(diǎn)，過Q作ab的垂線，它與ab的交點(diǎn)即為，即：NP1=「R2—(l—R)2=8cm再考慮N的右側(cè).任何a粒子在運(yùn)動(dòng)中離S的距離不可能超過2R,在N點(diǎn)右側(cè)取一點(diǎn)P2,取SP=20cm,此即右側(cè)能打到的最遠(yuǎn)點(diǎn)由圖中幾何關(guān)系得NP2=\(2R)2—12=12cm所求長度為P1P2=NP1+NP2代入數(shù)值得P1P2=20cm.［答案］20cm突破帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的多解問題突破帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的多解問題考向1帶電粒子電性不確定形成多解受洛倫茲力作用的帶電粒子,可能帶正電荷,也可能帶負(fù)電荷,在相同的初速度的條件下,正、負(fù)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡不同,導(dǎo)致形成多解.［典例3］如圖所示，寬度為d的有界勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,MM’和NN’是磁場左右的兩條邊界線.現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子沿圖示方向垂直磁場射入.要使粒子不能從右邊界NN,射出，求粒子入射速率的最大值為多少？MNTOC\o"1-5"\h\z?xx:?1?1?hh［解題指導(dǎo)］由于粒子電性不確定，所以分成正、負(fù)粒子討論，不從NN,射出的臨界條件是軌跡與NN,相切.［解析］題目中只給出粒子“電荷量為q”，未說明是帶哪種電荷，所以分情況討論.若q為正電荷，軌跡是如圖所示的上方與NN,相切的4圓弧，則軌道半徑mvBqmvBq又d=R解得曠=（”⑵阿.m3若q為負(fù)電荷，軌跡是如圖所示的下方與NN,相切的4圓弧，則軌道半徑R/R/mv,

Bq,R,又d=R,+不2(2—2)Bqd解得v'二—m—「林生］（2+2）Bqd（2—2）Bqd.［答案］（q為正電何）或m（q為負(fù)電何）考向2磁場方向不確定形成多解有些題目只告訴了磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向，此時(shí)必須要考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定而形成的多解.［典例4］（多選）一質(zhì)量為m、電荷量為q的負(fù)電荷在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中繞固

定的正電荷沿固定的光滑軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若磁場方向垂直于它的運(yùn)動(dòng)平面，且作用在負(fù)電荷的電場力恰好是磁場力的三倍，則負(fù)電荷做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度可能是（不計(jì)重力）（）A.mR3qBB.A.mC.mD.qB

mC.mD.qB

m［解析］根據(jù)題目中條件“磁場方向垂直于它的運(yùn)動(dòng)平面”，磁場方向有兩種可能，且這兩種可能方向相反.在方向相反的兩個(gè)勻強(qiáng)磁場中，由左手定則可知負(fù)電荷所受的洛倫茲力的方向也是相反的.當(dāng)負(fù)電荷所受的洛倫茲力與電場力方向相同時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律可知4Bqv=mV2,得丫=噌，此種情況下，負(fù)電荷運(yùn)動(dòng)的角速度為3=V=4Bq；當(dāng)負(fù)電荷所受的RmRm洛倫茲力與電場力方向相反時(shí),有2Bqv=mv2,丫二等,此種情況下,負(fù)電荷運(yùn)動(dòng)的角速度v2Bq為3=R=與"，應(yīng)選A、C.［答案］AC考向3臨界狀態(tài)不唯一形成多解如圖所示，帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場時(shí)，由于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧狀，因此，它可能直接穿過去了，也可能轉(zhuǎn)過180°從入射界面反向飛出，于是形成了多解.如圖所示.［典例5］所示.［典例5］（多選）長為l的水平極板間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,板間距離也為1,板不帶電.現(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子（不計(jì)重力），從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁感線以速度v水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是（）A.使粒子的速度v<Bqlb.使粒子的速度v>54m4C.使粒子的速度v>BqlD.使粒子的速度v滿足"“<^^［解析］帶電粒子剛好打在極板右邊緣，有r2=(r-l)+12,又因r=緊，解得v=誓；1121Bq14m粒子剛好打在極板左邊緣，有r2=1=B2，解得凡=野，故A、B正確.［答案］AB考向4帶電粒子運(yùn)動(dòng)的往復(fù)性形成多解空間中部分是電場，部分是磁場，帶電粒子在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)往往具有往復(fù)性，因而形成多解.［典例6］如圖所示，在x軸上方有一勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；x軸下方有一勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度為E.屏MN與y軸平行且相距L.一質(zhì)量m、電荷量為e的電子，在y軸上某點(diǎn)A自靜止釋放，如果要使電子垂直打在屏MN上，那么：(1)電子釋放位置與原點(diǎn)O的距離s需滿足什么條件？(2)電子從出發(fā)點(diǎn)到垂直打在屏上需要多長時(shí)間？［解題指導(dǎo)］解答本題可分“兩步走”：(1)定性畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖.(2)應(yīng)用歸納法得出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和L的關(guān)系.

