..推理與證明一、選擇題(本大題共10小題，每題5分，共50分)26537110－21．觀察以下各等式：2－4＋6－4＝2，5－4＋3－4＝2，7－4＋1－4＝2，10－4＋－2－4＝2，依照以上各式成立的規(guī)律，獲取一般性的等式為()8－nA.＋8－n＝2n－4－4n＋1－4＋n＋1＋5B.＋1n＋1－4＝2nn＋4C.n－4＋n＋4－4＝2n＋1n＋5n＋1－4＋n＋5－4＝2剖析：選A觀察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.2．以下三句話按“三段論”模式排列序次正確的選項(xiàng)是()y＝cosx(x∈R)是三角函數(shù)；②三角函數(shù)是周期函數(shù)；③y＝cosx(x∈R)是周期函數(shù)．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①剖析：選B按三段論的模式，排列序次正確的選項(xiàng)是②①③.3．由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”可類比猜想：“正周圍體的內(nèi)切球切于四個(gè)面________．”()A．各正三角形內(nèi)一點(diǎn)B．各正三角形的某高線上的點(diǎn)C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某點(diǎn)剖析：選C正三角形的邊對應(yīng)正周圍體的面，邊的中點(diǎn)對應(yīng)正周圍體的面正三角形的中心．1427a4．已知a∈(0，＋∞)，不等式x＋x≥2，x＋x2≥3，x＋x3≥4，，可實(shí)行為x＋xn≥n＋1，則a的值為()A．2nB．n2C．22(n－1)D．nn剖析：選D將四個(gè)答案分別用n＝1,2,3檢驗(yàn)即可，應(yīng)選D.5．以下四類函數(shù)中，擁有性質(zhì)“對任意的x>0，y>0，函數(shù)f(x)滿足[f(x)]y＝f(xy)”DOC版...的是()A．指數(shù)函數(shù)B．對數(shù)函數(shù)C．一次函數(shù)D．余弦函數(shù)剖析：選A當(dāng)函數(shù)f(x)＝x(>0，≠1)時(shí)，對任意的x>0，>0，有[f(x)]y＝(x)y＝aaayaaxy＝f(xy)，即指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)滿足[f(x)]y＝f(xy)，可以檢驗(yàn)，B，C，D選項(xiàng)均不滿足要求．6．用火柴棒擺“金魚”，以下列圖：依照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚”圖形需要火柴棒的根數(shù)為()A．6n－2B．8n－2C．6＋2D．8n＋2n剖析：選C歸納“金魚”圖形的組成規(guī)律知，后邊“金魚”都比它前面的“金魚”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚頭部分，故各“金魚”圖形所用火柴棒的根數(shù)組成一首項(xiàng)為8，公差是6的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝6＋2.n7．將平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算相類比，易得以下結(jié)論：()a·b＝b·a；(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.則正確的結(jié)論有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)剖析：選B平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算滿足交換律和分配律，不滿足結(jié)合律，故①③正確，②錯(cuò)誤；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，從而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④錯(cuò)誤．8．觀察以下事實(shí)：|x|＋||＝1的不相同整數(shù)解(x，)的個(gè)數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不相同yy整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不相同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為12，，則|x|＋|y|＝20的不相同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為()A．76B．80C．86D．92剖析：選B經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)|x|＋|y|的值為1,2,3時(shí)，對應(yīng)的(x，y)的不相同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為4,8,12，可推出當(dāng)|x|＋|y|＝n時(shí)，對應(yīng)的不相同整數(shù)解(x，)的個(gè)數(shù)為4，因此||ynx＋|y|＝20的不相同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為80.DOC版...9．觀察以下各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，，則a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．199剖析：選C記n＋n＝()，則f(3)＝(1)＋(2)＝1＋3＝4；(4)＝(2)＋(3)＝3abfnfffff＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.經(jīng)過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，則f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.因此a10＋b10＝123.10．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝1－1，則a2013等于()2na1B.－1A.2C．2D．3剖析：選C11∵a1＝，a＋1＝1－，2nan1∴a2＝1－a1＝－1，1a3＝1－＝2，a211a4＝1－＝，a321a5＝1－＝－1，a41a6＝1－＝2，an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)a2013＝a3＋3×670＝a3＝2.二、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分)11．已知圓的方程是x2＋y2＝r2，則經(jīng)過圓上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2.x2y2類比上述性質(zhì)，可以獲取橢圓a2＋b2＝1近似的性質(zhì)為________________．剖析：圓的性質(zhì)中，經(jīng)過圓上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程就是將圓的方程中的一個(gè)x與y分別用M(x0，y0)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)代替．