2022/11/221第六章期權定價理論2022/10/111第六章期權定價理論2022/11/222

一、期權價格的確定（一）期權價格的構成１.概念

是指買方期權為獲取遠期選擇權而支付給賣方期權的代價，或是賣方期權因讓渡遠期選擇權而向買方期權收取的報酬。２.構成

期權價格＝內(nèi)在價值＋時間價值如圖3-32。2022/10/112一、期權價格的確定（一）期權價格的2022/11/223⑴內(nèi)在價值有時也稱為”貨幣性“（moneyness），是指期權的買方馬上執(zhí)行合約時其可能獲得的現(xiàn)金流與零之間的最大值。

2022/10/113⑴內(nèi)在價值2022/11/224

看漲期權：

看跌期權：⑵時間價值是期權價格中超過內(nèi)在價值的那部分價格，是指在期權有效期內(nèi)標的資產(chǎn)價格波動為期權持有者帶來收益的可能性所隱含的價值。

通常，期權合約的剩余有效時間越長，其時間價值也就越大。

（其中P為期權的時間價值）2022/10/114看漲期權：看跌期權：2022/11/225

顯然，標的資產(chǎn)價格的波動性越高，期權的時間價值越大。此外，期權的時間價值還受期權內(nèi)在價值的影響，以無收益看漲期權為例，當時，期權的時間價值最大，當?shù)慕^對值增大時，期權的時間價值是遞減的。它們的關系見下圖。2022/10/115 顯然，標的資產(chǎn)價格的波動性越高，期權2022/11/226圖3-32無收益資產(chǎn)看漲期權的時間價值與內(nèi)在價值的關系2022/10/116圖3-32無收益資產(chǎn)看漲期權的時間價2022/11/227二、期權價格的影響因素

期權價格的影響因素有六個，他們通過影響期權的內(nèi)在價值和時間價值來影響期權的價格。（一）標的資產(chǎn)的市場價格與期權協(xié)議價格

由于看漲期權在執(zhí)行時，其收益等于標的資產(chǎn)當時的價格與協(xié)議價格之差，因此，標的資產(chǎn)的價格越高，協(xié)議價格越低，看漲期權的價格就越高；對看跌期權面而言，其收益等于協(xié)議價格與標的資產(chǎn)當時的價格之差，標的資產(chǎn)的價格越低，協(xié)議價格越高，看跌期權的價格就越高。2022/10/117二、期權價格的影響因素 期權價格的影響2022/11/228

（二）期權的有效期

對于美式期權而言，期限越長獲利機會就越多，因此期權的價格會越高。

對于歐式期權，由于其只能在期末執(zhí)行，有效期長的期權不一定包含有效期短的期權的所有執(zhí)行機會，如標的資產(chǎn)在期限長的有效期內(nèi)有紅利支付（在知短的期限內(nèi)沒有），那么期限長的期權的價格就會低于期限短的期權。這就使歐式期權的有效期與期權的價格之間的關系顯得較為復雜。

如果剔除了標的資產(chǎn)支付大量收益這一特殊情況，由于有效期長，標的資產(chǎn)的風險就越大，空頭的虧損風險就大，因此有效期長，其期權的價格就越高。2022/10/118 （二）期權的有效期2022/11/229（三）標的資產(chǎn)價格的波動率

（四）無風險利率

（五）標的資產(chǎn)的現(xiàn)金收益標的資產(chǎn)分紅付息等將減少標的資產(chǎn)的價格，而協(xié)議價格并未進行調(diào)整，因此在期權的有效期內(nèi)標的資產(chǎn)產(chǎn)生現(xiàn)金收益將使看漲期權的價格下降，并使看跌期權價格上漲。2022/10/119（三）標的資產(chǎn)價格的波動率2022/11/2210三、期權價格的上、下限1、無套利定價法

套利就是在某些金融資產(chǎn)的交易過程中，交易者可以在不需要期初投資支出的條件下期末獲取無風險報酬。如果定量描述的話，就是指：一個投資組合，如果在投資的時刻不需要支出，即：而存在一個時刻t，使得：且2022/10/1110三、期權價格的上、下限1、無套利定價2022/11/2211

