【高三數(shù)學(xué)優(yōu)秀試卷原創(chuàng)精選】專題09三角函數(shù)與平面向量測(cè)試時(shí)間：班級(jí)：姓名：分?jǐn)?shù)：試題特點(diǎn)：為配合一輪復(fù)習(xí),精選2016年全國(guó)地高考試題和模擬試題,結(jié)合江蘇高考的考情和實(shí)質(zhì),進(jìn)行合理的組合與精心改編,重在檢測(cè)三角函數(shù)與平面向量這兩章的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法.試題擁有針對(duì)性強(qiáng)、覆蓋性廣、效度和信度高等特點(diǎn).本套試卷重點(diǎn)觀察三角函數(shù)的看法和運(yùn)算及平面向量的看法和運(yùn)算等知識(shí)的綜合運(yùn)用。在命題時(shí)，側(cè)重觀察這兩章的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法；并特別側(cè)重觀察知識(shí)的交匯和數(shù)學(xué)思想方法的理解和運(yùn)用等。講評(píng)建議：評(píng)講試卷時(shí)應(yīng)側(cè)重對(duì)三角函數(shù)和平面向量的看法的理解和講解，對(duì)基本方法和數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用,特別對(duì)一些易錯(cuò)的問題要重點(diǎn)講評(píng)剖析其錯(cuò)因，評(píng)講時(shí)要予以應(yīng)高度重視。一、填空題（每題5分,共70分）1.已知向量a=(1，3)，向量a，c的夾角是，a·c=2，則|c|等于.3【答案】2【剖析】由題意，得|a|2，向量ac的夾角是3，且ac|a||c|cos2，解得|c|2.322b)(3a2b)，則a與b的夾角為.2．若非零向量a,b滿足ab，且(a3【答案】4r1,rrr3.已知向量a(3),b(1,0)，則b在a上的投影等于______________.22【答案】12ab11.【剖析】b在a方向上的投影為:|b|cosa,b22|a|2231224．設(shè)向量e1,e2是兩個(gè)互相垂直的單位向量，且a2e1e2,be2，則a2b．【答案】5【剖析】因?yàn)閑1e2,所以e1e20,故22222a2ba2ba4ab4b2e1e242e1e2e24e254e1e255．已知a,b為同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，且a(1,2),b(x,6)，若ab25，向量c2ab，則c.【答案】(1,10)6．已知向量a(2,1),b(1,m),c(1,2)，若(ab)//c，則m。【答案】m1【剖析】：因a(2,1),b(1,m),c(1,2)，故ab(21,1m)，即ab(1,m1)，由題設(shè)(ab)//c可得：m11。21，即m7.已知平面向量,,||1,||2,(2)，則|2|的值為?！敬鸢浮縨1(2)，故2||21，又||2，則2||24，而【剖析】因2(2)24242421410，所以|2|108．已知O是邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的中心,則(OAOB)(OAOC)__________.【答案】16【剖析】取邊長(zhǎng)為1的等邊ABC的邊AB的中點(diǎn)為D，邊AC的中點(diǎn)為E，則OAOB2OD，OAOC2OE，而由等邊三角形的性質(zhì)可得，OA2OD,ODAB，所以AOD，同理可得AOE，再依照OD133OE2，可得3336(OAOB)(OAOC)22OE22OD4ODOE433216cos3.669.若等邊ABC的邊長(zhǎng)為23，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足CM1CB2CA，則63MAMB?！敬鸢浮?10.在ABC中，若b1,c3,C2，則a。3【答案】1【剖析】由余弦定理得c2a2b22abcosC，則3a212a(1)，即2a2a20，解之得：a1或a2（設(shè)去），故a1。11.如圖，在ABC中，若ADAB,BC3BD,|AD|1，則ACAD.ABDC資*源%庫(kù)【答案】3【剖析】因ACABBC且ADAB，故ACAD(ABBC)ADBCAD，由向量的數(shù)量積公式得：BCAD|BC||AD|cosADB，即BCAD3|BD||AD|cosADB，注意到在RtABD中，|BD|cosADB|AD|1，所以BCAD3|AD|23，故應(yīng)填3。已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD＝120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.→→→→2，則λ＋μ＝.若AE·AF＝1，CE·CF＝－3【答案】56【剖析】由已知關(guān)系可知ABBC2，且AEABBC,AFABBC,CE(1)BC，CF(1)AB，所以AEAF4()2(1)1，CECF2(1)2，可求得35.613.已知A,B,C是單位圓上互不一樣樣的三點(diǎn)，且滿足ABAC，則ABAC的最小值為．1$來&源：【答案】214.已知在

