山東省新人教B版2022屆高三單元測試4必修2第一章《立體幾何初步》(本卷共150分，考試時間120分鐘)一、選擇題(本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．下列命題中，正確的是()A．經(jīng)過不同的三點有且只有一個平面B．分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線C．垂直于同一個平面的兩條直線是平行直線D．垂直于同一個平面的兩個平面平行解析：選中，可能有無數(shù)個平面，B中，兩條直線還可能平行，相交，D中，兩個平面可能相交．2．有一個幾何體的三視圖及其尺寸如圖(單位：cm)，則該幾何體的表面積及體積為()A．24πcm2,12πcm3 B．15πcm2,12πcm3C．24πcm2,36πcm3 D．以上都不正確解析：選A.由三視圖知該幾何體為一個圓錐，其底面半徑為3cm，母線長為5cm3．若正四棱錐的側(cè)面是正三角形，則它的高與底面邊長之比為()A．1∶2 B．2∶1C．1∶eq\r(2) \r(2)∶1解析：選C.設正四棱錐底邊長為a，則斜高為eq\f(\r(3),2)a，高h＝eq\r(\f(\r(3),2)a2－\f(1,2)a2)＝eq\f(\r(2),2)a∴高與底邊長之比為eq\f(\r(2),2)a∶a＝1∶eq\r(2).4．如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么這個圓錐的頂角(圓錐軸截面中兩條母線的夾角)是()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選C.本題主要考查圓錐側(cè)面展開圖的有關(guān)性質(zhì)及側(cè)面展開圖中心角公式．設圓錐底面半徑為r，母線長為l，依條件則有2πr＝πl(wèi)，如圖所示，∴eq\f(r,l)＝eq\f(1,2)，即∠ASO＝30°，∴圓錐頂角為60°.5．已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，在它的所有內(nèi)接圓柱中，全面積的最大值是()A．2πR2 \f(9,4)πR2\f(8,3)πR2 \f(5,2)πR2解析：選B.如圖所示，設圓柱底面半徑為r，則其高為3R－3r，全面積S＝2πr2＋2πr(3R－3r)＝6πRr－4πr2＝－4π(r－eq\f(3,4)R)2＋eq\f(9,4)πR2，故當r＝eq\f(3,4)R時全面積有最大值eq\f(9,4)πR2.6．在正四面體P－ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，下面四個結(jié)論中不成立的是()A．BC∥面PDFB．DF⊥面PAEC．面PDE⊥面ABCD．面PAE⊥面ABC解析：選C.因為BC∥DF，所以BC∥面PDF，即A正確；由中點有BC⊥PE，BC⊥AE，所以BC⊥平面PAE，所以DF⊥平面PAE，即B正確；由BC⊥平面PAE可得平面PAE⊥平面ABC，即D正確．7．在緯度為α的緯線圈上有A，B兩點，這兩點間的緯線圈上的弧長為πRcosα，其中R為地球半徑，則這兩點間的球面距離是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))R \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))RC．(π－2α)R D．(π－α)R解析：選C.由題意易求得球心角為π－2α，所以球面距離為(π－2α)R.8．正方體的外接球與內(nèi)切球的球面面積分別為S1和S2則()A．S1＝2S2 B．S1＝3S2C．S1＝4S2 D．S1＝2eq\r(3)S2解析：選B.不妨設正方體的棱長為1，則外接球直徑為正方體的體對角線長為eq\r(3)，而內(nèi)切球直徑為1，所以eq\f(S1,S2)＝(eq\f(\r(3),1))2＝3，所以S1＝3S2.9．棱錐被平行于底面的平面所截，當截面分別平分棱錐的側(cè)棱、側(cè)面積、體積時，相應的截面面積分別為S1、S2、S3，則()A．S1<S2<S3 B．S3<S2<S1C．S2<S1<S3 D．S1<S3<S2解析：選A.設底面積為S，由截面性質(zhì)可知．