第二章數(shù)列專題1遞推關(guān)系與通項公式第二章數(shù)列專題1遞推關(guān)系與通項公式1【要點預(yù)覽】遞推關(guān)系1：類等差型

an＋1＝an＋f(n)遞推關(guān)系2：類等比型

an＝f(n)·an－1遞推關(guān)系3：一階常數(shù)型

an＝pan－1＋q(n≥2)(其中p，q為常數(shù)，pq≠0，p≠1)遞推關(guān)系4：一階后指數(shù)函數(shù)型

an＝pan－1＋rqn(n≥2)

(其中pqr≠0，p，q，r為常數(shù))型【要點預(yù)覽】遞推關(guān)系1：類等差型an＋1＝an＋f(n)遞2遞推關(guān)系5：一階后一次函數(shù)型

an＝pan－1＋qn＋r(n≥2）

(其中pq≠0，p，q為常數(shù))遞推關(guān)系7：二階常數(shù)型

an＋1＝pan＋qan－1(pq≠0)

遞推關(guān)系6：一階倒數(shù)型pan＋1＋qan＋ran＋1an＝0(pqr≠0)遞推關(guān)系5：一階后一次函數(shù)型an＝pan－1＋qn＋r(n3【題型分類·深度剖析】題型1：類等差型an＋1＝an＋f(n)遞推關(guān)系例1：（1）已知數(shù)列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋2n－1，n∈N*，則通項公式an＝__________.n2－2n＋21（2）已知{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n，則an＝______.2n－1【題型分類·深度剖析】題型1：類等差型an＋1＝an＋4方法1：迭代法an＝an-1＋f(n－1)＝an-2＋f(n-2)＋f(n－1)＝……＝a1＋f(1)

＋f(2)+……+f(n)，方法2：累加法an=(an－an-1)+(an-1－an-2)+……+(a3－a2)+(a2－a1)+a1，解題指導：類等差型an＋1＝an＋f(n)遞推關(guān)系=f(n-1)+f(n-2)+……+f(2)+f(1)+a1方法1：迭代法an＝an-1＋f(n－1)＝an-2＋f(n5題型2：類等比型an＝f(n)·an－1遞推關(guān)系例2：（1）已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，a1＝1，Sn＝n2·an，求數(shù)列{an}的通項公式．題型2：類等比型an＝f(n)·an－1遞推關(guān)系6方法1：迭代法an＝an-1×f(n-1)＝an-2×f(n-2)×f(n-1)＝……＝a1×f(1)

×f(2)×……×f(n)，方法2：累乘法解題指導：類等比型an＝an-1×f(n－1)遞推關(guān)系方法1：迭代法an＝an-1×f(n-1)＝an-2×f(n7【變式探究】答案：1.設(shè)f(x)＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn－1，f(0)＝0.5，數(shù)列{an}滿足f(1)＝n2an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項an等于________．【變式探究】答案：1.設(shè)f(x)＝a1＋a2x＋a3x28題型3：遞推關(guān)系形如an＝pan－1＋q(n≥2)型(其中p，q為常數(shù)，pq≠0，p≠1)例3：（1）數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，求an.（2）在數(shù)列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，則該數(shù)列的通項an＝________.題型3：遞推關(guān)系形如an＝pan－1＋q(n≥2)型9解法指導：一階常數(shù)型遞推關(guān)系an＝pan－1＋q(n≥2)(p，q為常數(shù)，pq≠0，p≠1)方法1：待定系數(shù)法遞推式可化為an＋1＋A＝p(an＋A)，方法2：階差法遞推式階差為an＋1－an＝p(an－an－1)，解法指導：一階常數(shù)型遞推關(guān)系an＝pan－1＋q(n≥2)10題型4：遞推關(guān)系形如an＝pan－1＋rqn(n≥2)型(其中pqr≠0，p，q，r為常數(shù))型例4：（1）數(shù)列{an}滿足an＝4an－1＋2n(n≥2，n∈N*)，且a1＝2，求an.（2）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1－2an＝2n，則an＝__________.題型4：遞推關(guān)系形如an＝pan－1＋rqn(n≥2)型11解法小結(jié)：一階指數(shù)函數(shù)型遞推關(guān)系方法1：同除法遞推式可化為方法2：待定系數(shù)法遞推式可化為an+xqn＝p(an－1+xqn-1)，an＝pan－1＋rqn(n≥2)(pqr≠0，p，q，r為常數(shù))或者解法小結(jié)：一階指數(shù)函數(shù)型遞推關(guān)系方法1：同除法遞推式可化為方12【變式探究】1.已知數(shù)列{an}滿足an+1＝2an＋3×2n，a1＝2，求an.【變式探究】1.已知數(shù)列{an}滿足an+1＝2an＋3×213題型5：遞推關(guān)系如an＝pan－1＋qn＋r(n≥2）型

