登登 進 萬 登路徑 與基金聯合提供一億課程補貼珍貴限額放 機會稍縱即學說獲取條件與限全程學考研800學+四六級120學超級系統教學與+常規(guī)課堂面授教1-預報名，鎖定超級補貼名額，立即獲得考 全程學習套裝考研800學+四六級120學超級系統教學與+常規(guī)課堂教 在校學生每省限額補貼1000額補貼600全程學習套裝考研800學+四六級120學超級系統教學與+常規(guī)網 1獲得超級全程學習套裝限額特大學費補貼，每人補貼學費1200元以前10002獲贈超級考研能量庫（標準版超級全程3獲贈180學時基礎課程與高級學習學4獲贈四六級完整課萬學海文考研超級套裝與其他考研機構課程對 我評萬學考研超級全程四六級：120學時924無考研單科：85至130與基金與基金聯合提供一億課程補 珍貴限額放 機會稍縱即 學獲得超級全程學習套裝限額特大學費補貼，每人補貼學費1200元以獲贈超級考研能量庫（標準版獲贈180學時基礎課程與高級學習獲贈四六級完整課登 進 萬 登路徑 學說獲取條件與限全程學考研800學+四六級120學超級系統教學與+常規(guī)課堂面授教1-預報名，鎖定超級補貼名額，立即獲得考超級能量庫，三天之內補齊余款獲取震撼研超級全程學習全程學習套裝考研800學+四六級120學超級系統教學與+常規(guī)課堂教 在校學生每省限額補貼1000額補貼600 全程學習套裝考研800學+四六級120學超級系統教學與+常規(guī)網萬學海文考研超級套裝與其他考研機構課程對 我評萬學考研超級全程四六級：120學時924無考研單科：85至130第五章多元函數微分學一、大綱內容與要只數學一的專屬內容:方向導數和梯度空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線二二、知識網多元函數二元函數的極限二元函數的連續(xù)偏導數的定偏導數與全微

全微分 復合函數求導法分學求導法隱函數求導 二元函數的二階泰勒公式(數學一要求三、基本內(一)多元函數、極限與連續(xù)多元函 二元函數的極,U(P0,意給定的正數，總存在正數PU(P0,f(P)Af(x,y)A

Af(xy當(xyx0y0

(x,y)(x0,y0

f(x,y)A.限存在;PP0P0APP0時f(x,y)A.如f(x,y) x2x4

,

kx趨于點O(0,0)0PO(0,0)時，其二重極限不是0因為當P沿曲線yx2趨于點O(0,0f(x,y)12證明二重極限不存在時，可以找兩條路徑，當動點P沿這兩條不同路徑趨于點P0時極二元函數的連續(xù)定義設二元函數f(Pf(xyD,P0x0y0DP0D如 (x,y)(x0,y0

f(xyf(x0y0f(xyP0x0y0連續(xù).(二)多元函數偏導數與全微偏導數的定zf(xyM0x0y0yy0x以增量x

f(x0xy0f(x0y0存在，則稱此極限為函zf(xy

(xy

f(x,y)limf(x0x,y0)f(x0,y0).類似地可以定義 全微分的定

x x0 如果zf(xy在點(xy的全增量zf(xxyyf(xy可表示為AxByo(),其中A,B不依賴于x,y而僅與x,y有關， (x)2(y)2,則稱函數zf(x,y)在點(x,y)可微分，稱AxBy為函數zf(x,y)在點(x,y)的全微分，記作dz，dzAx可微的必要條z如果函數zf(x,y)在(x,y)處可微，則該函數在(x,y)的偏導 x 數zf(x,y)在點M(x,y)處的全微分為dz dx 可微的充分條z如果函數zf(x,y)的偏導 在點(x,y)連續(xù)，則函數在該點可微分xdzzduzdv不管uv是中間變量還是自變量都成立，該性質叫全微分形式的不變性 (向導數與梯度(數學一要求方向導設函zfxyP0x0y0的某個鄰域內有定義，Px0tcosy0tsin是P的射線l上另一點.若limfx0tcosy0tsinfx0y0 zfxyP0x0y0點沿l方向的方向導數，記為l

x0,y0

limfx0tcos,y0tsinfx0,y0 如果zfxy在點P0x0y0可微分，則函數在該點沿任一方向l的方向導數存在

x0,y

cos

x,

0類似地可得三元函數ufxyz

P0x0,y0z0點沿l方向的方向導數的定義和充

cos

cos

其中cos、coscos是l方向的方向余弦梯義梯度gradfx,y 類似地可定義三元函數ufxyzgradfx0y0z0

i j PP (四) f(x,y)存(x,y)(x,y(五)高階偏導定2 2zfxy的兩個二階混合偏導數xy及yxDD2(六)多元復合函數求導法則(鏈式法則

2yxzzuz zz u v uy(七)隱函數的求導公一元隱函 設函數Fx,y在點Px0,y0的某一鄰域內具有連續(xù)偏導數， xFx0,y00，Fyx0,y00，則方程Fx,y0在點Px0,y0的某一鄰域內恒能唯一確 續(xù)且具有連續(xù)導數的函數yfx，它滿足yfx，并有dyFx，其中F xFy是二元函數Fxy分別xy的偏導數