［解析］⑴在電場中，電子從A-O,動(dòng)能增加eEs=1mv0在磁場中，電子偏轉(zhuǎn)，半徑為mvr=eB0據(jù)題意，有(2n+1)r=LeL2B2所以S=2Em(2n+1)2(n=0,1,2,3'”)2nm"er,、BL2nm"er,、BL,、nm,、⑵萬十(2n+1)2eB(n=0,1,2,3,…)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=(2n+1)［；'2s+；+n；,其中a=RT=a42m整理后得tuF+^n+D旃SN0,1,2,3,…).eL2B2［答案］(1)s=2Em(2n+1)2(n=0,1,2,3,…)專項(xiàng)精練.［放縮法的應(yīng)用］如圖所示，有一個(gè)正方形的勻強(qiáng)磁場區(qū)域abcd,e是ad的中點(diǎn)，f是cd的中點(diǎn)，如果在a點(diǎn)沿對(duì)角線方向以速度v射入一帶負(fù)電的粒子，恰好從e點(diǎn)射出，則()A.如果粒子的速度增大為原來的兩倍，將從d點(diǎn)射出B.如果粒子的速度增大為原來的三倍，將從f點(diǎn)射出C.如果粒子的速度不變，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，也將從d點(diǎn)射出D.只改變粒子的速度使其分別從e、d、f點(diǎn)射出時(shí)，從e點(diǎn)射出所用時(shí)間最短答案：A解析：作出示意圖如圖所示，根據(jù)幾何關(guān)系可以看出，當(dāng)粒子從d點(diǎn)射出時(shí)，軌道半徑增大為原來的兩倍，由半徑公式R=岑可知，速度也增大為原來的兩倍，選項(xiàng)qBA正確，顯然選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)粒子的速度增大為原來的四倍時(shí)，才會(huì)從f點(diǎn)射出，選項(xiàng)B錯(cuò)誤;粒子的周期公式1=小，可見粒子的周期與速度無關(guān)，在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間取決qB于其軌跡圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角，所以從e、d射出時(shí)所用時(shí)間相等，從f點(diǎn)射出時(shí)所用時(shí)間最短，故D錯(cuò)誤.b2.［旋轉(zhuǎn)法的應(yīng)用］如圖所示，在真空中坐標(biāo)xOy平面的x>0區(qū)域內(nèi)，有磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0X10-2T的勻強(qiáng)磁場，方向與xOy平面垂直，在x軸上的P(10,0)點(diǎn)，有一放射源，在xOy平面內(nèi)向各個(gè)方向發(fā)射速率v=104m/s的帶正電的粒子，粒子的質(zhì)量為m=1.6X10-25kg,電荷量為q=1.6X10-i8C,求帶電粒子能打到y(tǒng)軸上的范圍.XXXXTOC\o"1-5"\h\zPx/cmxxkx■鼠x乂XXXX答案：一10?10%”cm解析：帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)由牛頓第二定律得:v2qvB=m—Rmv解得：R=qB=0.1m=10cm如圖所示，當(dāng)帶電粒子打到y(tǒng)軸上方向的A點(diǎn)與P連線正好為其圓軌跡的直徑時(shí)，A點(diǎn)即為粒子能打到y(tǒng)軸上方的最高點(diǎn).因OP=10cm,AP=2R=20cm則OA=AP2-OP2=I0\,|f3cm當(dāng)帶電粒子的圓軌跡正好與y軸下方相切于B點(diǎn)時(shí)，若圓心再向左偏，則粒子就會(huì)從縱軸離開磁場，所以B點(diǎn)即為粒子能打到y(tǒng)軸下方的最低點(diǎn)，易得OB=R=10cm,綜上所述，帶電粒子能打到y(tǒng)軸上的范圍為一10?10\13cm.3.［帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界問題］如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy的第四象限有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，一質(zhì)量為m=5.0X10-8kg、電荷量為q=1.0X10-6C的帶正電粒子從靜止開始經(jīng)U°=10V的電壓加速后，從P點(diǎn)沿圖示方向進(jìn)入磁場，已知OP=30cm(粒子重力不計(jì)，sin37°=0.6,cos37°=0.8).⑴求帶電粒子到達(dá)⑴求帶電粒子到達(dá)P點(diǎn)時(shí)速度V的大??；⑵若磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2.0T,粒子從x軸上的Q點(diǎn)離開磁場，求OQ的距離;⑶若粒子不能進(jìn)入乂軸上方，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B,滿足的條件.答案：(1)20m/s(2)0.90m(3)B,>5.33T解析：(1)對(duì)帶電粒子的加速過程，由動(dòng)能定理有qU°=2mv2代入數(shù)據(jù)得：v=20m/s.(2)帶電粒子僅在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有mV2qvB=n得區(qū)=mv得區(qū)=mvqB代入數(shù)據(jù)得：R=0.50m代入數(shù)據(jù)得：R=0.50mop_而cos53°=Q50m故圓心一定在x軸上，軌跡如圖甲所示由幾何關(guān)系可知：OQ=R+Rsin53°故OQ=0.90m.甲o(hù)37。乙甲o(hù)37。乙⑶帶電粒子恰不從⑶帶電粒子恰不從x軸射出(如圖乙所示)，由幾何關(guān)系得:OP>R,+R/cos53°R'=qm’②由①②并代入數(shù)據(jù)得：B,>16T^5.33TOP>R,+R/cos53°R'=qm’②由①②并代入數(shù)據(jù)得：B,>16T^5.33T（取“三”

3同樣正確）.4.［帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的多解問題］如圖甲所示M、N為豎直放置彼此平行的兩塊平板，板間距離為d，兩板中央各有一個(gè)小孔0、O,正對(duì)在兩板間有垂直于紙面方向的磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化如圖乙所示設(shè)垂直紙面向里的磁場方向?yàn)檎较?，甲乙有一群正離子在t=0時(shí)垂直于M板從小孔。射入磁場.已知正離子質(zhì)量為m、帶電荷量為q,正離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期都為T°,不考慮由于磁場變化而產(chǎn)生的電場的影響.求：⑴磁感應(yīng)強(qiáng)度B°的大??；⑵要使正離子從。,孔垂直于N板射出磁場，正離子射入磁場時(shí)