ABC

中,若B

2A,

ACB的均分線

CD把三角形分成面積比為

4:3的兩部分

,則cosA

.【答案】23AC4ABACsinADC，【剖析】在三角形ADC中由正弦定理得7sinADCsinACD4sinACDAB7BC3ABBCsinBDC，又同理在三角形BCD中有7sinBDCsinBCD3ABsinBCD7sinADCsinBDC，sinACDsinBCD，所以有ACBCAC4BC，由正弦定理得sinB4sinA，又B2A，即4333ABAB772sinB2sinAcosA，可求得cosA.3二、解答題15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1,2),B(2,3),C(2,1)。$來&源：（1）求以線段AB,AC為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)；（2）設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(ABtOC)OC0，求t的值；【答案】(1)210,42;(2)t115【剖析】（1）因A(1,2),B(2,3),C(2,1)，故向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得ABOBOA(3,5),ACOCOA(1,1)，所以由向量的平行四邊形法規(guī)知以線段AB,AC為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量分別為ABAC,ABAC，ABAC(3,5)(1,1)(2,6),ABAC(3,5)(1,1)(4,4)，所以由向量模的計(jì)算公式得|ABAC|2262210,|ABAC|424242，即以線段AB,AC為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為210,42。（2）因ABOBOA(3,5),OC(2,1)，故ABOC3(2)5(1)11,OC2(2)215，所以由(ABtOC)OC0得211ABOCtOC0，即115t0，所以t5。16.已知ABC的面積是30，內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別是a,b,c,cosA12。131）求ABAC的值；2）若cb1，求a的值?！敬鸢浮?1)144;(2)a5【剖析】(1)由三角形面積公式得S1bcsinA30，即bcsinA60，因cosA12，故213sinA1cos2A5，將其代入bcsinA60得bc156，所以13ABACbcsinA144；（2）由余弦定理得：a2b2c22cbcosA(bc)22bc(1cosA)12156(112)25，13又a0，故a5。17.設(shè)ABC是銳角三角形，a,b,c分別是A,B,C所對(duì)邊長(zhǎng)，并sin2Asin(B)sin(B)sin2B.33（1）求A的值；（2）若ABAC12,a27，求b,c（其中bc）。資*源%庫(kù)【答案】(1)A;(2)b4,c63（2）由向量數(shù)量積公式及已知ABAC12可得：bccosA12，由（1）知A，故1bc12，即bc324，由余弦定理得：a2b2c22cbcosA，將bc24,a272代入可得：b2c252，結(jié)合bc24可得：(bc)2100，則bc10，由此可知b,c是一元二次方程t210t240的兩根，注意到bc，故可解之得b4,c6。18.在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對(duì)的邊，且滿足a3bcosC.（Ⅰ）求tanC的值；tanB（Ⅱ）若a3,tanA3，求ABC的面積.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）3.【剖析】Ⅰ）利用正弦定理將變轉(zhuǎn)變成正弦，再結(jié)合cosCcos(AB)及三角恒等變換即可求得tanC；（Ⅱ）tanAtan(BC)3,利用三角函數(shù)恒等變換以及前面所求的tanBtanC=2，能夠求得tanB,tanC，從而求得sinB,sinC進(jìn)一步可求得b,即可利用tanBabsinC求的面積.2試題剖析：（I）由正弦定理abc2R可得：sinAsinBsinC2RsinA=32RsinBcosC1分ABCsinAsin(BC)=3sinBcosC，-------------------------3分即sinBcosCcosBsinC=3sinBcosCcosBsinC=2sinBcosCcosBsinC=2故tanC=2．sinBcosC-------------------------5分tanB（II）（法一）由ABC得tan(BC)tan(A)3,即tanBtanC3,將tanC2tanB3tanB3，1tanBtanC代入得：12tan2B-------------------------7分解得tanB1或tanB1，2依照所以

tanC2tanB得tanC、tanB同正，tanB1,tanC2.8分則tanA3，可得sinB2，sinC25，sinA310，2510代入正弦定理可得3=b，b5，---------------10分3102102所以SABC11525absinC353.-------------------------12分22（法二）由ABC得tan(BC)tan(A)3,即tanBtanC3,將tanC2tanB代入得：3tanB3，tanBtanC12tan21B-------------------------7分解得tanB1或tanB1，依照tanC2tanB得、同正，2tanCtanB所以tanB1,tanC2．8分又因?yàn)閍3bcosC3所以bcosC1，abcosC3abcosCtanC6．-------------------------10分SABC1absinC163．-------------------------12分2219.在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且滿足2bsin(C)ac．6（Ⅰ）求角B的大??；（Ⅱ）若點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，且AMAC，求sinBAC．21【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.37【剖析】（Ⅰ）利用正弦定理，將條件中的邊轉(zhuǎn)變成角的正弦值，利用三角形內(nèi)角和定理及兩角和與差的正弦公式將已知式整理化簡(jiǎn)可得2sin(B)1，可求出角B的值；（Ⅱ）取6CM中點(diǎn)D,連AD，,設(shè)CDx，用x表示AD,AC，在ACD中，由正弦定理即可求sinBAC.或在ABM與ABC中，由余弦定理分用a表示AM,AC，由AMAC，用a表示b,c，再利用正弦定理即可求sinBAC.解法二：由（Ⅰ）知B，又M為BC中點(diǎn)，BMMCa，32在ABM與ABC中，由余弦定理分別得：(a)22accosB2c2ac,AC2AM2c2aa2c22accosBa2c2ac,2242又AMAC，a2c2aca2c2ac,c3a,b7a，4222a7a21由正弦定理知，2，得sinBACsin.BACsin60o720.在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且滿足2bsin(C)ac．6（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，且AMAC，求sinBAC．21【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.37【剖析】（Ⅰ）利用正弦定理，將條件中的邊轉(zhuǎn)變成角的正弦值，利用三角形內(nèi)角和定理及兩角和與差的正弦公式將已知式整理化簡(jiǎn)可得2sin(B)1，可求出角B的值；（Ⅱ）取6CM中點(diǎn)D,連AD，,設(shè)CDx，用x表示AD,AC，在ACD中，