二元隱函數設函數FxyzPx0y0z0的某一鄰域內具有連續(xù)偏導數，且F(x0y0z00,Fz(x0y0z00Fx,yz0Px0,y0z0的某一鄰域內恒能唯一確定續(xù)且具有連續(xù)偏導數的函數zfxyz0fx0y0，并有zFx，zFy Fx,Fy,Fz是三元函數Fx,y,z分別對中間變量x,y,z的偏導數由方程組所確定的隱函數(數學一、二要求(八)多元函數微分學的幾何應用(數學一要求xyz

t若三個函數都可導且不同0，則曲線Mx0,y0,z0處的切線方程x0(t0 xx0yy0zz0，y(t t0 t0 t0 z0(t0法平面方程 xxtyytzz 設曲面的方Fxyz0，M0x0y0z0是曲面上的一個點，并Fxyz的偏導數在M0點連續(xù)且不同時為0，則曲面過點M0的切平面方程為 xx0 yy0 zz0 M 00xx0y00(九)多元函數的極值及其求zfxyD，Px0y0D的內點，若P0的某個鄰域UP0D，使得對于該鄰域內異于P0的任何點xy，都有fxyfx0y0(fxyfx0y0則稱函數fx,yPx0y0取得極大(小)值Px0y0稱為極大(小)值點.極大、極小值fxx0y00fyx0y00.點x0y0為駐點zfxy在點x0y0的某鄰域內連續(xù)，且有一階及二階連續(xù)偏導數，又fxx0,y00fyx0,y00，令則AC20時具有極值，且A00時有極大(小)值AC20時沒有極值AC20是可能有極值，也可能沒有極值，需另作D上的最大值與最小值用比較法求.即比較駐點、偏導數不存在但連續(xù)的點處的函數值及在D的邊界上函數的最大、最小值而得.zfxy，在xy0條件下的(條件)Fx,yfx,yx,解聯立方程組Ffx,yx,y0求駐點，再由問題的實際意義確定極(最)值. x,y(十)二元函數的二階泰勒公式(數學一要求設函zfx,y在點x0,y0的某一鄰域內連續(xù)且有直到三階的連續(xù)偏導數x0h,y0k為此鄰域內任一點 1 f(x0h,y0k)f(x0,y0)hxkyf(x0,y0)2!hxky f(x0,y0) 1 3!hxkyf(x01h,y02k),(01,2

fx,yh hxk

x0,y0

x,y

fx,

h22

022

k22 hxky

x,y

x,y

x,y

0 0 0四、典型題1sinx2y,xy[5.1]f(xy xy

則fx(0,1) [例5.2]二元函數zf(x,y)在點(x0,y0)處存在一階連續(xù)偏導數是它在此點處可微的 ,(x,y)(0,[例5.3]二元函數f(x,y)x2 在點(0,0)處 (x,y)(0, (C)不連續(xù)，偏導數存在 x3 2,xy[5.4]f(xyx x2y2(I)證明limf(x,y)不存在 (II)求f(0,0),f(0, [5.5]若u

x

,則 y

[5.6]設uxyz求uuuxy[5.7]zx2y2)xyx2y2z2[例5.8]設zf(x,xy)二階偏導數連續(xù)，則xy 1

2[例5.9]設z f(xy)y(xx

f和

xy [5.10]zcos(uv),ux2y2vx/y求[5.11]zf(xxyx2y2f有一階連續(xù)偏導數，求z[5.12]zf(x2y2exyf

2xy題型三隱函數求導題型三隱函數求導[5.13]若函數usiny3zzz2yxz31xyx1y[5.14]zz(xyF(xzyz0F1F2 證明 [5.15]yg(xzzf(xzxy)0x、ydz[5.16]zz(x,yF(xaz,ybz)0F(uvazbz [5.17]f(xyz)exyz2zz(xyxyzxyz0xf(0,1,1) x[例5.18]設zx33xy2,則它在點(1,0)處 (A)取得極大值 [例5.19]設函數zf(x,y)的全微分為dzxdxydy,則點(0,0)( (A)不是f(x,y)的連續(xù)點. (B)不是f(x,y)的極值點.(C)是f(x,y)的極大值點 (D)是f(x,y)的極小值點[5.20]f(xyx22y2ylny[5.21]已知矩形的周長為2p將它繞其一邊旋轉而成一個旋轉體，當此旋轉體的體積最大[例5.23]求函數ux2y2z2zx2y2xyz4[例5.24]f(xyx22y2x2

在區(qū)D{(xy|x2y24,y0}上的[5.25]若已知平面x2

z2xyz并與zx2y21相切則的方程為 (A)16x8y16z (B)2x3y4z5(C)16x8y16z11 (D)8x3y4z7x2y2z2[例5.26]求曲線 xyz

zyx

2xy

五、經典習zf

x2

(xyxyf有二階導數，有連續(xù)的二階偏導數，求xy 【答案】4xyex2y2f4xye2(x2y2)fxyx zz(xyF(xzyz0所確定.xzyzzxyf

曲面x3y3z34上任意一點的切平面在坐標軸的截距的平方和為(

xy

2 1ez(1ez)3 3x

之值為 (A)0. (C).

x1,設ux2eyz3,其中zz(x,y)由方程x3y3z33xyz0x1,【答案】5dxu(x,y)在平面閉區(qū)域D上具有二階連續(xù)偏導數，且

2u2u

0,u(x,y)的 (A)最大值點和最小值點都必在D的.zx33xy2的極值yx2xy20之間的最短距離74【答案42x22y2z21上求一點,使函數ux2y2z2l【答案】1,1 第六 重積一、大綱內容與要 二、知識網

性質(7條

D直角坐標fxD二 分

極坐標frcosrsinD

(( ))