定理1

若市場在時段[0，T]內(nèi)是無套利機會的，則對于兩個投資組合和，如果

且

那么，對于任意的

，必有證明：反證法。

（略）2022/10/1111 定理1若市場在時段[0，T]內(nèi)是2022/11/2212

推論若市場在時段[0，T]內(nèi)是無套利機會的，則對于兩個投資組合和，如果其到期時組合的價值相等，則其任意

時刻的價值均相等。2022/10/1112 推論若市場在時段[0，T]內(nèi)是無2022/11/22132、期權價格的上、下限基本假設：1、市場不存在套利機會；

2、證券交易不付交易費用（市場無摩擦）；

3、無風險利率r是常數(shù)（復利）

定理２對于有效期內(nèi)無收益標的資產(chǎn)的歐式期權，以下的估計式成立2022/10/11132、期權價格的上、下限基本假設：1、2022/11/2214證明：在t時刻，構造兩個投資組合：

因此由定理1知：2022/10/1114證明：在t時刻，構造兩個投資組合：2022/11/2215那么又由于至此我們證得了期權的下界。

再構造一組合

通過同樣的分析，我們有所以?？礉q期權的上下界證畢。

（看跌期權的上下界的證明由學生自己完成）2022/10/1115那么又由于至此我們證得了期權的下界。2022/11/2216

定理4

對于有效期內(nèi)有已知收益標的資產(chǎn)的歐式期權，以下的估計式成立（考慮復利率）：其中D是期權有效期內(nèi)資產(chǎn)收益的現(xiàn)值。2022/10/1116 定理4對于有效期內(nèi)有已知收益標的2022/11/2217四、期權價格曲線的形狀（以無收益資產(chǎn)的情況為例）

2022/10/1117四、期權價格曲線的形狀（以無收益資產(chǎn)2022/11/2218五、歐式看漲、看跌期權的平價公式定理4

看漲——看跌平價公式（無收益資產(chǎn)）：定理5

看漲——看跌平價公式（有確定現(xiàn)金收益資產(chǎn)，收益的現(xiàn)值為D）：2022/10/1118五、歐式看漲、看跌期權的平價公式定理2022/11/2219六、期權定價方法（一）二叉樹方法1、一個例子

假定原生資產(chǎn)——股票在時刻的價格為40元，一個月后，有兩種可能性：上揚到45元或下跌到35元。那么在時刻購買一張一個月到期，敲定價格為40元的平價看漲期權，問應該支付多少期權金？（假定一年期的存款利率為12%）。2022/10/1119六、期權定價方法（一）二叉樹方法1、2022/11/2220根據(jù)期權到期時的收益由題設，在到期日，期權的價值亦有兩種可能性：若股票價格上揚，期權的收益為

；若股票價格下跌，則

，即期權一文不值。

基本思想：無套利定價法在開始時刻，構造一個投資組合

2022/10/1120根據(jù)期權到期時的收益由題設，在到期日2022/11/2221在到期日，該組合的價值也有兩種可能性：若股票價格上揚，

若股票價格下跌，即在到期日，該組合具有確定的值（元）另外構造一個投資組合

那么在到期日（即一個月后），該組合的收益也等于（元）2022/10/1121在到期日，該組合的價值也有兩種可能性2022/11/2222因此有

，由無套利假設，知：即由此得：這表明投資者為了購買這張期權，在開始時刻應該支付期權金2.695元2022/10/1122因此有，由無套利假設，知：即由此得2022/11/22232、一期模型