故可得橢圓x2y2x2y2a2＋b2＝1近似的性質(zhì)為：過橢圓a2＋b2＝1上一點(diǎn)(0，0)的切線方程為x0xy0y2＋2＝1.PxyabDOC版...x2y2x0xy0y答案：經(jīng)過橢圓a2＋b2＝1上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為a2＋b2＝112．已知2＋2＝22，3＋3＝33，4＋4＝44，，若6＋a33881515ba＝6b(a，b均為實(shí)數(shù))，請推測a＝________，b＝________.剖析：由前面三個(gè)等式，推測歸納被平方數(shù)的整數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，由三個(gè)等a式知，整數(shù)和這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子相同，而分母是這個(gè)分子的平方減1，由此推測6＋b中：a2＝6，b＝6－1＝35，即a＝6，b＝35.答案：635113．若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x)對于D上的n個(gè)值x1，x2，，xn，總滿足n[f(x1)＋x＋x＋＋xf(x)＋＋f(x)]≤f12n，稱函數(shù)f(x)為D上的凸函數(shù)；現(xiàn)已知f(x)＝sinx2nn在(0，π)上是凸函數(shù)，則△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．剖析：由于f(x)＝sinx在(0，π)上是凸函數(shù)(小前提)，1＋＋因此3(sinA＋sinB＋sinC)≤sin3(結(jié)論)，33即sinA＋sinB＋sinC≤3sin3＝2.33因此，sinA＋sinB＋sinC的最大值是2.答案：33214．觀察以下列圖：12343456745678910則第________行的各數(shù)之和等于20132.剖析：觀察知，圖中的第n行各數(shù)組成一個(gè)首項(xiàng)為n，公差為1，共2n－1項(xiàng)的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為Sn＝(2n－1)n＋2n－12n－2＝(2n－1)n＋(2n－1)(n－1)＝(2n－1)2，2令(2n－1)2＝20132，得2n－1＝2013，解得n＝1007.DOC版...答案：1007三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明，證明過程或運(yùn)算步驟．)15．(本小題滿分12分)(本小題滿分12分)觀察①sin210°＋cos240°＋sin10°·cos340°＝4；3sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝4.由上面兩題的結(jié)構(gòu)規(guī)律，你能否提出一個(gè)猜想？并證明你的猜想．223解：猜想：sinα＋cos(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝4.證明以下：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)1－cos2α1＋cos60°＋2α1＝2＋2＋2[sin(30°＋2α)＋sin(－30°)]cos60°＋2α－cos2α11＝1＋2＋2sin(2α＋30°)－4311＝4＋2[cos60°·cos2α－sin60°sin2α－cos2α]＋2sin(2α＋30°)31131＝4－2·2cos2α＋2sin2α＋2sin(2α＋30°)＝3－1sin(2α＋30°)＋1sin(2α＋30°)＝3，4224223即sinα＋cos(30°＋α)＋sinα·cos(30°＋α)＝4.16．(本小題滿分12分)(本小題滿分12分)已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且其中111任意兩邊長均不相等，若a，b，c成等差數(shù)列．c比較a與b的大小，并證明你的結(jié)論；求證：角B不可以能是鈍角．c解：(1)a＜b.證明以下：bcbc要證a＜b，只需證a＜b.a，b，c＞0，∴只需證b2＜ac.111a，b，c成等差數(shù)列，21112∴b＝a＋c≥2ac，∴b≤ac.DOC版...又a，b，c均不相等，∴b2＜ac.故所得大小關(guān)系正確．證明：法一：假設(shè)角B是鈍角，則cosB＜0.由余弦定理得，a2＋c2－b22ac－b2ac－b2cosB＝2ac≥2ac＞2ac＞0，這與cosB＜0矛盾，故假設(shè)不成立．因此角B不可以能是鈍角．法二：假設(shè)角B是鈍角，則角B的對邊b為最大邊，即b＞，＞，因此1＞1＞0，1＞abcabc1＞0，則1＋1＞1＋1＝2，這與1＋1＝2矛盾，故假設(shè)不成立．bacbbbacb因此角B不可以能是鈍角．17．(本小題滿分12分)(本小題滿分12分)我們已經(jīng)學(xué)過了等比數(shù)列，你有沒有想到是否也有等積數(shù)列呢？(1)類比“等比數(shù)列”，請你給出“等積數(shù)列”的定義．(2)若{an}是等積數(shù)列，且首項(xiàng)a1＝2，公積為6，試寫出{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式．解：(1)若是一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的乘積是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，其中，這個(gè)常數(shù)叫做公積．由于{an}是等積數(shù)列，且首項(xiàng)a1＝2，公積為6，因此a2＝3，a3＝2，a4＝3，a5＝2，a6＝3，，即{n}的所有奇數(shù)項(xiàng)都等于2，偶數(shù)項(xiàng)都等于3，因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為a2，n為奇數(shù)，an＝3，n為偶數(shù).其前n項(xiàng)和公式5n2，n為偶數(shù)，n＝S5n－15n－12＋2＝，n為奇數(shù).218．(本小題滿分14分)將數(shù)列{a}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成以下n數(shù)表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10DOC版...記表中的第一列數(shù)a1，a2，a4，a7，組成的數(shù)列為{bn}，b1＝a1＝1.Sn為數(shù)列{bn}的前n2bn項(xiàng)和，且滿足2＝1(n≥2)．bnSn－Sn(1)證明數(shù)列1成等差數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；n(2)上面數(shù)表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的序次均組成等比數(shù)列，且公4比為同一個(gè)正數(shù)．當(dāng)a81＝－時(shí)，求上表中第k(k≥3)行所有項(xiàng)的和．解：(1)由已知，當(dāng)n≥2時(shí)，2bn2＝1，bnSn－Sn又n＝1＋2＋＋bn，SbbSn－Sn－1因此2＝1，Sn－Sn－1Sn－SnSn－Sn－1即－n－1n＝1，SS因此111－S＝，S2nn－1又S1＝b1＝a1＝1.因此數(shù)列1是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．n11n＋1由上可知Sn＝1＋2(n－1)＝2，2即Sn＝n＋1.222因此當(dāng)n≥2時(shí)，