三、基本內(一)二重積二重積分的定fxyDDn個小閉區(qū)域12,n，其中i既表示第i個小區(qū)域，也表示它的面積．(i表示它的直徑)在每個i上任取n點(i,i)作乘積f(i,i)i(i1, 間的直徑中的最大值趨于零時極限

limf,ii存在，則稱此極限值為函數0fx,y在區(qū)D上的二重積分，記

fxyd，即

fx,yd

fi,ii 0fxyfxyddx,yn幾何意義設對于任意(xy)Dfxy0fxydDDzf(x,y)為頂面的曲頂柱體的體積fxyD上連續(xù)，則fxydD二重積分的性[f(xyg(xy)]df(xy)dg(xy)d DD1D2，則f(xy)df(xy)df(xy)d Dfxy1D的面積，則dDDfxygxy，則有f(xy)dg(xy)dD D

f(x,

D

f(x,y)dM與mfxyD上最大值M和最小值m，Dmf(x,y)dMD設函fx,y在閉區(qū)域D上連續(xù)D的面積D上至少存在一點,f(x,y)df,D二重積分的計算D可以用不等式axby1(xyy2x fx,ydbdxy2xfx,y DD可以用不等式cydx1yxx2y fx,ydddyx2yf(x,y D設積分區(qū)域D可以用不等式r1(rr2 1f(x,y)ddrf(rcos,rsin)rdr1D利用積分區(qū)域D的對稱性

若f(x,y)是x(或y)的奇函f(xy)d2f(xy)d,若f(xy)是x(或y) D1Dy(x)軸右(上)邊部分 若D關于yx對稱， f(x,y)df(y,x)d 二重積分應用(數學一要求設曲面Szf(xy給出，DxySxOyf(xyz z z

,x(x, y(x,x y DD(x, (x,yDD特別地，若(x,y)=常數，則平面圖形的形心的坐標為x A

y AD(xy(xyDxy的轉動慣IxIyIO分別為Ixy2(xy)dIyx2(xy)dIO(x2y2)(x, xOyD，在點(x,y(x,y)(x,y)F x(x, d,F y(x, d,F z(x, d (x2y2a2 (x2y2a2 (x2y2a2 (二)三重積分(數學一要求三重積分的概設f(x,y,z)是空間閉區(qū)域上的有界函數，將任意地分劃成n個小區(qū)域v1,v2 vn，其中vi表示第i個小區(qū)域，也表示它的體積.在每個小區(qū)域vi上任取一點(i,i,i)，n乘積f(i,i,i)vi，作和 f(i,i,i)vi，以記這n個小區(qū)域直徑的最大者，若極nlimf(i,i,i0

存在，則稱此極限值為函數fx,y,z)在區(qū)域

fx,y,z)dv，即

f(x,y,z)dv=

f(i,i,i

0當f(x,y,z)0，f(x,y,z)dv表示以f(x,y,z)為體密度的空 三重積分的性三重積分的計算若空間閉區(qū)域(x,yz|z1(x,yzz2x,y),(x,yDxyDxy(x,y)|axb,y1(x)yy2(x)z2(x,y y2( z(x,y則f(x,y,z)dvdxdyz(x,y)f(x,y,z)dzadxy(x)dyz(x, f(x,y,z)dz1 1 若空間閉區(qū)域(xyz|(xyDzczd，其Dz是豎坐標為z的平面截閉dd所得到的一個平面閉區(qū)域，則有f(xyz)dvcdzf(xy 若空間閉區(qū)域可以用不等式z1(r,)zz2r,r1()rr2),來表示f(x,y,z)dvf(rcos,rsin,z)rdrddzdr2()rdrz2(r,)f(rcos,rsin,z)dz

z(r,若空間閉區(qū)域可表示為(r,,|r1(,)rr2(,),1()2(),f(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2 d2()sindr2(,)f(rsincos,rsinsin,rcos)r2dr 1(

利用如果xOyyOz,xOz)平面ff(x,y,z)dv2f(x,y,1 1

f(x,y,z)是z(或x,或y)的奇函數f(x,y,z)是z(或x或y)的偶函其中1是xOyyOzxOz)上(前，右)利用達式不變)，則f(xyz)dvfyzx)dvf(zx 三重積分的應設空 的體密度為(x,y,z)，假定(x,y,z)在上連續(xù)， x(x,y, y(x,y, z(x,y, x,y,z，其中x ，y ，z

(x,y,

(x,y, 特別地，(x,y,z)=常數，則形心坐標為x ，y ，z 其中V為體積設空 的體密度為(x,y,z)，假定(x,y,z)在上連續(xù)，該的對x軸、原IxIOIxy2z2(xyz)dvIO(x2y2z2(xyz)dv 設物體占有空間域，在點(xyz(xyz，M0x0,y0z0其質量為m0，假定(x,y,z)在上連續(xù)，則物體對質點的引力為FFxFyFzFxFy

km0(x,y,z)(xx0 (xx)2(yy)2(xx)2(yy)2(zz)23000(xx)2(yy)2(zz)23000Fz

km0(x,y,z)(zz0 dv． (xx)2(yy)2(zz)2 四、典型題[例6.1]設I1 (x2y2)d,I2x2y2

2|xy|d,I3|x||

(x2y2)d,則 |x||(A)I1I2I3 (B)I2I3I1 (C)I3I1I2 (D)I3I2I1[例6.2]設I1 x2y2d,Icos(x2y2)d,Icos(x2y2)2d，其 D(x，y)x2y2≤1，則 (A)I3I2I1 (B)I1I2I3 (C)I2I1I3 (D)I3I1I2的部分，則(xycosxsiny)dxdy D(D1上的積分來表示xayb[例6.4]設D由曲xaybIydxdyD