eq\f(S,S1)＝(eq\f(2,1))2?S1＝eq\f(1,4)S；eq\f(S,S2)＝eq\f(2,1)?S2＝eq\f(1,2)S；(eq\r(\f(S,S3)))3＝eq\f(2,1)?S3＝eq\f(1,\r(3,4))S.可知S1<S2<S3，故選A.10．平行六面體ABCD－A1B1C1D1的所有棱長都相等，且∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，則對角面B1BDD1是A．平行四邊形 B．菱形C．矩形 D．正方形解析：選在面ABCD內(nèi)的射影在底面的一條對角線上，∵AC⊥BD，∴AA1⊥BD，∴BB1⊥BD.又∵∠BAD＝60°，∴BD＝AB＝BB1，∴B1BDD1是正方形．11．一個正四棱臺(上、下底面是正方形，各側(cè)面均為全等的等腰梯形)的上、下底面的邊長分別為a，b，高為h，且側(cè)面積等于兩底面積之和，則下列關(guān)系正確的是()\f(1,h)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b) \f(1,h)＝eq\f(1,a＋b)\f(1,a)＝eq\f(1,b)＋eq\f(1,h) \f(1,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,h)解析：選側(cè)＝4×eq\r(h2＋\f(b－a,2)2)×eq\f(a＋b,2)＝a2＋b2，即4[h2＋(eq\f(b－a,2))2]·(a＋b)2＝(a2＋b2)2，化簡得h(a＋b)＝ab，∴eq\f(1,h)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).12.如圖所示，三棱錐P－ABC的高PO＝8，AC＝BC＝3，∠ACB＝30°，M、N分別在BC和PO上，且CM＝x，PN＝2x(x∈[0,3])，下列四個圖象大致描繪了三棱錐N－AMC的體積V與x的變化關(guān)系，其中正確的是()解析：選＝eq\f(1,3)S△AMC·NO＝eq\f(1,3)(eq\f(1,2)×3x×sin30°)·(8－2x)＝－eq\f(1,2)(x－2)2＋2，x∈[0,3]，故選A.二、填空題(本大題共4小題，請把答案填在題中橫線上)13．若一個底面邊長為eq\f(\r(6),2)，側(cè)棱長為eq\r(6)的正六棱柱的所有頂點都在一個球面上，則此球的體積為________．解析：球的直徑等于正六棱柱的體對角線的長．設球的半徑為R，由已知可得2R＝eq\r(\f(\r(6),2)×22＋\r(6)2)＝2eq\r(3)，R＝eq\r(3).所以球的體積為eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3)×(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.答案：4eq\r(3)π14．一根細金屬絲下端掛著一個半徑為1cm的金屬球，將它浸沒在底面半徑為2cm的圓柱形容器內(nèi)的水中，現(xiàn)將金屬絲向上提升解析：由題意知，金屬球的體積等于下降的水的體積，設水面下降hcm，則有eq\f(4π,3)＝π×22×h，解得h＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)15．如果規(guī)定：x＝y(tǒng)，y＝z，則x＝z叫做x、y、z關(guān)于等量關(guān)系具有傳遞性，那么空間三直線a、b、c關(guān)于相交、垂直、平行、異面、共面這五種關(guān)系具有傳遞性的是________．答案：平行16．點M是線段AB的中點，若點A、B到平面α的距離分別為4cm和6cm，則點M解析：(1)如圖(1)，當點A、B在平面α的同側(cè)時，分別過點A、B、M作平面α的垂線AA′、BB′、MH，垂足分別為A′、B′、H，則線段AA′、BB′、MH的長分別為點A、B、M到平面α的距離．由題設知AA′＝4cm，BB′＝6cm.因此MH＝eq\f(AA′＋BB′,2)＝eq\f(4＋6,2)＝5(cm)．(2)如圖(2)，當點A、B在平面α的異側(cè)時，設AB交平面α于點O，∵AA′∶BB′＝4∶6，∴AO∶OB＝4∶6.又∵M為AB的中點，∴MH∶AA′＝1∶4，即MH＝1(cm)．