關于風險資產(chǎn)（股票、外匯等）的價格變化規(guī)律的研究，從最簡單的模型——單時段—雙狀態(tài)模型開始。以此為基礎，我們討論如何利用無套利原理，求出它的衍生物——期權的價格。單時段（oneperiod）：是指交易只在時刻的初始時刻以及終止時刻進行。雙狀態(tài)（twostate）：是指風險資產(chǎn)的價格在未來時刻只有兩種可能性：2022/10/11232、一期模型關于風險2022/11/2224我們的問題是：假如在開始時刻，風險資產(chǎn)的價格為S，預期在T時，它的價格可能是：（）現(xiàn)投資者在購買一張到期日為T，敲定價格為X的看漲期權，如果在[0，T]時段無風險利率為r(實際利率)，那么該看漲期權的價格為多少？我們的思想是：構造無風險的投資組合。試想賣出幾份看漲期權，出售方必然面臨風險，為了回避這個風險，出售方要采取適當?shù)牟呗詫︼L險進行控制，即買進股票與它對沖，使得組合為無風險的。記這個份額為，這就是—對沖的思想。2022/10/1124我們的問題是：假如在開始時刻，風險資2022/11/2225構成投資組合：購買一份股票，賣掉份看漲期權，使得該組合無風險的方法：利用—對沖技巧

假定存在，使得是無風險的，即在時刻，的價值

是確定的，即無風險的。

既然是無風險的，那么的投資增長率為無風險利率(不計復利)，即2022/10/1125構成投資組合：購買一份股票，賣掉2022/11/2226由此得：（3.1)由于在到期時刻股票價格有兩種可能性，所以在組合的價值也有兩種可能性，但由于構造的是無風險組合，那么我們有（3.2）由（3.1）和（3.2），我們知：2022/10/1126由此得：（3.1)由于在到期時刻股票2022/11/2227注意：由無套利假設知：由此定義新的概率測度Q：

易知：2022/10/1127注意：由無套利假設知：由此定義新的概2022/11/2228從而期權價格可以改寫為通常也將測度Q稱為風險中性測度，上式告訴我們，看漲期權的價格也可以解釋為在風險中性概率條件下，其價格等于期權到期價值的期望值的折現(xiàn)值。3、期權定價的二期模型（略）2022/10/1128從而期權價格可以改寫為通常也將測度Q2022/11/2229（二）B—S期權定價公式1、基本假設1）股票價格滿足隨機微分方程：其中是股票的期望收益率，是股票價格的波動率。2）股票市場允許賣空；2022/10/1129（二）B—S期權定價公式1、基本假設2022/11/22303）沒有交易費用或稅收；4）所有證券都是無限可分的；5）證券在有效期內(nèi)沒有紅利支付；6）不存在無風險套利機會；7）交易是連續(xù)進行的；8）無風險利率是常數(shù)。2022/10/11302022/11/22312、B—S微分方程構造組合：

選取適當?shù)?/p>

，使得在

時段內(nèi)，

是無風險的。

利用無套利理論和ITO引理，即可得到著名的B——S微分方程2022/10/11312、B—S微分方程構造組合：選取適2022/11/22323、B——S期權定價公式

1973年，Black和Scholes成功求解了他們的微分方程，從而獲得了看漲期權的定價公式。定理（B—S公式）歐式看漲期權的價格為其中2022/10/11323、B——S期權定價公式12022/11/2233

根據(jù)歐式看漲看跌的平價公式，對于無收益資產(chǎn)的看跌期權，其定價公式為：2022/10/1133根據(jù)歐式看漲看跌的平價公式，2022/11/2234例已知A公司股票的價格服從幾何布朗運動，即滿足隨機方程：解；由B—S定價公式其中公司股票現(xiàn)在的市價是$92，到期期限為50天、執(zhí)行價格為$95的該公司股票歐式看漲期權的價格是多少？（無風險利率為7.12%）2022/10/1134例已知A公司股票的價格查表可知：因此查表可知：因此所以該歐式看漲期權的價格為（因為（美元）（美元））所以該歐式看漲期權的價格為（因為（美元）（美元））2022/11/2237（三）有收益資產(chǎn)的期權定價公式

當標的資產(chǎn)已知收益的現(xiàn)值為I時，我們只要用（S—I）代替式中的S，即可求得有固定收益證券歐式看漲期權和看跌權的定價公式。

當標的資產(chǎn)的收益為按連續(xù)復利計算的固定收益率q時，我們只要將

代替S就可求得支付連續(xù)復利收益率證券的看漲和看跌期權的定價公式。2022/10/1137（三）有收益資產(chǎn)的期權定價公式2022/11/2238例假設當前英鎊的即