1(a0,b0xy軸DD域

y2xydxdyDyxy1,x0x2y,1x2,0y[例6.6]f(xy

D:(xy)x2y22xf(x,y)dxdyD[6.7]D{(xy|x2y21x0}ID

1 [6.8]計算二重積分x2y21d其中D{(xy|0x10yD[6.9]D(xy|x2y24,x0,y0f(xD上正值連續(xù)函數，abD

d f(x) f(f(x) f((A)ab (B)ab f(x) f(f(x) f( 題型三累次積分交換次序及計算題型三累次積分交換次序及計算 4[例6.10]設函數f(x,y)連續(xù)，則1dxxf(x,y)dy1 f(x,y)dx

4 (A)1dx f(x,y)dy.(B)1dx f(x,y)dy.(C)1dy f(x,y)dx.(D)1dyyf(x,y)dx [例6.11]累次積分2dsinf(cos,sin)d可以寫成 yy(A)0 f(x,y)dx (B)0

f(x,y)dx(C)0dx0f(x,y)dy f(x,y)dy 2[例6.12]積分0dx xydy的值等 [6.13]ey2dxdyDyxy1y軸所圍區(qū)域D[6.14]IysinxdV由

xy0z0xzπ x[6.15]設是由曲線y22zzz=4I(x2y2[6.16]zdV，其中x2y2z2zx2y2z22z所確定D

五、經典習xsinyd，其中D由y 和yx圍成xy【答案】1(|x|yex2)dD由曲線|x||y|1所圍成D2【答案】3Dxyx2y2xD

8 D

x2y2dxdyDxy0yxx2y2【答案 92yyDydxdyDx2,y0,y2yyD【答案】4 26求D

x2y2ydDx2y24和x12y21所圍成的平面區(qū)域【答案】1639

2dy

yexdx

11dy

yyexyy1 y1 【答案】e xy2z3dV，其中Vzxyyxx1,z0所圍成的區(qū)域V1【答案 x2y1x2y計算三重積分xzdv，其中x2y1x2y的區(qū)域 8

第七 曲線、曲面積分(數學一要求一、大綱內容與要兩類曲線積分的概念、性質及計算兩類曲線積分的關系格林(Green)公式平面曲線積分的關系高斯(Gauss)公式斯托克斯(Stokes)公式散度、旋度的概念及計算曲線積分和曲面積二、知識網

第二類曲線積 （對坐標的曲線積分）

第一類曲面積 “ 曲面的對稱性 特殊方 “） 計算方 利用高斯公 通量、散度與旋 弧 物理應用變力沿曲線作功三、基本內(一)對弧長的曲線積分(第一類曲線積分Lxoyf(xyLMiL分成n小段sin取一點(i,isii1,2,3,...,n，作和f(i,i)si，令max{s1

,nn當0時，limf(i,i)sf(xyL上對弧長的曲線積分(

nf(x,y)dslimf(i,i)s0

f(x,y,z)dslimf(i,i,i)s0L(x,y)dsL，其上每一點(x,y(x,y)的平面曲線構(xyz)ds表示占據空間曲線為，其上每一點(xyz的線密度為(xyz的空間LdssL的弧長dss就是空間曲線的弧長.對弧長的曲線積分與積分曲線的方向無關，即f(xy)ds

f(xy)ds，(L表 LL1L2，則Lf(xy)dsLf(xy)dsLf(xy)ds L[f(xyg(xy)]dsLf(xy)dsLg(xy)ds，為常數f(x,y=1，則Lf(xy)dsssL的弧長設在Lf(xyg(xy，則Lf(xy)dsLg(xLf(xy)dsLf(xyds

x設f(x,y)在弧L上有定義且連續(xù)，若曲線L的參數方程為y (t)，f(x,y)ds f[(t),(t)]2(t)2(t)dt 其中(t),(t在區(qū)間[]上有連續(xù)導數，且2(t2(t)f(xyLLyy(x，axbf(x,y)dsbf[x,y(x)]1[y(x)]2dx y(x在區(qū)間[ab上有連續(xù)導數f(xyLLxxy)，cydf(x,y)dsdf[x(y),y]1[x(y)]2dy f(x,yz在曲線上有定義且連續(xù)，若曲線xx(tyy(t)zz(t給出，Lf(x,y,z)ds

f[x(t),y(t), x2(t)y2(t)z2x(ty(tz(t在區(qū)間[]x2(ty2(tz2(t)(1)質心坐,,L上連續(xù)，則曲線形物體質心坐標為x1x(xy)ds,y1y(xy)ds，其中M(xM(x,y)=x1xdsy

M ydss是弧長(2)轉動慣

s s,, Ixy2(x,y)ds,Ix2(x,y)ds,I(x2y2)(x, (二)對面積的曲面積分(第一類曲面積分設曲面是光滑的，f(xyz在上有界，把任意分成n小塊，任取(i,i,iSin作乘積f(i,i,i)Si(i12,,n)，再作和f(i,i,i)Si(i1,2,,n)，當各小塊面直徑的最大值0f(xyz在

f(xyz)dS

f(x,y,z)dS

f(i,i,i)Si

0(x,yz)dS表示占據曲面為，其上每一點(x,yz)(x,yz的曲面構件(xyz=1dSS就是曲面的面積對面積的曲面積分的計算方法(設曲面zz(xy，xOyDxyf(xyz在

f(x,y,z)dS

f[xyz(x dxdy，其中zz(xy11z(x,y)z(x,22xy設曲面形物體在空間占有曲面為，在點(x,yz)(x,yz(x,y在x(x,y, y(x,y, z(x,y,質心坐標為：x ,y ,z M(xyz)dSLxIxy2z2(xyL繞y軸的轉動慣量為Iy (x2z2)(x,y,LLzIzy2x2(xyLLIO(x2y2z2(xyL(三)對坐標的曲線積分(第二類曲線積分nLxOyABP(x,y),Q(x,yL上有界.在L上沿L的方向任意一點列Mi1(xi1,yi1)(i1,2,,n)，把L分成n個有向小弧段Mi1Mi(i12,nM0AMnB，設xixixi1yiyiyi1，點(i,inn,線積分(第二類曲線積分)，記作LQ(x,y)dy. P(x,y)dx P(,)x0