故點M到平面α的距離為5cm或答案：5cm三、解答題(本大題共6小題，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝(1)D，B，E，F(xiàn)四點共面；(2)若A1C交平面BDEF于R點，則P，Q，R三點共線證明：如圖所示．(1)連接B1D1.∵E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，∴EF∥B1D1又∵B1D1∥BD，∴EF∥BD，∴EF與BD共面，∴E，F(xiàn)，B，D四點共面．(2)∵AC∩BD＝P，∴P∈平面AA1C1C∩平面BDEF.同理，Q∈平面AA1C∵A1C∩平面DBFE＝R∴R∈平面AA1C1C∩∴P，Q，R三點共線．18．一球內(nèi)切于圓錐，已知球和圓錐的底面半徑分別為r，R，求圓錐的體積．解：如圖，設圓錐的高AD＝h，由△AOE∽△ACD，可得eq\f(AO,AC)＝eq\f(OE,CD)，即eq\f(h－r,\r(h2＋R2))＝eq\f(r,R)，解得h＝eq\f(2rR2,R2－r2)，所以圓錐的體積為V＝eq\f(π,3)R2·h＝eq\f(2πrR4,3R2－r2).19．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點，設AA1＝2，求三棱錐F－A1ED1的體積解：如圖，連接AE，容易證明AE⊥D1F又∵A1D1⊥AE，∴AE⊥平面A1FD1.∵A1D1∥AD，A1D1∥平面ABCD，設平面A1FD1∩平面ABCD＝FG，則A1D1∥FG且G為AB的中點，∴AE⊥平面A1GFD1，AE⊥A1G設垂足為點H，則EH即為點E到平面A1FD1的距離，∵A1A＝2，∴AE＝eq\r(5)，AH＝eq\f(2,\r(5))，∴EH＝eq\f(3,\r(5)).又∵S△A1FD1＝eq\f(1,2)S?A1GFD1＝eq\r(5)，∴VF－AED＝eq\f(1,3)×eq\r(5)×eq\f(3,\r(5))＝1，故三棱錐F－A1ED1的體積為1.20.如圖△ABC中，AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)AB，四邊形ABED是邊長為a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分別是EC、BD的中點．(1)求證：GF∥平面ABC；(2)求證：平面EBC⊥平面ACD；(3)求幾何體ADEBC的體積V.解：(1)證明：如圖，取BE的中點H，連接HF，GH.∵G，F(xiàn)分別是EC和BD的中點，∴HG∥BC，HF∥DE.又∵四邊形ADEB為正方形，∴DE∥AB，從而HF∥AB.∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC.∴平面HGF∥平面ABC.∴GF∥平面ABC.(2)證明：∵ADEB為正方形，∴EB⊥AB.又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC.∴BE⊥AC.又∵CA2＋CB2＝AB2，∴AC⊥BC.∴AC⊥平面BCE.從而平面EBC⊥平面ACD.(3)取AB的中點N，連接CN，∵AC＝BC，∴CN⊥AB，且CN＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)a.又平面ABED⊥平面ABC，∴CN⊥平面ABED.∵C－ABED是四棱錐，∴VC－ABED＝eq\f(1,3)SABED·CN＝eq\f(1,3)a2·eq\f(1,2)a＝eq\f(1,6)a3.21．如圖是一個直三棱柱(以A1B1C1為底面)被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC.已知A1B1＝B1C1＝1，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3.設點O是AB的中點，求證：OC∥平面A1B證明：作OD∥AA1交A1B1于點D，連接C1D，則OD∥BB1∥CC1.因為O是AB的中點，所以OD＝eq\f(1,2)(AA1＋BB1)＝3＝CC1，則四邊形ODC1C是平行四邊形，因此有OC∥C1D.因為C1D?平面C1B1A1且OC?平面C1B1A1，所以OC∥平面A1B22．如圖所示的三個圖中，上面的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖在下面畫出(單位：c