(其中pq≠0，p，q為常數(shù))例5：已知數(shù)列{an}中，a1＝0.5，點(n，2an＋1－an)在直線y＝x上，其中n∈N*，求數(shù)列{an}的通項．題型5：遞推關(guān)系如an＝pan－1＋qn＋r(n≥2）型例14解法小結(jié)：一階一次函數(shù)型遞推關(guān)系方法：待定系數(shù)法遞推式可化為an+xn+y＝p[an－1+x(n-1)+y]an＝pan－1＋qn+r(n≥2)(pq≠0，p，q為常數(shù))解法小結(jié)：一階一次函數(shù)型遞推關(guān)系方法：待定系數(shù)法遞推式可化為151.在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.(1)由題設(shè)an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.∴數(shù)列{an－n}是等比數(shù)列且首項為1，且公比為4∴an－n＝4n－1，即an＝4n－1+n【變式探究】解析：1.在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，16題型6：遞推關(guān)系如

pan＋1＋qan＋ran＋1an＝0(pqr≠0)型例7：數(shù)列{an}滿足a1＝1，n≥2時，an－1－an＝2an－1an，求通項公式an.解析：∵an－1－an＝2an－1an，題型6：遞推關(guān)系如pan＋1＋qan＋ran＋1an＝017解法指導：方法：倒數(shù)法遞推式可化為遞推關(guān)系pan＋1＋qan＋ran＋1an＝0

(pqr≠0)解法指導：方法：倒數(shù)法遞推式可化為遞推關(guān)系pan＋1＋qa18『變式探究』1.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，，求an.答案：2.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，求an.答案：『變式探究』1.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，193.數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝求an.答案：4.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝，求an.答案：3.數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝20題型7：遞推關(guān)系形如an＋1＝pan＋qan－1(pq≠0)型例8：在數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，求an.題型7：遞推關(guān)系形如an＋1＝pan＋qan－1(pq≠21解法指導：二階型遞推關(guān)系方法：待定系數(shù)法遞推式可化為an+1+xan＝y(tǒng)(an+xan-1)an＋1＝pan＋qan－1(pq≠0，p，q為常數(shù))解法指導：二階型遞推關(guān)系方法：待定系數(shù)法遞推式可化為an+122『變式探究』1.已知{an}中，a1＝1，a2＝2，3an－an－1－2an－2＝0(n≥3)，求數(shù)列{an}的通項公式．『變式探究』1.已知{an}中，a1＝1，a2＝2，3an23第二章數(shù)列專題1遞推關(guān)系與通項公式第二章數(shù)列專題1遞推關(guān)系與通項公式24【要點預(yù)覽】遞推關(guān)系1：類等差型

an＋1＝an＋f(n)遞推關(guān)系2：類等比型

an＝f(n)·an－1遞推關(guān)系3：一階常數(shù)型

an＝pan－1＋q(n≥2)(其中p，q為常數(shù)，pq≠0，p≠1)遞推關(guān)系4：一階后指數(shù)函數(shù)型

an＝pan－1＋rqn(n≥2)

(其中pqr≠0，p，q，r為常數(shù))型【要點預(yù)覽】遞推關(guān)系1：類等差型an＋1＝an＋f(n)遞25遞推關(guān)系5：一階后一次函數(shù)型

an＝pan－1＋qn＋r(n≥2）

(其中pq≠0，p，q為常數(shù))遞推關(guān)系7：二階常數(shù)型

an＋1＝pan＋qan－1(pq≠0)

遞推關(guān)系6：一階倒數(shù)型pan＋1＋qan＋ran＋1an＝0(pqr≠0)遞推關(guān)系5：一階后一次函數(shù)型an＝pan－1＋qn＋r(n26【題型分類·深度剖析】題型1：類等差型an＋1＝an＋f(n)遞推關(guān)系例1：（1）已知數(shù)列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋2n－1，n∈N*，則通項公式an＝__________.n2－2n＋21（2）已知{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n，則an＝______.2n－1【題型分類·深度剖析】題型1：類等差型an＋1＝an＋27方法1：迭代法an＝an-1＋f(n－1)＝an-2＋f(n-2)＋f(n－1)＝……＝a1＋f(1)