Q(x,y)dylimQ(i,i)P(xy),Q(xy)在有向曲Lx,yLP(xy)dxQ(xy)dyLP(xy)dxLQ(x上述定義可以類似的推廣到積分弧段為空間有向曲線弧的情形P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,limP(i,i,i)xiQ(i,i,i)yiR(i,i,i)ziLP(xy)dxQ(xy)dyF(x,y)P(x,y)iQ(x,yjL以起P(x,yz)dxQ(x,yz)dyR(x,yz)dz表示變力F(x,yz)P(x,yz)iQ(x,yzjR(x,y沿空間有向曲線弧從起點到終點所做的功.有向曲線弧，L為與L方向相反的曲線. xP(x,y)Q(x,yLL的參數方程為y(t),而且tLP(x,y)dxQ(x,y)dyP(t),(t)(t)Q(t),(t)(t)dtL其中(t，(t在區(qū)間[]2(t)+2(t)P(xy，Q(x,yLLyy(xx=x1對應于有向曲線弧的起點，x=x2對應于有向曲線弧的終點，(x1不一定小于x2)，則 P(x,y)dxQ(x,y)dy x2{P[x,y(x)]Q[x, 其中y(x)在區(qū)間x1,x2(或x2,x1)上有連續(xù)導數P(xy，Q(xyLLxxyy=y1對應于有向曲線弧的起點，y=y2對應于有向曲線弧的終點，(y1不一定小于y2)，則 P(x,y)dxQ(x,y)dy y2{P[x(y),y]x(y)Q[x(y), 其中xy在區(qū)間y1,y2(或y2y1])上有連續(xù)導數xP(xyz),Q(xyzR(xyz在有向曲線弧上連續(xù)，若的參數方程為yz而且t對應于有向曲線弧的起點，t對應于有向曲線弧的終點(則

PdxQdyRdz{P[x(t),y(t),

Q[x(t),y(t),(2)利用格林公式將平面上有向封閉曲線上的曲線積分LPdxQdy化成重積分計算(3)若曲線積分LP(xydxQ(xydy與路徑無關，可以改變路徑，簡化計算.P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyQ(x,y,LP(x,y)dxQ(x,y)dyL[P(x,y)cosQ(x,y)cos其中cos、cosLP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=(PcosQcosRcos其中cos、cos ，cos為有向曲線切向量的方向余弦格林公式及其應DLP(x,y和Q(x,yDLD的取正向的邊界曲線，則

PdxQ (QP)dxdy 1特別，若P(x,y)y,Q(x,y)x,則封閉曲線L所圍成的閉區(qū)域D的面積，S=2L(y)dx設GP(x,y),Q(x,y)在區(qū)域G內具有一階連續(xù)偏導數，如果對于G 則稱曲線積分LPdxQdy在G內與路徑無關若存在區(qū)域G內的二元函數u(x,y，使du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy則P(x,y)dxQ(x,y)dy為函數u(x,y的全微分，而函數u(x,y稱為P(x,y)dxQ(x,y)dy的u(x,y)可通過下面公式求出 u(xyxP(xy0dxyQ(xy)dyCu(xyyQ(x0y)dyxP(xy)dxC，其中(x0y0為區(qū)域 設區(qū)域GP(x,y),Q(x,y)在區(qū)域G內具有一階連續(xù)偏導數，則下曲線積分LP(xydxQ(xydy與路徑無關LPdxQdy0L1是G內任意封閉曲線P(x,y)dxQ(x,y)dy是某一二元函數u(x,y的全微分，即存在u(x,y使du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dyP(x,y)dxQ(x,y)dy0是全微分方程P(x,y)iQ(x,yj是某一二元函數u(x,y的梯度PQ 斯托克斯公設(i是以為邊界的分片光滑的有向曲面P(x,yz),Q(x,yz),R(x,yz)在曲面(連同邊界)上具有一階連續(xù)偏導數為分段光滑的空間有向閉曲線，且的正方向與PQRP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,PQR(四)對坐標的曲面積分(第二類曲面積分R(x,yz在上有界，把分成n塊SiSixOyn(S ，(,,是S上任若各小塊曲面直徑的最大值0，limR(,,)(Sn

0R(x,yz在x,yR(x,yz)dxdy在有向曲面

)(S) 0P,QyOzzOx曲面積分分別為

i Pdydz=limP(i,i,i)(Si)yz，Qdzdx=limQ(i,i,i)(Si)zx 0 0PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdx

PdydzQdzd

表示流速為v(xyzP(xyz)iQ(xyzjR(xy的流體在單位時間內流向有向曲面指定側的流體的質量，即流量.1)若12 設表示與相反的側， 對坐標的曲面積分的計算R(x,yz)在曲面上連續(xù)，若有向曲面zz(x,y，曲面xOy面上的投影區(qū)DxyR(x,yz)dxdyR[x,yz(x, P(x,yz在曲面上連續(xù)，若有向曲面xxyz)，曲面zOy 設Q(xyz在曲面上連續(xù)，若有向曲面yy(xz，曲面xOz上的投影區(qū)DzxQ(x,y,z在曲面上連續(xù)，則Q(x,y,z)dxdzQ[x,y(xz P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,設有向曲面coscoscos是上任一點(x,y,z) 高斯公式及應空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面P(x,yz)，Q(x,y,z，R(x,y在是coscoscos是(x,yz)(PQR)dvPdydzQdzdxRdxdy (PQR)dv(PcosQcosRcos 特別地，若P(xyzx,Q(xyzyR(xyzz，則空間閉區(qū)域的體積V1xdydzydzdx3通量、散度與旋(1)通 AxyzPxyziQxyzjRxyzkP,QR導數，為場內一片有向曲面，則PdydzQdzdxRdxdy

AxyzPxyziQxyzjRxyzkP,QRPQRA在點(xyz的散度，記divA，即divAPQR

Qx,y,z Rx,y,z

irotAirotARQiPRjQPk z x y P 四、典型題題型一對弧長的曲線積分題型一對弧長的曲線積分(第一類曲線積分 [7.1]L1其周長為a

(2xy3x24y2)ds L[例7.2]設曲線l是圓周x2y21， xds l

x2ds l[7.3]設曲線lx2y22axl

x2y2ds (x2yzy2)ds,其中為球面x2y2z2R2與平面xyz0交線[例7.5]已知曲線L:yx2(0x 2),L

xds 題型二對面積的曲面積分題型二對面積的曲面積分(第一類曲面積分[例7.6]設:x2y2z2a2(z0),1為在第一卦限中的部分，則有 (A)xdS4xdS.(B)ydS4ydS.(C)zdS4zdS.(D)xyzdS4 [例7.7]設曲面{(x,y,z)|x z1,x0,y0,z0}，則(4x3y4z)dS.(xy)dS[例7.8]設曲面:xyz(xy)dSd型三對坐標的曲線積分(第二類曲線積分(12xye)dx(cosyxex2y(12xye)dx(cosyxex2yyl1yx1y xdyydx,其中L是以點(1,0)為中心，R為半徑 L4x(R1),取逆時針方向[例7.11]計算I (y2z2)dx(2z2x2)dy(3x2y2)dz,其中L是平面xyzLxy1z軸正向看去，L為逆時針方向[例7.12]設函數f(x)在(,)內具有一階連續(xù)導數，L是上半平面(y0)內的有向分段光滑曲線，其起點為(a,b)，終點為(c,d)，記I L (II)當abcdI的值[例7.13]設L為正向圓周x2y22在第一象限中的部分，則曲線積分

Lxdy2ydx題型四對坐標的曲面積分題型四對坐標的曲面積分(第二類曲面積分[7.14]設x2y2z21x0,y0,z0 3(x2y21x2y[3(x2y21x2y是

xdydzydzdxzdxdySxf(x)dydzxyf(x)dzdxe2xzdxdy0，f(x在(0,limf(x1f(x.S[7.17]I2x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy，其中z1y2z0)的上側[7.18]1vxz2isinxk，曲面是由曲線y

1z2 x向曲面正側的流量Q.[例7.19]設r x2y2z2,則 五、經典習x2y2z2R2設空間曲線 xy

則

x2ds 2x 設為橢球面

1P(xyz為P處的面，(x,y,z)為點O(0,0,0)到平面的距離，求I dS (x,y,

32【答案】h

22求I [exsinyb(xy)]dx(excosyax)dy，其中a,b為正的常數，L為從L2axA(2a,0)沿曲線y 到點O(0,2ax222

((ba)a2x2axdydza2x25I

1(x2y2z2

,其中為下半球面z 的上側，a【答案】2x2R2x2設是由錐面z 與半球面z 圍成的空間區(qū)域，是x2R2x2【答案】(22)D{(xy)y0}f(xy具有連續(xù)偏導數，且對任意的t0都有f(tx,ty)t2f(x,y證明:D內的任意分段光滑的有向簡單閉曲線L，都有Lyf(x,y)dxxf(x,y)dy第八 無窮級數(數學一、三要求一、大綱內容與要常數項級數的收斂與發(fā)散的概念收斂級數的和的概念級數的基本性質與收斂的必要條件p級數及其收斂性正項級數收斂性的判別法交錯級數與萊布尼茨定理任意項級數的絕對收斂與條件收斂函數項級數的收斂域與和函數的概念冪級數及其收斂半徑、收斂區(qū)間(指開區(qū)間)數的求法初等函數的冪級數展開式函數的傅里葉(Fourier)系數與傅里葉級數狄利克雷(Dirichlet)定理函數在[l,l]上的傅里葉級數函數在[0,l常數項級數的收斂與發(fā)散的概念收斂級數的和的概念級數的基本性質與收斂的必要條件幾何級數與p級數及其收斂性正項級數收斂性的判別法任意項級數的絕對收斂與條件收斂交錯級數與萊布尼茨定理冪級數及其收斂半徑、收斂區(qū)間(指開區(qū)間)和收斂域冪級數的和函數冪級數在其收斂區(qū)間內的基本性質簡單冪級數的和函數的求法初等函數的冪級數展開式掌握exsinxcosxln(1x及(1x)的麥克勞林(Maclaurin)展開式，會用它們了解傅里葉級數的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在[l,l]級數，會將定義在[0,l上的函數展開為正弦級數與余弦級數，會寫出傅里葉級數的和函數的表了解exsinxcosxln(1x及(1x)的麥克勞林(Maclaurin)二、知識網

k0un與kun有相同收斂

②若unvn收斂,則(unvn 若un收斂，則limun 常數項級數的審斂

數

任意項級數：絕對收斂,

泰勒級數，麥克勞林級數

), 的麥克勞林級數1(數學一 三、基本內(一)數項級基本概定義 設un是一個數列，則稱unu1u2u3

nun稱為數項級數的或．，Snuku1u2u3 un稱為級數的部分和k 定義 若級數un的部分和數列Sn有極限，稱級數un收斂，極限值limSnS 為該級數的和;若limSn不存在，則稱級數un k為非零常數，則級數kun與un有相同的斂散性 若級數un和nAB，則級數(unn (unn)A如果級數un收斂，則對這個級數的項任意加括號后所成的級數仍收斂，且其和不變n級數收斂的必要條件:若級數u收斂，則limnn