＋f(2)+……+f(n)，方法2：累加法an=(an－an-1)+(an-1－an-2)+……+(a3－a2)+(a2－a1)+a1，解題指導：類等差型an＋1＝an＋f(n)遞推關(guān)系=f(n-1)+f(n-2)+……+f(2)+f(1)+a1方法1：迭代法an＝an-1＋f(n－1)＝an-2＋f(n28題型2：類等比型an＝f(n)·an－1遞推關(guān)系例2：（1）已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，a1＝1，Sn＝n2·an，求數(shù)列{an}的通項公式．題型2：類等比型an＝f(n)·an－1遞推關(guān)系29方法1：迭代法an＝an-1×f(n-1)＝an-2×f(n-2)×f(n-1)＝……＝a1×f(1)

×f(2)×……×f(n)，方法2：累乘法解題指導：類等比型an＝an-1×f(n－1)遞推關(guān)系方法1：迭代法an＝an-1×f(n-1)＝an-2×f(n30【變式探究】答案：1.設(shè)f(x)＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn－1，f(0)＝0.5，數(shù)列{an}滿足f(1)＝n2an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項an等于________．【變式探究】答案：1.設(shè)f(x)＝a1＋a2x＋a3x231題型3：遞推關(guān)系形如an＝pan－1＋q(n≥2)型(其中p，q為常數(shù)，pq≠0，p≠1)例3：（1）數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，求an.（2）在數(shù)列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，則該數(shù)列的通項an＝________.題型3：遞推關(guān)系形如an＝pan－1＋q(n≥2)型32解法指導：一階常數(shù)型遞推關(guān)系an＝pan－1＋q(n≥2)(p，q為常數(shù)，pq≠0，p≠1)方法1：待定系數(shù)法遞推式可化為an＋1＋A＝p(an＋A)，方法2：階差法遞推式階差為an＋1－an＝p(an－an－1)，解法指導：一階常數(shù)型遞推關(guān)系an＝pan－1＋q(n≥2)33題型4：遞推關(guān)系形如an＝pan－1＋rqn(n≥2)型(其中pqr≠0，p，q，r為常數(shù))型例4：（1）數(shù)列{an}滿足an＝4an－1＋2n(n≥2，n∈N*)，且a1＝2，求an.（2）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1－2an＝2n，則an＝__________.題型4：遞推關(guān)系形如an＝pan－1＋rqn(n≥2)型34解法小結(jié)：一階指數(shù)函數(shù)型遞推關(guān)系方法1：同除法遞推式可化為方法2：待定系數(shù)法遞推式可化為an+xqn＝p(an－1+xqn-1)，an＝pan－1＋rqn(n≥2)(pqr≠0，p，q，r為常數(shù))或者解法小結(jié)：一階指數(shù)函數(shù)型遞推關(guān)系方法1：同除法遞推式可化為方35【變式探究】1.已知數(shù)列{an}滿足an+1＝2an＋3×2n，a1＝2，求an.【變式探究】1.已知數(shù)列{an}滿足an+1＝2an＋3×236題型5：遞推關(guān)系如an＝pan－1＋qn＋r(n≥2）型

(其中pq≠0，p，q為常數(shù))例5：已知數(shù)列{an}中，a1＝0.5，點(n，2an＋1－an)在直線y＝x上，其中n∈N*，求數(shù)列{an}的通項．題型5：遞推關(guān)系如an＝pan－1＋qn＋r(n≥2）型例37解法小結(jié)：一階一次函數(shù)型遞推關(guān)系方法：待定系數(shù)法遞推式可化為an+xn+y＝p[an－1+x(n-1)+y]an＝pan－1＋qn+r(n≥2)(pq≠0，p，q為常數(shù))解法小結(jié)：一階一次函數(shù)型遞推關(guān)系方法：待定系數(shù)法遞推式可化為381.在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.(1)由題設(shè)an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.∴數(shù)列{an－n}是等比數(shù)列且首項為1，且公比為4∴an－n＝4n－1，即an＝4n－1+n【變式探究】解析：1.在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，39題型6：遞推關(guān)系如

pan＋1＋qan＋ran＋1an＝0(pqr≠0)型例7：數(shù)列{an}滿足a1＝1，n≥2時，an－1－an＝2an－1an，求通項公式an.解析：∵an－1－an＝2an－1an，題型6：遞推關(guān)系如pan＋1＋qan＋ran＋1an＝040解法指導：方法：