0 各項為非負un0)的級數un 設Sn是正項級數un的部分和數列 項級數un收斂的充要條件是數列Sn有 設un與n都是正項級數，并設unn(nN0 I)若級數n收斂，則級數un收斂 II)若級數un發(fā)散，則級數vn發(fā)散 設u與都是正設u與都是正項級數，并設m 或為 n n 為非零常數時，則級數un與n有相同的斂散性 0時，若n收斂，則必有級數un收斂 時，若n發(fā)散，則必有級數un發(fā)散

n設u是正項級數，若lim ，n n 1)當1時，un收斂 2)當1時，un發(fā)散 3)當1時，斂散性不確定

n設unn

1)當1時，un收斂 2)當1時，un發(fā)散 3)當1時，斂散性不確定交錯級數的定

若級數的各項是正項與負項交錯出現，即形如(1)n1u 若交錯級數(1n1u

unun1 2)limun0 則交錯項級數(1n1u

設un為任意項級數，若級數un收斂，就稱級數un絕對收斂;若級數un 而級數un收斂，則稱級數un 若級數

收斂，則級數un必收斂(二)設函數un(x)(n1,2,3...)I上有定義，則稱u1x)u2xun(xnk )發(fā)散域 設un(xIxIS(x)S(x)un(x 立.IS(x)稱為函數項級數un(x的和函數冪級數的有關概設a(n0,1, )是一個實數列則形如a(xx)n的函數項級數稱為x處的冪 x0時的冪級數為axn，其中常數aaa

,a

0

n阿貝爾定理對冪級數axn有如下的結論n

x

xx對應的級數ax都絕對收斂n

x

nx對應的級數axn都發(fā)散n由阿貝爾定理可知，冪級數axnxx 1)當xR時，axn絕對收斂 2)當xR時，axn發(fā)散 n

如果冪級數axnx0R0;如果冪級數a(xx)n在( n

R為冪級數axn的收斂半徑，開區(qū)間(RR叫做冪級數axn的收斂區(qū)間n

不缺項設冪級數axn，其系數當nN時a0，且存在極限 n

1斂半徑R

0, ,

缺項設冪級數a

其系數有無窮項為0，例如ax,

an

unun(x)

1RxRR 設axnRbxn n

axnbxn(ab)xnRminRR axnbxncxnRminR n n a na bxncxnc待定Rn n a n 冪級數anxnS(xI nnn(axn)(axn)naxn1,x(R,R)nnn x

n0anxdx0anxdx ,xIn f(n)(x f(x 0(xx)nf(x)f(x)(xx) 0(xx)2

f(n)(x x)n

n!0 f(x)x0的泰勒級數f(n)

f(0) nx00 n

xf(0)f(0)x x (0)xn (0)xnf(xx0f(xf(n)(xf(x) 0(xx

nf(k)(x的充分必要條件是在該鄰域內f(x)的泰勒公式f(x) 0(xx)kR(x)中的余k k R(xn時的極限為零，即limR(x)n xnn0) ex1xx) e((1)n1x2n1(2n(1)n(2nsinxx ((1)n1x2n(1)nx ((1)n1xnnn1

n

(x(x(xln(1x)x 2 1xx 1

xn

1

1x

(1)n

(1)n (1x1

(1x)1x(1)x2( (n1)xn

( (n1) (1x

f(n)(x00寫出f(x)在x處的泰勒級數 0(xx)n，驗證limR(x)00

n利用常見的冪級數的和函數(如ex,sinxcosxln(1(三)傅里葉級數(數學一要求周期2l

11

f(x是周期為2l的周期函數，且在[ll1 1 anllf(x)coslxdx(n0,1, )，bnllf(x)sinlxdxn f(x的傅里葉系數;

(an2l2l

xbnsinlxf(x 收斂定

f

(an2l2l

xbnsinlx)f(x是周期為2lf(xa0(acos

sinnx)

f x為f(x) 正弦級數和余弦級

xn

f(x0)f(x

x為f(x)

bsinnxn

nf(x在[l,l]f

an 2l2l定義在[0,l]上的函數的傅里葉級數展 2 f(x)~bn

lxx[0,l，其中bnl0f

xdx，(n1,l 2 f

an2l2l

xx[0,l，其中anl0f(x

xdx,(n0,1,l四、典型題[8.1]

ncos2的斂散性2 2 n1 1[例8.2]設un0n1, 且lim 1，則級數 n

un1 ①若u2n1u2n收斂，則un收斂 ②若un收斂，則 收斂

③若lim 1，則un發(fā)散.④若unvn收斂，則un收斂，vn收斂n 題型二冪級數的收斂區(qū)間 題型二冪級數的收斂區(qū)間[例8.4]求冪級數

n13n 題型三求冪級數的和函數題型三求冪級數的和函數[例8.5]求級數2n1xn1的收斂區(qū)間及和函數[8.6]

2n

x2n的收斂域及和函數3n!x3n驗證函數yx1 yyyex

xn0題型四函數展開成冪級數題型四函數展開成冪級數(數學一要求[8.8]將函fx

x23x

展開成x1的冪級數，并其收斂區(qū)間[8.9]將函fx1ln1x1arctanxxx的冪級數 1 題型五傅里葉級數的收斂定理1,x題型五傅里葉級數的收斂定理 [8.10]fx 1x,0x

.[8.11]fxx2在,上展開成傅里葉級數[例8.12]將函數fx1x20x用余弦函數展開，并求 的和 22[例8.13]設x

cosnxx，則a2 n五、經典習 an為正項級數，下列結論中正確的是 若limnan0，則級數an收斂 若存在非零常數，使得limnan，則級數an發(fā)散 若級數a收斂，則limn2a0n

若級數an發(fā)散，則存在非零常數，使得limnan

設級 un收斂，則必收斂的級數為 n n (A)1n .(C)u2n1u2n (D)unun1

設冪級數axn3，則冪級數 n

x1n1的收斂區(qū)間 n 【答案】(24)

1n1 的收斂域及和函數 n2n【答案】2x2arctanxxln1x2x1,11 5（數一）.f

x將fx展開成x的冪級數，求級 x1

x

【答案】121

x2n，x1,1; 6.求冪級數 1n11 x2n的收斂區(qū)間與和函數fx

n2n1 2 2【答案】2xarctanxln11

2，x1,11 7(數一).fxarctan12xx的冪級數，并求級數2n1的和11n4n 11 2n ，x ,;2248(數一).設函fx

x 則其以

0x收斂 22

1x9(數一).將函fx2x1x1展成2為周期的傅里葉級數，求級數

1的和5

2cos2n1x，x1,1;6

2n1 0x1 010(數一).fx0

Sx

cosnxx，其2 1x2

n1a fxcosnxdxn0,1, ，則S5等于 0 01 2

1 2

2 3 (D)3 第九 常微分方一、大綱內容與要努利ul)方程、全微分方程及可用簡單的變量代換求解的某些微分方程(僅數學一要求)可降階的高階微分方程(僅數學一、二要求數齊次線性微分方程高于二階的某些常系數齊次線性微分方程(僅數學一、二要求二階常系數非齊次線性微分方程歐拉方程僅數學一要求)僅數學三要求)差分方程的通解與特解(僅數學三要求)一階常系數線性差)).):y(n)f(xyf(xy和yf(y).會解項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數的二階常系數非齊次線性微分方程數非齊次線性微分方程).).二、知識 初始條件和 可分離變量方程ypxqy 齊次微分方程yfy 非齊次ypxyQ一階微分方程一階常數變易 pxdx p y

Qx dx

全微分方程（數一）P(x,y)dxQ(x,y)dy 微分方程

伯努利微分方程（數一）yp(xyq(xy01 可降階微分方程y(n)fyf(xy)，令yp,則y (數一、數二 dp fyy)，令

p,則y p dy 差分方

齊次yayby 2二階常系數線性方程ab 非齊次yaybyfx解的 x2yaxyayf歐拉方程（數一 初始條件和 一階常系數線性差分方程齊次方程的通 (一)概

三、基本內 ,y(n))0,稱為微分方程(二)一階微分形如:yf(xgy或p(xqy)dxs(xry)dy0的微分方程稱為變量可分離先分離變 fg(

dyg(y)

f(x)dx

G(y)F(x)齊次微分方.y(y)的微分方程稱為齊次微分方.x作變量代換uy,將齊次微分方程化為變量可分離的微分方程uxu(u)x dx(u) 一階線性微分方yp(xyq(x的微分方程稱為一階線性微分方程yep(x)dx[q(x)ep(x)dxdx伯努利方程(數學一要求yp(x)yq(x)y01)的微分方程稱為伯努利方程全微分方程(數學一要求

QP(xy)dxQ(xy)dy0是全微分方程的充分必要條件是:y u(x,y)(三)二階線性微分方程解的結1:y1y2yp(xyq(xy0的兩個解，則c1y1c2y2也是方程的解2:y1y2yp(xyq(xy0的兩個線性無關解，則c1y1c2y2是方程的通解yp(xyq(xyf(x的通解4:y*yp(xyq(xyf(x的解(k1,則y*y*y* yp(xyq(xyf1(xf2x的特解(四)二階常系數線性微分方ypyqy0特征方程r2prq0ypyqy0相異的實根r1Ycer1xcer2 相同的實根r1Y(cc 共軛復根Yex(ccosxcsin ypyqyf(x) nyxkexQn其中k

0,當r2prq0的根時1,當r2prq0的單根時2,當r2prq0的重根時f(x)ex[Pn(xcosxQm(x)sinxypyqyf(x的特解形式為 y*xkex[R(x)cosxS(x)sinx] 其中l(wèi)maxnk0,當

不是特征方程r2prq2

的根時 當i是特征方程rprq0的根注:數學三不要求和與積的形式n階常系數齊次線性微分方程y(n)py(n1) py k重根(ccx c 二重復根ex[(ccx)cosx(ccx)sin (五)可降階的微分方程(數學一、二要求y(n)f nf(x)dxdx nf(x)dxdx C2 nyxyxCyf(x,ypyppf(xpg(x,C1yg(x,C1所以原方程的通解yg(x,C1)dxyf(y,令yp，則ydpdpdypdppy dy pdpf(y,p).設其通解為pg(y,C)，即yg(y,C)，所以原方程的通解 dyxC (六)歐拉方程（